二重積分概念課件

1、一、平面圖形的面積 二、二重積分的定義及其存 在性 三、二重積分的性質 二重積分是定積分在平面上的推廣,不同之處在于: 定積分定義在區(qū)間上,區(qū)間的 長度容易計算,而二重積分定義在平面區(qū)域上, 其面積的計算要復雜得多. 1 二重積分概念 數(shù)學分析 第二十一章重積分*點擊以上標題可直接前往對應內容數(shù)學分析 第二十一章 重積分高等教育出版社我們首先定義平面圖形的面積我們首先定義平面圖形的面積. 如果存在一矩形如果存在一矩形 r , 設設 p 是一平面有界圖形是一平面有界圖形, 用平行于二坐標軸的某一用平行于二坐標軸的某一 組直線網(wǎng)組直線網(wǎng) t 分割這個圖形分割這個圖形 (圖圖21-1) , 的的網(wǎng)眼

2、網(wǎng)眼 (小閉矩形小閉矩形) i 可分為三類可分為三類: (i)i 上的點都是上的點都是 p 的內點的內點; i ;ip (ii)上的點都是上的點都是 p 的外點的外點, 即即 1二重積分概念 平面圖形的面積 二重積分的定義及其存在性 二重積分的性質 平面圖形的面積 (iii)i 上含有上含有 p 的邊界的邊界點點. 我們稱平面圖形我們稱平面圖形 p 是有界的是有界的, .pr 使得使得這時直線網(wǎng)這時直線網(wǎng) t 數(shù)學分析 第二十一章 重積分高等教育出版社將所有屬于第將所有屬于第(i) 類小矩形類小矩形(圖圖 21-1 中紫色部分中紫色部分)的面的面積加起來積加起來,r 里里 表表示包含示包含p

3、的那個矩的那個矩 形形 r 的面積的面積); 面積加起來面積加起來(圖圖 21-1中除青色部分中除青色部分),( ),pst( )( ).ppstst 則有則有 oyxp211 圖圖( ),pst則有則有 ( )prst (這這 1二重積分概念 平面圖形的面積 二重積分的定義及其存在性 二重積分的性質 將所有第將所有第 (i) 類與第類與第 (iii) 類小矩形的類小矩形的 記這個和數(shù)為記這個和數(shù)為 記這個和數(shù)為記這個和數(shù)為數(shù)學分析 第二十一章 重積分高等教育出版社 定義1由確界存在定理可以推得由確界存在定理可以推得, sup( ),inf( ),ppppttistist顯然有顯然有 0.(1

4、)ppiipipi通常稱通常稱 為為 p 的的內面積內面積, 為為 p 的的外面積外面積. pipi若平面圖形若平面圖形 p 滿足滿足=, 則稱則稱 p 為可求面積為可求面積的圖形的圖形,數(shù)集數(shù)集( )pst有上確界有上確界, 有下確界有下確界. ( )pst1二重積分概念 平面圖形的面積 二重積分的定義及其存在性 二重積分的性質 記記 對于平面上所有直線網(wǎng)對于平面上所有直線網(wǎng), pppiii作為作為 p 的面積的面積. 并把共同值并把共同值數(shù)學分析 第二十一章 重積分高等教育出版社 定理20.1對任給的對任給的0, 總存在直線網(wǎng)總存在直線網(wǎng) t, ( )( ).(2)ppstst 證證 必要

5、性必要性 設有界圖形設有界圖形 p 的面積為的面積為.pi0, pipi由由及及的定義知道的定義知道, 分別分別 1t,2t存在直線網(wǎng)存在直線網(wǎng) 與與 使得使得 12(),().(3)22ppppstisti1t2t記記 t 為由為由 與與這兩個直線網(wǎng)合并所成的直線網(wǎng)這兩個直線網(wǎng)合并所成的直線網(wǎng), 可證得可證得 1二重積分概念 平面圖形的面積 二重積分的定義及其存在性 二重積分的性質 平面有界圖形平面有界圖形 p 可求面積的充要條件是可求面積的充要條件是: 12()(),()().ppppstststst .pppiii使得使得由定義由定義 1, 有有 數(shù)學分析 第二十一章 重積分高等教育出版

6、社于是由于是由(3)可得可得 ( )( )22ppppsti,sti.從而對直線網(wǎng)從而對直線網(wǎng) t 有有 ( )( ).ppstst 充分性充分性 設對任給的設對任給的 0, 存在某直線網(wǎng)存在某直線網(wǎng) t, 使得使得 ( )( ).ppstst 但但 ( )( ),ppppstiist1二重積分概念 平面圖形的面積 二重積分的定義及其存在性 二重積分的性質 ,ppii 由由的任意性的任意性, 得得 因而平面圖形因而平面圖形 p 可求面可求面積積. ( )( ).ppppiistst 所以所以 數(shù)學分析 第二十一章 重積分高等教育出版社 推論平面有界圖形平面有界圖形 p 的面積為零的充要條件是它

7、的面積為零的充要條件是它 0, 即對任給的即對任給的 存在直線網(wǎng)存在直線網(wǎng) t, 使得使得 ( ),pst 或對任給的或對任給的0, 平面圖形平面圖形 p 能被有限個面積總和能被有限個面積總和 小于小于 的小矩形所覆蓋的小矩形所覆蓋. 1二重積分概念 平面圖形的面積 二重積分的定義及其存在性 二重積分的性質 0,pi 的外面積的外面積 數(shù)學分析 第二十一章 重積分高等教育出版社 定理21.2 平面有界圖形平面有界圖形 p 可求面積的充要條件是可求面積的充要條件是: p 的邊界的邊界 k 的面積為零的面積為零. 證證 由定理由定理21.1, p 可求面積的充要條件是可求面積的充要條件是:0, (

8、 )( ).ppstst 的的存在直線網(wǎng)存在直線網(wǎng)t, 使得使得 ( )( )( ),kppststst 所以也有所以也有( ).kst 由上述推論由上述推論, p 的邊界的邊界k 的面積的面積 為零為零. 1二重積分概念 平面圖形的面積 二重積分的定義及其存在性 二重積分的性質 由于由于對任給對任給 數(shù)學分析 第二十一章 重積分高等教育出版社( )f x , a b證證 由于由于 在閉區(qū)間在閉區(qū)間上連續(xù)上連續(xù), 因而因而, 0, 0, 當當 01naxxxb ，1max|1,2, iiixxxin ( )f x1,iixx 可使可使 在每個小區(qū)間在每個小區(qū)間 上的振幅都成上的振幅都成 1二重

9、積分概念 平面圖形的面積 二重積分的定義及其存在性 二重積分的性質 上一致連續(xù)上一致連續(xù). , a b時時, 定理21.3的圖象的圖象, 若曲線若曲線 k 為定義在為定義在 , a b上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù) ( )f x則曲線則曲線 k 的面積為零的面積為零. 所以它在所以它在 .iba 立立 數(shù)學分析 第二十一章 重積分高等教育出版社 推論 1,nniiii 1i 1xxba 因此由定理因此由定理21.1 的推論即得曲線的推論即得曲線 k 的面積為零的面積為零. 參量方程參量方程( ),( )()xtytt 所表所表示的示的光滑曲線或按段光滑曲線光滑曲線或按段光滑曲線,1二重積分概念 平面

10、圖形的面積 二重積分的定義及其存在性 二重積分的性質 由于這由于這 n 個小矩形面積的總和個小矩形面積的總和 即若把曲線即若把曲線 k 按按 01,nxxxx ,分成分成 n 個小段個小段則每一小段都能則每一小段都能被以被以ix i 為寬為寬, 為為高的小矩形所高的小矩形所覆蓋覆蓋. 其面積一定為零其面積一定為零. 數(shù)學分析 第二十一章 重積分高等教育出版社01,nttt 1, iitt ( )xt 使得在每一段使得在每一段 上，上，(或或 ) 存在存在 ( )yt 1, iitt 上的曲線面積為零上的曲線面積為零, 從而整個曲線面積為零從而整個曲線面積為零. 分成分成 n 段段: , 于是在

11、于是在 1, iitt 上上 1( )tx 1( ) ),tx (或或 反函數(shù)反函數(shù)1( )yx 1( ) ).xy (或或 有連續(xù)的有連續(xù)的 1二重積分概念 平面圖形的面積 二重積分的定義及其存在性 二重積分的性質 所以在所以在 證證 由光滑曲線的定義，由光滑曲線的定義，, 均存在且不同時為零均存在且不同時為零. 由隱函數(shù)存在性定理由隱函數(shù)存在性定理,00 ,( )0tt (或或 0( )0 ),t 0( ; ),( )u txt ( )yt 因此因此(或或) 在在 0( ; )u t 上有反函數(shù)上有反函數(shù). 再由有限覆蓋定理再由有限覆蓋定理, 可把區(qū)間可把區(qū)間 數(shù)學分析 第二十一章 重積分

12、高等教育出版社注注1 平面中并非所有的點集都是可求面積的平面中并非所有的點集都是可求面積的. 例如例如 ( , ),q0,1 .dx y x y 01,ddii易知易知 因因此此 d是不可求面積的是不可求面積的. 1二重積分概念 平面圖形的面積 二重積分的定義及其存在性 二重積分的性質 推論 2由平面光滑曲線或按段光滑曲線所圍的平面圖形由平面光滑曲線或按段光滑曲線所圍的平面圖形都是可求面積的都是可求面積的. 注注2 以下討論的有界閉區(qū)域都是指分段光滑曲線圍成以下討論的有界閉區(qū)域都是指分段光滑曲線圍成的有界閉區(qū)域的有界閉區(qū)域.數(shù)學分析 第二十一章 重積分高等教育出版社二重積分的幾何背景是二重積分

13、的幾何背景是 求曲頂柱體的體積求曲頂柱體的體積. ( ,)f x y為定義在可求為定義在可求面積的有界閉域面積的有界閉域 d上的上的 非負連續(xù)函數(shù)非負連續(xù)函數(shù).面面( ,)zf x y 為頂為頂, d 為為 底的柱體底的柱體 (圖圖21-2) 的體積的體積 v. 圖圖 21-2xyzzf x y( , ) o1二重積分概念 平面圖形的面積 二重積分的定義及其存在性 二重積分的性質 二重積分的定義及其存在性 設設求以曲求以曲 數(shù)學分析 第二十一章 重積分高等教育出版社采用類似于求曲邊梯形面積的方法采用類似于求曲邊梯形面積的方法. (1) 分割分割:先用一組平行于坐標軸的直線網(wǎng)先用一組平行于坐標軸

14、的直線網(wǎng) t 把區(qū)域把區(qū)域 (1,2,ii , )nd 分成分成 n 個小區(qū)域個小區(qū)域 ( 稱稱 t 為區(qū)域為區(qū)域 d i i 以以 表示小區(qū)域表示小區(qū)域 的面積的面積. 線網(wǎng)也相應地把曲頂柱體分割成線網(wǎng)也相應地把曲頂柱體分割成 n 個以個以 i 為底的小為底的小 曲頂柱體曲頂柱體 (1,2, ).iv in ( ,)f x y(2) 近似求和近似求和: 由于由于 在在 d 上連續(xù)上連續(xù), 相差無幾相差無幾, ( ,)f x yi 在在上各點的函數(shù)值上各點的函數(shù)值 1二重積分概念 平面圖形的面積 二重積分的定義及其存在性 二重積分的性質 的一個分割的一個分割). 這個直這個直 故當每個故當每個

15、 i (,),ii 上任取一點上任取一點 因而可在因而可在 的直徑都很小時的直徑都很小時, i 數(shù)學分析 第二十一章 重積分高等教育出版社的小平頂柱體的體積的小平頂柱體的體積(,)iiif iv作為作為的的體積體積iv 的近似值的近似值(如如圖圖21-3), (,).iiiivf 把這些小平頂柱體的體積加起來把這些小平頂柱體的體積加起來, 就得到曲頂柱體就得到曲頂柱體 體積體積 v 的近似值的近似值 213圖圖ii(,) xyzo1二重積分概念 平面圖形的面積 二重積分的定義及其存在性 二重積分的性質 i 為高為高, 為底為底 (,)iif 用以用以 即即 11(,).nniiiiiivvf數(shù)

16、學分析 第二十一章 重積分高等教育出版社(3) 取極限取極限: 當直線網(wǎng)當直線網(wǎng) t 的網(wǎng)眼越來越細密的網(wǎng)眼越來越細密, t 的細度的細度 1|maxiintd ( id為為 i 的直徑的直徑)趨于零時趨于零時, 有有 1(,).niiiifv這類問題在物理學與工程技術中也常遇到這類問題在物理學與工程技術中也常遇到, 均勻平面的質量、重心、轉動慣量等等均勻平面的質量、重心、轉動慣量等等. 所要討論的二重積分的實際物理背景所要討論的二重積分的實際物理背景. 1二重積分概念 平面圖形的面積 二重積分的定義及其存在性 二重積分的性質 即分割即分割就就如求非如求非 這些都是這些都是數(shù)學分析 第二十一章

17、 重積分高等教育出版社上面敘述的問題都可歸為以下數(shù)學問題上面敘述的問題都可歸為以下數(shù)學問題. 可求面積的小區(qū)域可求面積的小區(qū)域 12,.n 以以 i 表示小區(qū)域表示小區(qū)域 i 的面積的面積, 這些小區(qū)域構成這些小區(qū)域構成 d 的的 1|maxiintd 在每個在每個 i 上任取一點上任取一點 (,),ii 作和式作和式一個分割一個分割 t, 以以 id表示小區(qū)域表示小區(qū)域 i 的直徑的直徑, 設設 d 為為 xy 平面上可求面積的有界閉域平面上可求面積的有界閉域, ( ,)f x y為為 用任意的曲線網(wǎng)把用任意的曲線網(wǎng)把 d 分成分成 n 個個 1二重積分概念 平面圖形的面積 二重積分的定義及

18、其存在性 二重積分的性質 定義在定義在 d上的函數(shù)上的函數(shù). 稱稱為為t 的細度的細度. (,).niiii 1f稱它為函數(shù)稱它為函數(shù) f在在 d 上屬于分割上屬于分割 t 的一個積分和的一個積分和. 數(shù)學分析 第二十一章 重積分高等教育出版社 定義 2 設設 ( ,)f x y 是定義在可求面積的有界閉域是定義在可求面積的有界閉域 d上上的函數(shù)的函數(shù). , 總存在某個正數(shù)總存在某個正數(shù) , 使對于使對于 d 的任何分割的任何分割 t, 當它的細度當它的細度 |t 時時, 1二重積分概念 平面圖形的面積 二重積分的定義及其存在性 二重積分的性質 有有j 是一個確定的實數(shù)是一個確定的實數(shù), 若對

19、任給的正數(shù)若對任給的正數(shù) 屬于屬于 t 的所有積分和都的所有積分和都1(,),(4)niiiifj則稱則稱 ( ,)f x y在在 d 上可積上可積, 數(shù)數(shù) j 稱為函數(shù)稱為函數(shù) ( ,)f x y 在在d 上二重積分上二重積分, ( ,)d,(5)djf x y 記作記作 數(shù)學分析 第二十一章 重積分高等教育出版社1二重積分概念 平面圖形的面積 二重積分的定義及其存在性 二重積分的性質 其中其中 ( ,)f x y稱為二重積分的被積函數(shù)稱為二重積分的被積函數(shù), x, y 稱為積稱為積分變量分變量, d 稱為積分區(qū)域稱為積分區(qū)域.就表示以就表示以 ( ,)zf x y 為曲頂為曲頂, d 為底

20、的曲頂柱體的為底的曲頂柱體的 當當 ( ,)1f x y 時時, 二重積分二重積分 ( ,)ddf x y 的值的值 就等于積分區(qū)域就等于積分區(qū)域 d 的面積的面積. 當當 ( ,)0f x y 時時, 二重積分二重積分 ( ,)ddf x y 在幾何上在幾何上 體積體積. 數(shù)學分析 第二十一章 重積分高等教育出版社注注1 由二重積分定義知道由二重積分定義知道, 若若 ( ,)f x y在區(qū)域在區(qū)域 d 上上 可積可積, 則與定積分情形一樣則與定積分情形一樣, |t 時時, (4) 式都成立式都成立. 選取一些特殊的分割方法選取一些特殊的分割方法, 直線網(wǎng)來分割直線網(wǎng)來分割 d, 則每一小網(wǎng)眼

21、區(qū)域的則每一小網(wǎng)眼區(qū)域的 的面積的面積 1二重積分概念 平面圖形的面積 二重積分的定義及其存在性 二重積分的性質 .x y 此時通常把此時通常把 ( ,)ddf x y 記作記作 ( ,)d d .(6)df x yx y對任何分割對任何分割 t, 只要當只要當 因此為方便計算起見因此為方便計算起見, 常常 如選用平行于坐標軸的如選用平行于坐標軸的數(shù)學分析 第二十一章 重積分高等教育出版社注注2 如定積分那樣類似地可證明如定積分那樣類似地可證明:可求面積的可求面積的 d上可積的必要條件是它在上可積的必要條件是它在 d上有界上有界. 設函數(shù)設函數(shù) ( ,)f x y在在 d 上有界上有界, t

22、為為 d 的一個分割的一個分割, 把把 d 分成分成 n 個可求面積的小區(qū)域個可求面積的小區(qū)域 12,.n 1二重積分概念 平面圖形的面積 二重積分的定義及其存在性 二重積分的性質 (,)(,)sup( ,)(1,2, ).inf( ,)iiix yix ymf x yinmf x y 作和式作和式 11( ),( ),nniiiiiis tms tm它們分它們分 ( ,)f x y在在 函數(shù)函數(shù) 別稱為別稱為( ,)f x y關于分割關于分割 t 的上和與下和的上和與下和. 它它 令令 數(shù)學分析 第二十一章 重積分高等教育出版社二元函數(shù)的上和與下和具有與一元函數(shù)的上和與下二元函數(shù)的上和與下和

23、具有與一元函數(shù)的上和與下和同樣的性質和同樣的性質, 這里就不再重復這里就不再重復. 函數(shù)的可積性定理函數(shù)的可積性定理, 這里這里只證明其中的定理只證明其中的定理 21.7.1二重積分概念 平面圖形的面積 二重積分的定義及其存在性 二重積分的性質 下面列出有關二元下面列出有關二元數(shù)學分析 第二十一章 重積分高等教育出版社 定理 21.4 定理 21.5 定理 21.6 定理 21.7( ,)f x y在在 d 上可積的充要條件是上可積的充要條件是: 00lim( )lim( ).tts ts t (,)fx y在在 d 上可積的充要條件是上可積的充要條件是:, 存在存在 d 的某個分割的某個分割

24、 t, 有界閉域有界閉域 d上的連續(xù)函數(shù)必可積上的連續(xù)函數(shù)必可積. 設設 (,)fxy是定義在有界閉域是定義在有界閉域 d 上的有界函數(shù)上的有界函數(shù), 且其且其 不連續(xù)點集不連續(xù)點集 e是零面積集是零面積集.1二重積分概念 平面圖形的面積 二重積分的定義及其存在性 二重積分的性質 ( ,)f x y在在 d 上可積上可積. 則則對于任給的正數(shù)對于任給的正數(shù) ( )( ).s ts t 使得使得數(shù)學分析 第二十一章 重積分高等教育出版社 0, 對對任任意意存存在在有有限限個個矩矩形形 不不包包含含證證邊邊界界 覆覆蓋蓋了了d e則則是是有有界界閉閉集集 也也可可能能是是有有限限多多個個不不交交的

25、的有有界界閉閉.區(qū)區(qū)域域的的并并,d e在在上上連連續(xù)續(xù)11211,.nts ts t 的的分分割割，使使得得l112,.ntkdtd ，則則 是是 的的一一個個分分割割li 11kks ts ts ts t ,( , )kf x ykdd其其中中分分別別是是在在上上和和在在 上上的的振振幅幅. .i21.5( , ).f x yd由由定定理理，在在 上上可可積積1二重積分概念 平面圖形的面積 二重積分的定義及其存在性 二重積分的性質 .e ，而而這這些些矩矩形形面面積積之之和和,k記記這這些些矩矩形形之之并并集集為為,.( , )kkkdf x y 設設的的面面積積為為則則因因i21.521

26、.6,d e由由定定理理和和定定理理存存在在上上令令且且,數(shù)學分析 第二十一章 重積分高等教育出版社二重積分與定積分具有類似的性質二重積分與定積分具有類似的性質, 現(xiàn)列舉如下現(xiàn)列舉如下: 且且 ( ,)d( ,)d.ddkf x ykf x y2. 若若 ( ,),( ,)f x yg x y在在 d上都可積上都可積, 則則 ( ,)( ,)f x yg x y 1. 若若 ( ,)f x y在在 d上可積上可積, k 為常數(shù)為常數(shù), 則則 ( ,)kf x y在在 d 在在 d 上也可積上也可積,1二重積分概念 平面圖形的面積 二重積分的定義及其存在性 二重積分的性質 二重積分的性質 ( ,

27、 )( , )d( , )d( , )d .dddf x yg x yf x yg x y 上也可積上也可積, 且且數(shù)學分析 第二十一章 重積分高等教育出版社3. 若若 ( ,)f x y在在 1d和和 2d上都可積上都可積, 且且 1d與與 2d無公共無公共 內點內點, ( ,)( ,), ( ,),f x yg x yx yd 1212( ,)d( ,)d( ,)d.ddddf x yf x yf x y 4. 若若 (,)fxy與與 (,)g xy在在 d 上可積上可積, 則有則有 1二重積分概念 平面圖形的面積 二重積分的定義及其存在性 二重積分的性質 ( ,)d( ,)d.ddf x

28、 yg x y ( ,)f x y在在 12dd 上也可積上也可積, 則則且且且且數(shù)學分析 第二十一章 重積分高等教育出版社5. 若若 ( ,)f x y在在 d 上可積上可積, 則函數(shù)則函數(shù) |( ,)|f x y在在 d 上上 也可積也可積, ( ,)d( ,) d.ddf x yf x y6. 若若 ( ,)f x y在在 d 上可積上可積, 且且 ( ,),( ,),mf x ymx yd 則有則有 1二重積分概念 平面圖形的面積 二重積分的定義及其存在性 二重積分的性質 ( , )d,dddmsf x yms 這里這里 ds是積分區(qū)域是積分區(qū)域 d 的面積的面積. 且且 數(shù)學分析 第

29、二十一章 重積分高等教育出版社7. (積分積分中值定理中值定理) 若若 ( ,)f x y在有界閉域在有界閉域 d 上連續(xù)上連續(xù), 則存在則存在 ( ,),d 使得使得 ( ,)d( ,),ddf x yfs 積分中值定理的幾何意義積分中值定理的幾何意義:為頂?shù)那斨w體積為頂?shù)那斨w體積, ( ( ,)0)f x y 1二重積分概念 平面圖形的面積 二重積分的定義及其存在性 二重積分的性質 的平頂柱體的體積的平頂柱體的體積, 在在 d 中某點中某點 ( ,) 處的函數(shù)值處的函數(shù)值 ( ,).f ( ,)zf x y 在在 d 上上, 以以 等于一個同底等于一個同底 ( ,)f x y這個平頂柱體的高等于這個平頂柱體的高等于數(shù)學分析 第二十一章 重積分高等教育出版社*例例1 設設 ( , ),0( ) ,dx y