注冊(cè)巖土工程計(jì)劃師基礎(chǔ)考試~基本公式匯總(數(shù)物化電工程計(jì)劃~).doc

1、|一、高等數(shù)學(xué)公式導(dǎo)數(shù)公式：(tgx)sec2 x(arcsin x)11x2(ctgx)csc2 x(arccos x)1(secx)secx tgx1 x2(cscx)cscx ctgx(arctgx )1( ax )a x ln a1x2(log a x)1(arcctgx )1x ln a1x2基本積分表：tgxdxln cosxCdxsec2 xdxtgxCctgxdxln sin xCcos2 xdxcsc2 xdxctgxCsecxdxln secxtgxCsin 2 xcscxdxln cscxctgxCsecx tgxdxsecxCdx1arctgxcsc xctgxdxcs

2、cx Ca2x2aCa xaaxdxCdx1xaln aCx2a2ln2axashxdxchxCdx1axCa2x22alnxchxdxshxCadxarcsin xCdxln( xx 2a2 )Ca2x2ax2a22sin n xdx2cosn xdxn1I nI n200nx2a2dxxx2a2a2ln( xx2a2)C22x2a2 dxxx 2a2a2 ln xx2a 2C22a2x2 dxxa 2x2a 2arcsin xC22a三角函數(shù)的有理式積分：sin x2u， cos x1u2 ，utg x，dx2du1u 21u 221u2|一些初等函數(shù)：雙曲正弦: shxexe x2雙曲余

3、弦: chxexe x2雙曲正切: thxshxexechxexearshxln( xx2）1archxln( xx21)arthx1 ln 1x21x兩個(gè)重要極限：lim sin x1x 0xlim (11)xe 2.718281828459045.x xxx三角函數(shù)公式：誘導(dǎo)公式：函數(shù)sincostgctg角 A-sin cos -tg -ctg 90-cos sin ctg tg 90+cos -sin -ctg -tg 180 -sin -cos -tg -ctg180 +-sin -cos tg ctg 270 -cos -sin ctg tg 270 +-cos sin -ctg

4、-tg 360 -sin cos -tg -ctg 360 +sin cos tg ctg 和差角公式：和差化積公式：sin()sincoscossinsinsin2 sin2cos2cos()coscossinsinsinsin2 cossintg ()tgtg221 tgtgcoscos2 coscosctgctg1ctg ()22ctgctgcoscos2 sinsin22倍角公式：sin 22 sincoscos22 cos2112sin 2cos2sin2sin 33sin4sin3ctg 2ctg 21cos34 cos33 cos2ctgtg33tgtg 32tg1 3tg 2t

5、g 2tg 21|半角公式：sin1coscos1cos2222tg1cos1 cossinctg1cos1cossin1cossin1cos1cossin1 cos22正弦定理：abc2222余弦定理：cab2ab cosCsin Asin BsinCR反三角函數(shù)性質(zhì)：arcsinxarccosxarctgx2arcctgx2高階導(dǎo)數(shù)公式萊布尼茲（Leibniz）公式：n( uv ) ( n )C nk u ( n k ) v ( k )k 0u ( n ) vnu ( n 1) vn( n 1) u ( n 2 ) vn ( n 1) ( n k 1) u ( n k ) v ( k )u

6、v ( n )2!k!中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：拉格朗日中值定理：f (b )f ( a)f ( )( ba)柯西中值定理：f (b)f (a )f( )F (b)F (a )F( )當(dāng) F( x)x時(shí)，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。曲率：弧微分公式：ds1y 2 dx , 其中 ytg平均曲率： Ks.:從M點(diǎn)到 M點(diǎn)，切線斜率的傾角變M 點(diǎn)的曲率：Klimdy.sds2 ) 3s 0(1 y直線：K0;半徑為a 的圓：1K.a定積分的近似計(jì)算：bba ( y0 y1矩形法：f ( x)yn 1 )anbba 1 ( y 0梯形法：f ( x)yn )y1y n1 an2bba ( y 0拋物

7、線法：f ( x )y n )2( y2y4yn 2 )a3 n化量；s： M M 弧長(zhǎng)。4( y1y3yn 1 )定積分應(yīng)用相關(guān)公式：|功： WF s水壓力： FpA引力： Fkm1m2, k為引力系數(shù)r 21b函數(shù)的平均值： yf ( x)dxba a1bf 2 (t )dt均方根：a ab多元函數(shù)微分法及應(yīng)用全微分：dzz dxz dyduu dxu dyu dzxyxyz全微分的近似計(jì)算：z dzf x ( x, y )x f y ( x, y )y多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法：zf u ( t ), v(t )dzzuzvdtutvtzf u ( x, y ), v( x, y)zzuzvx

8、uxvx當(dāng) uu ( x, y)， vv( x , y)時(shí)，duuudvvvdxdydxdyxyxy隱函數(shù)的求導(dǎo)公式：隱函數(shù)F ( x, y)，dyF x，0dxF y隱函數(shù)F ( x, y, z)，zF x，0xF z隱函數(shù)方程組：F ( x, y ,u , v)0G ( x, y ,u , v)0u1(F,G)v1xJ( x, v)xJu1(F,G)v1yJ( y, v)yJ多元函數(shù)的極值及其求法：d 2 y(F x )(Fx )dydx 2xF yyF ydxzF yyF z(F ,G)FFFuF vJuv( u , v)GGGuG vuv(F ,G)(u , x)(F ,G)(u ,

9、y )設(shè) f x ( x0 , y0 )f y ( x0 , y0 )0，令： f xx ( x0 , y0 ) A, f xy ( x0 , y0 ) B, f yy (x0 , y0 ) CACB2A 0, (x0 , y0 )為極大值0時(shí)，B 2A 0, (x0 , y0 )為極小值則： AC0時(shí)，無(wú)極 值A(chǔ)CB 20時(shí) ,不確定重積分及其應(yīng)用：|f ( x, y )dxdyf ( r cos, r sin)rdrdDD22曲面 zf ( x, y )的面積A1zzdxdyxyDx ( x, y) dy ( x, y) d平面薄片的重心：xMMxD,M yDy( x, y ) d( x

10、, y) dMDD平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：對(duì)于 x軸 I xy2( x , y) d ,對(duì)于y軸 I yx 2( x, y ) dDD平面薄片（位于xoy 平面）對(duì)z軸上質(zhì)點(diǎn) M (0 ,0 , a ), (a0 )的引力：F F x , F y , Fz ，其中：Fxf( x, y) xd3 ，F(xiàn) yf( x, y) yd，F(xiàn) zfa( x , y) xd33D ( x 2y 2a 2 ) 2D ( x2y 2a 2 ) 2D ( x 2y 2a 2 ) 2常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：1n等比數(shù)列： 1q2n1qqq1q等差數(shù)列： 123n(n1) n2調(diào)和級(jí)數(shù)： 1111 是發(fā)散的23n級(jí)數(shù)審斂法：、正項(xiàng)級(jí)數(shù)

11、的審斂法 根植審斂法（柯西判別法）：1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂1設(shè)：limnu n，則時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散1n時(shí)，不確定12、比值審斂法：時(shí)，級(jí)數(shù)收斂U n 1 ，則1設(shè)：lim時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散U n1n時(shí)，不確定1、定義法：3snu1 u2un ; lim sn 存在，則收斂；否則發(fā)散。n交錯(cuò)級(jí)數(shù) u1u2u3u4(或 u1 u 2u3,un 0)的審斂法 萊布尼茲定理：如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足un un1 ，那么級(jí)數(shù)收斂且其和 s u1 ,其余項(xiàng) rn的絕對(duì)值 rnun 1。lim un0n絕對(duì)收斂與條件收斂：|(1) u1u 2un，其中 u n 為任意實(shí)數(shù)；( 2) u1u2u3u n如果 (2 )收斂，則(1)肯定

12、收斂，且稱(chēng)為絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)；如果 (2 )發(fā)散，而(1)收斂，則稱(chēng)(1) 為條件收斂級(jí)數(shù)。調(diào)和級(jí)數(shù)：1 發(fā)散，而(1) n 收斂；nn級(jí)數(shù)：1收斂；2np級(jí)數(shù)：1 時(shí)發(fā)散npp1時(shí)收斂?jī)缂?jí)數(shù)：23nx1時(shí)，收斂于11 xxx1 xxx1時(shí)，發(fā)散對(duì)于級(jí)數(shù) (3) a 0a1 x2n，如果它不是僅在原點(diǎn)收斂，也不是在全a 2 xa n xx R時(shí)收斂數(shù)軸上都收斂，則必存在 R，使xR時(shí)發(fā)散 ，其中R稱(chēng)為收斂半徑。xR時(shí)不定0時(shí)，1R求收斂半徑的方法：設(shè)liman1，其中 a n， a n1是 ( 3)的系數(shù)，則0時(shí)， Rna n時(shí)，R 0函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)：函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)：f ( x)f (x0

13、)( x x0 )f (x0 ) ( x x0 )2f (n ) ( x0 ) ( xx0 ) n2!n!余項(xiàng)： Rnf (n1) ( ) (xx0 ) n 1, f ( x)可以展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的充要條件是： lim Rn0(n1)!nx0 0時(shí)即為麥克勞林公式： f ( x)f (0)f ( 0) xf (0)2f (n) (0)xnxn!2!一些函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)：(1 x) m1mxm(m1) x 2m(m 1)( mn 1) xn( 1x 1)2!n!sin x xx3x5( 1) n 1x2n1(x)3!5!( 2n1)!歐拉公式：cosxeixeeix2cosx i sin x或ei

14、xsin xe2ixix三角級(jí)數(shù)：|f (t) A0An sin( n ta0(an cosnxbn sin nx)n )n 12n 1其中， a0aA0， an An sinn， bnAn cos n， tx。正交性：sin nx, cosnx任意兩個(gè)不同項(xiàng)的乘積在 , 1, sin x,cos x,sin 2x, cos2x上的積分 0。傅立葉級(jí)數(shù)：f ( x )a0，周期22n 1( an cos nx bn sin nx)an1f ( x) cos nxdx(n0,1,2)其中1bnf ( x) sin nxdx( n1,2,3)11211121（相加）125 282 23242361

15、11211121（相減）224 26 22 23 2422412正弦級(jí)數(shù)：a n，2f ( x) sin nxdxn1,2,3f ( x )是奇函數(shù)0bnbn sin nx0余弦級(jí)數(shù)：bn，2f ( x ) cos nxdxn0,1,2a0a n cos nx是偶函數(shù)0anf ( x)02周期為2l 的周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)：一、 向量代數(shù)1、向量的有關(guān)概念：向量間的夾角、向量的方向角、方向余弦、向量在數(shù)軸上的投影rrrr向量的坐標(biāo)aax, ay , az ax iay jaz k在相應(yīng)坐標(biāo)軸上的投影模長(zhǎng)： aa x2ay2az2方向余弦：axax， cosayay，cos| a |ax2ay2

16、az2| a |ax2ay2az2cosazazax2ay2az2| a |r 0,cos,cos單位向量 acos2、向量的運(yùn)算：線性運(yùn)算：加法ab 、 減法ab 、數(shù)乘a乘積運(yùn)算：數(shù)量積、向量積|- 向量的數(shù)量積a ba ba b cosaxbxaybyazbz幾何意義； a b0a a 在 b 上的投影b2性質(zhì)：（ 1） a aaaa x2a y2az2（ 2） ab0abax bxa ybyazbz0微分方程的相關(guān)概念：一階微分方程： yf (x, y)或P( x, y)dx Q(x, y)dy0可分離變量的微分方程 ：一階微分方程可以化 為g ( y)dy的形式，解法：f (x)dx

17、g ( y) dyf ( x)dx得： G( y)F (x) C稱(chēng)為隱式通解。齊次方程：一階微分方 程可以寫(xiě)成 dyf ( x, y)，即寫(xiě)成 y 的函數(shù)，解法：dx(x, y)x設(shè)y ，則 dydu，du(u)， dxdu分離變量，積分后將y 代替 ，uuxux(u) uuxdxdxdxx即得齊次方程通解。一階線性微分方程：1、一階線性微分方程：dyP ( x) yQ ( x)dx當(dāng) Q( x)0時(shí) ,為齊次方程，yCeP ( x ) dx當(dāng) Q( x)0時(shí)，為非齊次方程，y( Q( x )eP ( x ) dxP ( x ) dxdx C ) e、貝努力方程：dyP ( x) yQ ( x

18、 ) yn，2dx( n 0,1)全微分方程：如果 P(x, y)dxQ( x, y)dy0中左端是某函數(shù)的全微 分方程，即：du(x, y)P(x, y) dx Q( x, y)dy0，其中： uP( x, y)，uQ( x, y)xyu( x, y)C應(yīng)該是該全微分方程的 通解。二階微分方程：|2ydy， f ( x)時(shí)為齊次d0dx2P(x)Q( x) y f ( x)時(shí)為非齊次dxf ( x)0二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法：(*) y py qy 0，其中p,q為常數(shù)；求解步驟：1、寫(xiě)出特征方程：( )r 2prq0，其中r 2，r的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)恰好是 (*)式中y , y ,

19、y的系數(shù)；2、求出( )式的兩個(gè)根r1,r23、根據(jù) r1 ,r2的不同情況，按下表寫(xiě)出(*) 式的通解：r1， r2的形式(*) 式的通解兩個(gè)不相等實(shí)根 ( p24q0)yc1er1 xc2 er2 x兩個(gè)相等實(shí)根 ( p 24q0)y(c1c2 x)er1 x一對(duì)共軛復(fù)根 ( p 24q0)ye x (c1 cos x c2 sin x)r1i ，r2ip ，4q p 222二階常系數(shù)非齊次線性微分方程ypyqyf ( x)， p,q為常數(shù)f ( x)e x Pm ( x)型，為常數(shù)；f ( x)e x Pl ( x) cosxPn ( x)sinx型二、空間解析幾何（一）空間直角坐標(biāo)系（

20、三個(gè)坐標(biāo)軸的選取符合右手系）空間兩點(diǎn)距離公式PQ(x2x1 )2( y2y1 ) 2(z2 z1 )2（二）空間平面、直線方程1、 空間平面方程a、 點(diǎn)法式A( xx0 ) B( yy0 )C (zz0 )0b、 一般式AxByCz D0c、 截距式xyzab1cd、 點(diǎn)到平面的距離dAx0By0Cz0DA2B2C2|2、 空間直線方程a、 一般式A1 x B1 y C1 z D100A2 x B2 y C2 z D2b、 點(diǎn)向式（對(duì)稱(chēng)式）xx0y y0 z z0（分母為0，相應(yīng)的分子也理解為0）lmnxx0ltc、 參數(shù)式y(tǒng)y0mtzz0kt3、空間線、面間的關(guān)系a、 兩平面間的夾角：兩平面

21、的法向量n1 ， n2 的夾角（通常取銳角）兩平面位置關(guān)系：1 /A1B1C12n1 / n2B2C 2A212n1n2A1 A2 B1B2 C1C 2 0平面1與2斜交 ，b、兩直線間的夾角：兩直線的方向向量的夾角（取銳角）兩直線位置關(guān)系： L1 / L2a1l 1m1n1/ a2m2n2l 2L1L2a1a2l1l 2m1m2n1n20b、 平面與直線間的夾角線面夾角：當(dāng)直線與平面不垂直時(shí)，直線與它在平面上的投影直線之間的夾角（取銳角）稱(chēng)為直線與平面的夾角。當(dāng)直線與平面垂直時(shí)，（）22線面位置關(guān)系：L /anlAmBnC 0La / nlmnABCf ( x )a0( a n cosn x

22、bn sinnx，周期2l2ll)n 11anl其中1bnlllllf ( x) cos nx dx(n0,1,2)lf ( x ) sin nx dx( n1,2,3)l二、物理學(xué)一、熱學(xué)1、 PVM RT ； P nkT ； P 2 n ；3 kT ；i kT ； E M i RT3222|2、麥?zhǔn)戏植迹篺 vdN，表示單位速度間隔的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。Ndv最概然速率v p1.4RT ；平均速率 v 1.6 RT ；方均根速率v21.7RT3、平均碰撞次數(shù)Z2d 2 vn ；平均自由程12d2 n4、等溫過(guò)程 PVC ；等壓過(guò)程 VC ；等容過(guò)程PC ；絕熱過(guò)程比等溫線陡。TTV2

23、V2M RT ln V2 ， EMi R T總功 APdV ；等溫過(guò)程 A TPdVV1V1V12熱一律的應(yīng)用：功是過(guò)程曲線下面的面積，QEA等容 A0， QVEM i RT；等壓EMi R T ， Q PMi1 R T222等溫 E0，QTM RT ln V2；絕熱過(guò)程 Q0V15、順時(shí)針：正循環(huán)，熱機(jī)效率A 凈Q放Q吸1 -Q吸卡諾循環(huán)1-T2 ；T2T1T1 -T2二、波動(dòng)1、簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式 yAcos t0 ，2/Tkm波動(dòng)方程 y AcosxAcost2 xt00ux - x0yAcost0u2、波的能量：動(dòng)能和勢(shì)能的大小相等，方向、相位相同；波能量不守恒；平均能量密度1A 2 22

24、3、駐波：振幅相同，方向相反的兩列波的疊加。相鄰波腹（波節(jié)）距離為半波長(zhǎng)。4、多普勒效應(yīng)：uv 0，其中 為觀察者接收的頻率，為波源頻率， v0 為觀察者uv s速度， v s為波源速度。觀察者向著聲源運(yùn)動(dòng)時(shí)，v0 前取正號(hào)，遠(yuǎn)離取負(fù)號(hào)；波源向著觀察者運(yùn)動(dòng)時(shí)，v s 前取負(fù)號(hào)，遠(yuǎn)離取正號(hào)。三、光學(xué)|1、干涉：光程差n2 r2- n1r1k22k1，相位差2雙縫干涉：相鄰明（或暗）條紋中心間距xDd薄膜干涉：劈尖2、衍射：2ne，半波損失，從光疏到光密的反射光；el22n2k1明紋2單縫衍射 a sin2kk暗紋02中央明紋3、光學(xué)儀器分辨率：最小分辨角 0 1.22D，分辨率 RD1.22X 射線，衍射，布拉格 2d sink4、光柵常數(shù)明紋 d sink5、偏振：馬呂斯定律I I 0 cos2布儒斯特方程： i i 0arctan n2 ，反射光全是線偏振光，折射光為部分偏振光n1三、化學(xué)反應(yīng)速率v 可表示為：反應(yīng)速率常數(shù)k 隨溫度T 變化的定量關(guān)系：范荷甫公式表示了平衡常數(shù)K 與反應(yīng)溫度T 的定量關(guān)系：|電離常數(shù)，用表示（弱酸