第2章_隨機過程基本概念

1、第二章第二章 隨機過程隨機過程的基本概念的基本概念2.1 隨機過程的基本概念及定義隨機過程的基本概念及定義2.2 隨機過程的統(tǒng)計描述隨機過程的統(tǒng)計描述2.3 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程2.4 隨機過程的聯(lián)合分布和互相關(guān)函數(shù)隨機過程的聯(lián)合分布和互相關(guān)函數(shù)2.5 隨機過程的功率譜密度隨機過程的功率譜密度2.6 典型的隨機過程典型的隨機過程2.7 基于基于MATLABMATLAB的隨機過程分析方法的隨機過程分析方法2.8 信號處理實例信號處理實例本章學習要點：本章學習要點：（1 1）理解隨機過程的概念、平穩(wěn)隨機過程的定義、）理解隨機過程的概念、平穩(wěn)隨機過程的定義、各態(tài)歷經(jīng)性；各態(tài)歷經(jīng)性；（2 2）掌握

2、功率譜密度和相關(guān)函數(shù)的關(guān)系；）掌握功率譜密度和相關(guān)函數(shù)的關(guān)系；（3 3）掌握相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)；）掌握相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)；（4 4）理解白噪聲的定義和特點；）理解白噪聲的定義和特點；本章是本課程的基礎(chǔ)和核心本章是本課程的基礎(chǔ)和核心2.1隨機過程的基本概念及定義隨機過程的基本概念及定義1.1.實際背景實際背景0( )cos()X nAn例例2.1 2.1 分析隨機相位信號分析隨機相位信號R（-， +）隨機相位信號隨機相位信號許多樣本函數(shù)的集合許多樣本函數(shù)的集合 0( ,)cos()iiix nAn 樣本函數(shù)樣本函數(shù)01020304050607080-10101020304050607080-101010

3、20304050607080-10101020304050607080-1011234050100150200-505050100150200-505050100150200-505050100150200-505接收機噪聲接收機噪聲 t1隨時間變化的隨機變量隨時間變化的隨機變量-隨機變量的集合隨機變量的集合例例2.2 2.2 分析接收機的噪聲分析接收機的噪聲隨機過程的直觀解釋隨機過程的直觀解釋: :對隨機相位信號或噪聲信號作一次觀測相當于做一次隨對隨機相位信號或噪聲信號作一次觀測相當于做一次隨機試驗，每次試驗所得到的觀測記錄結(jié)果機試驗，每次試驗所得到的觀測記錄結(jié)果x xi i(t)(t)是一

4、個是一個確定的函數(shù)，稱為樣本函數(shù)，所有這些樣本函數(shù)的全體確定的函數(shù)，稱為樣本函數(shù)，所有這些樣本函數(shù)的全體構(gòu)成了隨機過程。構(gòu)成了隨機過程。 在實際中還有一類過程，它是按照確定的數(shù)學公式產(chǎn)在實際中還有一類過程，它是按照確定的數(shù)學公式產(chǎn)生的時間序列，它是一個確定性的時間序列，但它的變化生的時間序列，它是一個確定性的時間序列，但它的變化過程表現(xiàn)出隨機序列的特征，我們把它稱為過程表現(xiàn)出隨機序列的特征，我們把它稱為偽隨機序列偽隨機序列，偽隨機序列可以用來模擬自然界實際的隨機過程偽隨機序列可以用來模擬自然界實際的隨機過程 。05010015020000.20.40.60.81偽隨機序列 偽隨機序列應(yīng)用舉例偽

5、隨機序列應(yīng)用舉例GPS系統(tǒng)中的碼分多址（CDMA）GPS接收機接收機GPS衛(wèi)星衛(wèi)星偽隨機碼自相關(guān)函數(shù)偽隨機碼自相關(guān)函數(shù)02.2.隨機過程的定義隨機過程的定義定義一：設(shè)隨機試驗E的樣本空間為S=e，對其每一個元素ei(i=1,2,)都以某種法則確定一個樣本函數(shù)x(t,ei),由全部元素e所確定的一族樣本函數(shù)X(t,e)稱為隨機過程，簡記為X(t)。定義定義2 2： 設(shè)有一個過程X(t) ，若對于每一個固定的時刻tj(j=1,2,) ，X(tj)是一個隨機變量，則X(t)稱為隨機過程。 隨機過程隨機過程X(t,e)X(t,e)四種不同情況下的意義：四種不同情況下的意義：當當t t固定，固定，e e

6、固定時，固定時， X(t)X(t) 是一個是一個確定值確定值； 當當t t固定，固定，e e可變時，可變時， X(t)X(t) 是一個是一個隨機變量隨機變量； 當當t t可變，可變，e e固定時，固定時， X(t)X(t) 是一個確定的是一個確定的時間函數(shù)時間函數(shù)； 當當t t可變，可變，e e可變時，可變時， X(t)X(t) 是一個是一個隨機過程隨機過程； 2 2、隨機過程分類隨機過程分類（1 1）按狀態(tài)及時間參數(shù)分類）按狀態(tài)及時間參數(shù)分類狀態(tài)時刻連續(xù)型隨機過程連續(xù)連續(xù)連續(xù)隨機序列連續(xù)離散離散型隨機過程離散連續(xù)離散隨機序列離散離散（2 2）按概率分布分類按概率分布分類u高斯隨機過程高斯隨機

7、過程u瑞利隨機過程瑞利隨機過程u對數(shù)正態(tài)隨機過程對數(shù)正態(tài)隨機過程（3 3）按統(tǒng)計特性分類按統(tǒng)計特性分類平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程非平穩(wěn)隨機過程非平穩(wěn)隨機過程 2.2 隨機過程的統(tǒng)計描述隨機過程的統(tǒng)計描述 X(t)X(t)在任意時刻在任意時刻t t是一個隨機變量，這個隨機變量的概率是一個隨機變量，這個隨機變量的概率分布和概率密度定義為隨機過程的一維概率分布和概率分布和概率密度定義為隨機過程的一維概率分布和概率密度。密度。(1)(1)一維概率分布一維概率分布對于隨機序列對于隨機序列1.隨機過程的概率分布隨機過程的概率分布(2)(2)二維概率分布二維概率分布對于任意的兩個時刻 是兩個隨機變量， 定義這

8、兩個隨機變量的聯(lián)合概率分布和聯(lián)合概率密度為隨機過 程的二維概率分布和二維概率密度。解: : 本題的隨機過程只有兩個樣本函數(shù), , 且兩個樣本函數(shù)都具有確定的形式, , 是一種可預測的隨機過程。它的兩個樣本函數(shù)為這個過程在任意的時刻都只有兩個可能的取值，所以它是一個離散型隨機過程。對于離散型隨機過程，只要確定了它的概率分布列就可 以確定它的概率密度( (一串沖激函數(shù)) )。時間不同，概率密度不同，時間不同，概率密度不同，概率密度是時間的函數(shù)。概率密度是時間的函數(shù)。二維概率分布(3) N維概率分布2.隨機過程的數(shù)字特征隨機過程的數(shù)字特征隨機過程的均值是時間t t的函數(shù)，也稱為均值函數(shù)，統(tǒng)計均值是對

9、隨機過程中所有樣本函數(shù)在時間t t的所有取值進行概率加權(quán)平均，所以又稱為集合平均。隨機過程的均值可以直觀地 理解為在t t時刻所有樣本函數(shù)取值的一個取值中心，它反映了樣本函數(shù)統(tǒng)計意義下的平均變化規(guī)律。對于隨機序列：均值與方差的物理意義：均值與方差的物理意義：如果：如果：X(t)-單位電阻上的電壓交流平交流平均功率均功率直流平直流平均功率均功率總的平總的平均功率均功率3. 自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)可正可負，其絕對值越大，表示相關(guān)性越強。一般說來，時間相隔越遠，相關(guān)性越弱，自 相關(guān)函數(shù)的絕對值也越弱；當兩個時刻重合時，其 相關(guān)性應(yīng)是最強的，所以RX RX ( (t t, ,t t) )最大。4. 自協(xié)

10、方差函數(shù)常用的一些概念：5. 5. 離散型隨機過程的數(shù)字特征6. 6. 計算舉例例2 2 離散型隨機過程自相關(guān)函數(shù)計算舉例每一個樣本函數(shù)出現(xiàn)的概率相等2.3 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程隨機過程可分為平穩(wěn)和非平穩(wěn)兩大類, 嚴格地說, 所有信號都是非平穩(wěn)的, 但是, 平穩(wěn)信號的分析要容易得多, 而且在電子系統(tǒng)中, 如果產(chǎn)生一個隨機過程的主要物理條件在時間的進程 中不改變, 或變化極小, 可以忽略, 則此信號可以認為是平穩(wěn) 的。如接收機的噪聲電壓信號, 剛開機時由于元器件上溫度的變化, 使得噪聲電壓在開始時有一段暫態(tài)過程, 經(jīng)過一段時間后, 溫度變化趨于穩(wěn)定, 這時的噪聲電壓信號可以認為是平穩(wěn)的。1.

11、 平穩(wěn)隨機過程的定義（1）嚴格平穩(wěn)隨機過程定義：如果隨機過程的任意n維分布不隨時間起點變化， 即當時間平移時，其任意的n維概率密度不變，則稱是嚴格平穩(wěn)的隨機過程或稱為狹義平穩(wěn)的隨機過程。對于嚴格平穩(wěn)的隨機過程，它的均值和方差是與時間無關(guān)的常數(shù)，而自相關(guān)函數(shù)只與t t1 1和t t2 2的差值有關(guān)，而與本身的取值是無關(guān)的。嚴格平穩(wěn)最基本的特征是時間起點的平移不影響它的統(tǒng)計特性，即X(t)X(t)與X(t+X(t+t)t)具有相同的統(tǒng)計特性。（2）廣義平穩(wěn)隨機過程當隨機過程是高斯分布時，兩者等價。例1. 設(shè)隨機過程Z(t)=Xcost +Ysint ，- t +，其中X、Y為相互獨立的隨機變量，且

12、分別以概率2/3、1/3取值-1和2。試討論隨機過程Z(t)的平穩(wěn)性。解：解：所以，所以，Z(t) 是廣義平穩(wěn)的。Z(t) 不是嚴格平穩(wěn)的。由于在許多工程技術(shù)問題中，常常僅在相關(guān)理論（一、二階矩）的范圍內(nèi)討論問題，因此劃分出廣義平穩(wěn)隨機過程來。而 相關(guān)理論之所以重要，是因為在實際中，一、二階矩能給出有 關(guān)平穩(wěn)隨機過程平均功率的幾個主要指標，比如，如果隨機過 程代表噪聲電壓信號，那么在相關(guān)理論范圍內(nèi)就可以給出直流 分量、交流分量、平均功率及功率在頻域上的分布（我們將在后面討論功率譜密度）等。另外，在電子系統(tǒng)中經(jīng)常遇到最多的是正態(tài)隨機過程，對于正態(tài)隨機過程而言，它的任意維分布 都只由它的一、二階矩

13、來確定，廣義平穩(wěn)的正態(tài)隨機過程必定是嚴格平穩(wěn)的。例2. 2. 設(shè)隨機過程X X( (t t)=)=tXtX，X X為標準正態(tài)分布的隨機變量。試問X(t)X(t)是否平穩(wěn)？解：解：所以X(t)是非平穩(wěn)的。2. 平穩(wěn)隨機過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)：(5)若隨機過程含有周期分量，則自相關(guān)函數(shù)也含有周期分量，例3 3 已知平穩(wěn)隨機過程X(t)X(t)的自相關(guān)函數(shù)為求X(t)的均值和方差。解:3. 相關(guān)系數(shù)及相關(guān)時間（1）相關(guān)系數(shù)：（2）相關(guān)時間：標準化相標準化相關(guān)函數(shù)關(guān)函數(shù)工程上我們常取工程上我們常取相關(guān)時間越長，反映隨機過程前后取值之間的依賴性越強，變化越緩慢；相關(guān)時間越小，反映隨 機過程前后取值之間

14、的依賴性越弱，變化越快。兩個不同相關(guān)時間隨機過程的樣本函數(shù)4. 隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性定義：對于平穩(wěn)隨機過程X X( (t t) )，若有時間平均以概率1等于集合平均，時間相關(guān)函數(shù)以概率1等于集合相關(guān)函數(shù)。即均值遍均值遍歷性歷性相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)的遍歷性的遍歷性如果平穩(wěn)隨機過程的均值和相關(guān)函數(shù)都具有遍歷性，則如果平穩(wěn)隨機過程的均值和相關(guān)函數(shù)都具有遍歷性，則X(t)X(t)為各態(tài)歷經(jīng)性。為各態(tài)歷經(jīng)性。解：各態(tài)歷經(jīng)過程與非各態(tài)歷經(jīng)過程示意圖均值遍歷性的充要條件：相關(guān)函數(shù)遍歷性的充要條件：零均值平穩(wěn)正態(tài)隨機信號：一般而言，不同的樣本函數(shù)，時間平均的結(jié)果不同，所以，一般說來時間平均是隨機變量，但對于各態(tài)歷

15、經(jīng)的隨機過 程而言，時間平均趨向于一個常數(shù)。這就表明，各態(tài)歷經(jīng)隨機 過程的各個樣本函數(shù)的時間平均可以認為是相同的，因此隨機 過程的均值可以用它的任意的一條樣本函數(shù)的時間均值來代 替。同樣，相關(guān)函數(shù)亦可以用任意的一條樣本函數(shù)的時間相關(guān) 函數(shù)來代替。對于各態(tài)歷經(jīng)過程，可以通過對一條樣本函數(shù)的觀測，就可以估計出隨機過程的均值、方差和相關(guān)函數(shù)。連續(xù)隨機過程：例6 6 判斷隨機過程X X( (t t)=)=Y Y的遍歷性，其中Y Y是方差不為零的隨機變量。解：隨機序列： 2.4 隨機過程的聯(lián)合分布和互相關(guān)函數(shù)1.聯(lián)合分布函數(shù)和聯(lián)合概率密度N N + + M M 維聯(lián)合分布函數(shù)：N N + + M M 維

16、聯(lián)合概率密度：2. 互相關(guān)函數(shù)及其性質(zhì)（1）互相關(guān)函數(shù)（2）互協(xié)方差函數(shù)如果則稱X X( (t t) )與Y Y( (t t) ) 嚴格聯(lián)合平穩(wěn)。如果則稱X X( (t t) )與Y Y( (t t) ) 廣義聯(lián)合平穩(wěn)。解：所以，所以，X(t)與Y(t)是聯(lián)合平穩(wěn)的。 2.5 2.5 隨機過程的功率譜1. 定義能量型信號：能量有限的信號功率型信號：平均功率有限、能量無限的信號隨機信號的樣本函數(shù)能量是無限的，但功率往往是有限的。隨機過程的樣本函數(shù)及其截尾函數(shù)定義隨機過程的功率譜密度物理意義：功率譜密度是從頻域描述隨機過程的一個重要的數(shù)字特征，表示單位頻帶內(nèi)信號的頻率分量消耗在單位電阻上的平均功率

17、的統(tǒng)計平均值。2. 功率譜密度與相關(guān)函數(shù)的關(guān)系維納辛欽定理：維納辛欽定理需要滿足兩個條件：物理譜定義：3 .功率譜的性質(zhì)(1) (1) 若隨機過程均值非零，則功率譜在原點有一函數(shù)；若含有周期分量，則在相應(yīng)的頻率處有沖激函數(shù)；(2) (2) 對于實的平穩(wěn)隨機過程，功率譜為實的、非負偶函數(shù)；(3) (3) 相關(guān)性與功率譜的關(guān)系為：相關(guān)性越弱，功率譜越寬平；相關(guān)性越強，功率譜越陡窄。解：由因式分解解：4. 隨機序列的功率譜收斂域是一個包含單位圓的環(huán)形區(qū)域。其中C C是收斂域內(nèi)包含平面原點逆時針的閉合圍線由于由于GX(z)的收斂域包含單位圓，因此可以令的收斂域包含單位圓，因此可以令z=ejw隨機序列功率譜的性質(zhì)：1 1）功率譜是實偶函數(shù)2 2）功率譜密度是非負的解：5. 互功率譜設(shè)有兩個隨機過程X(t)和Y(t)，它們的互功率譜定義為其中，如果X(t)和Y(t)是聯(lián)合平穩(wěn)的， 絕對可積，則性質(zhì)：2.6 2.6 典型的隨機過程功率譜密度為常數(shù)的平穩(wěn)隨機過程，即白噪聲的功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)白噪聲樣本函數(shù)波形2. 正態(tài)隨機過程正態(tài)隨機過程（1） 定義及其分布如果一個隨機過程X X(