高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)——數(shù)列的極限

1、知識(shí)梳理1.數(shù)列極限的定義：一般地，如果當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無限增大時(shí)，無窮數(shù)列an的項(xiàng)an無限地趨近于某個(gè)常數(shù)a（即|ana|無限地接近于0），那么就說數(shù)列an以a為極限.注：a不一定是an中的項(xiàng).2.幾個(gè)常用的極限：C=C（C為常數(shù)）;=0;qn=0（|q|1）.3.數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則：設(shè)數(shù)列an、bn，當(dāng)an=a, bn=b時(shí)， （anbn）=ab; （anbn）=ab; =（b0）.特別提示（1）an、bn的極限都存在時(shí)才能用四則運(yùn)算法則；（2）可推廣到有限多個(gè).1.下列極限正確的個(gè)數(shù)是=0（0） qn=0=1 C=C（C為常數(shù)）A.2B.3C.4 D.都不正確解析:正確.答案:B2. n（1

2、）（1）（1）（1）等于A.0 B.1 C.2 D.3解析: n（1）（1）（1）（1）=n=2.答案:C3.下列四個(gè)命題中正確的是A.若an2A2，則anAB.若an0，anA，則A0C.若anA，則an2A2D.若（anb）0，則anbn解析:排除法，取an（）n，排除A；取an，排除；取anbnn，排除D答案:C4.（2005年春季上海,2） =_.解析:原式=0.答案:05.（2005年春季北京,9） =_.解析:原式=.答案:思考討論求數(shù)列極限時(shí)，如是不定型（,等），應(yīng)先變形，再求極限，一般應(yīng)如何變形？典例剖析【例1】 求下列極限：（1）;（2） （n）;（3）（+）.剖析:（1）因

3、為分子分母都無極限，故不能直接運(yùn)用商的極限運(yùn)算法則，可通過變形分子分母同除以n2后再求極限；（2）因與n都沒有極限，可先分子有理化再求極限；（3）因?yàn)闃O限的運(yùn)算法則只適用于有限個(gè)數(shù)列，需先求和再求極限.解:（1）=.（2） （n）= =.（3）原式=（1+）=1.評(píng)述:對(duì)于（1）要避免下面兩種錯(cuò)誤：原式=1,（2n 2+n+7）, （5n2+7）不存在，原式無極限.對(duì)于（2）要避免出現(xiàn)下面兩種錯(cuò)誤： （n）= n=0;原式=n=不存在.對(duì)于（3）要避免出現(xiàn)原式=+=0+0+0=0這樣的錯(cuò)誤.【例2】 已知數(shù)列an是由正數(shù)構(gòu)成的數(shù)列，a13，且滿足lganlgan1lgc，其中n是大于1的整數(shù)，

4、c是正數(shù)（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式及前n和Sn；（2）求的值解:（1）由已知得anan1,an是以a13，公比為c的等比數(shù)列，則an3n1.Sn（2） .當(dāng)c=2時(shí)，原式;當(dāng)2時(shí)，原式;當(dāng)02時(shí)，原式=.評(píng)述:求數(shù)列極限時(shí)要注意分類討論思想的應(yīng)用.【例3】 已知直線l:xny=0（nN *）,圓M:（x+1）2+（y+1）2=1,拋物線:y=（x1）2,又l與M交于點(diǎn)A、B，l與交于點(diǎn)C、D，求.剖析:要求的值，必須先求它與n的關(guān)系.解:設(shè)圓心M（1,1）到直線l的距離為d,則d2=.又r=1,|AB|2=4（1d2）=.設(shè)點(diǎn)C（x1,y1）, D（x2,y2），由nx2（2n+1）x+n=0

5、,x1+x2=, x1x2=1.（x1x2）2=（x1+x2）24x1x2=,（y1y2）2=（）2=,|CD|2=（x1x2）2+（y1y2）2=（4n+1）（n2+1）.=2.評(píng)述:本題屬于解析幾何與數(shù)列極限的綜合題.要求極限，需先求,這就要求掌握求弦長的方法.【例4】 若數(shù)列an的首項(xiàng)為a1=1,且對(duì)任意nN*,an與an+1恰為方程x2bnx+cn=0的兩根,其中0|c|1,當(dāng) （b1+b2+bn）3,求c的取值范圍.解:首先,由題意對(duì)任意nN*,anan+1=cn恒成立.=c.又a1a2=a2=c.a1,a3,a5,a2n1,是首項(xiàng)為1,公比為c的等比數(shù)列,a2,a4,a6,a2n,

6、是首項(xiàng)為c,公比為c的等比數(shù)列.其次,由于對(duì)任意nN*,an+an+1=bn恒成立.=c.又b1=a1+a2=1+c,b2=a2+a3=2c,b1,b3,b5,b2n1,是首項(xiàng)為1+c,公比為c的等比數(shù)列,b2,b4,b6,b2n,是首項(xiàng)為2c,公比為c的等比數(shù)列, （b1+b2+b3+bn）= （b1+b3+b5+）+ （b2+b4+）=+3.解得c或c1.0|c|1,0c或1c0.故c的取值范圍是（1,0）（0,.評(píng)述:本題的關(guān)鍵在于將題設(shè)中的極限不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于c的不等式,即將bn的各項(xiàng)和表示為關(guān)于c的解析式,顯然“橋梁”應(yīng)是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,故以根與系數(shù)的關(guān)系為突破口.夯實(shí)基

7、礎(chǔ)1.已知a、b、c是實(shí)常數(shù)，且=2, =3,則的值是A.2 B.3 C. D.6解析:由=2,得a=2b.由=3,得b=3c,c=b.=6.= =6.答案:D2.（2003年北京）若數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=,n=1,2,則 （a1+a2+an）等于A. B. C. D.解析:an=即an=a1+a2+an=（21+23+25+）+（32+34+36+）.（a1+a2+an）=+=答案:C3.（2004年春季上海）在數(shù)列an中，a1=3，且對(duì)任意大于1的正整數(shù)n,點(diǎn)（,）在直線xy=0上，則=_.解析:由題意得= （n2）.是公差為的等差數(shù)列，=.=+（n1）=n.an=3n2.=3.答案:

8、34.（2004年 上海,4）設(shè)等比數(shù)列an（nN）的公比q=,且（a1+a3+a5+a2n1）=,則a1=_.解析:q=, （a1+a3+a5+a2n1）=.a1=2.答案:25.（2004年湖南,理8）數(shù)列an中,a1=,an+an+1=,nN*,則（a1+a2+an）等于A. B. C. D.解析:2（a1+a2+an）=a1+（a1+a2）+（a2+a3）+（a3+a4）+（an1+an）+an=+an.原式=+an=（+an）.an+an+1=,an+an+1=0.an=0.答案:C6.已知數(shù)列an滿足（n1）an+1=（n+1）（an1）且a2=6,設(shè)bn=an+n（nN*）.（1

9、）求bn的通項(xiàng)公式；（2）求（+）的值.解:（1）n=1時(shí)，由（n1）an+1=（n+1）（an1）,得a1=1.n=2時(shí)，a2=6代入得a3=15.同理a4=28,再代入bn=an+n,有b1=2,b2=8,b3=18,b4=32,由此猜想bn=2n2.要證bn=2n2,只需證an=2n2n.當(dāng)n=1時(shí)，a1=2121=1成立.假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，ak=2k2k成立.那么當(dāng)n=k+1時(shí)，由（k1）ak+1=（k+1）（ak1）,得a k+1=（ak1）=（2k2k1）=（2k+1）（k1）=（k+1）（2k+1）=2（k+1）2（k+1）.當(dāng)n=k+1時(shí)，an=2n2n正確，從而bn=2n2.（

10、2）（+）=（+）=+=1+=1+=.能力提高7.已知數(shù)列an、bn都是無窮等差數(shù)列,其中a1=3,b1=2,b2是a2與a3的等差中項(xiàng),且 =,求極限 （+）的值.解:an、bn的公差分別為d1、d2.2b2=a2+a3,即2（2+d2）=（3+d1）+（3+2d1）,2d23d1=2.又=,即d2=2d1,d1=2,d2=4.an=a1+（n1）d1=2n+1,bn=b1+（n1）d2=4n2.=（）.原式=（1）=.8.已知數(shù)列an、bn都是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比分別為p、q,其中pq且p1,q1,設(shè)cn=an+bn,Sn為數(shù)列cn的前n項(xiàng)和，求.解:Sn=+,當(dāng)p1時(shí)，pq0,得01,上式分子、分母同除以pn1，得=p.當(dāng)p1時(shí)，0qp1, =1.探究創(chuàng)新9.已知數(shù)列an滿足a1=0,a2=1,an=,求an.解:由an=,得2an+an1=2an1+an2,2an+an1是常數(shù)列.2a2+a1=2,2an+an1=2.an=（an1）.an是公比為,首項(xiàng)為的等比數(shù)列.an=（）n1.an=（）n1.an=.教學(xué)點(diǎn)睛1.數(shù)列極限的幾種類型：,00,等形式，必須先化簡成可求極限的類型再用四則運(yùn)算求極限，另外還有先求和，約分后再求極限，