chapter極限存在準(zhǔn)則與兩個(gè)重要極限實(shí)用PPT課件

1、 .夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則一一 .單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則二二 .第一重要極限第一重要極限三三 .第二重要極限第二重要極限四四第1頁(yè)/共28頁(yè) .夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則一一準(zhǔn)則I：在給定的變化過程中，如果f(x),g(x),h(x)滿足)()()()1(xhxfxg Axhxg )(lim)(lim)2(.)(lim Axf 則則Proof: .,0 xx 考慮極限過程考慮極限過程不失一般性不失一般性 ,)(lim)(lim00Axhxgxxxx , 0 ,0 0,101時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx,)( Axg有有.)( AxgA即即,0 0,202時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx,)( Axh有有第2頁(yè)/共28頁(yè).)( AxhA即即

2、.,min 021 取取, 0 0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx,)()()( AxhxfxgA有有.)( Axf即即.)(lim 0Axfxx 注意： ”“ 0 xx 極極限限過過程程為為, (0 xx或或,0 xx, x, x).等等 x準(zhǔn)則I：滿足滿足如果數(shù)列如果數(shù)列nnnzyx, ), 2 , 1( )1( nzxynnnazynnnn limlim)2(.limaxnn 則則第3頁(yè)/共28頁(yè)).1.211(lim 1.222 nnnnnexn 求求Solution.)1211(222 nnnnn nnn22 22nn, 1lim 22 nnnn又又. 1lim22 nnn由夾逼準(zhǔn)則得 . 1)1.2

3、11(lim222 nnnnnn第4頁(yè)/共28頁(yè)).1.2111(lim .1222nnnnexn 求求Solution.)12111(222nnnn nnn212 nn, 0lim 2 nnnn又又. 01lim2 nnn由夾逼準(zhǔn)則得 . 0)1.2111(lim222 nnnnn第5頁(yè)/共28頁(yè). 1lim 2. nnnex證證明明Proof. 1,1 nnn時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)),0(1 nnnnhhna記記nnhn)1( 則則有有nnnnhhnnnh 2! 2)1(122)1(nhnn ,1202 nhn,120 nhn,12111 nhann于于是是有有, 1121lim nn而而. 1lim

4、nnn類似可證,).0( 1lim aann第6頁(yè)/共28頁(yè)證明證明為正整數(shù)為正整數(shù)設(shè)設(shè), 0,. 321kaaaexk ,maxlim2121knnknnnaaaaaa Proof. ,max21kaaaa 令令nnnnknnnnakaaaa 21 anka , 1lim nnk又又,maxlim2121knnknnnaaaaaaa 第7頁(yè)/共28頁(yè) .單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則二二準(zhǔn)則II：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限. 注意：?jiǎn)卧鰯?shù)列只需上有界；單減數(shù)列只需下有界. x1x2x3x1 nxnx幾何解釋:AMm1x2x3xA第8頁(yè)/共28頁(yè), , 0. 421aaxaxaex 證明數(shù)列證明數(shù)列設(shè)設(shè),

5、3aaaxaaaxn 的極限存在，并求其極限.Solution. ), 2 , 1( 1 nxaxnn, 01 ax,112xaxax , 1 nnxx假設(shè)假設(shè)nnnnxxaxax 11 則則. 單增單增即即nx, 1 1 nnxx從而從而第9頁(yè)/共28頁(yè), 1 nnxax又又. 12 nnxax則則nnnxxx2 nnxxa1 nnnxxxa1 1 aa1 a. 上有界上有界即即nx所以數(shù)列極限存在.,limAxnn 設(shè)設(shè).lim)(limlim 112 nnnnnnxaxax則則, 2AaA 即即2411 aA 解得解得.2411lim axnn )(負(fù)號(hào)舍去負(fù)號(hào)舍去第10頁(yè)/共28頁(yè) .

6、第一重要極限第一重要極限三三1sinlim0 xxxAC)20(, xxAOBO 圓圓心心角角設(shè)設(shè)單單位位圓圓,tan,sinACxABxBDx 弧弧于于是是有有xoBD.ACO ，得，得作單位圓的切線作單位圓的切線,xOAB的圓心角為的圓心角為扇形扇形,BDOAB的高為的高為 ,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也也成成立立上上式式對(duì)對(duì)于于 x,20時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x, 1coslim0 xx又又. 1sinlim0 xxx第11頁(yè)/共28頁(yè)注意：, 1)()(sinlim )1(0)( xxx 常用的形式是常用的形式是并以此為工具可求出相應(yīng)的其它一些函數(shù)的極限.,1)()(

7、sinlim )2(0不一定成立不一定成立 xxx . 0)(不一定趨于不一定趨于因?yàn)橐驗(yàn)閤 第12頁(yè)/共28頁(yè).1sinlim)3( ;cos1lim)2( ;sinlim)1(:. 5200 xxxxxexxxx 求極限求極限Solution. xxxxxxsinlimsinlim)1(00 0sinlimlim00 xxxxx220202sin2limcos1lim)2(xxxxxx 220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 21 xxxxxx11sinlim1sinlim)3( 1 第13頁(yè)/共28頁(yè).1arcsinlim . 6xxexx 求極限求極限

8、Solution. ,1arcsin tx 令令. 0, tx時(shí)時(shí)則當(dāng)則當(dāng)ttxxtxsinlim1arcsinlim 0 . 1sinlim1sin1lim00 tttttt第14頁(yè)/共28頁(yè).cos1lim. 70 xxexx 計(jì)算計(jì)算Solution. xxxx2sin2cos1 xxxxxx2sin2limcos1lim00 xxx2sin2lim0 22 xxxxxx2sin2limcos1lim00 xxx2sin2lim0 22 .cos1lim0不存在不存在xxx 第15頁(yè)/共28頁(yè).sin)4(lim. 822xxxexx 計(jì)算計(jì)算Solution. xxxxxxxxx si

9、n)2)(2(limsin)4(lim222 )2(sin)4()2(lim02ttttttx 令令ttttt sin)4()2(lim0 ttttt sin)4)(2(lim0.8 第16頁(yè)/共28頁(yè).sincossin1lim. 90 xxxxxexx 計(jì)算計(jì)算Solution. )cossin1(sincossin1limsincossin1lim200 xxxxxxxxxxxxxxx)cossin11sinsinsin(lim20 xxxxxxxxx . 1)sin1(lim210 xxx第17頁(yè)/共28頁(yè).2tan)1(lim.101xxexx 計(jì)算計(jì)算Solution.)1(2ta

10、nlim2tan)1(lim011ttxxtxtx ttt2cotlim0 tttt2sin2coslim0 22cos2sin2lim0 tttt .2 第18頁(yè)/共28頁(yè).sin114lim.1122xxxxxexx 計(jì)算計(jì)算Solution. )114(sin23lim222 xxxxxxxx原式原式)11114(sin1213lim222xxxxxxxx 1 第19頁(yè)/共28頁(yè) .第二重要極限第二重要極限四四exxx )11(lim下面分三步進(jìn)行討論. (1)設(shè)x依次按自然數(shù)n變化，則函數(shù)為nnnnfx)11()( 21! 2) 1(1! 11nnnnnxn).11 ()21)(11

11、(!1)11 (! 2111nnnnnn nnnnnnn1!) 1() 1( 第20頁(yè)/共28頁(yè)).11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(! 21111 nnnnnnnnnnnxn,1nnxx 顯顯然然 ;是是單單調(diào)調(diào)遞遞增增的的nx!1! 2111nxn 1212111 n1213 n, 3 ;是是有有界界的的nx.lim存存在在nnx ennn )11(lim記為記為)71828. 2( e類似地,第21頁(yè)/共28頁(yè), )2(時(shí)時(shí)x1 nxn設(shè)設(shè),1111 nxn 于是于是,1111111nxn ,)11()11()111(1 nxnnxn11)1

12、11()111(lim)111(lim nnnnnnn而而e )11()11(lim)11(lim1nnnnnnn e .)11(limexxx 第22頁(yè)/共28頁(yè), )3(時(shí)時(shí)x yyx , 則則設(shè)設(shè)yyxxyx )11(lim)11(limyyyy)1(lim yyy)111(lim )111()111(lim1 yyyye 注意：,)(11(lim )1()()(exxx 常用的形式是常用的形式是并以此為工具可求出相應(yīng)的其它一些函數(shù)的極限.)1(lim,1 )2(10ezxzzz 有有令令第23頁(yè)/共28頁(yè).)11(lim.12xxxex 計(jì)算計(jì)算Solution. xxx )11(1l

13、im1)11(lim xxx原式原式.1e .)12(lim.1312 xxxxex計(jì)算計(jì)算Solution. 1212)111(lim)12(lim xxxxxxx1)1(2)111(lim xxx12)1()111()111(lim xxxx12)1()111(lim)111(lim xxxxx.e2 第24頁(yè)/共28頁(yè)ex14. 計(jì)算.1lim22xxxx Solution.xxxxxxx 222111lim1limxxx 2111limxxxxx 11111limxxxxx 1111lim1 ee第25頁(yè)/共28頁(yè)ex15. 計(jì)算.coslim0 xxx Solution. xxxxxx100coslimcoslim xxx10)1(cos1lim