精品課程固體物理ppt電子教案課件5.4緊束縛近似

1、第四節(jié)第四節(jié) 緊束縛近似緊束縛近似本節(jié)主要內(nèi)容本節(jié)主要內(nèi)容: :5.4.1 5.4.1 模型和微擾計(jì)算模型和微擾計(jì)算5.4.2 5.4.2 一個(gè)簡(jiǎn)單的例子一個(gè)簡(jiǎn)單的例子5.4.3 5.4.3 適用性適用性5.4 緊束縛近似 晶體中的電子在某個(gè)原子附近時(shí)主要受該原子勢(shì)場(chǎng)晶體中的電子在某個(gè)原子附近時(shí)主要受該原子勢(shì)場(chǎng) 的作用，其他原子的作用視為微擾來(lái)處理，以孤立原子的電子的作用，其他原子的作用視為微擾來(lái)處理，以孤立原子的電子態(tài)作為零級(jí)近似。態(tài)作為零級(jí)近似。)(nrrv 1.模型：5.4.1 模型和微擾計(jì)算 mrmatnatrrvrrvrv)()(2.勢(shì)場(chǎng) 的的孤孤立立原原子子在在表表示示位位于于33

2、2211)(anananrrrvnn mrnmrrr一一項(xiàng)項(xiàng)表表示示求求和和不不含含處處的的勢(shì)勢(shì)場(chǎng)場(chǎng)，。rnr0nrr rmatnathhrrvrrvmhm 022)()(2)(2220natrrvmh mrmatnatrrvrrvrv)()( 如果不考慮原子間的相互影響，在格點(diǎn)如果不考慮原子間的相互影響，在格點(diǎn) 附近的電子將以附近的電子將以原子束縛態(tài)原子束縛態(tài) 繞繞 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。 表示孤立原子的電子波表示孤立原子的電子波函數(shù)函數(shù) 。 nr)(natrr nrat 2.方程與計(jì)算 mrmatrrvh)()()(0natatnatrrerrh (1)(1)孤立原子運(yùn)動(dòng)方程孤立原子運(yùn)動(dòng)方程孤立

3、原子中的電子能級(jí)，孤立原子中的電子能級(jí)， 表示所處能級(jí)表示所處能級(jí)1s1s，2s2s，2p2p等。等。ate (2)(2)晶體中電子運(yùn)動(dòng)方程晶體中電子運(yùn)動(dòng)方程),()(),(rkkerkh )()(0natatnatrrerrh (3)(3)的的關(guān)關(guān)系系與與)(),(natrrrk 電子繞格點(diǎn)電子繞格點(diǎn) 處原子的運(yùn)動(dòng)方程處原子的運(yùn)動(dòng)方程nr 如果晶體是由如果晶體是由n個(gè)相同的原子構(gòu)成的布拉維晶格，則在各個(gè)相同的原子構(gòu)成的布拉維晶格，則在各原子附近將有原子附近將有n個(gè)相同的能量個(gè)相同的能量 的束縛態(tài)波函數(shù)的束縛態(tài)波函數(shù) ，因此在，因此在不考慮原子間相互作用時(shí)，應(yīng)有不考慮原子間相互作用時(shí)，應(yīng)有n個(gè)

4、類(lèi)似的方程。個(gè)類(lèi)似的方程。ate at )()()(21natsatsatsatrrrrrre 這些波函數(shù)對(duì)應(yīng)于同樣的能量這些波函數(shù)對(duì)應(yīng)于同樣的能量atse是是n重簡(jiǎn)并的?？紤]到微擾后，晶體重簡(jiǎn)并的?？紤]到微擾后，晶體中電子運(yùn)動(dòng)波函數(shù)應(yīng)為中電子運(yùn)動(dòng)波函數(shù)應(yīng)為n個(gè)原子軌道個(gè)原子軌道波函數(shù)的線性組合。波函數(shù)的線性組合。 即用孤立原子的電子波函數(shù)即用孤立原子的電子波函數(shù) 的線性組合來(lái)構(gòu)成晶體中電的線性組合來(lái)構(gòu)成晶體中電子共有化運(yùn)動(dòng)的波函數(shù)，因此緊束縛近似也稱為原子軌函線性子共有化運(yùn)動(dòng)的波函數(shù)，因此緊束縛近似也稱為原子軌函線性組合法組合法, ,簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱 lcaolcao。at nrnatnrrcrk)

5、(),( )()(rrhkkk 所以可以將所以可以將 在波矢空間作傅里葉展開(kāi)在波矢空間作傅里葉展開(kāi) ),(rk nnrrkinr ,rwnr ,k)e(1)( 在周期性勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的波函數(shù)一定是布洛赫波函數(shù)，而在周期性勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的波函數(shù)一定是布洛赫波函數(shù)，而布洛赫波函數(shù)在布洛赫波函數(shù)在 空間具有周期性，即：空間具有周期性，即：k)(e1)(natrrk irrnr ,knn krk inr ,knr ,rwn)(e1)( kkrk irk inrunr ,rwn)(ee1)( knkrrk irrunn)(e1)()(nrrw ),(rrwn 稱為萬(wàn)尼爾稱為萬(wàn)尼爾(wannier)函數(shù)函數(shù),其重

6、要特征為：其重要特征為：)(e)(rur ,kkrki 由布洛赫定理由布洛赫定理 (1) (1) 此函數(shù)是以格點(diǎn)此函數(shù)是以格點(diǎn) 為中心的波包，因而具有定域?yàn)橹行牡牟ò?，因而具有定域的特性；的特性；nr(2)(2)不同能帶不同格點(diǎn)的萬(wàn)尼爾函數(shù)是正交的，即不同能帶不同格點(diǎn)的萬(wàn)尼爾函數(shù)是正交的，即 nnnnnrrwrrw)d()( nnnrrwrrw )d()( nn krrk innn )(e1 knrkrkir ,kr ,knnn )d()(e1)( 當(dāng)晶體中原子間距增大，每個(gè)原子的勢(shì)場(chǎng)對(duì)電子有較強(qiáng)的當(dāng)晶體中原子間距增大，每個(gè)原子的勢(shì)場(chǎng)對(duì)電子有較強(qiáng)的束縛作用，當(dāng)電子距某一原子較近時(shí)，電子的行為同

7、孤立原子束縛作用，當(dāng)電子距某一原子較近時(shí)，電子的行為同孤立原子中的電子行為相似。此時(shí)萬(wàn)尼爾函數(shù)中的電子行為相似。此時(shí)萬(wàn)尼爾函數(shù) 也應(yīng)當(dāng)接近孤立也應(yīng)當(dāng)接近孤立原子的波函數(shù)原子的波函數(shù))(nrrw )(natrr nnrnatrk irrnr ,k)(e1)( -布洛赫和布洛赫和于是于是將此波函數(shù)代入薛定諤方程將此波函數(shù)代入薛定諤方程得),()(),(rkkerkh 0)()()()(2e122 natrmatrnatrk irrkerrvrrvmnmnn 0)()()()(2e122 natmatrnatrk irrkerrvrrvmnnn 0h)()(0natatnatrrerrh 0)()(

8、)( natrmatatrkrrrrvkeeenn ，并并對(duì)對(duì)整整個(gè)個(gè)晶晶體體積積分分得得上上式式左左乘乘)(satrr 0d )()()(e)(e nnnnrnatmatsatrk isnratrk irrrrvrrkee令令snnatmatsatjdrrrrvrr )()()( nnsrsnrk iatrk ijkee0e)(e nsnrsnrrk issatjjkee0e)()( nsnrsnrrk issatjjeke)(e)( nnssrsnrk issrk iatrk ijjkee0ee)(e 利用周期性邊界條件容易證明波矢在第一布里淵區(qū)共有利用周期性邊界條件容易證明波矢在第一布里

9、淵區(qū)共有n個(gè)值個(gè)值( (n為晶體的原胞個(gè)數(shù)為晶體的原胞個(gè)數(shù)) )，對(duì)應(yīng)，對(duì)應(yīng)n個(gè)準(zhǔn)連續(xù)的能量本征值形個(gè)準(zhǔn)連續(xù)的能量本征值形成一個(gè)能帶。亦即，孤立原子的能級(jí)與晶體中的電子能帶相對(duì)成一個(gè)能帶。亦即，孤立原子的能級(jí)與晶體中的電子能帶相對(duì)應(yīng)。如應(yīng)。如2s2s、2p2p等能帶。等能帶。 jsn表示相距為表示相距為 的兩個(gè)格點(diǎn)上的波函數(shù)的重疊積分的兩個(gè)格點(diǎn)上的波函數(shù)的重疊積分，它依賴于，它依賴于 與與 的重疊程度，的重疊程度， 重重疊最完全，即疊最完全，即jss最大，其次是最近鄰格點(diǎn)的波函數(shù)的重疊積分最大，其次是最近鄰格點(diǎn)的波函數(shù)的重疊積分，涉及較遠(yuǎn)格點(diǎn)的積分甚小，通?？珊雎圆挥?jì)。，涉及較遠(yuǎn)格點(diǎn)的積分甚小

10、，通?？珊雎圆挥?jì)。)rr(sat )(natrr nsrr nsrr 近鄰nsnrsnrrkissatjje)(e nsnrsnrrk issatjjeke)(e)( 近鄰原子的波函數(shù)重疊愈多，近鄰原子的波函數(shù)重疊愈多， 的值愈大，能帶將愈寬。的值愈大，能帶將愈寬。由此可見(jiàn)：與原子內(nèi)層電子所對(duì)應(yīng)的能帶較窄，而且不同原子由此可見(jiàn)：與原子內(nèi)層電子所對(duì)應(yīng)的能帶較窄，而且不同原子態(tài)所對(duì)應(yīng)的態(tài)所對(duì)應(yīng)的 和和 是不同的。是不同的。snjssjsnj5.4.2 一個(gè)簡(jiǎn)單的例子簡(jiǎn)單立方晶體中，由孤立原子簡(jiǎn)單立方晶體中，由孤立原子s s態(tài)所形成的能帶。態(tài)所形成的能帶。 由于由于s s態(tài)波函數(shù)是球?qū)ΨQ的，因而態(tài)波

11、函數(shù)是球?qū)ΨQ的，因而jsn僅與僅與 原子間距有原子間距有關(guān)，只要原子間距相等，重疊積分就相等。對(duì)于簡(jiǎn)立方最近鄰關(guān)，只要原子間距相等，重疊積分就相等。對(duì)于簡(jiǎn)立方最近鄰原子有原子有6個(gè)，以個(gè)，以 處原子為參考原子，處原子為參考原子，6 6個(gè)最近鄰原子的坐標(biāo)個(gè)最近鄰原子的坐標(biāo)為：為： nsrr、0 sr)a()a, 0 , 0( )0 , a, 0( )0 , 0 , a(為為晶晶格格常常量量其其中中， 對(duì)對(duì)6個(gè)最近鄰原子，個(gè)最近鄰原子，jsn具有相同的值，不妨用具有相同的值，不妨用j表示，這樣表示，這樣得能量函數(shù)得能量函數(shù) 為：為： )(kes 近近鄰鄰nsnrrrkissatssejjeke)(

12、)()coscos(cos2akakakjjezyxssats )(aikaikaikaikaikaikssatszzyyxxeeeeeejje 在簡(jiǎn)約布里淵區(qū)中心在簡(jiǎn)約布里淵區(qū)中心kxkykz=0=0處，處，jjeessats6min 能量有最小值，能量有最小值，在簡(jiǎn)約布里淵區(qū)邊界在簡(jiǎn)約布里淵區(qū)邊界k kx x， ky， kz= = 處，處，a jjeessats6max 能帶的寬度：能帶的寬度：jeeess12minmax 能量有最大值，能量有最大值， (2) (2)j前的數(shù)字，而數(shù)字的大小取決于最近鄰格點(diǎn)的數(shù)目，前的數(shù)字，而數(shù)字的大小取決于最近鄰格點(diǎn)的數(shù)目，即晶體的配位數(shù)。即晶體的配位數(shù)

13、。可見(jiàn)能帶寬度由兩個(gè)因素決定：可見(jiàn)能帶寬度由兩個(gè)因素決定：0j112j原子能級(jí)分裂成能帶原子能級(jí)分裂成能帶(1)(1)重疊積分重疊積分j j的大??；的大小； 因此，可以預(yù)料，波函數(shù)重疊程度越大，配位數(shù)越大，能因此，可以預(yù)料，波函數(shù)重疊程度越大，配位數(shù)越大，能帶越寬，反之，能帶越窄。上圖表示出固體中電子能帶和孤立帶越寬，反之，能帶越窄。上圖表示出固體中電子能帶和孤立原子中電子的能級(jí)的關(guān)系。原子中電子的能級(jí)的關(guān)系。5.4.3 適用性 1. 1.上面討論的是最簡(jiǎn)單的情況，只適用于上面討論的是最簡(jiǎn)單的情況，只適用于s s態(tài)電子，一個(gè)態(tài)電子，一個(gè)原子能級(jí)原子能級(jí) 對(duì)應(yīng)一個(gè)能帶；對(duì)應(yīng)一個(gè)能帶；ate 2. 2.若考慮若考慮p p態(tài)電子，態(tài)電子，d d態(tài)電子，這些狀態(tài)是簡(jiǎn)并的，態(tài)電子，這些狀態(tài)是簡(jiǎn)并的，n個(gè)原個(gè)原子組成的晶體形成能帶比較復(fù)雜，一個(gè)能帶不一