第三章：剛體定軸轉(zhuǎn)動

1、 轉(zhuǎn)動是物體機械運動的一種基本的普遍的轉(zhuǎn)動是物體機械運動的一種基本的普遍的形式。大到星系，小到原子等微觀粒子都在不形式。大到星系，小到原子等微觀粒子都在不停轉(zhuǎn)動。工程中更是經(jīng)常遇到轉(zhuǎn)動問題。停轉(zhuǎn)動。工程中更是經(jīng)常遇到轉(zhuǎn)動問題。本章內(nèi)容：本章內(nèi)容： 本節(jié)知識學(xué)習(xí)要點：本節(jié)知識學(xué)習(xí)要點：1 1、注意描述剛體定軸轉(zhuǎn)動的運動學(xué)方法；、注意描述剛體定軸轉(zhuǎn)動的運動學(xué)方法；2 2、閱讀附錄、閱讀附錄1 1中矢量的乘法，力對轉(zhuǎn)軸的力矩如中矢量的乘法，力對轉(zhuǎn)軸的力矩如何計算；何計算；3 3、 領(lǐng)會剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理的意義。注意區(qū)領(lǐng)會剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理的意義。注意區(qū)分平動動能和轉(zhuǎn)動動能以及他們的計算式。注

2、意分平動動能和轉(zhuǎn)動動能以及他們的計算式。注意力局的功的計算方法。力局的功的計算方法。4 4、什么是轉(zhuǎn)動慣量？轉(zhuǎn)動慣量與哪些因素有關(guān)？、什么是轉(zhuǎn)動慣量？轉(zhuǎn)動慣量與哪些因素有關(guān)？5 5、剛體定軸轉(zhuǎn)動定律的內(nèi)容及數(shù)學(xué)表達(dá)式如何？、剛體定軸轉(zhuǎn)動定律的內(nèi)容及數(shù)學(xué)表達(dá)式如何？學(xué)會運用學(xué)會運用轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動是物體機械運動的一是物體機械運動的一種基本的普遍的形式。種基本的普遍的形式。剛體：剛體： 在力的作用下，大在力的作用下，大小和形狀都保持不變的物小和形狀都保持不變的物體稱為剛體。（組成物體體稱為剛體。（組成物體的所有質(zhì)點之間的距離始的所有質(zhì)點之間的距離始終保持不變）是一種理想終保持不變）是一種理想模型。模型。1

3、 1、剛體的平動：、剛體的平動： 剛體內(nèi)所作的任何一條直線，始終保持和自身剛體內(nèi)所作的任何一條直線，始終保持和自身平行的運動。平動時，剛體上各點的運動軌跡都相平行的運動。平動時，剛體上各點的運動軌跡都相同，因此，剛體上一點的運動可代表整個剛體的運同，因此，剛體上一點的運動可代表整個剛體的運動。動。( ( 剛體平動的運動規(guī)律與質(zhì)點的運動規(guī)律相同）剛體平動的運動規(guī)律與質(zhì)點的運動規(guī)律相同）2 2、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動：、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動： 剛體內(nèi)的每一點都在繞某一直線上的點作圓周剛體內(nèi)的每一點都在繞某一直線上的點作圓周運動，這個剛體的運動稱為轉(zhuǎn)動，這個直線叫轉(zhuǎn)軸，運動，這個剛體的運動稱為轉(zhuǎn)動，這個直線叫轉(zhuǎn)軸

4、，轉(zhuǎn)軸相對于參照系不動的轉(zhuǎn)動稱為定軸轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)軸相對于參照系不動的轉(zhuǎn)動稱為定軸轉(zhuǎn)動。 o ov vp p , , r rr r定軸定軸剛體剛體 參考方向參考方向z z2222121 kkkkrmvme 2222121 zkkjrme 2kkrmj dmrj24 4、剛體的轉(zhuǎn)動動能：、剛體的轉(zhuǎn)動動能：3 3、剛體的轉(zhuǎn)動慣量：、剛體的轉(zhuǎn)動慣量：vmrprl 7、定軸轉(zhuǎn)動的角動量、定軸轉(zhuǎn)動的角動量 )(2iiiiiiiiizzrmrvmll jlz即：即：5、角速度矢量：、角速度矢量：rrv 6、剛體的角動量：、剛體的角動量： o ov vp p , , r rr r定軸定軸剛體剛體 參考方向參考方向

5、z z2 2、力矩的功：、力矩的功： dmdaz 21 dmaza a、所謂力矩的功，實質(zhì)上還是力的功，并無任何、所謂力矩的功，實質(zhì)上還是力的功，并無任何關(guān)于力矩的功的新的定義，只是在剛體轉(zhuǎn)動中，關(guān)于力矩的功的新的定義，只是在剛體轉(zhuǎn)動中，用力矩和角位移的積來表示功更為方便而己。用力矩和角位移的積來表示功更為方便而己。1 1、力矩：、力矩：m = r m = r f fm = r f m = r f sin sinb b、對于定軸轉(zhuǎn)動剛體，所有內(nèi)力的功總和在任何、對于定軸轉(zhuǎn)動剛體，所有內(nèi)力的功總和在任何過程中均為零。（內(nèi)力成對，大小相等方向相反，過程中均為零。（內(nèi)力成對，大小相等方向相反，一對內(nèi)

6、力矩的代數(shù)和為零；一對內(nèi)力矩的代數(shù)和為零；內(nèi)力矩的功總和為零內(nèi)力矩的功總和為零。另一角度，內(nèi)力的功相對位移為零。另一角度，內(nèi)力的功相對位移為零 . .） mdtdmdtdap rdfda 23 3、功率：、功率：mp a 當(dāng)當(dāng) 與與 同方向，同方向， 和和 為正為正 amp 當(dāng)當(dāng) 與與 反方向，反方向， 和和 為負(fù)為負(fù)說明說明 ：a a、動能定理也與質(zhì)點動力學(xué)中講的動能定理相同，、動能定理也與質(zhì)點動力學(xué)中講的動能定理相同，只是動能的表示形式不同而己，只是動能的表示形式不同而己， 4 4、轉(zhuǎn)動動能定理：、轉(zhuǎn)動動能定理：)21(2 jddjmdda 212222121)21(21 jjjddmaz

7、dtdjjm ddjdtdddjm 12kkeea b b、對剛體，內(nèi)力的功總和在任何過程中都為零。、對剛體，內(nèi)力的功總和在任何過程中都為零。1 1、幾種常見的轉(zhuǎn)動慣量：、幾種常見的轉(zhuǎn)動慣量：轉(zhuǎn)軸通過中點與棒垂直：轉(zhuǎn)軸通過中點與棒垂直：122mlj 轉(zhuǎn)軸通過端點與棒垂直：轉(zhuǎn)軸通過端點與棒垂直：32mlj 轉(zhuǎn)軸通過中心與環(huán)面垂直：轉(zhuǎn)軸通過中心與環(huán)面垂直：2mrj 1 1、幾種常見的轉(zhuǎn)動慣量：、幾種常見的轉(zhuǎn)動慣量：轉(zhuǎn)軸通過球體直徑：轉(zhuǎn)軸通過球體直徑：232mrj 轉(zhuǎn)軸通過環(huán)面直徑：轉(zhuǎn)軸通過環(huán)面直徑：22mrj 轉(zhuǎn)軸通過中心與薄圓盤垂直：轉(zhuǎn)軸通過中心與薄圓盤垂直：22mrj 均勻圓環(huán)均勻圓環(huán) ：dm

8、 c r2cjmr dmrj2從 0 到 m 積分 均勻圓盤：均勻圓盤：240222122mrrrdrrdmrjr r r 均勻桿：均勻桿：c ca am ml l2 2l l2 2x x dxdxx xo ol l23022313mlldxxdmxjlo 22/2/22121mldxxdmxjllc jm dtdjjmz （在轉(zhuǎn)軸上的分量式）（相當(dāng)于 ）amf 2 2、轉(zhuǎn)動定律：、轉(zhuǎn)動定律：定軸轉(zhuǎn)動的剛體的角加速度定軸轉(zhuǎn)動的剛體的角加速度與剛體所受的和外力與剛體所受的和外力的力矩的力矩 m m 成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動慣量成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動慣量 j j 成反比。成反比。角加速度方向與力矩方向一

9、致角加速度方向與力矩方向一致1 1、跳水運動員，跳馬（伸直，、跳水運動員，跳馬（伸直，以初角速度起跳；卷縮，減小以初角速度起跳；卷縮，減小j j，以增大角速度；伸直；入水時以增大角速度；伸直；入水時j j增大了，減小角速度以保持豎增大了，減小角速度以保持豎直入水）直入水）2 2、直升飛機尾部豎直的尾翼、直升飛機尾部豎直的尾翼（產(chǎn)生一反向角動量，避免在（產(chǎn)生一反向角動量，避免在水平面打轉(zhuǎn)）水平面打轉(zhuǎn)）解：已知角位置，求角速度和角加速度，用微分：324343)(ctbtactbtatdtd 233126)43(ctbtctbtadtd 飛輪作變加速轉(zhuǎn)動飛輪作變加速轉(zhuǎn)動例題例題3-1-13-1-1

10、一飛輪轉(zhuǎn)動的角位移大小的表達(dá)式為：一飛輪轉(zhuǎn)動的角位移大小的表達(dá)式為： 式中式中 a a、b b、c c 都是常量，求它的都是常量，求它的角加速度。角加速度。43ctbtat 例題例題3-1-23-1-2：一長為一長為 l l ，重為，重為w w的均勻梯子，靠墻放的均勻梯子，靠墻放置，如圖。墻光滑，地面粗糙置，如圖。墻光滑，地面粗糙, , 當(dāng)梯子與地面成當(dāng)梯子與地面成 角時，處于平衡狀態(tài)，求梯子與地面的摩擦力。角時，處于平衡狀態(tài)，求梯子與地面的摩擦力。解：剛體平衡同時要滿足解：剛體平衡同時要滿足兩個條件：兩個條件： 0if 0im列出分量方程：列出分量方程：水平方向：水平方向：豎直方向：豎直方向

11、：021 nf01 nwo o解以上三式，得解以上三式，得以支點以支點o o為轉(zhuǎn)動中心，梯子受的合外力矩：為轉(zhuǎn)動中心，梯子受的合外力矩：0sincos22 lnlw ctgwnf221 例題例題3-1-3 3-1-3 如圖，一長為如圖，一長為 l ,l ,質(zhì)量為質(zhì)量為m m的桿可繞支的桿可繞支點點o o轉(zhuǎn)動，一質(zhì)量為轉(zhuǎn)動，一質(zhì)量為m m ，速率為，速率為 v v0 0 的子彈，射入的子彈，射入距支點為距支點為a a的桿內(nèi)，若桿的偏轉(zhuǎn)角的桿內(nèi)，若桿的偏轉(zhuǎn)角 =30=300 0，求子彈，求子彈的初速率的初速率 v v0 0解：此題分兩個階段，解：此題分兩個階段，第一階段第一階段，子彈射入桿中，擺獲

12、得角速度子彈射入桿中，擺獲得角速度 ，尚未擺動，子彈和擺組成的系統(tǒng)尚未擺動，子彈和擺組成的系統(tǒng)所受外力對所受外力對o o點的力矩為零，點的力矩為零，系系統(tǒng)角動量守恒統(tǒng)角動量守恒：第二階段第二階段，子彈在桿中，與擺一起，子彈在桿中，與擺一起擺動，以子彈、桿和地擺動，以子彈、桿和地地球組成的系統(tǒng)除保守內(nèi)力外，其余力不作功，于是地球組成的系統(tǒng)除保守內(nèi)力外，其余力不作功，于是系統(tǒng)系統(tǒng)機械能守恒機械能守恒：)1()31(0)(220 mamlmva 由（2）（3）（4）式求得：)2()31(2121222mghmghmaml 代入（1）式，得：其中：)3()cos1(21 lh)4()cos1(2 ah

13、22223/)cos1()2(3/)cos1(22/ )cos1(2mamlgmamlmamlmgamgl gmamlmamlmav)cos1)(2)(3/(1220 返回返回本節(jié)知識學(xué)習(xí)要點：本節(jié)知識學(xué)習(xí)要點：1 1、認(rèn)識質(zhì)點對固定點的動、認(rèn)識質(zhì)點對固定點的動量矩的定義，剛體對轉(zhuǎn)軸量矩的定義，剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩如何計算的動量矩如何計算 ？2 2、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩定理的內(nèi)容及數(shù)學(xué)表達(dá)式定理的內(nèi)容及數(shù)學(xué)表達(dá)式是怎樣的？是怎樣的？3 3、動量矩守恒的內(nèi)容及守、動量矩守恒的內(nèi)容及守恒條件是什么？恒條件是什么？一、沖量矩和動量矩一、沖量矩和動量矩 lrm v 所以 質(zhì)點的動量

14、矩：mrvsinmvrl2zmrmrvlz軸與質(zhì)點轉(zhuǎn)動平面垂直時，=900jlz質(zhì)點對z軸的轉(zhuǎn)動慣量是: j = mr2rzp質(zhì)點的沖量矩：力矩和作用時間的乘積。21ttmd t系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸的動量矩等于個部分對該轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸的動量矩等于個部分對該轉(zhuǎn)軸的動量矩之和。的動量矩之和。rzpr riiiiijllzjlz剛體的動量矩：一、沖量矩和動量矩一、沖量矩和動量矩 二、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩定理二、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩定理 )(恒量剛體的 jdtjddtdjm)()( jdlddtm 2211212121() ttttm dtd jjjm dtll或動量矩定理：動量矩定理： 轉(zhuǎn)動剛體所受合外力矩的

15、沖量矩轉(zhuǎn)動剛體所受合外力矩的沖量矩等于在這段時間內(nèi)轉(zhuǎn)動剛體動量矩的增量。等于在這段時間內(nèi)轉(zhuǎn)動剛體動量矩的增量。 所以 由轉(zhuǎn)動定律0 m恒矢量 jl若則122121)( jjjdmdttt 由動量矩定理由動量矩定理三、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩守恒定律三、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩守恒定律 1 1、動量矩定理和動量矩守恒定律，不僅適用于宏觀、動量矩定理和動量矩守恒定律，不僅適用于宏觀問題，也適用于原子、原子核等微觀問題，因此動問題，也適用于原子、原子核等微觀問題，因此動量矩守定律是比牛頓定律更為基本的定律。量矩守定律是比牛頓定律更為基本的定律。 2 2、動量矩定理和動量矩守恒定律只適用于慣性系。、動量矩定理

16、和動量矩守恒定律只適用于慣性系。 3 3、動量矩保持不變、恒矢量：、動量矩保持不變、恒矢量： 不變，不變， 也不變也不變 變，變， 也變，但也變，但 保持不變。保持不變。 j j j4 4、內(nèi)力矩可以改變系統(tǒng)內(nèi)部各組成部分的角動量，、內(nèi)力矩可以改變系統(tǒng)內(nèi)部各組成部分的角動量，但不能改變系統(tǒng)的總角動量。但不能改變系統(tǒng)的總角動量。 三、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩守恒定律三、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩守恒定律 |定軸轉(zhuǎn)動的動力學(xué)問題定軸轉(zhuǎn)動的動力學(xué)問題 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動力學(xué)問題，大致有三種類型題。剛體定軸轉(zhuǎn)動的動力學(xué)問題，大致有三種類型題。其解題基本步驟歸納為：首先分析各物體所受力和其解題基本步驟歸納為：首先分

17、析各物體所受力和力矩情況，然后根據(jù)已知條件和所求物理量判斷應(yīng)力矩情況，然后根據(jù)已知條件和所求物理量判斷應(yīng)選用的規(guī)律，最后列方程求解。選用的規(guī)律，最后列方程求解。|第一類：第一類：求剛體轉(zhuǎn)動某瞬間的角加速度求剛體轉(zhuǎn)動某瞬間的角加速度，一般，一般。如質(zhì)點和剛體組成的系統(tǒng)，對質(zhì)點。如質(zhì)點和剛體組成的系統(tǒng)，對質(zhì)點列牛頓運動方程，對剛體列轉(zhuǎn)動定律方程，再列角列牛頓運動方程，對剛體列轉(zhuǎn)動定律方程，再列角量和線量的關(guān)聯(lián)方程，并聯(lián)立求解。量和線量的關(guān)聯(lián)方程，并聯(lián)立求解。解題指導(dǎo)解題指導(dǎo)|第二類：第二類：求剛體與質(zhì)點的碰撞、打擊問題求剛體與質(zhì)點的碰撞、打擊問題。把它。把它們選作一個系統(tǒng)時，系統(tǒng)所受合外力矩常常等

18、于們選作一個系統(tǒng)時，系統(tǒng)所受合外力矩常常等于零，所以系統(tǒng)角動量守恒。列方程時，注意系統(tǒng)零，所以系統(tǒng)角動量守恒。列方程時，注意系統(tǒng)始末狀態(tài)的總角動量中各項的正負(fù)。對始末狀態(tài)的總角動量中各項的正負(fù)。對在有心力在有心力場作用下繞力心轉(zhuǎn)動的質(zhì)點問題場作用下繞力心轉(zhuǎn)動的質(zhì)點問題，可直接，可直接。| 第三類：第三類：在剛體所受的在剛體所受的合外力矩不等于零時合外力矩不等于零時，比，比如木桿擺動，受重力矩作用，求最大擺角等一般如木桿擺動，受重力矩作用，求最大擺角等一般應(yīng)用剛體的轉(zhuǎn)動應(yīng)用剛體的轉(zhuǎn)動。對于僅受保守力。對于僅受保守力矩作用的剛體轉(zhuǎn)動問題，也可用機械能守恒定律矩作用的剛體轉(zhuǎn)動問題，也可用機械能守恒定

19、律求解。求解。| 另另 外：外：實際問題中常常有多個復(fù)雜過程，實際問題中常常有多個復(fù)雜過程，要分成幾個階段進行分析，分別列出方程，進行求要分成幾個階段進行分析，分別列出方程，進行求解。解。解：以人和轉(zhuǎn)盤組成的系統(tǒng)為研究對象，設(shè)人相對于轉(zhuǎn)盤的速解：以人和轉(zhuǎn)盤組成的系統(tǒng)為研究對象，設(shè)人相對于轉(zhuǎn)盤的速度為度為 v vr r ，轉(zhuǎn)盤相對于固定鉛直軸的角速度為，轉(zhuǎn)盤相對于固定鉛直軸的角速度為 。當(dāng)人走動時，。當(dāng)人走動時，系統(tǒng)所受外力對鉛直軸之矩為零，故對軸系統(tǒng)所受外力對鉛直軸之矩為零，故對軸動量矩守恒動量矩守恒： 例題例題3-2-1 3-2-1 質(zhì)量為質(zhì)量為m m、半徑為、半徑為r r的轉(zhuǎn)盤，可繞鉛直軸

20、無摩擦地的轉(zhuǎn)盤，可繞鉛直軸無摩擦地轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)盤的初角速度為零。轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)盤的初角速度為零。一個質(zhì)量為一個質(zhì)量為m m的人，在轉(zhuǎn)盤上從的人，在轉(zhuǎn)盤上從靜止開始沿半徑為靜止開始沿半徑為r r的圓周相對的圓周相對轉(zhuǎn)盤勻速走動，如圖。求當(dāng)人轉(zhuǎn)盤勻速走動，如圖。求當(dāng)人在轉(zhuǎn)盤上走一周回到盤上的原在轉(zhuǎn)盤上走一周回到盤上的原位置時，轉(zhuǎn)盤相對于地面轉(zhuǎn)過位置時，轉(zhuǎn)盤相對于地面轉(zhuǎn)過了多少角度。了多少角度。021)(22 mrrvmrr|所以所以2221mrmrmrvr |設(shè)在設(shè)在 t t內(nèi)，盤相對于地面轉(zhuǎn)過的角度為內(nèi)，盤相對于地面轉(zhuǎn)過的角度為trvmrmrmrtmrmrmrvtrr 222222121 |其中其中 為人

21、相對于盤轉(zhuǎn)過的角度，人走一周為人相對于盤轉(zhuǎn)過的角度，人走一周期大小為期大小為2 2 則因此盤相對于地面轉(zhuǎn)過的角度為：則因此盤相對于地面轉(zhuǎn)過的角度為：trvr 222212mrmrmr 例題例題3-2-2 3-2-2 質(zhì)量為質(zhì)量為m m，半徑為，半徑為b b 的小球，由靜止從的小球，由靜止從h h高無摩擦地滾下，并進入半徑為高無摩擦地滾下，并進入半徑為a a 的圓形軌道。的圓形軌道。求求 （1 1）小球到達(dá)底部時的角速度和質(zhì)心加速度。）小球到達(dá)底部時的角速度和質(zhì)心加速度。 （2 2）證明如果）證明如果 ba ,ba ,要使小球不脫離軌道而要使小球不脫離軌道而到達(dá)到達(dá)a a點，則點，則h h應(yīng)滿足：應(yīng)滿足：ah1027 解（解（1 1）因無滑動，故摩擦力因無滑動，故摩擦力f f不作功（無相對位不作功（無相對位移），支持力移），支持力n n與運動方向垂直，也不作功，只與運動方向垂直，也不作功，只有重力（保守內(nèi)力）作功，所以有重力（保守內(nèi)力）作功，所以機械能守恒機械能守恒：)1(212122 jmvmghc )2(52,2mbjbvc )3(5221212222 mbmbmgh ghbvghbc710,7101 又