四邊形知識(shí)點(diǎn)經(jīng)典總結(jié)

1、四邊形知識(shí)點(diǎn)：一、 關(guān)系結(jié)構(gòu)圖：二、知識(shí)點(diǎn)講解：1平行四邊形的性質(zhì)（重點(diǎn)）：abcd是平行四邊形2.平行四邊形的判定（難點(diǎn)）：.3. 矩形的性質(zhì)：因?yàn)閍bcd是矩形 (4)是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它有兩條對(duì)稱(chēng)軸4矩形的判定：矩形的判定方法：(1)有一個(gè)角是直角的平行四邊形；(2)有三個(gè)角是直角的四邊形；(3)對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形；(4)對(duì)角線(xiàn)相等且互相平分的四邊形 四邊形abcd是矩形.5. 菱形的性質(zhì)：因?yàn)閍bcd是菱形 6. 菱形的判定：四邊形四邊形abcd是菱形.7.正方形的性質(zhì)：abcd是正方形 8. 正方形的判定：四邊形abcd是正方形.名稱(chēng)定義性質(zhì)判定面積平行四邊形兩組對(duì)邊分別平行的四邊形

2、叫做平行四邊形。 對(duì)邊平行；對(duì)邊相等；對(duì)角相等；鄰角互補(bǔ)；對(duì)角線(xiàn)互相平分；是中心對(duì)稱(chēng)圖形定義；兩組對(duì)邊分別相等的四邊形；一組對(duì)邊平行且相等的四邊形；兩組對(duì)角分別相等的四邊形；對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形。s=ah(a為一邊長(zhǎng)，h為這條邊上的高)矩形有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形除具有平行四邊形的性質(zhì)外，還有：四個(gè)角都是直角；對(duì)角線(xiàn)相等；既是中心對(duì)稱(chēng)圖形又是軸對(duì)稱(chēng)圖形。有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形是矩形；定義。s=ab(a為一邊長(zhǎng)，b為另一邊長(zhǎng))菱形有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。除具有平行四邊形的性質(zhì)外，還有四邊形相等；對(duì)角線(xiàn)互相垂直，且每一條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角；既是

3、中心對(duì)稱(chēng)圖形又是軸對(duì)稱(chēng)圖形。四條邊相等的四邊形是菱形；對(duì)角線(xiàn)垂直的平行四邊形是菱形；定義。s=ah(a為一邊長(zhǎng)，h為這條邊上的高)；(b、c為兩條對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng))正方形有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的性質(zhì)：四個(gè)角是直角，四條邊相等；對(duì)角線(xiàn)相等，互相垂直平分，每一條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角；既是中心對(duì)稱(chēng)圖形又是軸對(duì)稱(chēng)圖形。有一組鄰邊相等的矩形是正方形；有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；定義。(a為邊長(zhǎng))；(b為對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng))三精典例題解答：1已知：如圖，e、f是平行四邊形abcd的對(duì)角線(xiàn)ac上的兩點(diǎn)，ae=cf。求證：（1）adfcbe；（2）ebdf。證明：（1）

4、 ae=cf ae+ef=cf+fe 即 af=ce 又abcd是平行四邊形， ad=cb，adbc daf=bce 在adf與cbe中 adfcbe（sas）（2） adfcbe dfa=bec dfeb 例1圖 例2圖2如圖，平行四邊形abcd的對(duì)角線(xiàn)ac、bd相交于點(diǎn)o，e、f是直線(xiàn)ac上的兩點(diǎn)，并且ae=cf，求證：四邊形bfde是平行四邊形。證明： 四邊形abcd是平行四邊形 oa=oc，ob=od又 ae=cf oa+ae=oc+cf 即 oe=of 四邊形bfde是平行四邊形3如圖，在梯形紙片abcd中，adbc，adcd，將紙片沿過(guò)點(diǎn)d的直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)c落在ad上的點(diǎn)c處，折痕

5、de交bc于點(diǎn)e，連結(jié)。求證：四邊形是菱形。證明：根據(jù)題意可知 則 ， adbc cde=ced cd=ce 四邊形為菱形 例3圖4把正方形abcd繞著點(diǎn)a，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到正方形aefg，邊f(xié)g與bc交于點(diǎn)h（如圖）。試問(wèn)線(xiàn)段hg與線(xiàn)段hb相等嗎？請(qǐng)先觀察猜想，然后再證明你的猜想。 解：hg=hb。證法1：連結(jié)ah， 四邊形abcd，aefg都是正方形 b=g=90 由題意知ag=ab，又ah=ah rtaghrtabh（hl） hg=hb證法2：連結(jié)gb 四邊形abcd，aefg都是正方形 abc=agf=90 由題意知ab=ag agb=abg abc-abg =agf-agb 即h

6、bg=hgb hg=hb5如圖，正方形abcd繞點(diǎn)a逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n后得到正方形aefg，邊ef與cd交于點(diǎn)o。 （1）以圖中已標(biāo)有字母的點(diǎn)為端點(diǎn)連結(jié)兩條線(xiàn)段（正方形的對(duì)角線(xiàn)除外），要求所連結(jié)的兩條線(xiàn)段相 交且互相垂直，交說(shuō)明這兩條線(xiàn)段互相垂直的理由；（2）若正方形的邊長(zhǎng)為2cm，重疊部分（四邊形aeod）的面積為，求旋轉(zhuǎn)的角度n。解：（1）我連結(jié)的兩條相交且互相垂直的線(xiàn)段是_ao_和_de_。 理由如下： 在rtado與rtaeo中，ad=ae，ao=ao， rtadortaeo dao=oae（即ao平分dae） aode（等腰三角形的三線(xiàn)合一） 注：其它的結(jié)論也成立如gdbe。（2） 四邊形

7、aeod的面積為 三角形ado的面積= ad=2 dao=30 eab=30即旋轉(zhuǎn)的角度是30 例5圖 例6圖6四邊形abcd、defg都是正方形，連接ae、cg。 （1）求證：ae=cg；（2）觀察圖形，猜想ae與cg之間的位置關(guān)系，并證明你的猜想。證明：（1）如圖， ad=cd，de=dg，adc=gde=90 又 cdg=90+adg=ade adecdg ae=cg（2）猜想：aecg。 證明：如圖，設(shè)ae與cg交點(diǎn)為m，ad與cg交點(diǎn)為n adecdg dae=dcg 又 anm=cnd amncdn amn=adc=90 aecg7已知：如圖，在abc中，ab=ac，adbc，垂足

8、為點(diǎn)d，an是abc外角cam的平分線(xiàn)，cean，垂足為點(diǎn)e，（1）求證：四邊形adce為矩形；（2）當(dāng)abc滿(mǎn)足什么條件時(shí)，四邊形adce是一個(gè)正方形？并給出證明。證明：（1）在abc中，ab=ac，adbc bad=dac an是abc外角cam的平分線(xiàn) mae=cae 又 adbc，cean adc=cea=90 四邊形adce為矩形（2）當(dāng)時(shí)（答案不唯一），四邊形adce是正方形。 證明： ab=ac，adbc于d 又 dc=ad 由（1）四邊形adce為矩形 矩形adce是正方形 例8圖8將平行四邊形紙片abcd按如圖方式折疊，使點(diǎn)c與a重合，點(diǎn)d落到處，折痕為ef。（1）求證：ab

9、eadf；（2）連接cf，判斷四邊形aecf是什么特殊四邊形？證明你的結(jié)論。證明：（1）由折疊可知：， 四邊形abcd是平行四邊形 b=d，ab=cd，c=bad b=d，ab=ad dae=bad，即1+2=2+3 1=3 abeadf（2）四邊形aecf是菱形。 由折疊可知：ae=ec，4=5 四邊形abcd是平行四邊形 adbc 5=6 4=6 af=ae ae=ec af=ec 又 afec 四邊形aecf是平行四邊形 af=ae 四邊形aecf是菱形。9如下圖，已知p正方形abcd的對(duì)角線(xiàn)ac上一點(diǎn)(不與a、c重合)，pebc于點(diǎn)e，pfcd于點(diǎn)f （1）求證：bp=dp；（2）若四

10、邊形pecf繞點(diǎn)c按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中是否總有bp=dp？若是，請(qǐng)給予證明；若不 是，請(qǐng)用反例加以說(shuō)明；（3）試選取正方形abcd的兩個(gè)頂點(diǎn)，分別與四邊形pecf的兩個(gè)頂點(diǎn)連結(jié)，使得到的兩條線(xiàn)段在四邊 形pecf繞點(diǎn)c按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)的過(guò)程中長(zhǎng)度始終相等，并證明你的結(jié)論思路分析：（1）解法一：在abp與adp中，利用全等可得bp=dp 解法二：利用正方形的軸對(duì)稱(chēng)性，可得bp=dp （2）不是總成立當(dāng)四邊形pecf繞點(diǎn)c按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，點(diǎn)p旋轉(zhuǎn)到bc邊上時(shí)， dpdcbp，此時(shí)bp=dp不成立 說(shuō)明：未用舉反例的方法說(shuō)理的不得分 （3）連接be、df，則be與df始終相等 在圖中，可

11、證四邊形pecf為正方形， 在bec與dfc中，可證becdfc 從而有be=df10為創(chuàng)建綠色校園，學(xué)校決定對(duì)一塊正方形的空地進(jìn)行種植花草，現(xiàn)向?qū)W生征集設(shè)計(jì)圖案圖案要求只能用圓弧在正方形內(nèi)加以設(shè)計(jì)，使正方形和所畫(huà)的圖弧構(gòu)成的圖案，既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形種植花草部分用陰影表示請(qǐng)你在圖、圖、圖中畫(huà)出三種不同的的設(shè)計(jì)圖案提示：在兩個(gè)圖案中，只有半徑變化而圓心不變的圖案屬于同一種，例如：圖、圖只能算一種解：以下為不同情形下的部分正確畫(huà)法，答案不唯一11如圖，等腰梯形abcd中，ab=15，ad=20，c=30。點(diǎn)m、n同時(shí)以相同速度分別從點(diǎn)a、點(diǎn)d開(kāi)始在ab、ad（包括端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)。（1）設(shè)

12、nd的長(zhǎng)為x，用x表示出點(diǎn)n到ab的距離，并寫(xiě)出x的取值范圍。（2）設(shè)，用t表示amn的面積。（3）求amn的面積的最大值，并判斷取最大值時(shí)amn的形狀。解：（1）過(guò)點(diǎn)n作ba的垂線(xiàn)np，交ba的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)p。 由已知：，。 四邊形abcd是等腰梯形，abcd，d=c=30， pan=d=30。 在rtapn中， 即點(diǎn)n到ab的距離為。 點(diǎn)n在ad上，點(diǎn)m在ab上， x的取值范圍是。（2）根據(jù)（1），。（3） ， 當(dāng)t=0時(shí)，即x=10時(shí)，有最大值25。 當(dāng)x=10時(shí)，即nd=am=10，an=ad-nd=10，即am=an。 此時(shí)，amn為等腰三角形。12（08通州22改編）如圖，在abcd中，ab=8cm，ad=6cm，dab=60，點(diǎn)m是邊ad上一點(diǎn)，且dm=2cm，點(diǎn)e、f分別是邊ab、bc上的點(diǎn)，em、cd的延長(zhǎng)線(xiàn)交于g，gf交ad于o，設(shè)ae=cf=x，（1）試用含x的代數(shù)式表示cgf的面積；（2