第4講對(duì)弧長(zhǎng)曲線(xiàn)積分

1、第四章 多元函數(shù)積分學(xué)正確理解對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的概念和物理背景。正確理解對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的概念和物理背景。熟悉二維空間中對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的計(jì)算方法。熟悉二維空間中對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的計(jì)算方法。了解三維空間中對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分。了解三維空間中對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分。正確理解弧長(zhǎng)元素的含義。正確理解弧長(zhǎng)元素的含義。本節(jié)教學(xué)要求：本節(jié)教學(xué)要求：第第 四四 節(jié)節(jié) 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分第四節(jié)第四節(jié) 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分一一. 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的物理背景對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的物理背景 二二. 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的定義和性質(zhì)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的定義和性質(zhì)四四. 參數(shù)方程時(shí)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的計(jì)算參數(shù)方程

2、時(shí)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的計(jì)算三三. 直角坐標(biāo)系下對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的計(jì)算直角坐標(biāo)系下對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的計(jì)算五五. 三維空間中對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的計(jì)算三維空間中對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的計(jì)算一一. 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的物理背景對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的物理背景 , L的光滑的平面曲線(xiàn)構(gòu)件設(shè)有一質(zhì)量非均勻分布 . ),( ),( : LyxyxfL上點(diǎn)的連續(xù)函數(shù)是其密度 . 的質(zhì)量求曲線(xiàn)構(gòu)件 L : 法直線(xiàn)構(gòu)件的質(zhì)量計(jì)算方仿照質(zhì)量非均勻分布的分割分割 近似近似 求和求和 取極限取極限 . 將構(gòu)件簡(jiǎn)化為數(shù)學(xué)中 . 具有質(zhì)量的平面曲線(xiàn) O x y ABab O x y ABab 1A1iAiA1nA1iAiA) ,(iiiM

3、isiiiisfm) ,( ) ,(1iniiisfm ) ,(lim10niiiisfm ) ,( 的位置點(diǎn)iiiM 的到可以由點(diǎn)MA . 弧長(zhǎng)來(lái)確定 ) ,()(iiifMf 可以看成是弧長(zhǎng)的 . 函數(shù) ) , ( ABLxyyxf曲線(xiàn)平面上的一條可求長(zhǎng)的是定義在設(shè)函數(shù) , 1110BAAAAAAAnnii , ) , , 2 , 1 ( 每個(gè)小弧段的長(zhǎng)度個(gè)小弧段成分將niSnLiAB ) ,(lim10 niiiisf , ) ,( 記為上對(duì)弧長(zhǎng)的積分在曲線(xiàn)則稱(chēng)該極限值為函數(shù)ABLyxf . ) ,(limd),( 1 0niiiiLsfsyxfAB : 1 . 個(gè)點(diǎn)上任取在上的有界函數(shù)

4、nLAB . max , 1iniiss并記記為 , ) ,( 極限若iiiS , ) ,( ,的取法無(wú)關(guān)的分法和點(diǎn)且該極限值與對(duì)曲線(xiàn)存在iiABL二二. 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的定義和性質(zhì)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的定義和性質(zhì) . ) ,(limd),(10 niiiiLsfsyxfAB ；對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分號(hào)ABL d),(；被積表達(dá)式syxf ),(被積函數(shù)；yxf ) ( d；弧微分弧長(zhǎng)元素s . 積分曲線(xiàn)ABL 號(hào)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的記 上定義在曲線(xiàn)ABL , 則積分記為閉曲線(xiàn)如果積分曲線(xiàn)為一條封L . ) ,(limd),( 10 niiiiLsfsyxf 質(zhì)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的性 : . 1無(wú)關(guān)曲線(xiàn)的

5、起點(diǎn)、終點(diǎn)位置對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分值與 . d),(d),( BAABLLsyxfsyxf , , . 22121則是光滑曲線(xiàn)和如果LLLLL . d),(d),(d),(21 LLLsyxfsyxfsyxf , 1),( . 3時(shí)當(dāng)yxf . ) ( d d),( 的弧長(zhǎng)為曲線(xiàn) LssssyxfLL三三. 直角坐標(biāo)系下對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的計(jì)算直角坐標(biāo)系下對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的計(jì)算 : d s的弧微分首先回憶定積分中講過(guò) ddd222syx , 的增加方向一致時(shí)變量當(dāng)弧長(zhǎng)的增加方向與自x . d1 d2xys d xydd sy )(xfy . 1的方程為設(shè)曲線(xiàn)L , ) , ()( , , , )(1

6、則且baCxybaxxyy . ) 1 ( d1 )(,(d),( 2 baLxyxyxfsyxf , 關(guān)與起點(diǎn)、終點(diǎn)的位置無(wú)由于對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分 . , 的增加方向一致方向與總可以認(rèn)為弧長(zhǎng)的增加所以x , 積分下限為定積分計(jì)算時(shí)將對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分化 . 總小于積分上限 . 2的方程為設(shè)曲線(xiàn) L , ) , ()( , , , )(1則且dcCyxdcyyxx . )2( d1 ),(d),( 2 dcLyxyyxfsyxfOxycd)(yxx Oxy例解解 , d 其中計(jì)算Lsx . ) 1 , 1 ( )0 , 0( ) 12的一段弧到點(diǎn)上由原點(diǎn)是BOxyL . )0 , 1 ( , )

7、2AOABL其中是折線(xiàn) , 1 , 0 , : )12而xxyL , d41 d1 d22xxxys)0 , 1 (A) 1 , 1 (B , )2ABOAL , dd , 1 : ; dd , 0 : ysxABxsyOA上在上在 . 23d1dd d d 1 0 1 0 yxxsxsxsxABOAL故 . ) 155(121d41 d 1 0 2 xxxsxL故Oxy ) 1 , 0(A ) 1 , 0(B )0 , 1 (C例解解 . , d | 為右半單位圓其中求LsyL . 0 , 1 : ,22xyxL由題意 , 得由隱函數(shù)求導(dǎo)法 , yxy . d|1dd1 d 2222xyxy

8、yxxys故 d |d |d | , BCACLLLsysysy從而 . 2d |1 |d |1 |1 0 1 0 xyyxyy . . 自己完成請(qǐng)同學(xué)課后作自變量此題可選 y四四. 參數(shù)方程時(shí)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的計(jì)算參數(shù)方程時(shí)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的計(jì)算 , , , )( , )( : ttyytxxL設(shè) , ) ,()( , )( 1則且Ctytx , d)()(d22ttytxs . (3) d)()()(),(d),( 22 ttytxtytxfsyxfL . :的增加方向一致變量取弧長(zhǎng)的增加方向與自注意t . , 積分下限小于積分上限化為定積分后例解解 )cos1 ( , )sin( , d

9、 2tayttaxLsyL為擺線(xiàn)其中計(jì)算 . )20( )0(ta的第一拱 dsin)cos1 (dd222222ttatatyxs )20( , d2sin2ttta2 0 532 0 23 2d2sin8d2sin)cos1 (2d ttatttasyL于是 dsin)cos1 (16dsin16 0 223 0 53uuuauua2 tu 令 . 15256d)1 (1631 1 223avva cos uv 令例解解 . 0)( : , d)( 222 22aayxLsyxL其中 .2dd)( , 32 0 2 22ataasyxL從而 . 20 , sin , cos ttaytax

10、L的參數(shù)方程為 . dd)cos()sin(dd2222tattatatyxs , 故上定義在曲線(xiàn)由于被積函數(shù)Lf ,),(222ayxyxf五五. 三維空間中對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的計(jì)算三維空間中對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的計(jì)算 , 3然后程形式中的曲線(xiàn)表示為參數(shù)方通常將空間R . 化為定積分來(lái)計(jì)算 3的參數(shù)方程為中曲線(xiàn)設(shè)R , , , )( , )( , )( :ttzztyytxx , ) ,()( , )( , )( 1則且Ctztytx , d)()()(d222ttztytxs . d)()()()(),(),(d),( 222 ttztytxtztytxfszyxf ; ),(的量弧長(zhǎng)的增加方向與自變上定義在曲線(xiàn)tzyxf . 增加方向一致例解解 222 , sin , cos , d taytaxzyxs是螺旋線(xiàn)求 . ) 20 ( ttbz的第一圈 , dd)()()(d22222tbattztytxs 0 22222222 ddtbatbazyxs . 2arctan22ababba例解解 , d)( 23szyx計(jì)算