第七講-三角形的有關概念與性質(zhì)

1、 三角形的有關概念與性質(zhì)教學目標1.通過操作、觀察、思考等探究活動，體會并掌握三角形任意兩邊之和大于第三邊，并能運用三邊之間的關系對三條線段是否能構(gòu)成三角形作出正確判斷.2.理解三角形的高、中線、角平分線的概念，會畫這些特殊的線段；通過畫圖，探索和認識三角形的三條中線、三條角平分線、三條高所在的直線的交點問題.3.通過分別觀察、比較三角形的邊長、角的大小特征，理解三角形的分類；進一步體會分類的思想.4.經(jīng)歷對三角形內(nèi)角和進行實驗、猜想、說理證實的研究過程，體會直觀感知與理性思考的聯(lián)系和區(qū)別，懂得直觀結(jié)論需要說理證實.5.掌握三角形的內(nèi)角和性質(zhì)，知道三角形的外角及外角的含義，掌握三角形外角的性質(zhì)

2、，能運用三角形內(nèi)角與外角的性質(zhì)進行簡單的說理計算，初步經(jīng)歷和體驗幾何推理的過程.教學重點1.明確三角形的概念和符號表示；讓學生掌握三角形三邊之間的關系；理解三角形的高、中線、角平分線的含義，會畫這些基本線段.2.使學生懂得三角形的分類，初步體會分類的思想和方法；認識各類三角形的中線、角平分線和高線的交點問題，提高畫圖能力.3.探索、歸納并證實三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，學生初步會用這一性質(zhì)進行說理、計算和判斷.4.讓學生知道三角形的外角及外角和的含義，掌握三角形外角的性質(zhì)；能運用三角形外角的性質(zhì)進行簡單的說理計算和幾何推理.5.掌握三角形內(nèi)角和性質(zhì)及外角性質(zhì)的基本運用，并嘗試說明兩個角相等的幾何推理過

3、程.教學難點1.對三角形三邊關系的靈活、熟練運用.2.會用三角形內(nèi)角和性質(zhì)及外角和性質(zhì)進行說理、計算和判斷.3.會用概念進行簡單的計算、說理及解決實際問題.教學方法建議1.學生在小學階段對三角形已經(jīng)有了一定的直觀認識，本課需要規(guī)范三角形及其邊、角的表示，理解三角形的三邊關系.2.可讓學生分別觀察三角形的中線、角平分線、高所在的直線是否交于一點；還可結(jié)合練習題討論交點的位置.這些問題，也可不進行討論.3.對操作實驗得到的結(jié)論，可以借助多媒體任意改變?nèi)切蔚男螤睿炞C實驗的結(jié)果，加深直觀感知，關于交點問題，只要求知道事實，不要求知道交點的名稱，有關的證明，以后再論證幾何中給出.第一部分 知識梳理一

4、 、 三角形的有關概念.1、三角形的定義.三角形是由三條不在同一條直線上的線段首尾順次聯(lián)結(jié)組成的平面圖形.（如圖（1）中，線段AB、線段AC、線段BC首尾順次聯(lián)結(jié)組成的圖形）【注】三條線段必須不在同一直線上. 2、三角形的基本元素.（1）邊：組成三角形的三條線段成為三角形的邊.如圖（1）所示組成三角形ABC的三條線段AB、BC、CA即為三角形的三邊.（2）頂點：點A、點B、點C稱為三角形的三個頂點.如圖（1）所示，頂點即為三角形兩條邊的公共點.（3）內(nèi)角：在三角形中，每兩條邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角.如圖（1）所示，ABC、BCA、CAB是三角形的三個內(nèi)角.（4）外角：三角形中內(nèi)角的一邊與另

5、一邊的反向延長線所組成的角叫做三角形的外角. 如圖（1）所示，ACD即為三角形的一個外角.（5）符號：如圖（1）所示，頂點為A、B、C的三角形可用符號表示為“ABC”，讀作：“三角形ABC”，ABC的三邊也可用小寫字母a、b、c表示.如圖（1）所示頂點A所對的邊用a表示，頂點B所對的邊用b表示，頂點C所對的邊用c表示. 【注】數(shù)三角形的個數(shù)時，要按照一定的規(guī)律或順序去數(shù)，否則就會重復或遺漏.其方法有：)按照圖形的形成過程（即重新畫一遍圖形，按照三角形形成額額額額先后順序去數(shù)）；)按照三角形的大小順序去數(shù)；)可以從圖中的某一條線段開始沿著一定的方向去數(shù)；)還可以先固定一個頂點，變換另兩個頂點去數(shù)

6、.三角形的外角還可定義為：三角形一個內(nèi)角的鄰補角.三角形的每一個內(nèi)角有兩個鄰補角，因此一個三角形有六個外角.如圖（2）所示，1、2、3、4、5、6為ABC的六個外角.二、三角形三邊關系定理及推論1、定理及推論.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.2、定理及推論的作用.（1）判斷以a、b、c為邊是否能組成三角形.判斷方法有三種： 當a+bc，b+ca，c+ab都成立時，能組成三角形； 當|a-b|ca+b時，可以構(gòu)成三角形. 如果abc，則只要a+bc（用較短邊之和與較長邊比較）,就可以組成三角形，這也是一種比較簡便的方法.（2）當已知兩邊時，可確定第三邊長度的范圍.即：|兩邊之差|第

7、三邊兩邊之和.例如：如圖3在ABC中，a=2，b=5,則第三邊的范圍是|2-5|c2+5，即3c7.（3）證明線段不等關系.三、三角形的三條重要線段.1、三角形的中線.聯(lián)結(jié)三角形一個頂點與對邊中點的線段，叫做三角形的中線. 如圖（4），在ABC中，點D、E、F分別為邊AC、AB、BC的中點.即：線段BD、CE、AF分別為邊AC、AB、BC的中線.【注】一個三角形有三條中線，并且都在三角形內(nèi)部，它們相交于一點. 三角形的中線是一條線段. 三角形一條中線將三角形分成兩個三角形，由于這兩個三角形等底同高，所以分成的兩個三角形面積相等.如圖（4）ABF與ACF、ABD與CBD、ACE與BCE這三對三角

8、形為等底同高面積相等的三角形.2、三角形的角平分線.三角形的一個內(nèi)角的角平分線與對邊相交于一點，頂點與交點之間的線段，叫做三角形的角平分線.如圖（5），線段AF、BD、CE為ABC的角平分線.【注】一個三角形有三條角平分線，并且都在三角形內(nèi)部，它們相交于一點. 三角形的角平分線是一條線段，而角的平分線是一條射線，注意二者的區(qū)別.3、三角形的高.從三角形的一個頂點向?qū)呑鞔咕€，頂點與垂足間的線段，叫做三角形的高. 如圖（6），線段AF、BD、CE為ABC的高.【注】如圖（7）銳角三角形、鈍角三角形、直角三角形都有三條高.銳角三角形的高在三角形的內(nèi)部，相交于一點；鈍角三角形的兩條高在三角形的外部，

9、一條高在內(nèi)部，三條高所在的直線交于三角形外一點；直角三角形的兩條高與直角邊重合，另一條高在三角形的內(nèi)部，它們交于直角頂點.根據(jù)高與三角形的位置關系，可以判斷三角形的形狀.三角形邊上的高是線段，而該邊的垂線是直線.四、三角形的分類.1、按角分類. 三角形銳角三角形直角三角形鈍角三角形【注】銳角三角形指所有內(nèi)角都是銳角的三角形；直角三角形指有一個內(nèi)角是直角的三角形；鈍角三角形指有一個內(nèi)角是鈍角的三角形.2、按邊分類. 三角形不等邊三角形等腰三角形底邊和腰不相等的等腰三角形等邊三角形【注】不等邊三角形指三條邊互不相等的三角形；等腰三角形是指至少有兩條邊相等；等邊三角形指三條邊都相等的三角形.五、三角

10、形內(nèi)角和定理及其推論.1、三角形內(nèi)角和定理.（1）定理：三角形三個內(nèi)角的和等于180.如圖（8），在ABC中，A+B+C=180.（2）作用：在三角形中已知兩個內(nèi)角可求出第三個內(nèi)角，或已知各角之間的關系求各角. 2、三角形內(nèi)角和定理的推論.（1）推論：直角三角形兩個銳角互余.如圖（9），在直角三角形ABC中，C=90，則A+B=90.（2）作用：已知直角三角形的一個銳角求另一個銳角，或已知兩銳角之間的關系求這兩個角.常與同角（或等角）的余角相等結(jié)合，一起證角相等.六、三角形的外角的概念及性質(zhì).1、三角形外角的概念.三角形的一邊及另一邊的延長線所組成的角，叫做三角形的外角. 如圖（10），ACD

11、即為三角形的一個外角.2、三角形外角的性質(zhì).（1）三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.如圖（10），ABC的外角ACD=A+B.（2）三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角.如圖（10），ABC的外角ACDA，ACDB.3、三角形外角和.（1）對于三角形的每一個內(nèi)角，從與它相鄰的兩個外角中取一個，這樣取得的三個外角相加所得的和，叫做三角形的外角和.（2）三角形外角和等于360.如圖（11）ABC的外角和為1+3+5=360. 第二部分 例題精講例 1 某同學手里拿著長為3和2的兩個木棍，想要找一個木棍，用它們圍成一個三角形，那么他所找的這根木棍長滿足條件的整數(shù)解是（） A1，3

12、，5B1，2，3C2，3，4D3，4，5出題意圖：本題主要考查三角形三邊關系.解析：首先根據(jù)三角形三邊關系定理：三角形兩邊之和大于第三邊三角形的兩邊差小于第三邊求出第三邊的取值范圍，再找出范圍內(nèi)的整數(shù)即可此題主要考查了三角形三邊關系，掌握三角形三邊關系定理是解題的關鍵.解：設他所找的這根木棍長為x，由題意得：32x3+2，1x5，x為整數(shù)，x=2，3，4，故選：C針對訓練 1 一個三角形的兩邊長是2厘米和7厘米，第三邊長的數(shù)值是一個偶數(shù)，求這個三角形的周長.例 2 已知等腰三角形兩邊之長分別為a、b，且滿足|a-b+2|+(2a+3b-11)2=0,求此等腰三角形的周長.出題意圖：考查三角形三

13、邊關系及等腰三角形的分類討論.解析：已知等腰三角形的兩邊，首先要分類討論哪條是腰哪條是底邊，最后還要考慮結(jié)果是否滿足三角形三邊關系.解：由題意，得a-b+2=02a+3b-11=0 解方程組，得a=1b=3若腰長為a=1，則三邊長分別為1、1、3.不滿足兩邊之和大于第三邊的條件，不能組成三角形，舍去.若腰長為b=3，則三邊長分別為1、3、3.滿足兩邊和大于第三邊的條件，此等腰三角形的周長為7.針對訓練 2 ABC是等腰三角形，AB=12cm，AC=5cm，那么BC的長度是多少例 3 （1）如圖（1）在三角形ABC中，BO、CO分別平分ABC與ACB，聯(lián)結(jié)AO，若BAO=30，求BAC的度數(shù).（

14、2）如圖（2），在ABC中，邊AB上的中線CE與邊AC上的中線BD交于點O，AF過點O，若BC=4cm，求BF的長度. 出題意圖：本題考查三角形角平分線，三角形中線.解析：（1）根據(jù)三角形角平分線交于一點及角平分線的意義求解.（2）根據(jù)三角形中線交于一點及三角形中線的定義求解.解：（1）BO、CO分別平分ABC與ACB（已知）AO平分BAC（三角形的角平分線交于一點）BAC=2BAO（角平分線的定義）由BAO=30（已知）BAC=60.（等式的性質(zhì)）（2）CE、BD是ABC的兩條中線（已知）AF是BC邊上的中線（三角形的三條中線交于一點）BF=12BC（中線的定義）由BC=4cm（已知）BF=

15、2cm（等式的性質(zhì)）針對訓練 3 如圖（3），在ABC中，已知BD、CD分別為角平分線，A=50，求BDC的度數(shù).例 4 在ABC中：(1)A ：B ：C=3：2：1，問ABC是什么三角形？(2)AC =35，BC =10，求B .出題意圖：本題考查主要三角形的分類、三角形的內(nèi)角和定理.解析：（1）利用設k法，將ABC的三個內(nèi)角用k表示出來，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列方程，解方程求解.（2）利用已知當中的兩個等量關系及三角形內(nèi)角和等于180，求出各個內(nèi)角.答案：解：(1)設C=k，則B=2 k，A =3 k，所以A +B +C=6 k =180，k =30=A， B=60， C=90，所以ABC

16、為直角三角形(2)AC =35，BC =10 A=35+C B=10+C，A+B+C=180，即35+C+10+C+C=3C+45=180，C=45，B=55針對訓練 4 已知：在ABC中，ABC235，求三角形的三個內(nèi)角的度數(shù)例 5 如圖（4），在ABC中，已知A=28，C=56，BE平分ABC，EBAB，求DEB的度數(shù). 出題意圖：本題主要考查三角形內(nèi)角和定理、角平分線的意義、三角形的 高.解析：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出ABC，由于BE平分ABC，可求出DBE，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理的推論即可求解.解：在ABC中，A=28，C=56（已知）ABC=180-A-C =180-28-56 =9

17、6（三角形內(nèi)角和為180）BE平分ABC（已知）DBE=12ABC =1296 =48（角平分線的定義）EBAB（已知）EDB=90（垂直的定義）又DEB+EDB+DBE=180（三角形內(nèi)角和為180）DEB=180-90-48 =42（等式性質(zhì)）針對訓練5 如圖（5），ABC是直角三角形，BD是AC邊上的高，DE為ADB的角平分線，ABD=50，求A和DEB的度數(shù).例 6 如圖（6），已知A=72，E=28，AFE=134，求C的度數(shù). 出題意圖：本題只要考查三角形外角的性質(zhì).解析：本題先利用三角形外角性質(zhì)，求出EBF，而EBF是ABC的外角，所以再利用外角性質(zhì)求得C.解：AFE=E+EBF

18、（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和），AFE=134，E=28（已知）EBF=134-28=106（等式性質(zhì)）EBF=A+C（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和） A=72（已知）C=106-72 =34（等式性質(zhì)）針對訓練 6 如圖（7），直線DF與ABC的兩邊AB，AC分別相交于點D、E，與BC的延長線相交于點F，B=50，1=76，F(xiàn)=30，求A的度數(shù).例 7 如圖（8），在ABC中，A=36，B=72，CD平分ACB，求ADC的度數(shù). 出題意圖：本題主要考查三角形的內(nèi)角和及外角的性質(zhì)、三角形的角平分線. 解析：先利用三角形內(nèi)角和求出ACB的度數(shù)，再利用角平分線的定

19、義求出DCB的度數(shù)，最后利用外角性質(zhì)求解.解：在三角形ABC中，A+B+ACB=180（三角形內(nèi)角和180），又由A=36，B=72（已知）ACB=180-36-72=72（等式性質(zhì)）又CD平分ACB（已知）DCB=12ACB（角平分線的定義）DCB=1272=36（等式性質(zhì)）ADC=B+DCB（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和）ADC=72+36=108（等式的性質(zhì)）針對訓練 7 如圖（9），在ABC中，B=90，ACB、CAF的平分線所在的直線交于點H，求H的度數(shù).例 8 如圖（10），ABC的內(nèi)角ABC的平分線BD與外角ACE的平分線CD交于點D，若DBC=28，BDC=42

20、，求A的度數(shù).出題意圖：本題主要考查三角形外角性質(zhì)，角平分線的定義.解析：先利用三角形外角的性質(zhì)求出DCE，再根據(jù)角平分線的定義求得ACE，由ACE是ABC的外角，所以ACE=A+ABC，又因為BD平分ABC，根據(jù)角平分線的定義求得A.解：DCE=DBC+BDC（三角形的一個外角等于兩個不相鄰的內(nèi)角的和） DBC=28，BDC=42（已知）DCE=28+42=70（等式性質(zhì)）又DC是ACE的平分線（已知）ACE=2DCE=140（角平分線的定義）ACE=A+ABC（三角形的一個外角等于兩個不相鄰內(nèi)角的和）BD為ABC的平分線（已知）ABC=2DBC=228=56（角平分線的定義）A=ACE-A

21、BC=140-56=84（等式性質(zhì)）針對訓練 8 如圖（11）所示：（1）如圖（11）所示，BD、CD分別是ABC、ACB的平分線，試探索A與D之間的關系.（2）如圖（11）所示，BD、CD分別是ABC、ACB的外角平分線，試探索A與D之間的關系.針對訓練 9 如圖（12），在ABC中，B的平分線與C的平分線相交于點D，根據(jù)下列條件，求出D的度數(shù).（1）若ABAC，求D的度數(shù)；（2）若A=60，求D的度數(shù)；（3）若A=n，用n的代數(shù)式表示D.第三部分 優(yōu)化作業(yè)基礎訓練題（A）1、給出以下四種說法，其中正確的有（ ）個.直角三角形是斜三角形；直角三角形可能是等腰三角形；直角三角形可能是等邊三角形

22、；直角三角形的外角大于任意一個內(nèi)角. .1； .2； .3 .4.2、下列各組線段能組成三角形三邊的是（ ）.4、7、10； .3、4、7； .5、6、12； .2、3、6.3、下列圖中，正確畫出AC邊上的高的是（ ）4、ABC中， ，則ABC是（ ）A. 銳角三角形 B. 直角三角形C. 鈍角三角形 D. 不能確定5、如圖所示，表示1，2，3，4的關系正確的選項為（） A1+2=4-3 B1-3=2-4C1+2=3+4 D1-2=4-36、四條線段的長分別是5 cm，6 cm，8 cm，13 cm，則以其中任意三條線段為邊可以構(gòu)成 _ _ 個三角形7、一個三角形的兩邊分別是12cm和20cm

23、，它的第三邊最長不能大于 cm，最短不能小于 cm8、如圖，在中，是中線，是高線 （1）若比長5 cm，則的周長比的周長多_ cm（2）若的面積為10 cm2，則的面積為_ cm 2.10； .20； . 30； .40.（3）若又是的角平分線，=130，求的度數(shù)9、一個三角形三個角的度數(shù)比是1：4：5，這個是三角形是 三角形10、如圖： 11、如圖，在中，是角平分線，求的度數(shù)。 12、如圖：B、C、D在同一條直線上，CE平分的度數(shù)。 13、如圖，ABCD，A=120，1=72，則D的度數(shù)為 度 14、已知：如圖，A70，B30，C20，求BOC的度數(shù). 15、如圖所示，ABCE，C=37，A

24、=115，那么F= 度 16、如圖，為的中線，為的中線（1）畫出的邊上的高和的邊上的高；（2）若的面積為40，求的邊上的高的長。17、如圖，在ABC中，B、C的平分線相交于點O，（1）若A90，求COB的度數(shù)；（2）若A50，求COB的度數(shù)；（3）若An，求COB的度數(shù)；（4）當A為多少度時，COB3A. 提高訓練題（B）1、下列各組線段能組成三角形三邊的是（ ）.4、7、10； .3、4、7； .5、6、12； .2、3、6.2、下列長度的三條線段,不能組成三角形的是（ ）A、a+1,a+2,a+3(a0) B、 3a,5a,2a+1(a0) C、三條線段之比為1：2：3 D、 5cm，6c

25、m，10cm3、三角形的三邊長分別是3、8，則的取值范圍是（）. 0 2； .5 2； . 2 5； .2 54、在ABC中，已知A2B3C，試判斷三角形的形狀.5、在中，三邊長都為整數(shù)，且厘米，厘米，寫出AC長度所有可能的情況 .6、三角形的兩邊的長分別是2cm和7cm，第三邊為奇數(shù)，則這個三角形的周長是_cm；若這個三角形的周長為奇數(shù)，則這個三角形的周長是 Cm。7、若三角形的三邊分別為3、4、x，則偶數(shù)x的值為 .8、如圖，ABC中，AB=AC，BAC與BCA的平分線AD、CD交于點D，若B=70，則ADC= 度9、圖中點P為ABC內(nèi)任一點，請你判斷BAC與BPC的大小，并說明理由. 10、如圖，ABC中，BD、CD分別平分ABC和ACB，請判斷BDC與的大小，并說明理由. 11、如圖所示，AC、BD相交于O點，BE、CE分別平分ABD、ACD且相交于點E，已知A=70，D=40.求E的度數(shù).12、如圖：求的度數(shù)。 綜合遷移題（C） 1、已知a，b，c分別為ABC的三邊，且，則三角形為 三角形2、如圖：在三角形ABC中，OB、OC分別是的平分線，過點O做MN/BC,若AB=12,AC=18,則的周長是 。3、如圖：在P是內(nèi)一點，且,求的度數(shù)