第四講行程問題教師版

1、 戴氏教育集團(tuán) 戴氏精品堂學(xué)校 成龍總校 學(xué)員姓名： 年 級(jí)：五年級(jí)奧數(shù) 來自學(xué)校： 輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué) 教 師：唐 高 國 第 4 次課課 題行程問題授課時(shí)間：6 月 1 日備課時(shí)間：5月 15 日教學(xué)目標(biāo)利用多種技巧與方法來求解行程問題重點(diǎn)、難點(diǎn)熟練運(yùn)用畫圖和比例求解行程問題考點(diǎn)及考試要求奧數(shù)考試中必考的應(yīng)用部分的題目教學(xué)內(nèi)容內(nèi)容概述 運(yùn)動(dòng)路線或路況復(fù)雜，與周期性或數(shù)論知識(shí)相關(guān)聯(lián)，需進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)等具有相當(dāng)難度的行程問題工作效率發(fā)生改變，要完成的項(xiàng)目及參加工作的對(duì)象較多的工程問題 典型問題 1。如圖21-l，A至B是下坡，B至C是平路，C至D是上坡.小張和小王在上坡時(shí)步行速度是每小時(shí)4千米，平路

2、時(shí)步行速度是每小時(shí)5千米，下坡時(shí)步行速度是每小時(shí)6千米小張和小王分別從A和D同時(shí)出發(fā)，1小時(shí)后兩人在E點(diǎn)相遇已知E在BC上，并且E至C的距離是B至C距離的當(dāng)小王到達(dá)A后9分鐘，小張到達(dá)D那么A至D全程長是多少千米? 【分析與解】 BE是BC的，CE是BC的，說明DC這段下坡，比AB這段下坡所用的時(shí)間多，也就是DC這一段，比AB這一段長，因此可以在DC上取一段DF和AB一樣長，如下圖： 另外，再在圖上畫出一點(diǎn)G，使EG和EC一樣長，這樣就表示出，小王從F到C.小張從B到G 小王走完全程比小張走完全程少用9分鐘，這時(shí)因?yàn)樾堊逤至F是上坡，而小王走F至C是下坡(他們兩人的其余行程走下坡、平路、上坡

3、各走一樣多) 因此，小王從F至C，走下坡所用時(shí)間是9=18(分鐘) 因此得出小張從B至G也是用18分鐘，走GE或CE都用6分鐘走B至C全程(平路)要30分鐘 從A至曰下坡所用時(shí)間是60-18-6=36(分鐘)； 從D至C下坡所用時(shí)間是60-6=54(分鐘)； A至D全程長是(36+54)+30=11.5千米 2如圖2l-2，A，B兩點(diǎn)把一個(gè)周長為l米的圓周等分成兩部分藍(lán)精靈從B點(diǎn)出發(fā)在這個(gè)圓周上沿逆時(shí)針方向做跳躍運(yùn)動(dòng)，它每跳一步的步長是米，如果它跳到A點(diǎn)，就會(huì)經(jīng)過特別通道AB滑向曰點(diǎn)，并從B點(diǎn)繼續(xù)起跳，當(dāng)它經(jīng)過一次特別通道，圓的半徑就擴(kuò)大一倍已知藍(lán)精靈跳了1000次，那么跳完后圓周長等于多少米

4、? 【分析與解】 4=即藍(lán)精靈跳4次到A點(diǎn)圓半徑擴(kuò)大一倍即乘以2后，跳8次到A點(diǎn) 圓半徑乘以4后，跳16次到A點(diǎn) 依次類推，由于4+8+16+32+64+128+256+492=1000，所以有7次跳至A點(diǎn)1000次跳完后圓周長是1=128米 3已知貓跑5步的路程與狗跑3步的路程相同；貓跑7步的路程與兔跑5步的路程相同而貓跑3步的時(shí)間與狗跑5步的時(shí)間相同；貓跑5步的時(shí)間與兔跑7步的時(shí)間相同，貓、狗、兔沿著周長為300米的圓形跑道，同時(shí)同向同地出發(fā)問當(dāng)它們出發(fā)后第一次相遇時(shí)各跑了多少路程? 【分析與解】 方法一：由題意，貓與狗的速度之比為9:25，貓與兔的速度之比為25:49 設(shè)單位時(shí)間內(nèi)貓跑1

5、米，則狗跑米，兔跑米 狗追上貓一圈需300(-1)= 單位時(shí)間， 兔追上貓一圈需300(-1)= 單位時(shí)間 貓、狗、兔再次相遇的時(shí)間，應(yīng)既是的整數(shù)倍，又是的整數(shù)倍. 與的最小公倍數(shù)等于兩個(gè)分?jǐn)?shù)中，分子的最小公倍數(shù)除以分母的最大公約數(shù),即=8437.5 上式表明，經(jīng)過8437.5個(gè)單位時(shí)間，貓、狗、兔第一次相遇此時(shí)，貓跑了8437.5米，狗跑了8437.5=23437.5米，兔跑了8437.5=165375米方法二：有貓跑35步的路程與狗跑21步的路程，兔跑25步的路程相；而貓跑15步的時(shí)間與狗跑25步的時(shí)間，兔跑21步的時(shí)間相同所以貓、狗、兔的速度比為，它們的最大公約數(shù)為. 即設(shè)貓的速度為，那

6、么狗的速度為 ，則兔的速度為 于是狗每跑300(625-225)= 單位時(shí)追上貓； 兔每跑300(441-225)= 單位時(shí)追上貓 而，所以貓、狗、兔跑了單位時(shí)，三者相遇 有貓跑了225=8437.5米，狗跑了625=23437.5米，兔跑了441=16537.5米 評(píng)注：方法一、方法二中的相遇時(shí)間一個(gè)是8437.5單位，一個(gè)是單位，可是答案卻是一樣的，為什么呢? 在方法二中，如果按下面解答會(huì)得到不同答案，又是為什么?哪個(gè)方法有問題呢?自己試著解決，并在今后的學(xué)習(xí)中避免這種錯(cuò)誤 于是狗每跑300(625-225) 625=米追上貓； 兔每跑300(441-225)441=米追上貓；而， 4一條

7、環(huán)形道路，周長為2千米甲、乙、丙3人從同一點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，每人環(huán)行2周現(xiàn)有自行車2輛，乙和丙騎自行車出發(fā)，甲步行出發(fā)，中途乙和丙下車步行，把自行車留給其他人騎已知甲步行的速度是每小時(shí)5千米，乙和丙步行的速度是每小時(shí)4千米，3人騎車的速度都是每小時(shí)20千米請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種走法，使3個(gè)人2輛車同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)那么環(huán)行2周最少要用多少分鐘? 【分析與解】 如果甲、乙、丙均始終騎車，則甲、乙、丙同時(shí)到達(dá)，單位“1”的路程只需時(shí)間；乙、丙情況類似，所以先只考慮甲、乙，現(xiàn)在甲、乙因?yàn)椴叫休^騎車行走單位“1”路程，耽擱的時(shí)間比為： 而他們需同時(shí)出發(fā)，同時(shí)到達(dá)，所以耽擱的時(shí)間應(yīng)相等于是步行的距離比應(yīng)為耽擱時(shí)間的倒數(shù)比，即

8、為4:3；因?yàn)楸那樾闻c乙一樣，所以甲、乙、丙三者步行距離比為4:3:3 因?yàn)橛?人，2輛自行車，所以，始終有人在步行，甲、乙、丙步行路程和等于環(huán)形道路的周長 于是，甲步行的距離為2=0.8千米；則騎車的距離為22-0.8=3.2千米； 所以甲需要時(shí)間為()60=19.2分鐘 環(huán)形兩周的最短時(shí)間為19.2分鐘 參考方案如下：甲先步行0.8千米，再騎車3.2千米； 乙先騎車2.8千米，再步行0.6千米，再騎車0.6千米(丙留下的自行車) ； 丙先騎車3.4千米，再步行0.6千米5甲、乙兩項(xiàng)工程分別由一、二隊(duì)來完成在晴天，一隊(duì)完成甲工程需要12天.二隊(duì)完成乙工程需要15天；在雨天，一隊(duì)的工作效率要

9、下降40，二隊(duì)的工作效率要下降10結(jié)果兩隊(duì)同時(shí)完成這兩項(xiàng)工程，那么在施工的日子里，雨天有多少天? 【分析與解】 晴天時(shí)，一隊(duì)、二隊(duì)的工作效率分別為和，一隊(duì)比二隊(duì)的工作效率高-=；雨天時(shí)，一隊(duì)、二隊(duì)的工作效率分別為(1-40%)=和(1-10%)=,這時(shí)二隊(duì)的工作效率比一隊(duì)高-=.由:=5:3知，要兩個(gè)隊(duì)同時(shí)完工，必須是3個(gè)晴天，5個(gè)雨天，而此時(shí)完成了工程的3+5=，所以，整個(gè)施工期間共有6 個(gè)晴天,10個(gè)雨天. 6畫展9時(shí)開門，但早有人來排隊(duì)等候入場(chǎng)從第一個(gè)觀眾來到時(shí)起，每分鐘來的觀眾人數(shù)一樣多如果開3個(gè)入場(chǎng)口，9時(shí)9分就不再有人排隊(duì)；如果開5個(gè)入場(chǎng)口，9時(shí)5分就沒有人排隊(duì)那么第一個(gè)觀眾到達(dá)的

10、時(shí)間是8時(shí)幾分? 【分析與解】 由題意可得兩個(gè)等式，如下： (開門前排隊(duì)人數(shù))+(9分鐘內(nèi)到的人數(shù))=3(每個(gè)入口每分鐘進(jìn)的人數(shù))9 (開門前排隊(duì)人數(shù))+(5分鐘內(nèi)到的人數(shù))=5(每個(gè)入口每分鐘進(jìn)的1人數(shù))5 -得:4分鐘內(nèi)到的人數(shù)=2(每個(gè)人口每分鐘進(jìn)的人數(shù))從而有:每個(gè)入口每分鐘進(jìn)的人數(shù)=2(每分鐘進(jìn)的人數(shù))代入得，開門前排隊(duì)人數(shù)=252-5=45分鐘內(nèi)到的人數(shù)因此第一個(gè)人是8點(diǎn)15(=60-45)分到達(dá)的 7甲、乙、丙3名搬運(yùn)工同時(shí)分別在3個(gè)條件和工作量完全相同的倉庫工作，搬完貨物甲用10小時(shí)，乙用12小時(shí)，丙用15小時(shí)第二天3人又到兩個(gè)較大的倉庫搬運(yùn)貨物，這兩個(gè)倉庫的工作量也相同甲在A

11、倉庫，乙在B倉庫，丙先幫甲后幫乙，結(jié)果干了16小時(shí)后同時(shí)搬運(yùn)完畢問丙在A倉庫做了多長時(shí)間? 【分析與解】 設(shè)第一天的每個(gè)倉庫的工作量為“1”， 那么甲、乙、丙的合作工作效率為=，第二天，甲、乙、丙始終在同時(shí)工作，所以第二天兩個(gè)倉庫的工作總量為16=4，即第二天的每個(gè)倉庫的工作總量為42=2于是甲工作了16小時(shí)只完成了16=的工程量，剩下的2-=的工程量由丙幫助完成，則丙需工作=6(小時(shí)).丙在A倉庫做了6小時(shí) 第22講 復(fù)雜工程問題內(nèi)容概述本講主要講解需運(yùn)用比和比例及分段解決的較復(fù)雜問題，還有一些需借助程來求解的問題經(jīng)典問題1.甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)修路，最終按工作量分配8400元工資按兩隊(duì)原計(jì)劃的

12、工作效率，乙隊(duì)?wèi)?yīng)獲5040元實(shí)際從第5天開始，甲隊(duì)的工作效率提高了1倍，這樣甲隊(duì)最終可比原計(jì)劃多獲得960元那么兩隊(duì)原計(jì)劃完成修路任務(wù)要多少天? 【分析與解】 開始時(shí)甲隊(duì)拿到84005040=3360元，甲乙的工資比等于甲乙的工效比，即為3360：50402：3； 甲提高工效后，甲乙的工資及工效比為 (3360+960)：(5040960)=18：17； 設(shè)甲開始的工效為“2”，那么乙的工效為“3”，設(shè)甲在提高工效后還需天完成任務(wù) 有(24+4)：(34+3)=18：17，化簡(jiǎn)為216+54=136+68，解得 于是共有工程量為所以原計(jì)劃60(2+3)12天完成 2. 規(guī)定兩人輪流做一個(gè)工程，

13、要求第一個(gè)人先做1個(gè)小時(shí),第二個(gè)人接著做一個(gè)小時(shí)，然后再由第一個(gè)人做1個(gè)小時(shí)，然后又由第二個(gè)人做1個(gè)小時(shí)，如此反復(fù)，做完為止如果甲、乙輪流做一個(gè)工程需要98小時(shí)，而乙、甲輪流做同樣的程只需要96小時(shí)，那乙單獨(dú)做這個(gè)工程需要多少小時(shí)? 【分析與解】即甲工作2小時(shí)，相當(dāng)與乙1小時(shí)所以，乙單獨(dú)工作需小時(shí) 3甲、乙、丙三人完成一件工作，原計(jì)劃按甲、乙、丙順序每人輪流工作一天，正好整數(shù)天完成，若按乙、丙、甲的順序每人輪流工作一天，則比原計(jì)劃多用天；若按丙、甲、乙的順序每人輪流工作一天，則比原計(jì)劃多用天已知甲單獨(dú)完成這件工作需1075天問：甲、乙、丙一起做這件工作，完成工作要用多少天? 【分析與解】 我們

14、以甲、乙、丙各工作一天為一個(gè)周期，即3天一個(gè)周期 通過上一題的類似分析，我們知道第一種情況下一定不是完整周期內(nèi)完成； 但是在這題中，就有兩種可能，第一種可能是完整周期+1天，第二種可能是完整周期+2天 驗(yàn)證第一種可能不成立(詳細(xì)過程略) 再看第二種可能：即丙工作1天，甲只需要工作天代入第3種情況知： 即甲工作1天，乙需要工作天 因?yàn)榧讍为?dú)做需1075天，所以工作效率為于是乙工作效率為丙工作效率為 于是，一個(gè)周期內(nèi)他們完成的工程量為 則需個(gè)完整周期，剩下的工程量；正好甲、乙各一天完成 所以第二種可能是正確的 于是，采用第二種可能算出的數(shù)據(jù)：一個(gè)周期內(nèi)他們完成的工程量： 需要天 而甲、乙、丙合作一

15、天完成的工程量正好是甲、乙、丙輪流做一天一個(gè)周期內(nèi)的工程量于是，甲、乙、丙合作這件工程需天 4如圖，有一個(gè)正方體水箱，在某一個(gè)側(cè)面相同高度的地方有三個(gè)大小相同的出水孔用一個(gè)進(jìn)水管給空水箱灌水，若三個(gè)出水孔全關(guān)閉，則需要用1個(gè)小時(shí)將水箱灌滿；若打開一個(gè)出水孔，則需要用1小時(shí)5分鐘將水箱灌滿；若打開兩個(gè)出水孔，則需要用72分鐘將水箱灌滿那么，若三個(gè)出水孔全打開，則需要用多少分鐘才能將水箱灌滿? 【分析與解】 方法一：設(shè)打開一個(gè)出水孔時(shí)，灌滿出水孔以上的部分需要時(shí)間為，則不打開出水孔和打開兩個(gè)出水孔灌滿水孔以上部分所需時(shí)間為 有工作效率之間的關(guān)系： 通分為化簡(jiǎn)為解得所以，不打開出水孔需分鐘灌滿水孔以

16、上的水，而灌滿出水孔以下的水為分鐘 視水孔以上的水箱水量為單位“l(fā)”，有一個(gè)出水孔的工作效率為： 那么打開三個(gè)出水孔的工作效率為 所以，打開三個(gè)出水孔灌滿整個(gè)水箱所需的時(shí)間為分鐘 方法二：在打開一個(gè)出水孔時(shí)，從小孔流出的水量相當(dāng)于進(jìn)水管分鐘的進(jìn)水量；在打開兩個(gè)出水孔時(shí)，從小孔流出的水量相當(dāng)于進(jìn)水管分鐘的進(jìn)水量而且注意到，后者出水孔出水的時(shí)間比前者多分鐘. 因此兩個(gè)出水孔7分鐘的排水量相當(dāng)于進(jìn)水管分鐘的進(jìn)水量因此進(jìn)水管1分鐘的進(jìn)水量相當(dāng)于一個(gè)出水孔7分鐘的排水量 那么在打開一個(gè)出水孔的時(shí)候，小孔排水分鐘，也就是說，進(jìn)水，進(jìn)水分鐘后，水面達(dá)到小孔高度 因此打開三個(gè)出水孔的時(shí)候，灌滿水箱需要分鐘第2

17、3講 運(yùn)用比例求解行程問題內(nèi)容概述 本講主要講解如何利用比例求解行程問題，而行程問題中的三個(gè)量：速度、時(shí)間、路程在某些時(shí)候存在比例關(guān)系典型問題 1甲、乙、丙三輛汽車各以一定的速度從4地開往B地若乙比丙晚出發(fā)10分鐘，則乙出發(fā)后40分鐘追上丙；若甲比乙又晚出發(fā)20分鐘，則甲出發(fā)后1小時(shí)40分鐘追上丙；那么甲出發(fā)后追上乙所需要的時(shí)間為多少分鐘? 【分析與解】 我們知道開始時(shí)，乙走了40分鐘與丙走了40+10=50分鐘的路程相等，所以速度比為乙：丙=5：4；甲走了100分鐘，丙走了100+20+lO=130分鐘所走的路程相等，所以速度比為：甲：丙=13：10 于是甲：乙：丙=26：25：20 于是，

18、乙比甲先走20分鐘，路程相當(dāng)于2025=500，速度差相當(dāng)于26-25=l； 于是，追擊時(shí)間為5001=500分鐘 2. 客車和貨車分別從甲、乙兩地出發(fā)相向而行如果兩車出發(fā)的時(shí)間都是6：00，那么它們?cè)?1：00相遇；如果客車和貨車分別于7：00和8：00出發(fā)，那么它們?cè)?2：40相遇現(xiàn)在，客車和貨車出發(fā)的時(shí)間分別是10：00和8：00，則何時(shí)它們相遇?(本題中所述的時(shí)間均為同一天，采用24小時(shí)制計(jì)法) 【分析與解】 第一次，客、貨各走了5小時(shí)；第二次，客、貨各走了5小時(shí)40分，4小時(shí)40分，但是兩次客、貨所走的路程和不變；于是有300客+300貨=340客+280貨；40客=20貨，所以客、貨兩車的速度比為1：2：將全程看成“1”，則客、貨車速度和為15=；所以客車速度為； 貨車的速度為；貨車先出發(fā)2小時(shí)，于是行走了；于是剩下的路程為；還需要的時(shí)間為小時(shí)，還需要3小時(shí)40分鐘，在10：00后計(jì)時(shí)，所以相遇時(shí)間為13點(diǎn)40分 3在久遠(yuǎn)的古代，有一個(gè)智者叫做芝諾，他曾經(jīng)說過：兔子永遠(yuǎn)追不上10米外的烏龜他這樣解釋：當(dāng)兔子跑到10米處(即烏龜原來