精品課程固體物理ppt電子教案課件5.4緊束縛近似

1、第四節(jié)第四節(jié) 緊束縛近似緊束縛近似本節(jié)主要內(nèi)容本節(jié)主要內(nèi)容: :5.4.1 5.4.1 模型和微擾計算模型和微擾計算5.4.2 5.4.2 一個簡單的例子一個簡單的例子5.4.3 5.4.3 適用性適用性5.4 緊束縛近似 晶體中的電子在某個原子附近時主要受該原子勢場晶體中的電子在某個原子附近時主要受該原子勢場 的作用，其他原子的作用視為微擾來處理，以孤立原子的電子的作用，其他原子的作用視為微擾來處理，以孤立原子的電子態(tài)作為零級近似。態(tài)作為零級近似。)(nrrv 1.模型：5.4.1 模型和微擾計算 mrmatnatrrvrrvrv)()(2.勢場 的的孤孤立立原原子子在在表表示示位位于于33

2、2211)(anananrrrvnn mrnmrrr一一項項表表示示求求和和不不含含處處的的勢勢場場，。rnr0nrr rmatnathhrrvrrvmhm 022)()(2)(2220natrrvmh mrmatnatrrvrrvrv)()( 如果不考慮原子間的相互影響，在格點如果不考慮原子間的相互影響，在格點 附近的電子將以附近的電子將以原子束縛態(tài)原子束縛態(tài) 繞繞 點運動。點運動。 表示孤立原子的電子波表示孤立原子的電子波函數(shù)函數(shù) 。 nr)(natrr nrat 2.方程與計算 mrmatrrvh)()()(0natatnatrrerrh (1)(1)孤立原子運動方程孤立原子運動方程孤立

3、原子中的電子能級，孤立原子中的電子能級， 表示所處能級表示所處能級1s1s，2s2s，2p2p等。等。ate (2)(2)晶體中電子運動方程晶體中電子運動方程),()(),(rkkerkh )()(0natatnatrrerrh (3)(3)的的關(guān)關(guān)系系與與)(),(natrrrk 電子繞格點電子繞格點 處原子的運動方程處原子的運動方程nr 如果晶體是由如果晶體是由n個相同的原子構(gòu)成的布拉維晶格，則在各個相同的原子構(gòu)成的布拉維晶格，則在各原子附近將有原子附近將有n個相同的能量個相同的能量 的束縛態(tài)波函數(shù)的束縛態(tài)波函數(shù) ，因此在，因此在不考慮原子間相互作用時，應(yīng)有不考慮原子間相互作用時，應(yīng)有n個

4、類似的方程。個類似的方程。ate at )()()(21natsatsatsatrrrrrre 這些波函數(shù)對應(yīng)于同樣的能量這些波函數(shù)對應(yīng)于同樣的能量atse是是n重簡并的。考慮到微擾后，晶體重簡并的?？紤]到微擾后，晶體中電子運動波函數(shù)應(yīng)為中電子運動波函數(shù)應(yīng)為n個原子軌道個原子軌道波函數(shù)的線性組合。波函數(shù)的線性組合。 即用孤立原子的電子波函數(shù)即用孤立原子的電子波函數(shù) 的線性組合來構(gòu)成晶體中電的線性組合來構(gòu)成晶體中電子共有化運動的波函數(shù)，因此緊束縛近似也稱為原子軌函線性子共有化運動的波函數(shù)，因此緊束縛近似也稱為原子軌函線性組合法組合法, ,簡稱簡稱 lcaolcao。at nrnatnrrcrk)

5、(),( )()(rrhkkk 所以可以將所以可以將 在波矢空間作傅里葉展開在波矢空間作傅里葉展開 ),(rk nnrrkinr ,rwnr ,k)e(1)( 在周期性勢場中運動的波函數(shù)一定是布洛赫波函數(shù)，而在周期性勢場中運動的波函數(shù)一定是布洛赫波函數(shù)，而布洛赫波函數(shù)在布洛赫波函數(shù)在 空間具有周期性，即：空間具有周期性，即：k)(e1)(natrrk irrnr ,knn krk inr ,knr ,rwn)(e1)( kkrk irk inrunr ,rwn)(ee1)( knkrrk irrunn)(e1)()(nrrw ),(rrwn 稱為萬尼爾稱為萬尼爾(wannier)函數(shù)函數(shù),其重

6、要特征為：其重要特征為：)(e)(rur ,kkrki 由布洛赫定理由布洛赫定理 (1) (1) 此函數(shù)是以格點此函數(shù)是以格點 為中心的波包，因而具有定域為中心的波包，因而具有定域的特性；的特性；nr(2)(2)不同能帶不同格點的萬尼爾函數(shù)是正交的，即不同能帶不同格點的萬尼爾函數(shù)是正交的，即 nnnnnrrwrrw)d()( nnnrrwrrw )d()( nn krrk innn )(e1 knrkrkir ,kr ,knnn )d()(e1)( 當晶體中原子間距增大，每個原子的勢場對電子有較強的當晶體中原子間距增大，每個原子的勢場對電子有較強的束縛作用，當電子距某一原子較近時，電子的行為同

7、孤立原子束縛作用，當電子距某一原子較近時，電子的行為同孤立原子中的電子行為相似。此時萬尼爾函數(shù)中的電子行為相似。此時萬尼爾函數(shù) 也應(yīng)當接近孤立也應(yīng)當接近孤立原子的波函數(shù)原子的波函數(shù))(nrrw )(natrr nnrnatrk irrnr ,k)(e1)( -布洛赫和布洛赫和于是于是將此波函數(shù)代入薛定諤方程將此波函數(shù)代入薛定諤方程得),()(),(rkkerkh 0)()()()(2e122 natrmatrnatrk irrkerrvrrvmnmnn 0)()()()(2e122 natmatrnatrk irrkerrvrrvmnnn 0h)()(0natatnatrrerrh 0)()(

8、)( natrmatatrkrrrrvkeeenn ，并并對對整整個個晶晶體體積積分分得得上上式式左左乘乘)(satrr 0d )()()(e)(e nnnnrnatmatsatrk isnratrk irrrrvrrkee令令snnatmatsatjdrrrrvrr )()()( nnsrsnrk iatrk ijkee0e)(e nsnrsnrrk issatjjkee0e)()( nsnrsnrrk issatjjeke)(e)( nnssrsnrk issrk iatrk ijjkee0ee)(e 利用周期性邊界條件容易證明波矢在第一布里淵區(qū)共有利用周期性邊界條件容易證明波矢在第一布里

9、淵區(qū)共有n個值個值( (n為晶體的原胞個數(shù)為晶體的原胞個數(shù)) )，對應(yīng)，對應(yīng)n個準連續(xù)的能量本征值形個準連續(xù)的能量本征值形成一個能帶。亦即，孤立原子的能級與晶體中的電子能帶相對成一個能帶。亦即，孤立原子的能級與晶體中的電子能帶相對應(yīng)。如應(yīng)。如2s2s、2p2p等能帶。等能帶。 jsn表示相距為表示相距為 的兩個格點上的波函數(shù)的重疊積分的兩個格點上的波函數(shù)的重疊積分，它依賴于，它依賴于 與與 的重疊程度，的重疊程度， 重重疊最完全，即疊最完全，即jss最大，其次是最近鄰格點的波函數(shù)的重疊積分最大，其次是最近鄰格點的波函數(shù)的重疊積分，涉及較遠格點的積分甚小，通常可忽略不計。，涉及較遠格點的積分甚小

10、，通?？珊雎圆挥嫛?rr(sat )(natrr nsrr nsrr 近鄰nsnrsnrrkissatjje)(e nsnrsnrrk issatjjeke)(e)( 近鄰原子的波函數(shù)重疊愈多，近鄰原子的波函數(shù)重疊愈多， 的值愈大，能帶將愈寬。的值愈大，能帶將愈寬。由此可見：與原子內(nèi)層電子所對應(yīng)的能帶較窄，而且不同原子由此可見：與原子內(nèi)層電子所對應(yīng)的能帶較窄，而且不同原子態(tài)所對應(yīng)的態(tài)所對應(yīng)的 和和 是不同的。是不同的。snjssjsnj5.4.2 一個簡單的例子簡單立方晶體中，由孤立原子簡單立方晶體中，由孤立原子s s態(tài)所形成的能帶。態(tài)所形成的能帶。 由于由于s s態(tài)波函數(shù)是球?qū)ΨQ的，因而態(tài)波

11、函數(shù)是球?qū)ΨQ的，因而jsn僅與僅與 原子間距有原子間距有關(guān)，只要原子間距相等，重疊積分就相等。對于簡立方最近鄰關(guān)，只要原子間距相等，重疊積分就相等。對于簡立方最近鄰原子有原子有6個，以個，以 處原子為參考原子，處原子為參考原子，6 6個最近鄰原子的坐標個最近鄰原子的坐標為：為： nsrr、0 sr)a()a, 0 , 0( )0 , a, 0( )0 , 0 , a(為為晶晶格格常常量量其其中中， 對對6個最近鄰原子，個最近鄰原子，jsn具有相同的值，不妨用具有相同的值，不妨用j表示，這樣表示，這樣得能量函數(shù)得能量函數(shù) 為：為： )(kes 近近鄰鄰nsnrrrkissatssejjeke)(

12、)()coscos(cos2akakakjjezyxssats )(aikaikaikaikaikaikssatszzyyxxeeeeeejje 在簡約布里淵區(qū)中心在簡約布里淵區(qū)中心kxkykz=0=0處，處，jjeessats6min 能量有最小值，能量有最小值，在簡約布里淵區(qū)邊界在簡約布里淵區(qū)邊界k kx x， ky， kz= = 處，處，a jjeessats6max 能帶的寬度：能帶的寬度：jeeess12minmax 能量有最大值，能量有最大值， (2) (2)j前的數(shù)字，而數(shù)字的大小取決于最近鄰格點的數(shù)目，前的數(shù)字，而數(shù)字的大小取決于最近鄰格點的數(shù)目，即晶體的配位數(shù)。即晶體的配位數(shù)

13、。可見能帶寬度由兩個因素決定：可見能帶寬度由兩個因素決定：0j112j原子能級分裂成能帶原子能級分裂成能帶(1)(1)重疊積分重疊積分j j的大??；的大??； 因此，可以預(yù)料，波函數(shù)重疊程度越大，配位數(shù)越大，能因此，可以預(yù)料，波函數(shù)重疊程度越大，配位數(shù)越大，能帶越寬，反之，能帶越窄。上圖表示出固體中電子能帶和孤立帶越寬，反之，能帶越窄。上圖表示出固體中電子能帶和孤立原子中電子的能級的關(guān)系。原子中電子的能級的關(guān)系。5.4.3 適用性 1. 1.上面討論的是最簡單的情況，只適用于上面討論的是最簡單的情況，只適用于s s態(tài)電子，一個態(tài)電子，一個原子能級原子能級 對應(yīng)一個能帶；對應(yīng)一個能帶；ate 2. 2.若考慮若考慮p p態(tài)電子，態(tài)電子，d d態(tài)電子，這些狀態(tài)是簡并的，態(tài)電子，這些狀態(tài)是簡并的，n個原個原子組成的晶體形成能帶比較復(fù)雜，一個能帶不一