經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分第二版第一章第三節(jié)復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)

1、第三節(jié)第三節(jié) 復(fù)合函數(shù)與反函復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)數(shù)一、復(fù)合函數(shù)一、復(fù)合函數(shù)二、反函數(shù)二、反函數(shù)三、函數(shù)的運(yùn)算三、函數(shù)的運(yùn)算四、小結(jié)四、小結(jié) 思考題思考題一、復(fù)合函數(shù)(compound function),uy 設(shè)設(shè),12xu 21xy 定義定義:,自自變變量量x,中中間間變變量量u因變量y的的和和為為上的函數(shù)上的函數(shù)定義在定義在，則稱(chēng)，則稱(chēng)，和和設(shè)有函數(shù)設(shè)有函數(shù)gfgfDxgDxxRDgffggf)(,| 復(fù)合函數(shù)，復(fù)合函數(shù)，其中其中)()(xgfxgf 例例1,ln)(,2)(2uufyxxgu ,), 2fgDR 則則因此能夠形成復(fù)合函數(shù)因此能夠形成復(fù)合函數(shù))2ln()(2xxgf 注意注意:

2、 :1.不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)的合函數(shù)的;,arcsinuy 例如例如;22xu )2arcsin(2xy 2.復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過(guò)復(fù)復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過(guò)復(fù)合構(gòu)成合構(gòu)成.,2cotxy 例如例如,uy ,cotvu .2xv 二、反函數(shù)(inverse function)0 x0y0 x0yxyDW)(xfy 函數(shù)函數(shù)oxyDW)(yx 反函數(shù)反函數(shù)o射射是是單單射射，則則它它存存在在逆逆映映設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(:DfDf,)(:1DDff 的的為為函函數(shù)數(shù)稱(chēng)稱(chēng)此此映映射射ff1 反函數(shù)反函數(shù). .)(xfy 直直接接函函

3、數(shù)數(shù)xyo),(abQ),(baP)(1xfy 反函數(shù)反函數(shù) 直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線 對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng).xy 定理（反函數(shù)存在定理）：定理（反函數(shù)存在定理）：?jiǎn)握{(diào)函數(shù)單調(diào)函數(shù) f 必存在單調(diào)必存在單調(diào)的反函數(shù)的反函數(shù) ，且此反函數(shù)與，且此反函數(shù)與 f 具有相同的單調(diào)性具有相同的單調(diào)性.例例2.1的反函數(shù)的反函數(shù)求函數(shù)求函數(shù) xey),1()1ln(),1(11)1ln(11222 fxxDxyeyyxye反函數(shù)為反函數(shù)為，即原函數(shù)的值域?yàn)椋丛瘮?shù)的值域?yàn)榻饨馊?、函?shù)的運(yùn)算的下列運(yùn)算：的下列運(yùn)算：,)(, )(21DDxgxf、的定義域分別是的定義域分別是設(shè)函數(shù)設(shè)

4、函數(shù)個(gè)函數(shù)個(gè)函數(shù)，則我們可以定義這兩，則我們可以定義這兩 21DDD函數(shù)的函數(shù)的和（差）和（差）函數(shù)的函數(shù)的積積函數(shù)的函數(shù)的商商 gf Dxxgxfxgf ，)()()(Dxxgxfxgf ，)()()(gfgf )()()(xgxfxgf 0)(| xgxDx函數(shù)的函數(shù)的和（差）和（差）例例3.)()()(,)()(),(),()(xhxgxfxhxgllllxf 使得使得及奇函數(shù)及奇函數(shù)上的偶函數(shù)上的偶函數(shù)定存在定存在，證明必，證明必的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)樵O(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) )()()()()()()()()()(xhxgxhxgxfxhxgxfxhxg，于是有，于是有存在存在和和如果這樣的如果這

5、樣的分析分析證明證明 )()(21)()()(21)(xfxfxhxfxfxg設(shè)設(shè).)()()(xhxgxf 顯然顯然.)()()(21)()()()(21)(是奇函數(shù)是奇函數(shù)，是偶函數(shù)是偶函數(shù)xhxfxfxhxgxfxfxg 四、小結(jié) 思考題1.1.復(fù)合函數(shù)：復(fù)合函數(shù)： 復(fù)合函數(shù)的形成與復(fù)合過(guò)程的分解復(fù)合函數(shù)的形成與復(fù)合過(guò)程的分解.2.2.反函數(shù)：反函數(shù)： 反函數(shù)的基本求法反函數(shù)的基本求法.3.3.函數(shù)的運(yùn)算：函數(shù)的運(yùn)算： 簡(jiǎn)單函數(shù)的四則運(yùn)算簡(jiǎn)單函數(shù)的四則運(yùn)算.思考題思考題)(,1sec)(tan2xfxxf求求已知已知 解解21)1()(1)1(tan)(tan222 xxxfxxf練練 習(xí)習(xí) 題題2,uyeux1由函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)為 . 2 sin