(雙語原創(chuàng))1變化率

1、導(dǎo)導(dǎo) 數(shù)數(shù)x)x(f)xx(flimxylim0 x0 x問題問題1 氣球膨脹率（閱讀教材氣球膨脹率（閱讀教材P72，并填空），并填空） 在吹氣球的過程中在吹氣球的過程中, 可發(fā)現(xiàn)可發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加的增加, 氣球的半徑增加得越來越慢氣球的半徑增加得越來越慢. 從數(shù)學(xué)的角度從數(shù)學(xué)的角度, 如如何描述這種現(xiàn)象呢何描述這種現(xiàn)象呢? 氣球的體積氣球的體積V(單位單位:L)與半徑與半徑r (單位單位:dm)之間的函數(shù)關(guān)系是之間的函數(shù)關(guān)系是. 34)(V3rr.4V3 )V( 3r當(dāng)空氣容量當(dāng)空氣容量V從從0L增加到增加到1L , 氣球的平均膨脹氣球的平均膨脹率為率為 。)

2、,dm/L(62. 001)0( ) 1 ( rr當(dāng)空氣容量當(dāng)空氣容量V從從1L增加到增加到2 L , 氣球的平均膨脹氣球的平均膨脹率為率為 。),dm/L(16. 012) 1 ( )2( rr 隨著氣隨著氣球體積逐球體積逐漸變大漸變大,它它的平均膨的平均膨脹率逐漸脹率逐漸變小變小 探究：探究：當(dāng)空氣容量從當(dāng)空氣容量從V1增加到增加到V2時(shí)時(shí),氣球的平均膨脹率氣球的平均膨脹率如何表示如何表示?2121()()r Vr VVV式子式子 稱為函數(shù)稱為函數(shù) f (x)從x1到到 x2的平均變化率的平均變化率.1212)()(xxxfxf分析：平均變化率 表示什么?一、函數(shù)平均變化率定義、公式及幾何

3、意義一、函數(shù)平均變化率定義、公式及幾何意義 1，定義 2，幾何意義令令x = x2 x1 , y= f (x2) f (x1) ,則則x)xx(f)x(fx)x(f)xx(fxx)x(f)x(fxy22111212平均變化率：注意理解：注意理解：1,函數(shù)平均變化率的作用是反映函數(shù)在函數(shù)平均變化率的作用是反映函數(shù)在某范圍內(nèi)某范圍內(nèi)變變化的快慢化的快慢。2，式子中，式子中x 、 y的值可正、可負(fù)，但的值可正、可負(fù)，但是是x值值不能為不能為0.3，若函數(shù)，若函數(shù)f (x)為常函數(shù)時(shí)，為常函數(shù)時(shí)，y的增量的增量 y =0 則則 y /x=0.4，x 、 y計(jì)算時(shí)，一定要注意對應(yīng)順序。計(jì)算時(shí)，一定要注意

4、對應(yīng)順序。割線AB的斜率121)( )f xxx2f(xx)xx(f)x(fx)x(f)xx(fxx)x(f)x(fxy22111212平均變化率：OABx yY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y，并比較其大小平均變化率時(shí)的附近在變式練習(xí)：分別求函數(shù)3210k,k,k21x3 , 2 , 1x(做筆記)求平均變化率的主要步驟是：(1)計(jì)算y：計(jì)算函數(shù)值的改變量yf(x1)f(x0)；(2)計(jì)算x：計(jì)算自變量的改變量xx1x0；(3)結(jié)論：得平均變化率yxfx1fx0 x1x0.練習(xí)練習(xí): 1.甲用甲用5年時(shí)間掙到年時(shí)間掙到10萬元萬元, 乙用乙用5個(gè)

5、月時(shí)間掙到個(gè)月時(shí)間掙到2萬萬元元, 如何比較和評價(jià)甲、乙兩人的經(jīng)營成果如何比較和評價(jià)甲、乙兩人的經(jīng)營成果? 2.已知函數(shù)已知函數(shù) f (x) = 2 x +1, g (x) = 2 x, 分別計(jì)算在分別計(jì)算在下列區(qū)間上下列區(qū)間上 f (x) 及及 g (x) 的平均變化率的平均變化率.(1) 3 , 1 ; (2) 0 , 5 .3.已知函數(shù)f(x)= -x2+x的圖象上的一點(diǎn)A(-1,-2)及臨近一點(diǎn)B(-1+x,-2+y),則y/x=( ) A 3 B 3x-(x)2 C 3-(x)2 D 3-x 求在求在0 t 0.5這段時(shí)間里這段時(shí)間里,平均速度平均速度 。問題導(dǎo)思：問題導(dǎo)思： 高臺跳

6、水（閱讀教材高臺跳水（閱讀教材P73，并填空），并填空）10t 5 . 6t9 . 4) t (h:2函數(shù)表達(dá)式);m/s(05. 405 . 0)0()5 . 0(hhv 探究探究:計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在 這段這段時(shí)間里的平均速度時(shí)間里的平均速度,并思考下面的問題并思考下面的問題:(1) 運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里是靜止的嗎運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里是靜止的嗎?(2) 你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么問題嗎運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么問題嗎?4965t0二、瞬時(shí)速度，瞬時(shí)變化率及二、瞬時(shí)速度，瞬時(shí)變化率及導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 在高臺跳水運(yùn)動(dòng)中在高臺跳水運(yùn)動(dòng)中, ,平平均速度均速度只

7、只能能粗略粗略地地反反映映她們她們在這段時(shí)間里在這段時(shí)間里運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，需要用運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，需要用瞬瞬時(shí)速度時(shí)速度來來較為準(zhǔn)確較為準(zhǔn)確地地描述運(yùn)動(dòng)狀態(tài)描述運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度：物體在某一物體在某一時(shí)刻的速度時(shí)刻的速度.思考：思考：如何如何求求瞬時(shí)速度呢瞬時(shí)速度呢?t0時(shí)時(shí), 在在2, 2 +t 這段時(shí)這段時(shí)間內(nèi)間內(nèi)當(dāng)t = 0.01時(shí),當(dāng)t = 0.001時(shí),當(dāng)t = 0.0001時(shí),t = 0.00001,t = 0.000001,1 .139 . 4tv1 .139 . 4tv051.13v149.13v當(dāng)t = 0.01時(shí),0951.13v1049.13v當(dāng)t =0.001時(shí),09951.

8、13v10049.13v當(dāng)t =0.0001時(shí),099951.13v100049.13vt = 0.00001,0999951.13v1000049.13vt =0.000001,問問1：從：從2s到到(2+t)s這段時(shí)間內(nèi)平均速度這段時(shí)間內(nèi)平均速度閱讀教材P74，表格思考：如何求2s時(shí)的瞬時(shí)速度？)0t(t9 . 41 .13t)2(h) t2(hthv問問2：從表達(dá)式和表格看：從表達(dá)式和表格看2s時(shí)的瞬時(shí)速度與時(shí)的瞬時(shí)速度與(2，2+t)s這段時(shí)間內(nèi)平均速度有怎樣的這段時(shí)間內(nèi)平均速度有怎樣的關(guān)系？關(guān)系？)0t(t9 . 41 .13t)2(h) t2(hthv1 .13) t9 . 41

9、.13(limthlim0t0t（了解）知識補(bǔ)充：（了解）知識補(bǔ)充：右極限左極限極限存在右極限：左極限：:, 21 .13) t9 . 41 .13(lim1 .13) t9 . 41 .13(lim, 10t0t簡要回顧：1，什么是瞬時(shí)速度？2，瞬時(shí)速度和平均速度有什么關(guān)系？3，如果要去計(jì)算瞬時(shí)速度，你認(rèn)為步驟該是什么？類類 比比 探探 究究: :1.就跳水問題，運(yùn)動(dòng)員在某一時(shí)刻就跳水問題，運(yùn)動(dòng)員在某一時(shí)刻 t0 的瞬時(shí)速的瞬時(shí)速度怎樣表示度怎樣表示?2.類似的，函數(shù)類似的，函數(shù)y=f (x)在在(x0 ,f(x0 )處的瞬時(shí)處的瞬時(shí)變化率怎樣表示變化率怎樣表示?5 . 68 . 9)5 .

10、 68 . 99 . 4(lim)5 . 68 . 9()(9 . 4lim)()(lim000020000ttttttttthtthttt函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義: :一概念的兩個(gè)名稱。瞬時(shí)變化率與導(dǎo)數(shù)是同函數(shù)函數(shù) y = f (x) 在在 點(diǎn)點(diǎn)(x0,f(x0) 處的瞬時(shí)變化率是處的瞬時(shí)變化率是 0000( )() limlim xxf xxf xyxx 稱為函數(shù)稱為函數(shù) y = f (x) 在在 點(diǎn)(x0,f(x0) 處的處的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù), 記作記作)(0 xf 或或 , 即即0|xxy.x )x(f)xx(flimxylim)x(f000 x0 x0 說說 明：明：

11、 1 ，（，（1）函數(shù)在）函數(shù)在x0附近有定義（首要條件）附近有定義（首要條件） （2）x趨近于趨近于0時(shí)，比值時(shí)，比值y/x的極限的極限存在，且是唯一確定的值，則存在，且是唯一確定的值，則 f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)；處可導(dǎo)；若比值的極限不存在，則若比值的極限不存在，則f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)或處不可導(dǎo)或者導(dǎo)數(shù)不存在。者導(dǎo)數(shù)不存在。2，函數(shù)在點(diǎn)（，函數(shù)在點(diǎn)（x0，f(x0)處的導(dǎo)數(shù)的物理意義是：處的導(dǎo)數(shù)的物理意義是：反映了函數(shù)點(diǎn)反映了函數(shù)點(diǎn)(x0,f(x0)處變化的快慢處變化的快慢3，函數(shù)在，函數(shù)在x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)f (x0)只與只與x0有關(guān)，與有關(guān)，與x無關(guān)。不同是無關(guān)。不同是x0

12、，對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)一般是不一樣，對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)一般是不一樣的。的。) t(t) tx(f) tx(flimx)x(f)xx(flimx)x(f)xx(flimxx)x(f)x(flim)(xf.xx1000t000 x000 x1212xx0012數(shù)在某點(diǎn)的平均變化率的極限是函：處的導(dǎo)數(shù)定義可變形為，在點(diǎn)補(bǔ)充：（1）求函數(shù)的改變量）求函數(shù)的改變量（2） 求平均變化率求平均變化率（3）求值）求值00()();yfxxfx .xylim)x(f0 x000()();fxxfxyxx 2， 求函數(shù)求函數(shù) y = f (x)在在x0處導(dǎo)數(shù)的步驟處導(dǎo)數(shù)的步驟:簡記簡記：1 1差，差，2 2比，比，3 3趨近趨近處

13、的導(dǎo)數(shù)。在：例。物體的初速度它的意義；末的瞬時(shí)速度，并說明物體在內(nèi)的平均速度；物體在求：時(shí)間單位：位移下：若一物體運(yùn)動(dòng)方程如例1xx1-xf(x)3.v)3(s1)2(3,5t) 1 ()3t0()3t (329)3t (2t 3S) s:,m:(222處的導(dǎo)數(shù)。在求時(shí)的瞬時(shí)速度為運(yùn)動(dòng)，則在按照規(guī)律如果質(zhì)點(diǎn)為則及附近一點(diǎn)的圖象上取一點(diǎn)在曲線均無關(guān)與無關(guān)有關(guān)，而與僅與無關(guān)有關(guān)，而與僅與都有關(guān)與處可導(dǎo)，則在函數(shù)滿足量的增量在導(dǎo)數(shù)的定義中，自變練習(xí)：1x,xy, 55t3tsA, 42x1x.D2x.C2x1x.B2x1xA.)(xy y),x,2(1(1,2)1xy, 3h,x.Dxh.Chx.B

14、h,x.A)(h)x(f)hx(flimxf(x)2,0 x.D0 x.C0 x.B0 x.A)(x, 12220000000h0的值。求設(shè)求附近有意義，且在設(shè)公式的變形及應(yīng)用例：x2)xa (f)x3a (flim3,(a)f(2)(xf, 1h)x(f)h2x(flimxxf(x)(1)(0 x0000h0的值。求且若求處可導(dǎo)，且在練習(xí)：a2,(1)fcaxf(x), 2)(xf, 1x)x(f)x3x(flimxxf(x)y1,20000 x0方法提示：把握公式形式及變形方法提示：把握公式形式及變形小結(jié) 1，函數(shù)的平均變化率的公式是什么？幾何意義呢？函數(shù)平均變化率的反映函數(shù)怎樣的情況？(

15、 x， y的含義是什么？它們的正負(fù)情況如何？) 2，函數(shù)平均變化率的求解步驟是什么？ 3，函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)和該點(diǎn)的瞬時(shí)變化率是同一概念嗎？函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的反映函數(shù)怎樣的情況？(某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)（或說極限）存在的要求是什么？導(dǎo)數(shù)反映怎樣的思想？) 4，函數(shù)在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的求解步驟是什么？ 5，公式有哪些變形？最基礎(chǔ)的是哪個(gè)公式？，完成活頁卷作業(yè)：12,航天飛機(jī)發(fā)射后的一段時(shí)間內(nèi)，第t s 時(shí)的高度 h(t)5t330t245t4，其中 h 的單位為 m，t 的單位為 s.(1)h(0)，h(1)分別表示什么？(2)求第 1 s 內(nèi)高度的平均變化率；(3)求第 1 s 末高度的瞬時(shí)變化率，并說明它的

16、意義3,證明： 若 f(x0)存在， 則limx0fx0 xfx0 xx2f(x0) 4，【問題導(dǎo)思】 下圖是一座山的剖面示意圖，并建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系A(chǔ)是出發(fā)點(diǎn)，H是山頂爬山路線用函數(shù)yf(x)表示 自變量x表示某旅游者的水平位置，函數(shù)值yf(x)表示此時(shí)旅游者所在的高度設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x1，y1)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x2，y2)思考思考：1若旅游者從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，自變量x和函數(shù)值y的改變量分別是多少？2y的改變量的大小能否判斷山路的陡峭程度？ 3怎樣用數(shù)量刻畫彎曲山路的陡峭程度？問題問題2 高臺跳水（閱讀教材高臺跳水（閱讀教材P73，并填空），并填空） 在高臺跳水運(yùn)動(dòng)中在高臺跳水運(yùn)動(dòng)中, 運(yùn)動(dòng)員相對于水面的高度運(yùn)動(dòng)員相對于水面的高度 h (單單位位:m)與起跳后的時(shí)間與起跳后的時(shí)間 t (單位單位:s) 存在函數(shù)關(guān)系存在函數(shù)關(guān)系10t 5 . 6t9 . 4) t (h2v 如果用運(yùn)動(dòng)員在某段時(shí)間內(nèi)的平均速度如果用運(yùn)動(dòng)員在某段時(shí)間內(nèi)的平均速度 描述其運(yùn)描述其