北理工數(shù)值分析總復(fù)習(xí)2008

1、12 上機(jī)題請(qǐng)?jiān)谏蠙C(jī)題請(qǐng)?jiān)?2月月24日之前交，強(qiáng)烈建議日之前交，強(qiáng)烈建議交打印稿。若通過(guò)電子郵件交，文件名交打印稿。若通過(guò)電子郵件交，文件名為：為：學(xué)號(hào)姓名學(xué)號(hào)姓名.rar, 壓縮文件中若壓縮文件中若有有word文檔存成文檔存成.doc文件文件. 答疑時(shí)間：答疑時(shí)間：12月月15，16，17，22，23，24（即下星期和下下星期（即下星期和下下星期1，2，3）晚上）晚上7:309:30，上機(jī)作業(yè)也在答疑時(shí)間交。，上機(jī)作業(yè)也在答疑時(shí)間交。 答疑地點(diǎn)：中教答疑地點(diǎn)：中教816。3第一章第一章 誤差誤差 絕對(duì)（相對(duì)）誤差絕對(duì)（相對(duì)）誤差 ( 限限 ) 有效數(shù)字有效數(shù)字4 有效數(shù)字有效數(shù)字x: 精確

2、值精確值x*: 近似值近似值, 其科學(xué)記數(shù)法為其科學(xué)記數(shù)法為),0(10. 0*121 aaaaxmn若若nmxx 1021|*|則稱(chēng)近似值則稱(chēng)近似值 x*具有具有n位有效數(shù)字位有效數(shù)字.5第二章第二章 解線(xiàn)性方程組的直接方法解線(xiàn)性方程組的直接方法 列主元素法列主元素法 LU分解法分解法 (Doolittle分解法分解法) (追趕法追趕法) 平方根法與改進(jìn)的平方根法平方根法與改進(jìn)的平方根法 條件數(shù)條件數(shù)bAx 求求611u1 kiliiu1 jiu1 1 iil1klkil1ilijuiiuju1iu121l12u22uju11kliju), 2 , 1(nj ), 3 , 2(nk ), 1

3、,(niij kil), 1(nik 對(duì)對(duì)i=2,3, n,ja1 111uak )(112211jiiijijiijululula iiiikiikikkiuululula)(112211 7,LUA bLUxbAx , bLy 先求先求再求再求yUx 得得x. 直接三角分解法直接三角分解法或或Doolittle分解法分解法.y8 A: 對(duì)稱(chēng)正定陣對(duì)稱(chēng)正定陣Cholesky分解分解TLLA 21l11l22l1nl2nl2il1iliilnilnnlTL)(),(jillajiij 設(shè)設(shè) li =L的第的第 i個(gè)行向量個(gè)行向量, 則則,1111al )2(1111 klalkk對(duì)對(duì) i=2,

4、3,n,)(2121 iiiiiiillaliiiikiikikkikilllllllal)(112211 )., 1(nik 9bxLLbAxT 先求先求 Ly=b, 再求再求 LTx=y. 平方根法平方根法或或Cholesky分解法分解法.y10第三章第三章 解線(xiàn)性方程組的迭代解法解線(xiàn)性方程組的迭代解法 Jacobi迭代法迭代法 Gauss-Seidel迭代法迭代法 迭代法收斂的條件迭代法收斂的條件(充要條件充要條件, 充分條件充分條件)bAx 求求11 Jacobi迭代法迭代法,111111ininiiiiiiiiiibxaxaxaxaxa ,111111ininiiiiiiiiiibx

5、axaxaxaxa ,111111iiiniiiniiiiiiiiiiiiiiabxaaxaaxaaxaax (k)(k)(k)(k)(k+1), 2 , 1(ni Tknkkkxxxx)()(2)(1)(, 12 Gauss-Seidel迭代法迭代法,111111ininiiiiiiiiiibxaxaxaxaxa ,111111ininiiiiiiiiiibxaxaxaxaxa ,111111iiiniiiniiiiiiiiiiiiiiabxaaxaaxaaxaax (k)(k)(k+1)(k+1)(k+1), 2 , 1(ni 13 迭代法收斂的充分必要條件迭代法收斂的充分必要條件 )0(

6、)()1(,xgMxxkk任意任意收斂收斂. 1)( M 迭代法收斂的充分條件迭代法收斂的充分條件若若A為為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)或不可約對(duì)角占優(yōu)嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)或不可約對(duì)角占優(yōu), 則求解則求解Ax=b 的的Jacobi迭代法和迭代法和Gauss-Seidel迭代法均收斂迭代法均收斂.若若A為為對(duì)稱(chēng)正定陣對(duì)稱(chēng)正定陣, 則當(dāng)則當(dāng)0 2時(shí)時(shí), 求解求解Ax=b的松弛的松弛法收斂法收斂, 特別地特別地Gauss-Seidel迭代法收斂迭代法收斂.14第四章特征值與特征向量的計(jì)算第四章特征值與特征向量的計(jì)算 冪法和反冪法冪法和反冪法15設(shè)設(shè)A為為n階實(shí)矩陣階實(shí)矩陣, 其特征值為其特征值為 1, 2, , n, 相應(yīng)

7、的相應(yīng)的特特征向量為征向量為u1, u2, , un. 且滿(mǎn)足條件且滿(mǎn)足條件 n 32 u1, u2, , un線(xiàn)性無(wú)關(guān)線(xiàn)性無(wú)關(guān). 冪法冪法 冪法冪法: 求求 1及其相應(yīng)的特征向量及其相應(yīng)的特征向量.此時(shí)此時(shí) 1一定是實(shí)數(shù)一定是實(shí)數(shù)! 1通常稱(chēng)為通常稱(chēng)為主特征值主特征值. 1 16 冪法的計(jì)算公式冪法的計(jì)算公式 kkkkkkkxyxAyx )()()()1()(max 任取初始向量任取初始向量x(0)=y(0) 0, 對(duì)對(duì)k=1, 2, , 構(gòu)造向量序列構(gòu)造向量序列 x(k), y(k)1 k)max(11)(uuyk 當(dāng)當(dāng)k充分大時(shí)充分大時(shí)17反冪法反冪法 用于計(jì)算矩陣按模用于計(jì)算矩陣按模最

8、小最小的特征值及其特的特征值及其特征向量征向量, 也可用來(lái)計(jì)算對(duì)應(yīng)于一個(gè)給定近似特征值也可用來(lái)計(jì)算對(duì)應(yīng)于一個(gè)給定近似特征值的特征向量的特征向量, 是目前求特征向量最有效的方法是目前求特征向量最有效的方法. 反冪法反冪法18 反冪法迭代公式為反冪法迭代公式為 任取初始向量任取初始向量x(0)=y(0) 0, 構(gòu)造向量序列構(gòu)造向量序列)., 2 , 1 , 0()max()1()1()1()(1)1( kxxyyAxkkkkk 迭代向量迭代向量x(k+1)可以通過(guò)解方程組求得可以通過(guò)解方程組求得)()1(kkyAx nkx 1)max( )max()(nnkuuy 當(dāng)當(dāng)k充分大時(shí)充分大時(shí)19第五章

9、第五章 插值法插值法 Lagrange插值插值 Newton插值插值 Hermite插值插值20問(wèn)題問(wèn)題:ix2x1xnx)(iixfy 1y2yny0 x0y求求 Ln(x).(1) 至多至多n次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式;)., 1 , 0()()(niyxfxLiiin (2)21 Lagrange插值插值)()()()()(1100 xlyxlyxlyxlyxLnniin 其中其中 li (x) 為插值為插值基函數(shù)基函數(shù)(1) n次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式);, 1 , 0( , 0)(, 1)(ijnjxlxljiii ,)()()(0 nijjjijixxxxxl)., 1 , 0(ni 截?cái)嗾`差截?cái)嗾`

10、差)()()(xLxfxRnn . )()!1()(0)1( niinxxnf (2) 22 差商差商一階差商一階差商jijijixxxfxfxxf )()(,二階差商二階差商kikjjikjixxxxfxxfxxxf , k階差商階差商kkkkxxxxxfxxxfxxxf 02111010,23 Newton插值公式插值公式)(,)()(0100 xxxxfxfxNn )(,10210 xxxxxxxf)()(,11010 nnxxxxxxxxxf一般通過(guò)差商表進(jìn)行計(jì)算一般通過(guò)差商表進(jìn)行計(jì)算).()(xNxLnn 截?cái)嗾`差同截?cái)嗾`差同Lagrange插值公式插值公式. 24 Hermite插

11、值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式ix2x1xnx)(iixfy 1y2yny0 x0y)( iixfy 1y2yny0y求求 H(x).(1) 至多至多(2n+1)次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式;)., 1 , 0(, )( ,)(niyxHyxHiiii (2)25)()()()(1100 xhyxhyxhyxHnn )()()(1100 xHyxHyxHynn )(xhiixixnx0 x1(2n+1)次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式 ),()( 21)(2xlxxxlxhiiii 其中其中l(wèi)i (x)是是 Lagrange插值基函數(shù)插值基函數(shù). 26)()()()(1100 xhyxhyxhyxHnn )()()(1100 xHy

12、xHyxHynn )(xHiixixnx0 x1(2n+1)次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式),()()(2xlxxxHiii 其中其中l(wèi)i (x)是是 Lagrange插值基函數(shù)插值基函數(shù). 27 截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差)()()(xHxfxR .)()()()!22()(22120)22(nnxxxxxxnf Hermite插值的一般形式插值的一般形式(見(jiàn)課本見(jiàn)課本122頁(yè)頁(yè))28第六章第六章 函數(shù)逼近函數(shù)逼近 最小二乘一次最小二乘一次 (二次二次)多項(xiàng)式擬合多項(xiàng)式擬合 Legendre正交多項(xiàng)式正交多項(xiàng)式29問(wèn)題問(wèn)題: 給定給定n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn) (xi , yi) (i=1, 2, , n)ix2x1xnx

13、iy1y2yny求求,2210 xaxaay (或或 y=a0+a1x ) 使得使得 212210)( niiiixaxaay達(dá)到最小達(dá)到最小. 最小二乘一次最小二乘一次 (二次二次)多項(xiàng)式擬合多項(xiàng)式擬合30 212210210)(),( niiiixaxaayaaaF 令令利用多元函數(shù)取極值的必要條件得到正則方程組利用多元函數(shù)取極值的必要條件得到正則方程組n niix1 niix12 niiy1 niix1 niix12 niix12 niix13 niix14 niix13 niiiyx121niiix y0a1a2a由上式求得由上式求得a0, a1, a2, 得到得到最小二乘擬合二次多項(xiàng)

14、式最小二乘擬合二次多項(xiàng)式.31第七章第七章 數(shù)值微分與數(shù)值積分?jǐn)?shù)值微分與數(shù)值積分 復(fù)化梯形公式復(fù)化梯形公式 復(fù)化復(fù)化Simpson公式公式 Romberg算法算法 Gauss型求積公式型求積公式 代數(shù)精確度代數(shù)精確度 截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差32 代數(shù)精確度代數(shù)精確度設(shè)有求積公式設(shè)有求積公式 nkkkbaxfAdxxf0)()(若它對(duì)若它對(duì) f (x)=1, x, x2, xm 都能精確成立都能精確成立(即上式等即上式等號(hào)成立號(hào)成立), 但對(duì)但對(duì) f (x)=xm+1 上式等號(hào)不成立上式等號(hào)不成立, 則稱(chēng)該求則稱(chēng)該求積公式具有積公式具有m次代數(shù)精確度次代數(shù)精確度. 33 復(fù)化梯形公式復(fù)化梯形公式 ba

15、nnfffffhdxxf)(22)(1210其中其中,nabh .),(ihaxxffiii 截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差nbaTTdxxffR )()(.:nT ).,(),( 122bafhab 34 復(fù)化復(fù)化Simpson公式公式 .:)(2)(43)(2242123120nmbammSffffffffhdxxf 區(qū)間區(qū)間a, b n等分等分, n=2m其中其中.nabh 截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差).,(),(180)()()4(4bafhabSdxxffRnbaS 35 梯形值序列梯形值序列 mT2 遞推算法遞推算法 mhTTmm2122所有新增加節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值之和所有新增加節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值之和.其中其中.2m

16、mabh 36 Romberg算法算法1T32T16T8T4T2T2S4S8S16S32S4C8C16C32C8D16D32D8S3448TT 16C1516816SS 636481616CCD 37 Gauss型求積公式型求積公式)()(1knkkbaxfAdxxf Ak: 求積系數(shù)求積系數(shù),xk: 求積節(jié)點(diǎn)求積節(jié)點(diǎn)如果該求積公式具有如果該求積公式具有(2n-1)階代數(shù)精確度階代數(shù)精確度, 則稱(chēng)則稱(chēng)其為其為Gauss型求積公式型求積公式.設(shè)有求積公式設(shè)有求積公式38 區(qū)間區(qū)間-1, 1上的上的Guass型求積公式型求積公式 nkkkxfAdxxf111)()(其中求積節(jié)點(diǎn)其中求積節(jié)點(diǎn)xk為為

17、n階階Legendre多項(xiàng)式的多項(xiàng)式的零點(diǎn)零點(diǎn); Ak, xk 的值可查表得到的值可查表得到. 一般一般a, b上的上的Gauss型求積公式可用換元型求積公式可用換元法轉(zhuǎn)化成法轉(zhuǎn)化成-1, 1上的上的Gauss型求積公式型求積公式.222)(11dtabtabbafdxxfba 39第八章第八章 非線(xiàn)性方程解法非線(xiàn)性方程解法 二分法二分法(對(duì)分區(qū)間法對(duì)分區(qū)間法)求求 f (x) = 0 的根的根 簡(jiǎn)單迭代法簡(jiǎn)單迭代法 (收斂的充分條件收斂的充分條件) 牛頓法牛頓法 割線(xiàn)法割線(xiàn)法4012 kkabx*|x . 12lnlnln abk 設(shè)設(shè)a, b是是 f (x)=0的有根區(qū)間的有根區(qū)間, 用二

18、分法迭代用二分法迭代 給定精度給定精度 , 迭代次數(shù)迭代次數(shù)k 滿(mǎn)足下式滿(mǎn)足下式, 能保證滿(mǎn)足精度能保證滿(mǎn)足精度 二分法二分法(對(duì)分區(qū)間法對(duì)分區(qū)間法)41 簡(jiǎn)單迭代法簡(jiǎn)單迭代法)(0)(xgxxf 構(gòu)造遞推公式構(gòu)造遞推公式 01),(xxgxnn適當(dāng)選取適當(dāng)選取.以以 逐次逼近逐次逼近 f (x)=0的根的根. nx如何構(gòu)造收斂的迭代法如何構(gòu)造收斂的迭代法?42定理定理考慮方程考慮方程 x = g(x), g(x) Ca, b, 若若( I ) 當(dāng)當(dāng) x a, b 時(shí)，時(shí)， g(x) a, b；( II ) 0 L 1 使得使得 | g(x) | L 對(duì)對(duì) x a, b 成立。成立。則任取則任

19、取 x0 a, b，由，由 xk+1 = g(xk) 得到的序列得到的序列 收斂于收斂于g(x) 在在a, b上的唯一不動(dòng)點(diǎn)。并且有誤差估上的唯一不動(dòng)點(diǎn)。并且有誤差估計(jì)式：計(jì)式： 0kkx|11|*|1kkkxxLxx ( k = 1, 2, )|1|*|01xxLLxxk k43 牛頓法牛頓法原理：原理：將非線(xiàn)性方程線(xiàn)性化將非線(xiàn)性方程線(xiàn)性化 ( Taylor 展開(kāi)展開(kāi) ), 1 ,0()()(1 nxfxfxxnnnnxyx*xnxn+144第九章第九章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 構(gòu)造常微分方程離散格式的三種方法構(gòu)造常微分方程離散格式的三種方法 單步法常見(jiàn)格式單步法常見(jiàn)格式 多步

20、法常見(jiàn)格式多步法常見(jiàn)格式 重要概念重要概念: 局部截?cái)嗾`差局部截?cái)嗾`差45 用差商近似導(dǎo)數(shù)用差商近似導(dǎo)數(shù) 數(shù)值積分方法數(shù)值積分方法 Taylor多項(xiàng)式近似方法多項(xiàng)式近似方法 構(gòu)造常微分方程離散格式的三種方法構(gòu)造常微分方程離散格式的三種方法46 Euler法法 改進(jìn)改進(jìn)Euler法法 經(jīng)典四階經(jīng)典四階RK方法方法 單步法常見(jiàn)格式單步法常見(jiàn)格式47 多步法常見(jiàn)格式多步法常見(jiàn)格式 Simpson公式公式 Adams顯隱公式顯隱公式 Adams預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)-校正公式校正公式48 局部截?cái)嗾`差局部截?cái)嗾`差 整體截?cái)嗾`差整體截?cái)嗾`差Taylor展開(kāi)方法展開(kāi)方法 幾個(gè)重要概念幾個(gè)重要概念 數(shù)值方法的階數(shù)數(shù)值方法

21、的階數(shù)49數(shù)值分析總復(fù)習(xí)例題數(shù)值分析總復(fù)習(xí)例題50分析分析 333231222111aaaaaaA對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng)TLL 333231222111llllll0 333222312111llllll0),(jiijlla 其中其中 li為矩陣為矩陣 L的第的第 i個(gè)行向量個(gè)行向量.,1111al ,112121lal ,113131lal ,2212222lal ,2231213232lllal .2322313333llal 一一. 用平方根法求線(xiàn)性方程組用平方根法求線(xiàn)性方程組AX=b, 其中其中,22484548416 A,321 xxxX.1034 b51, 4161111 al, 144112

22、121 lal, 2113131 lal解解:,1111al ,112121lal ,113131lal ,2212222lal ,2231213232lllal .2322313333llal 一一. 用平方根法求線(xiàn)性方程組用平方根法求線(xiàn)性方程組AX=b, 其中其中,22484548416 A,321 xxxX.1034 b52一一. 用平方根法求線(xiàn)性方程組用平方根法求線(xiàn)性方程組AX=b, 其中其中, 2152212222 lal, 3)(2221313232 lllal, 32322313333 llal解解: 332021004LybxLLT , 4161111 al, 14411212

23、1 lal, 2113131 lal,22484548416 A,321 xxxX.1034 b53解解: 先解先解 Ly=b, 再解再解 LTx=y, 1034332021004321yyy,621 y 621300320214321xxx.2449 x 332021004LybxLLT 一一. 用平方根法求線(xiàn)性方程組用平方根法求線(xiàn)性方程組AX=b, 其中其中,22484548416 A,321 xxxX.1034 b54二二. 設(shè)有方程組設(shè)有方程組寫(xiě)出寫(xiě)出Jacobi迭代迭代, Gauss-Seidel迭代迭代的計(jì)算公式的計(jì)算公式, 兩兩種迭代法是否收斂種迭代法是否收斂? 為什么為什么?

24、,251084,118104,134410321321321xxxxxxxxxJacobi迭代法不收斂迭代法不收斂,Gauss-Seidel迭代法迭代法, =1.2的的SOR迭代法收斂迭代法收斂.55三三. 按下表求按下表求 f (x)的四次的四次Hermite插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式H(x), 并寫(xiě)出截?cái)嗾`差并寫(xiě)出截?cái)嗾`差R (x)=f (x) H(x)的表達(dá)式的表達(dá)式.ix)(ixf)( ixf0121210 1.212231)(432xxxxxH 56四四. (1) 求形如求形如 )10()()(21)(212110 xxxfxfdxxf的求積公式的求積公式, 使其至少具有兩次代數(shù)精確度使其

25、至少具有兩次代數(shù)精確度, 該公式是該公式是否具有三次代數(shù)精確度否具有三次代數(shù)精確度?解解 (1) 由已知由已知, 當(dāng)當(dāng) f (x)分別為分別為1, x, x2時(shí)時(shí), 求積公式等號(hào)求積公式等號(hào)成立成立. 即即1110 dx)11(21 2110 dxx)(2121xx 31102 dxx)(212221xx .32121,3212121xx41103 dxx)(213231xx 故該公式具有故該公式具有3次代數(shù)次代數(shù)精確度精確度.57四四. (2) 選用合適的數(shù)值積分方法計(jì)算選用合適的數(shù)值積分方法計(jì)算的近似值的近似值, 要求計(jì)算結(jié)果具有要求計(jì)算結(jié)果具有3位有效數(shù)字位有效數(shù)字.dxx 102)co

26、s(解解 設(shè)設(shè) f (x)=cos(x2), xk=k/8 (k=0, 1, , 8), fk=f (xk), 則則f0=1f1=0.999877932f2=0.998047511f3=0.990128588f4=0.968912422f5=0.924671261f6=0.845924499f7=0.720949381f8=0.540302306梯形值序列梯形值序列T1=0.770151152T2=0.869531786T4=0.895758895T8=0.902332842Simpson值序列值序列S2=0.902658664S4=0.904501264S8=0.904524157梯形值序列

27、的逐次分半算法梯形值序列的逐次分半算法故故904524157. 0)cos(102 dxx58五五. 設(shè)設(shè)(1) 用迭代公式用迭代公式 求方程求方程 f (x)=0在在x0=2.0附近的一個(gè)根附近的一個(gè)根, 試問(wèn)此迭代法是否收斂試問(wèn)此迭代法是否收斂? (2) 用合適的方法求用合適的方法求 f (x)=0在在x0=2.0附近的根附近的根, 要求要求計(jì)算結(jié)果具有計(jì)算結(jié)果具有4位有效數(shù)字位有效數(shù)字., 1)(23 xxxxf21111kkkxxx 解解 (1) 迭代函數(shù)為迭代函數(shù)為,111)(2xxxg 驗(yàn)證驗(yàn)證 g(x)在區(qū)間在區(qū)間1.7, 2.0上滿(mǎn)足壓縮映像定理上滿(mǎn)足壓縮映像定理, 故故該迭代

28、法收斂該迭代法收斂.(2) 可用可用Newton迭代法求根迭代法求根, 取取x0=2.0, 寫(xiě)出迭代公寫(xiě)出迭代公式后計(jì)算三次得式后計(jì)算三次得x1=1.857142857, x2=1.839544514, x3=1.839286811. 故故x3即為所求方程近似根即為所求方程近似根.59六六. 確定求解初值問(wèn)題確定求解初值問(wèn)題 .)(,),(0yaybxayxfy的二步隱式的二步隱式Adams方法方法)5(12111 nnnnnfffhyy 中的參數(shù)中的參數(shù) , 使該方法成為三階方法使該方法成為三階方法, 并寫(xiě)出其局部并寫(xiě)出其局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)截?cái)嗾`差主項(xiàng).).()(241, 85)4(41hOx

29、yhRnn 可用數(shù)值積分方法或可用數(shù)值積分方法或Taylor展開(kāi)方法展開(kāi)方法60七七. 據(jù)資料記載據(jù)資料記載, 某地某年間間隔某地某年間間隔30天的日出日落天的日出日落時(shí)間如下時(shí)間如下5月月1日日 5月月31日日6月月30日日4:514:174:1619:3819:50日出日出日落日落19:04日出日落時(shí)間表日出日落時(shí)間表請(qǐng)問(wèn)請(qǐng)問(wèn): 這一年中哪一天白天最這一年中哪一天白天最長(zhǎng)長(zhǎng)?解解 用用Newton插值公式較為方便插值公式較為方便, 答案為答案為:這一年中以這一年中以6月月22日的白天最日的白天最長(zhǎng)長(zhǎng).61練習(xí)練習(xí)1. 第第126頁(yè)頁(yè). 求解線(xiàn)性方求解線(xiàn)性方程組程組 Ax=b, 其中其中A如

30、右圖如右圖所示所示, 試構(gòu)造一個(gè)與求解試構(gòu)造一個(gè)與求解三對(duì)角方程組的追趕法三對(duì)角方程組的追趕法類(lèi)似的直接方法類(lèi)似的直接方法. 2222112211nnnn . 0, 0, 1 iiii 其中其中622. 已知方程組已知方程組Ax=b, 其中其中 11,212321bxxxA若有迭代公式若有迭代公式),()()()1(bAxaxxkkk 試確定使該公式收斂的實(shí)數(shù)試確定使該公式收斂的實(shí)數(shù)a的最大取值范圍的最大取值范圍.633. 方程方程 f (x)=x3+10 x 20=0是矩陣是矩陣 01020100010A的特征方程的特征方程, 試用帶原點(diǎn)移位的反冪法求試用帶原點(diǎn)移位的反冪法求 f (x)=0

31、在在x0=1.5附近的根附近的根. 取初始迭代向量為取初始迭代向量為 x(0)=(0.4, 0.6, 1)T.(用求解矩陣特征值的方法來(lái)求多項(xiàng)式的根用求解矩陣特征值的方法來(lái)求多項(xiàng)式的根)用計(jì)算器迭代一次用計(jì)算器迭代一次, 或用計(jì)算機(jī)求具六位有效數(shù)字的或用計(jì)算機(jī)求具六位有效數(shù)字的近似值近似值.644. 設(shè)設(shè)x0, x1, , xn 為為 n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)個(gè)互異節(jié)點(diǎn), lj (x) (j=0, 1, , n)為這組節(jié)點(diǎn)上的為這組節(jié)點(diǎn)上的n次次Lagrange插值基函數(shù)插值基函數(shù), 證明證明. )()(0011 njjnjjnjnxxxlxx655. 已知函數(shù)已知函數(shù) y=f (x)=x3+10 x

32、 20的函數(shù)表如下的函數(shù)表如下xi 1.5 1.6 1.7yi 1.625 0.096 1.913由于由于 f (x)為為x 的嚴(yán)格單調(diào)增加函數(shù)的嚴(yán)格單調(diào)增加函數(shù), 故可確定出反函故可確定出反函數(shù)數(shù) x=x(y), 試用上表求試用上表求x(因變量因變量)關(guān)于關(guān)于y(自變量自變量)的二的二次插值多項(xiàng)式在次插值多項(xiàng)式在 y=0點(diǎn)的值點(diǎn)的值, 以此值作為方程以此值作為方程 f (x)=0的近似根的近似根. (反插值求根反插值求根)666. 已知函數(shù)表已知函數(shù)表 xj 0.10 0.20 0.40 0.50yj 21.00 11.00 7.00 6.00試用函數(shù)試用函數(shù) 作最小二乘曲線(xiàn)擬合作最小二乘曲線(xiàn)擬合, 確確定參數(shù)定參數(shù)C1和和C2, 結(jié)果取結(jié)果取3位有效數(shù)字位有效數(shù)字.xCxCy21 677. 確定如下求積公式中的求積系數(shù)確定如下求積公式中的求積系數(shù), 使其具有使其具有盡可能高的代數(shù)精確度盡可能高的代數(shù)精確度).( )( )()()(1010bfBafBbfAafAdxxfba 提示提示: 用三次用三次Hermite插值多項(xiàng)式來(lái)近似函數(shù)插值多項(xiàng)式來(lái)近似函數(shù) f (x).688. 從地面發(fā)射一枚火箭從地面發(fā)射一枚火箭, 在最初在