一元線性回歸分析預(yù)測法的基本數(shù)學(xué)模型為

1、精品資料可編輯修改一元線性回歸分析預(yù)測法的基本數(shù)學(xué)模型為：? a bx此式又稱為一元線性回歸方程式中：x為自變量；y為因變量，線性回歸分析估計(jì)值，或預(yù)測值；a，b為待定回歸參數(shù)；a為回歸直線的截距；b為回歸直線的斜率。一元線性回歸分析模型的幾何圖形如圖 所示。圖 直線回歸分析模型的幾何圖形（三）一元線性回歸分析預(yù)測法參數(shù) a，b的確定一元線性回歸分析預(yù)測法用最小二乘法求回歸方程的參數(shù)。假設(shè)有n期的歷史觀察資料：t123nXtXiX2x3Xnytyiy2y3-y n用最小二乘法求回歸參數(shù)的基本原則是，對于確定的方程，要使觀察值y與估計(jì)值y的偏差的平方和最小。由此方法可求出:(6-1)n xy x

2、 yn_X1 _(_x)211a= y b x（ 6-2）nn只需將歷史資料自變量x和對應(yīng)的因變量y的數(shù)據(jù)代入上面的兩式，即可求 得回歸參數(shù)a，b（四）一元線性回歸分析預(yù)測法模型的建立將利用歷史資料數(shù)據(jù)和參數(shù)公式（6-1 ）和（6-2 ）求得的a，b值，代入一元回歸方程式，既可得預(yù)測模型：? a bx（ 6-3）此時雖已求除預(yù)測模型，但不能將預(yù)測模型直接用于實(shí)際預(yù)測， 還必須對模 型進(jìn)行檢驗(yàn)。（五）一元線性回歸分析預(yù)測法預(yù)測模型的檢驗(yàn)對預(yù)測模型的檢驗(yàn)主要包括以下幾個方面：1、回歸標(biāo)準(zhǔn)差檢驗(yàn)。一般情況下，從觀察值 y與估計(jì)值?的對比來看，回 歸直線上的各點(diǎn)（估計(jì)值）同對應(yīng)的觀察期各點(diǎn)（觀察值）之

3、間，均存在著一定 的離差，即觀察值曲線上各點(diǎn)的y值均偏離回歸直線。離差越大，擬合程度越差。 因而需要測定估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)差，而回歸標(biāo)準(zhǔn)差s就是用來估計(jì)y值在回歸直線兩 側(cè)的離差程度，以便在進(jìn)行實(shí)際預(yù)測時為預(yù)測值建立一個置信區(qū)間范圍。回歸標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式為：J yt ?t 2Sy= n k（6-4）式中：Sy為回歸標(biāo)準(zhǔn)差；y為因變量第t期的觀察值;?為因變量第t期的估計(jì)值；n為觀察期的個數(shù)；k為自由度，為變量的個數(shù)(包括因變量和自變量)Sy值越小，表明回歸直線擬合越好。Sy值越小，說明回歸方程能解釋的總 離差部分越大，也意味著x與y之間的相關(guān)程度越高。判斷回歸標(biāo)準(zhǔn)差能否通過檢驗(yàn)，常常采用以下公式：辿

4、y X 100%(6-5 )式中：Sy為回歸標(biāo)準(zhǔn)差；y為因變量觀察值的平均值。若依此式計(jì)算出的值小于15%，即為預(yù)測模型通過了回歸標(biāo)準(zhǔn)差檢驗(yàn)。2、相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)。 相關(guān)系數(shù)是描述兩個變量x與y之間線性關(guān)系密切程度的一個數(shù)量指標(biāo)。在一元線性回歸分析預(yù)測法中，相關(guān)系數(shù)只對一個自變量與 一個因變量進(jìn)行相關(guān)程度分析，所以又稱為單相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)r的基本公式為:(x x)(y y(x x) 2； 二 I 2； n x ( x) n y ( y) 一式中：x為自變量的觀察值；y為因變量的觀察值；x為自變量觀察值的平均值;y為因變量觀察值的平均值;(y y)2(6-6 )(6-7 )或n xy x yn為觀察

5、期的個數(shù)。通過數(shù)學(xué)證明我們可以發(fā)現(xiàn)相關(guān)系數(shù) r具有這樣的性質(zhì)：0 r 0.8時，認(rèn)為y與x高度線性相關(guān)；當(dāng)0.5V r 0.8 時，認(rèn)為y與x中度線性相關(guān)；當(dāng)0.3 r I 0.5時，認(rèn)為y與x低度相關(guān)； 當(dāng)r 0.3時，認(rèn)為y與x不相關(guān)。(六) 預(yù)測并確定置信區(qū)間在上述檢驗(yàn)通過以后，將已判斷除的未來的自變量x的值代入預(yù)測模型，就 可計(jì)算出預(yù)測值。由于實(shí)際計(jì)算中難免出現(xiàn)誤差，預(yù)測值不可能是一個確定值，而應(yīng)該是一個范圍或區(qū)間，一般要求實(shí)際值位于這個區(qū)間范圍的可靠程度應(yīng)達(dá)到95%以上。若給定可靠度1-，可以證明y0的預(yù)測區(qū)間為：(?0 t_S,?0 t_S0)(6-8 )2 2其中:SoSyn2n

6、 Xo Xi / ni 1n2n Xii 1n2Xii 1t_522），可由t分布表查得;Xo為預(yù)測點(diǎn)X值;Sy是估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差，其計(jì)算公式見（6-4）；Xi為統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。利用公式（6-8 ）來確定預(yù)測區(qū)間，在計(jì)算上頗為麻煩，在實(shí)際應(yīng)用中可以做一些簡化。事實(shí)上，預(yù)測值?0的可靠度為68.27%時的預(yù)測區(qū)間為:（?0 - S y， y?0+S y）預(yù)測值?0的可靠度為95.45%時的預(yù)測區(qū)間為:(?0- 2S+2S y)預(yù)測值?0的可靠度為99.73%時的預(yù)測區(qū)間為:(?0 - 3S y， y0+3s y)預(yù)測區(qū)間的長度直接關(guān)系到預(yù)測的準(zhǔn)確性。 顯然，預(yù)測區(qū)間越長，精度越差, 反之則越好例:某地區(qū)居民

7、的收入與社會商品零售總額近10年的統(tǒng)計(jì)資料如表17-2所示表17-2社會商品零售總額與居民收入統(tǒng)計(jì)資料單位：億元序號居民收入商品零售總額序號 居民收入商品零售總額164566107882706071251023776681431184827091651365927810189155討論社會商品零售總額與居民收入的關(guān)系。并以此預(yù)測下一年居民收入達(dá)到213億元時的社會商品零售總額。解：第一步，因?yàn)轭A(yù)測目標(biāo)是社會商品零售總額， 所以令社會商品零售總額 為y，居民收入為x。依據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，做出散點(diǎn)圖。見圖 17-3圖17-3統(tǒng)計(jì)資料散點(diǎn)圖第二步，建立數(shù)學(xué)模型。從圖17-3可見，y與x呈線性關(guān)系，故設(shè)預(yù)測

8、模 型為：? a bx第三步，估計(jì)參數(shù)a，b。為了便于計(jì)算，列出計(jì)算表，如表17-4所示表17-4線性回歸計(jì)算表序號XiyiXi yix21645635844096313627060420049003600377665082592943564827057406724490059278717684646084610788941611449774471251021275015625104048143118168742044913924916513622440272251849610189155292953572124025合計(jì)111492911655714058296669將所得數(shù)字代入公式（8-

9、2 ）和（8-3 ）可得n xy x y2 2 n x ( x)10 1165571114 92910 1405821114 2=13066.4/16482.4=0.792711a= y b1 x =929/10-0.7927 X 1114/10=4.593nn由此，得回歸預(yù)測方程式：y?=4.593+0.7927x這個模型表明：居民的平均收入每增加1元，平均就有約0.79元用于商品消費(fèi)。第四步，進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)。首先，求相關(guān)系數(shù)n xy x yr= =0.9997.n x2 ( x)2 ”n y2 ( y)2顯然，y與x具有高度線性相關(guān)性。其次，再用估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差驗(yàn)證。因?yàn)楣烙?jì)標(biāo)準(zhǔn)差Syyt ? 22yia yi b w96669 4.593 9290-7927 116557 =0.959810 2y =92.9Sy/ y=0.0115%所以y與x的線性相關(guān)性是較強(qiáng)的。第五步，預(yù)測當(dāng)居民收入達(dá)到213億元時，社會商品零售總額，得點(diǎn)