第五章大數(shù)定律及中心極限定理

1、 概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的學科的學科. 隨機現(xiàn)象的規(guī)律性只有在相同的條件下進隨機現(xiàn)象的規(guī)律性只有在相同的條件下進行大量重復試驗時才會呈現(xiàn)出來行大量重復試驗時才會呈現(xiàn)出來. 也就是說，要從也就是說，要從隨機現(xiàn)象中去尋求必然的法則，應該研究大量隨機隨機現(xiàn)象中去尋求必然的法則，應該研究大量隨機現(xiàn)象現(xiàn)象.研究大量的隨機現(xiàn)象，常常采用極限形式，由研究大量的隨機現(xiàn)象，常常采用極限形式，由此導致對極限定理進行研究此導致對極限定理進行研究. 極限定理的內(nèi)容很廣極限定理的內(nèi)容很廣泛，其中最重要的有兩種泛，其中最重要的有兩種:大數(shù)定律與中心極限定理大數(shù)定律

2、與中心極限定理 大量的隨機現(xiàn)象中平均結果的穩(wěn)定性大量的隨機現(xiàn)象中平均結果的穩(wěn)定性 一、大數(shù)定律的客觀背景一、大數(shù)定律的客觀背景大量拋擲硬幣大量拋擲硬幣正面出現(xiàn)頻率正面出現(xiàn)頻率字母使用頻率字母使用頻率生產(chǎn)過程中的生產(chǎn)過程中的廢品率廢品率 二、幾個常見的大數(shù)定律二、幾個常見的大數(shù)定律切比雪夫切比雪夫th1: 切比雪夫切比雪夫(chebyshev)定理的特殊情況定理的特殊情況說明說明 （2） 在所給的條件下，當在所給的條件下，當n充分大時，充分大時，n個隨機變量的算術平均值與它們的數(shù)學期望有個隨機變量的算術平均值與它們的數(shù)學期望有較小的偏差的可能性比較大。較小的偏差的可能性比較大。可以考慮可以考慮用

3、算術平用算術平均值作為所研究指標值的近似值均值作為所研究指標值的近似值。（1）此定理也稱為切比雪夫大數(shù)定理）此定理也稱為切比雪夫大數(shù)定理 證明切比雪夫大數(shù)定律主要的數(shù)學工證明切比雪夫大數(shù)定律主要的數(shù)學工具是切比雪夫不等式具是切比雪夫不等式.注意注意切比雪夫不等式切比雪夫不等式證證 |22)(|xdxxfx dxxfx)()(122 |)(|xdxxfxp當當x為連續(xù)型隨機變量時為連續(xù)型隨機變量時, 設設x的概率密度為的概率密度為f(x),則則22 說明說明例例 =3 ,p |x- | = p |x- | 3 0.8889 =4 p |x- | =p |x- |105的近似值的近似值解解e(vk

4、)=5, d(vk)=100/12 (k=1,2,20).近似服從正態(tài)分布近似服從正態(tài)分布n(0,1),387.020)1210(1001 vp387.020)1210(100 vp2012/1005201052012/100520 vp105 vp 387.02211dtet 348. 0)387. 0(1 348. 0105 vp所以所以 1001kkxx例例3. 對敵人的防御地段進行對敵人的防御地段進行100次炮擊次炮擊, 在每次在每次炮擊中炮擊中, 炮彈命中顆數(shù)的數(shù)學期望為炮彈命中顆數(shù)的數(shù)學期望為2, 均方差為均方差為1.5, 求在求在100次炮擊中次炮擊中,有有180顆到顆到220顆

5、炮彈命中目標的顆炮彈命中目標的概率概率.解解:設設xk為第為第k次炮擊炮彈命中的顆數(shù)次炮擊炮彈命中的顆數(shù)(k=1,2,100),在在100次炮擊中炮彈命中的總顆數(shù)次炮擊中炮彈命中的總顆數(shù)相互獨立地服從同一分布，相互獨立地服從同一分布，e(xk)=2, d(xk)=1.52 (k=1,2,100)33. 15 . 120033. 1220180 xpxp)200(151)2(5 . 110011001 xxkk隨機變量隨機變量近似服從標準正態(tài)分布近似服從標準正態(tài)分布8164. 019082. 021)33. 1(2)33. 1()33. 1(33. 133. 12122 dtet例例4 對于一個

6、學生而言，來參加家長會的家長人對于一個學生而言，來參加家長會的家長人數(shù)是一個隨機變量，設一個學生無家長、數(shù)是一個隨機變量，設一個學生無家長、1名家長、名家長、2名家長來參加會議的概率分別為名家長來參加會議的概率分別為0.05、0.8、0.15.若學校共有若學校共有400名學生名學生,設各學生參加會議的家長數(shù)設各學生參加會議的家長數(shù)相互獨立相互獨立,且服從同一分布且服從同一分布.(1)求參加會議的家長數(shù)求參加會議的家長數(shù)x超過超過450的概率的概率.(2) 求有求有1名家長來參加會議的學生數(shù)不多于名家長來參加會議的學生數(shù)不多于340的的概率概率.解解(1) 以以xk (k=1,2,400)記第記

7、第k個學生來參加會議個學生來參加會議的家長數(shù)的家長數(shù),其分布律為其分布律為pk0.050120.80.15xk1 .1)( kxe.400,.,2 , 119.0)( kxdk 4001kkxxxk 相互獨立地服從同一分布相互獨立地服從同一分布 450xp19. 04001 . 14004001 kkx隨機變量隨機變量近似服從標準正態(tài)分布近似服從標準正態(tài)分布1257. 0)147. 1(1 19. 04001 . 1400 x 19.04001 .140045019.04001 .14001xp 19.04001 .140045019.04001 .1400xp 147. 119. 04001

8、 . 14001xp(2) 以以y表示有一名家長來參加會議的學生表示有一名家長來參加會議的學生, 則則yb(400, 0.8) 5 . 22 . 08 . 04008 . 0400yp)5 . 2( 9938. 0 2 . 08 . 04008 . 04003402 . 08 . 04008 . 0400yp340 yp三三 小結小結1、獨立同分布的中心極限定理、獨立同分布的中心極限定理2.李雅普諾夫定理李雅普諾夫定理3.棣莫佛拉普拉斯定理棣莫佛拉普拉斯定理nnkknkknkknkknkknbxxdxexz 11111)()( 近似服從近似服從標準標準正態(tài)分布正態(tài)分布n(0,1)。一船舶在某海

9、區(qū)航行，已知每遭受一次波浪的沖一船舶在某海區(qū)航行，已知每遭受一次波浪的沖擊，縱搖角大于擊，縱搖角大于3 的概率為的概率為p=1/3,若船舶遭受了若船舶遭受了90000次波浪沖擊，問其中有次波浪沖擊，問其中有2950030500次縱搖次縱搖角度大于角度大于3 的概率是多少？的概率是多少？解解將船舶每遭受一次沖擊看作是一次試驗，將船舶每遭受一次沖擊看作是一次試驗，假定各次試驗是獨立的假定各次試驗是獨立的90000次波浪沖擊中縱搖角大于次波浪沖擊中縱搖角大于3 的次數(shù)記為的次數(shù)記為x，xb(90000,1/3),思考題思考題3050029500 xp所求概率為所求概率為90000,.,1 ,0,323130500295019000090000 kckkkk計算太麻煩！計算太麻煩！90000,.,1 , 0,32319000090000 kckxpkkk分布律為分布律為采用棣莫佛拉普拉斯定理采用棣莫佛拉普拉斯