數(shù)列極限的運(yùn)算性質(zhì)

1、極限的運(yùn)算教學(xué)目標(biāo)1熟練運(yùn)用極限的四則運(yùn)算法則，求數(shù)列的極限2理解和掌握三個(gè)常用極限及其使用條件培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用化歸轉(zhuǎn)化和分類討論的思想解決數(shù)列極限問(wèn)題的能力3正確認(rèn)識(shí)極限思想和方法是從有限中認(rèn)識(shí)無(wú)限，從近似中認(rèn)識(shí)精確，從量變中認(rèn)識(shí)質(zhì)變的一種辯證唯物主義的思想教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)使用極限四則運(yùn)算法則及3個(gè)常用極限時(shí)的條件教學(xué)過(guò)程（一）運(yùn)用極限的四則運(yùn)算法則求數(shù)列的極限師：高中數(shù)學(xué)中的求極限問(wèn)題，主要是通過(guò)極限的四則運(yùn)算法則，把所求極限轉(zhuǎn)化成三個(gè)常用極限：=0，c=c，qn=0（|q|1）來(lái)解決。例1：求下列極限： 師：（1）中的式子如何轉(zhuǎn)化才能求出極限生：可以分子、分母同除以n3，就能夠求出極限師：（2

2、）中含有冪型數(shù)，應(yīng)該怎樣轉(zhuǎn)化？師：分子、分母同時(shí)除以3n-1結(jié)果如何？生：結(jié)果應(yīng)該一樣師：分子、分母同時(shí)除以2n或2n-1，能否求出極限？（二）先求和再求極限例2 求下列極限：由學(xué)生自己先做，教師巡視判斷正誤生：因?yàn)闃O限的四則運(yùn)算法則只適用于有限個(gè)數(shù)列加、減、乘、除的情況此題當(dāng)n，和式成了無(wú)限項(xiàng)的和，不能使用運(yùn)算法則，所以解法1是錯(cuò)的師：解法2先用等差數(shù)列的求和公式，求出分子的和，滿足了極限四則運(yùn)算法則的條件，從而求出了極限第（2）題應(yīng)該怎樣做？生：用等比數(shù)列的求和公式先求出分母的和=12師：例2告訴我們不能把處理有限項(xiàng)和問(wèn)題的思路及方法隨意地搬到無(wú)限項(xiàng)和的問(wèn)題中去，要特別注意極限四則運(yùn)算法則

3、的適用條件例3求下列極限：師：本例也應(yīng)該先求出數(shù)列的解析式，然后再求極限，請(qǐng)同學(xué)觀察所給數(shù)列的特點(diǎn)，想出對(duì)策生：（1）題是連乘積的形式，可以進(jìn)行約分變形生：（2）題是分?jǐn)?shù)和的形式，可以用“裂項(xiàng)法”變形例4設(shè)首項(xiàng)為1，公比為q（q0）的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為sn，師：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和sn怎樣表示？師：看來(lái)此題要分情況討論了師：綜合兩位同學(xué)的討論結(jié)果，解法如下：師：本例重點(diǎn)體現(xiàn)了分類討論思想的運(yùn)用能夠使復(fù)雜問(wèn)題條理化同（三）公比絕對(duì)值小于1的無(wú)窮等比數(shù)列前n項(xiàng)和的極限師：利用無(wú)窮等比數(shù)列所有各項(xiàng)和的概念以及求極限的知識(shí)，我們已經(jīng)得到了公比的絕對(duì)值小于1的無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)和的公式：例5計(jì)算：題目不難

4、，可由學(xué)生自己做師：（1）中的數(shù)列有什么特點(diǎn)？師：（2）中求所有奇數(shù)項(xiàng)的和實(shí)質(zhì)是求什么？（1）所給數(shù)列是等比數(shù)列；（2）公比的絕對(duì)值小于1；（四）利用極限的概念求數(shù)的取值范圍師：（1）中a在一個(gè)等式中，如何求出它的值生：只要得到一個(gè)含有a的方程就可以求出來(lái)了師：同學(xué)能夠想到用方程的思想解決問(wèn)題非常好，怎樣得到這個(gè)方程？生：先求極限師：（2）中要求m的取值范圍，如何利用所給的等式？|q|1，正好能得到一個(gè)含有m的不等式，解不等式就能求出m的范圍解得0m4師：請(qǐng)同學(xué)歸納一下本課中求極限有哪些類型？生：主要有三種類型：（1）利用極限運(yùn)算法則和三個(gè)常用極限，求數(shù)列的極限；（2）先求數(shù)列的前n項(xiàng)和，再求

5、數(shù)列的極限；（3）求公比絕對(duì)值小于1的無(wú)窮等比數(shù)列的極限師：求數(shù)列極限應(yīng)注意的問(wèn)題是什么？生甲：要注意公式使用的條件生乙：要注意有限項(xiàng)和與無(wú)限項(xiàng)和的區(qū)別與聯(lián)系上述問(wèn)答，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生回答的情況，及時(shí)進(jìn)行引導(dǎo)和必要的補(bǔ)充（五）布置作業(yè)1填空題：2選擇題：則x的取值范圍是 的值是 a2 b-2 c1 d-1作業(yè)答案或提示（7）a2選擇題：（2）由于所給兩個(gè)極限存在，所以an與bn的極限必存在，得方程以上習(xí)題教師可以根據(jù)學(xué)生的狀況，酌情選用課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明1掌握常用方法，深化學(xué)生思維數(shù)學(xué)中對(duì)解題的要求，首先是學(xué)生能夠按部就班地進(jìn)行邏輯推理，尋找最常見(jiàn)的解題思路，當(dāng)問(wèn)題解決以后，教師要引導(dǎo)學(xué)生立即反思

6、，為什么要這么做？對(duì)常用方法只停留在會(huì)用是不夠的，應(yīng)該對(duì)常用方法所體現(xiàn)的思維方式進(jìn)行深入探討，內(nèi)化為自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，然后把這種思維方式加以運(yùn)用例1的設(shè)計(jì)就是以此為目的的2展示典型錯(cuò)誤，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)思維第二課時(shí) 數(shù)列極限的運(yùn)算性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)：1、掌握數(shù)列極限的運(yùn)算性質(zhì)；會(huì)利用這些性質(zhì)計(jì)算數(shù)列的極限 2、掌握重要的極限計(jì)算公式：lim(1+1/n)n=e教學(xué)過(guò)程：一、 數(shù)列極限的運(yùn)算性質(zhì)如果liman=a，limbn=b，那么（1）lim(an+bn)= liman+ limbn =a+b（2）lim(an-bn)= liman- limbn =a-b（3）lim(anbn)= liman limbn

7、=ab（4）lim(an/bn)= liman/ limbn =a/b（b0，bn0）注意：運(yùn)用這些性質(zhì)時(shí)，每個(gè)數(shù)列必須要有極限，在數(shù)列商的極限中，作為分母的數(shù)列的項(xiàng)及其極限都不為零。數(shù)列的和的極限的運(yùn)算性質(zhì)可推廣為：如果有限個(gè)數(shù)列都有極限，那么這有限個(gè)數(shù)列對(duì)應(yīng)各項(xiàng)的和所組成的數(shù)列也有極限，且極限值等于這有限個(gè)數(shù)列的極限的和。類似地，對(duì)數(shù)列的積的極限的運(yùn)算性質(zhì)也可作這樣的推廣。注意：上述性質(zhì)只能推廣為有限個(gè)數(shù)列的和與積的運(yùn)算，不能推廣為無(wú)限個(gè)數(shù)列的和與積。二、 求數(shù)列極限1、 lim（5+1/n）=5 2、lim(n2-4)/n2=lim(1-4/n2)=13、 lim(2+3/n)2=4 4

8、、lim(2-1/n)(3+2/n)+(1-3/n)(4-5/n)=105、lim(3n2-2n-5)/(2n2+n-1)=lim(3-2/n-5/n2)/(2+1/n-1/n2)=3/2分析：由于lim(3n2-2n-5)及l(fā)im(2n2+n-1)都不存在，因此不能直接應(yīng)用商的極限運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算。為了能應(yīng)用極限的運(yùn)算性質(zhì)，可利用分式的性質(zhì)先進(jìn)行變形。在變形時(shí)分子、分母同時(shí)除以分子、分母中含n的最高次數(shù)項(xiàng)。4、 一個(gè)重要的數(shù)列極限我們?cè)?jīng)學(xué)過(guò)自然對(duì)數(shù)的底e2.718，它是一個(gè)無(wú)理數(shù)，它是數(shù)列(1+1/n)n的極限。lim(1+1/n)n =e （證明將在高等數(shù)學(xué)中研究）求下列數(shù)列的極限lim

9、(1+1/n) 2n+1 =lim(1+1/n)n (1+1/n)n (1+1/n)=ee1=e2lim(1+3/n)n =lim(1+1/(n/3)n/3 3=e3分析：在底數(shù)的兩項(xiàng)中，一項(xiàng)為1，另一項(xiàng)為3/n，其中分子不是1，與關(guān)于e的重要極限的形式不相符合，為此需要作變形。其變形的目標(biāo)是將分子中的3變?yōu)?，而不改變分式的值。為此可在3/n的分子、分母中同時(shí)除以3，但這樣又出現(xiàn)了新的矛盾，即分母中的n/3與指數(shù)上的n以及取極限時(shí)n不相一致，為此再將指數(shù)上的n改成n/33，又因?yàn)閚與n/3是等價(jià)的。lim(1+1/(n+1)n=lim(1+1/(n+1)(n+1)-1=lim(1+1/(n+1)n+1/lim(1+1/(n+1)=e練習(xí)：計(jì)算下列數(shù)列的極限lim(3-1/2n)=3 lim(1/n2+1/n-2)(3/n-5/2)=5 lim(-3n2-1)/(4n2+1)=-3/4lim(n+3)(n-4)/(n+1)(2n-3)=1/2 lim(1+3/2n) 2=1 lim(1+1/3n)2 (2-1/(n+1) 3=18=8lim(1+1/n)3n+2=lim(1+1/n)n 3(1