探究線性系統(tǒng)的可控性

1、中國石油大學(xué)（北京）自動化系探究線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性摘要線性系統(tǒng)的可控性是系統(tǒng)的一種重要特性，是線性系統(tǒng)理論中一個基本而重要的概念。本文就線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)、系統(tǒng)以及輸出可控性作出嚴(yán)格詳細(xì)的定義，再分別介紹了多種實(shí)用判據(jù)，最后就可控規(guī)范型作了簡要介紹。本文對可控性理解深入全面，對讀者有較好的引導(dǎo)作用。關(guān)鍵詞：線性定常連續(xù)系統(tǒng) 可控性Summary Controllability of linear systems is an important characteristic of the system is linear system theory in a basic and imp

2、ortant concept. In this paper, a continuous linear time-invariant systems, the system and the output controllability detailed and stringent definition, and then introduced a variety of practical criteria, and finally made a brief presentation on the controllable canonical form. In this paper, contro

3、llable depth and comprehensive understanding of the readers have a better guide. Keywords: linear time-invariant continuous system controllability目錄1.問題的提出- 3 -2. 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)可控性的定義- 4 -2.1 狀態(tài)可控性定義- 4 -2.2 系統(tǒng)可控性定義- 4 -2.3 可控性定義在相平面說明：- 5 -2.4 可控性定義綜述- 5 -3. 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)可控性的判據(jù)- 6 -3.1 可控性秩判據(jù)- 6 -3.2 約當(dāng)規(guī)范

4、型判據(jù)- 6 -4. 線性定常連續(xù)系統(tǒng)輸出可控性- 8 -4.1 輸出可控性的定義- 8 -4.2 輸出可控性判據(jù)- 8 -5. 線性定常連續(xù)系統(tǒng)可控規(guī)范型- 10 -6.參考資料：- 11 -1.問題的提出經(jīng)典控制理論中用傳遞函數(shù)描述系統(tǒng)的輸入輸出特性，輸出量即被控量，只要系統(tǒng)是因果系統(tǒng)并且是穩(wěn)定的，輸出量便可以受控，且輸出量總是可以被測量的，因而不需要提出可控性和可觀性的概念?，F(xiàn)代控制理論是建立在用狀態(tài)空間法描述系統(tǒng)的基礎(chǔ)上的。狀態(tài)方程描述輸入u(t)引起狀態(tài)x(t)的變化過程；輸出方程描述由狀態(tài)變化所引起的輸出y(t)的變化?？煽匦院涂捎^性正是定性地分別描述輸入u(t)對狀態(tài)x(t)的控

5、制能力，輸出y(t)對狀態(tài)x(t)的反映能力。它們分別回答：“輸入能否控制狀態(tài)變化”可控性“狀態(tài)的變化能否由輸?shù)某龇从吵鰜怼笨捎^性可控性和可觀性是卡爾曼（Kalman）在1960年首先提出來的。可控性和可觀性的概念在現(xiàn)代控制理論中無論是理論上還是實(shí)踐上都是非常重要的。例如：在最優(yōu)控制問題中，其任務(wù)是尋找輸入u(t)，使?fàn)顟B(tài)達(dá)到預(yù)期的軌線。就定常系統(tǒng)而言，如果系統(tǒng)的狀態(tài)不受控于輸入u(t)，當(dāng)然就無法實(shí)現(xiàn)最優(yōu)控制。另外，為了改善系統(tǒng)的品質(zhì)，在工程上常用狀態(tài)變量作為反饋信息。可是狀態(tài)x(t)的值通常是難以測取的，往往需要從測量到的y(t)中估計(jì)出狀態(tài)x(t)；如果輸出y(t)不能完全反映系統(tǒng)的狀態(tài)

6、x(t)，那么就無法實(shí)現(xiàn)對狀態(tài)的估計(jì)。狀態(tài)空間表達(dá)式是對系統(tǒng)的一種完全的描述。判別系統(tǒng)的可控性和可觀性的主要依據(jù)就是狀態(tài)空間表達(dá)式。在此基礎(chǔ)上，我們小組研究了線性定常連續(xù)可控性的定義和判據(jù)。2. 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)可控性的定義考慮線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)方程 （2-1）其中，x為n維狀態(tài)向量；D為p維輸入向量；為時間定義區(qū)間；和分別為的矩陣.2.1 狀態(tài)可控性定義&=對于式(2-1)所示線性時變系統(tǒng)，如果對取定初始時刻的一個非零初始狀態(tài)，存在一個時刻和一個無約束的容許控制，使?fàn)顟B(tài)由轉(zhuǎn)移到時的,則稱 此是在時刻可控的。2.2 系統(tǒng)可控性定義系統(tǒng)可控對于式(2-1)所示線性時變系統(tǒng)，如果狀態(tài)空間中的所

7、有非零狀態(tài)都是在時刻可控的，則稱系統(tǒng)在時刻是完全可控的，簡稱系統(tǒng)在時刻可控。若系統(tǒng)在所有時刻都是可控的，則稱系統(tǒng)是一致可控的。對于式(2-1)所示線性時變系統(tǒng)，取定初始時刻，如果狀態(tài)空間中存在一個或一些非零狀態(tài)在時刻是不可控的，則稱系統(tǒng)在時刻是不完全可控的，也稱為系統(tǒng)是不可控的。2.3 可控性定義在相平面說明：PP3P1P2PnP40x1x2可控狀態(tài)的圖形上述定義可以在二階系統(tǒng)的相平面上來說明。假如相平面中的P點(diǎn)能在輸入的作用下轉(zhuǎn)移到任一指定狀態(tài)，那么相平面上的P點(diǎn)是可控狀態(tài)。假如可控狀態(tài)“充滿”整個狀態(tài)空間，即對于任意初始狀態(tài)都能找到相應(yīng)的控制輸入，使得在有限時間間隔內(nèi)，將此狀態(tài)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空

8、間中的任一指定狀態(tài)，則該系統(tǒng)稱為狀態(tài)完全可控。2.4 可控性定義綜述在可控性定義中，把系統(tǒng)的初始狀態(tài)取為狀態(tài)空間中的任意有限點(diǎn)，而終端狀態(tài)也規(guī)定為狀態(tài)空間中的任意點(diǎn)，這種定義方式不便于寫成解析形式。為了便于數(shù)學(xué)處理，而又不失一般性，我們把上面的可控性定義分兩種情況敘述：把系統(tǒng)的初始狀態(tài)規(guī)定為狀態(tài)空間中的任意非零點(diǎn)，而終端目標(biāo)規(guī)定為狀態(tài)空間中的原點(diǎn)。于是原可控性定義可表述為：對于給定的線性定常系統(tǒng)，如果存在一個分段連續(xù)的輸入，能在有限時間間隔內(nèi)，將系統(tǒng)由任意非零初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)，則稱此系統(tǒng)是狀態(tài)完全可控的，簡稱系統(tǒng)是可控的。把系統(tǒng)的初始狀態(tài)規(guī)定為狀態(tài)空間的原點(diǎn)，即，終端狀態(tài)規(guī)定為任意非零有限

9、點(diǎn)，則可達(dá)定義表述如下：對于給定的線性定常系統(tǒng)，如果存在一個分段連續(xù)的輸入，能在有限時間間隔內(nèi)，將系統(tǒng)由零初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到任一指定的非零終端狀態(tài)，則稱此系統(tǒng)是狀態(tài)完全可達(dá)的，簡稱系統(tǒng)是可達(dá)的（能達(dá)的）。3. 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)可控性的判據(jù)3.1 可控性秩判據(jù)線性定常連續(xù)系統(tǒng)（2-1）完全可控的充分必要條件是：其中n為矩陣A的維數(shù)，稱為系統(tǒng)的可控性判別陣。3.2 約當(dāng)規(guī)范型判據(jù)（1）對角線規(guī)范型判據(jù)若矩陣A的特征值是兩兩相異的，則：由線性變換可將式(2-1)變?yōu)閷蔷€規(guī)范型 （3-1）系統(tǒng)(9-98)完全可控的充分必要條件是，在式(3-1)中，B不包含元素全為零的行。(2) 約當(dāng)規(guī)范型判據(jù)若：矩

10、陣A的特征值為，且則：由線性變換可將式(2-1)化為約當(dāng)規(guī)范型 其中， 而，由的最后一行組成矩陣系統(tǒng)(2-1)完全可控的充分必要條件是，對均為行線性無關(guān)。4. 線性定常連續(xù)系統(tǒng)輸出可控性如果系統(tǒng)需要控制的是輸出量而不是狀態(tài)，則需研究系統(tǒng)的輸出可控性。4.1 輸出可控性的定義 若在有限時間間隔內(nèi)，存在無約束分段連續(xù)控制函數(shù)，能使任意初始輸出轉(zhuǎn)移到任意最終輸出，則稱此系統(tǒng)是輸出完全可控，簡稱輸出可控。4.2 輸出可控性判據(jù) 設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為 （4-1）式中，u為p維輸入向量；y為g維輸出向量；x為n維狀態(tài)向量。狀態(tài)方程(4-1)的解為則輸出不失一般性，令，有令，則有 令矩陣，稱為輸出可控性矩陣。輸出可控的充分必要條件是，輸出可控性矩陣的秩等于輸出變量的維數(shù)q，即需要注意的是，狀態(tài)可控性與輸出可控性是兩個不同的概念，二者沒有什么必然的聯(lián)系。5. 線性定常連續(xù)系統(tǒng)可控規(guī)范型如果該系統(tǒng)可控則存在非奇異變換使得系統(tǒng)化為下列可控規(guī)范型：證明：如果系統(tǒng)可控則令則非奇異。由的定義可得若存在，則兩端右乘以b有即于是兩端右乘以Ab有即有重復(fù)上述過程