高考數(shù)學二輪復習 第二部分 專題六 統(tǒng)計與概率 6.3.2 隨機變量及其分布課件 理

1、16 6. .3 3. .2 2隨機變量及其分布隨機變量及其分布2離散型隨機變量的分布列離散型隨機變量的分布列(多維探究多維探究)題型1相互獨立事件、互斥事件的概率及分布列例1(2017天津,理16)從甲地到乙地要經(jīng)過3個十字路口,設各路口信號燈工作相互獨立,且在各路口遇到紅燈的概率分別為 .(1)記X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù),求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望;(2)若有2輛車獨立地從甲地到乙地,求這2輛車共遇到1個紅燈的概率.3解 (1)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3. 所以,隨機變量X的分布列為 4(2)設Y表示第一輛車遇到紅燈的個數(shù),Z表示第二輛車遇到紅燈的個數(shù),則所

2、求事件的概率為P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)解題心得字母表示事件法:使用簡潔、準確的數(shù)學語言描述解答過程是解答這類問題并得分的根本保證.引進字母表示事件可使得事件的描述簡單而準確,使得問題描述有條理,不會有遺漏,也不會重復.5對點訓練對點訓練1在某娛樂節(jié)目的一期比賽中,有6位歌手(1號至6號)登臺演出,由現(xiàn)場的百家大眾媒體投票選出最受歡迎的歌手,各家媒體獨立地在投票器上選出3位出彩候選人,其中媒體甲是1號歌手的歌迷,他必選1號,另在2號至6號中隨機地選2名;媒體乙不欣賞2號歌手,他必不選2號;媒體丙對6位歌手的演唱沒有偏愛,因此在1號至6號歌手中隨機地選出3名.(

3、1)求媒體甲選中3號,且媒體乙未選中3號歌手的概率;(2)X表示3號歌手得到媒體甲、乙、丙的票數(shù)之和,求X的分布列及數(shù)學期望.6解 設事件A表示“媒體甲選中3號歌手”,事件B表示“媒體乙選中3號歌手”,事件C表示“媒體丙選中3號歌手”.媒體甲選中3號,且媒體乙未選中3號歌手的概率為 7故X的分布列為 8題型2古典概型的概率及其分布列例2(2017山東,理18)在心理學研究中,常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響,具體方法如下:將參加試驗的志愿者隨機分成兩組,一組接受甲種心理暗示,另一組接受乙種心理暗示.通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結果來評價兩種心理暗示的作用,現(xiàn)有6名男志愿者

4、A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示,另5人接受乙種心理暗示.(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率.(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù),求X的分布列與數(shù)學期望E(X).9解 (1)記接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件為M,因此X的分布列為 10X的數(shù)學期望是E(X)=0P(X=0)+1P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+4P(X=4)11對點訓練對點訓練2(2017北京,理17)為了研究一種新藥的療效,選100名患者隨機分成兩組,每組各50名,一組服藥,另一組不服藥

5、.一段時間后,記錄了兩組患者的生理指標x和y的數(shù)據(jù),并制成下圖,其中“ ”表示服藥者,“+”表示未服藥者.12(1)從服藥的50名患者中隨機選出一人,求此人指標y的值小于60的概率;(2)從圖中A,B,C,D四人中隨機選出兩人,記為選出的兩人中指標x的值大于1.7的人數(shù),求的分布列和數(shù)學期望E();(3)試判斷這100名患者中服藥者指標y數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標y數(shù)據(jù)的方差的大小.(只需寫出結論)解 (1)由圖知,在服藥的50名患者中,指標y的值小于60的有15人,所以從服藥的50名患者中隨機選出一人,此人指標y的值小于60的概率為 =0.3.(2)由圖知,A,B,C,D四人中,指標x的值大于

6、1.7的有2人:A和C.所以的所有可能取值為0,1,2.13所以的分布列為 (3)在這100名患者中,服藥者指標y數(shù)據(jù)的方差大于未服藥者指標y數(shù)據(jù)的方差.14題型3條件概率與其分布列的綜合例3某險種的基本保費為a(單位:元),繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關聯(lián)如下:設該險種一續(xù)保人一年內出險次數(shù)與相應概率如下: (1)求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率;(2)若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費,求其保費比基本保費高出60%的概率;(3)求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值.15解 (1)設A表示事件“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費”,則事件

7、A發(fā)生當且僅當一年內出險次數(shù)大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.(2)設B表示事件“一續(xù)保人本年度的保費比基本保費高出60%”,則事件B發(fā)生當且僅當一年內出險次數(shù)大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15.又P(AB)=P(B),(3)記續(xù)保人本年度的保費為X,則X的分布列為 16E(X)=0.85a0.30+a0.15+1.25a0.20+1.5a0.20+1.75a0.10+2a0.05=1.23a.因此續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值為1.23.解題心得在P(A|B)中,事件A,B的發(fā)生有時間上的差異,B先A后;在P(AB)中,事件A,B同時發(fā)生.1

8、7對點訓練對點訓練3某市環(huán)保知識競賽由甲、乙兩支代表隊進行總決賽,每隊各有3名隊員,首輪比賽每人一道必答題,答對則為本隊得1分,答錯或者不答都得0分.已知甲隊3人答對的概率分別為 ,乙隊每人答對的概率都是 ,設每人回答正確與否相互之間沒有影響,用表示甲隊總得分.(1)求隨機變量的分布列及其數(shù)學期望E();(2)求在甲隊和乙隊得分之和為4的條件下,甲隊比乙隊得分高的概率.18解 (1)由題設知的可能取值為0,1,2,3, 所以的分布列為 19(2)設“甲隊和乙隊得分之和為4”為事件A,“甲隊比乙隊得分高”為事件B,則20題型4二項分布例4(2017遼寧鞍山一模,理19)上周某校高三年級學生參加了

9、數(shù)學測試,年級部組織任課教師對這次考試成績進行分析.現(xiàn)從中抽取80名學生的數(shù)學成績(均為整數(shù))的頻率分布直方圖如圖所示.21(1)估計這次考試數(shù)學成績的平均分和眾數(shù);(2)假設抽出學生的數(shù)學成績在90,100段各不相同,且都超過94分.若將頻率視為概率,現(xiàn)用簡單隨機抽樣的方法,從95,96,97,98,99,100這6個數(shù)字中任意抽取2個數(shù),有放回地抽取3次,記這3次抽取中恰好有2名學生的數(shù)學成績的次數(shù)為X,求X的分布列和期望.解 (1)估計平均分為0.0545+0.1555+0.265+0.375+0.2585+0.0595=72(分).眾數(shù)的估計值是75分.22(2)數(shù)學成績在90,100

10、段的人數(shù)為800.05=4,設每次抽取的2個數(shù)恰好是2名學生的成績的概率為p,X的分布列為 23解題心得對于實際問題中的隨機變量X,如果能夠斷定它服從二項分布B(n,p),那么其概率、期望與方差可直接利用公式P(X=k)= pk(1-p)n-k(k=0,1,2,n),E(X)=np,D(X)=np(1-p)求得,因此,熟記二項分布的相關公式,可以避免煩瑣的運算過程,提高運算速度和準確度.24對點訓練對點訓練4某班將要舉行籃球投籃比賽,比賽規(guī)則是:每位選手可以選擇在A區(qū)投籃2次或選擇在B區(qū)投籃3次,在A區(qū)每進一球得2分,不進球得0分;在B區(qū)每進一球得3分,不進球得0分,得分高的選手勝出.已知某參

11、賽選手在A區(qū)和B區(qū)每次投籃進球的概率分別是 .(1)如果該選手以在A,B區(qū)投籃得分的期望高者為選擇投籃區(qū)的標準,問該選手應該選擇哪個區(qū)投籃?請說明理由;(2)求該選手在A區(qū)投籃得分高于在B區(qū)投籃得分的概率.所以該選手應該選擇在A區(qū)投籃. 25(2)設“該選手在A區(qū)投籃得分高于在B區(qū)投籃得分”為事件C,“該選手在A區(qū)投籃得4分,且在B區(qū)投籃得3分或0分”為事件D,“該選手在A區(qū)投籃得2分,且在B區(qū)投籃得0分”為事件E,則事件C=DE,且事件D與事件E互斥.26題型5超幾何分布例5(2017遼寧大連一模,理18)某手機廠商推出一款智能手機,現(xiàn)對500名該手機使用者(200名女性,300名男性)進行

12、調查,對手機進行打分,打分的頻數(shù)分布表如下:27(1)完成下列頻率分布直方圖,并比較女性用戶和男性用戶評分的方差大小(不計算具體值,給出結論即可);(2)根據(jù)評分的不同,采用分層抽樣從男性用戶中抽取20名用戶,在這20名用戶中,從評分不低于80分的用戶中任意抽取3名用戶,求3名用戶評分小于90分的人數(shù)的分布列和期望.28解 (1)女性用戶和男性用戶的頻率分布直方圖分別如圖所示. 女性用戶 男性用戶由圖可得女性用戶的波動大,男性用戶的波動小.故女性用戶評分的方差比男性用戶評分的方差大.29(2)運用分層抽樣從男性用戶中抽取20名用戶,評分不低于80分有6人,其中評分小于90分的人數(shù)為4,從6人中

13、任取3人,記評分小于90分的人數(shù)為X,則X的所有可能取值為1,2,3,所以X的分布列為 30解題心得超幾何分布:一般地,在含有M件次品的N件產(chǎn)品中,任取n件,其中恰有X件次品,則P(X=k)= ,k=0,1,m,其中m=minM,n,且nN,MN,n,M,NN*.31對點訓練對點訓練5甲、乙兩人參加普法知識競賽,共設有10個不同的題目,其中選擇題6個,判斷題4個.(1)若甲、乙二人依次各抽一題,計算:甲抽到判斷題,乙抽到選擇題的概率是多少?甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少?(2)若甲從中隨機抽取5個題目,其中判斷題的個數(shù)為,求的分布列和期望.解 (1)甲抽到判斷題,乙抽到選擇題的概

14、率為 32(2)的所有可能取值為0,1,2,3,4, 所以的分布列為 33樣本的均值、方差與正態(tài)分布的綜合樣本的均值、方差與正態(tài)分布的綜合例6(2017全國,理19改編)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件,并測量其尺寸(單位:cm).根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗,可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(,2).(1)假設生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示一天內抽取的16個零件中其尺寸在(-3,+3)之外的零件數(shù),求P(X1)及X的數(shù)學期望;(2)一天內抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在(-3,+3)之外的零件,就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常

15、情況,需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查.()試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性;()下面是檢驗員在一天內抽取的16個零件的尺寸:34其中xi為抽取的第i個零件的尺寸,i=1,2,16. 附:若隨機變量Z服從正態(tài)分布N(,2), 35解 (1)抽取的一個零件的尺寸在(-3,+3)之內的概率為0.997 3,從而零件的尺寸在(-3,+3)之外的概率為0.002 7,故XB(16,0.002 7).因此P(X1)=1-P(X=0)=1-0.997 3160.042 3.X的數(shù)學期望為E(X)=160.002 7=0.043 2.(2)()如果生產(chǎn)狀態(tài)正常,一個零件尺寸在(-3,+3)之外的概率只有0.00

16、2 7,一天內抽取的16個零件中,出現(xiàn)尺寸在(-3,+3)之外的零件的概率只有0.042 3,發(fā)生的概率很小.因此一旦發(fā)生這種情況,就有理由認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查,可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的.3637解題心得解決正態(tài)分布有關的問題,在理解,2意義的情況下,記清正態(tài)分布的密度曲線是一條關于對稱的鐘形曲線,很多問題都是利用圖象的對稱性解決的.38對點訓練對點訓練6從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件,測量這些產(chǎn)品的一項質量指標值,由測量結果得如下頻率分布直方圖.(1)求這500件產(chǎn)品質量指標值的樣本平均數(shù) 和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表).39(2)由直方圖可以認為,這種產(chǎn)品的質量指標值Z服從正態(tài)分布N(,2),其中近似為樣本平均數(shù) ,2近似為樣本方差s2.利用該正態(tài)分布,求P(187.8Z212.2);某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品,記X表示這100件產(chǎn)品中質量指標值位于區(qū)間(187.8,212.2)的產(chǎn)品件數(shù).利用的結果,求E(X).附: 12.2.若ZN(,2),則P(-Z+)0.682 7,P(-2Z+2)0