ch鏡像法解析實用PPT課件

1、1. 求解泊松方程的難度一、鏡像法的概念和適用條件 一般靜電問題可以通過求解泊松方程或拉普拉斯方程得到電場。但是，在許多情況下非常困難。例如，對于介質(zhì)中、導(dǎo)體外存在點電荷的情況雖然可以采用疊加法求解，但是求解比較困難。求解的困難主要是介質(zhì)分界面或?qū)w表面上的電荷一般非均勻分布的，造成電場缺乏對稱性。QQ2. 以唯一性定理為依據(jù) 在唯一性定理保證下，采用試探解，只要保證解滿足泊松方程及邊界條件即是正確解。特別是對于只有幾個自由點電荷時，可以將導(dǎo)體面上感應(yīng)電荷分布等效地看作一個或幾個點電荷來給出嘗試解。第1頁/共44頁3. 鏡像法的基本問題在點電荷附近有導(dǎo)體或介質(zhì)存在時，空間的靜電場是由點電荷和導(dǎo)

2、體的感應(yīng)電荷或介質(zhì)的束縛電荷共同產(chǎn)生的。那么，導(dǎo)體的感應(yīng)電荷或介質(zhì)的極化電荷對場點而言能否用場空間以外的區(qū)域（導(dǎo)體或介質(zhì)內(nèi)部）某個或幾個假想的電荷來代替呢？4. 鏡像法概念、適用情況鏡像法：用假想點電荷來等效地代替導(dǎo)體邊界面上的面電荷分布，然后用空間點電荷和等效點電荷迭加給出空間電勢分布。適用情況：適用情況： a) 所求區(qū)域有少許幾個點電荷，所求區(qū)域有少許幾個點電荷，它產(chǎn)生的感應(yīng)電荷一般可以它產(chǎn)生的感應(yīng)電荷一般可以用假想點電荷代替。用假想點電荷代替。b)導(dǎo)體邊界面形狀比較規(guī)則，具導(dǎo)體邊界面形狀比較規(guī)則，具有一定對稱性。有一定對稱性。 c) 給定邊界條件。給定邊界條件。第2頁/共44頁注意幾點：

3、a) a) 像電荷必須放在研究的場域外。b) b) 不能改變原有邊界條件（實際是通過邊界條件來確定假想 電荷的大小和位置）。c)c) 放置像電荷后，就認為原來的真實的導(dǎo)體或介質(zhì)界面不存 在，把整個空間看成是無界的均勻空間。并且其介電常數(shù) 應(yīng)是所研究場域的介電常數(shù)。d) d) 像電荷是虛構(gòu)的，它只有等效作用。而其電量并不一定與 真實的感應(yīng)電荷或極化電荷相等。e) e) 鏡像法所適應(yīng)的范圍是： 場區(qū)域的電荷是點電荷，無限長帶電直線； 導(dǎo)體或介質(zhì)的邊界面必是簡單的規(guī)則的幾何面（球面、柱面、平面）。第3頁/共44頁a) a) 正確寫出電勢應(yīng)滿足的微分方程及給定的邊界條件；b) b) 根據(jù)給定的邊界條件

4、計算像電荷的電量和所在位置；c) c) 由已知電荷及像電荷寫出勢的解析形式；d) d) 根據(jù)需要要求出場強、電荷分布以及電場作用力、電容等。二、鏡像法的具體應(yīng)用第4頁/共44頁三、應(yīng)用舉例例1 接地?zé)o限大平面導(dǎo)體板附近 有一點電荷，求空間電勢。QQ/Pzrra0解：根據(jù)唯一性定理,左半空間右半空間，Q在（0，0，a）點，電勢滿足泊松方程。邊界上00z從物理問題的對稱性和邊界條件考慮，假想電荷應(yīng)在左半空間 z 軸上。Q設(shè)電量為a，位置為（0，0，） )()(412222220azyxQazyxQ1 界面是平面第5頁/共44頁22222200ayxQayxQz由邊界條件確定Qa和、唯一解是 因為象

5、電荷在左半空間，所以舍去正號 解aaQQ,)(1)(142222220azyxazyxQ討論：（a）導(dǎo)體面上感應(yīng)電荷分布2/322200)(2ayxQazz第6頁/共44頁 02/322)(22QQarrdrQadSQ（b）電荷Q 產(chǎn)生的電場的電力線全部終止在導(dǎo)體面上 它與無導(dǎo)體時，兩個等量異號電荷產(chǎn)生的電場在 右半空間完全相同。 （c） 與 位置對于導(dǎo)體板鏡象對稱，故這種方法稱 為鏡象法（又稱電象法）QQ（d）導(dǎo)體對電荷Q 的作用力相當(dāng)兩點電荷間的作用力222222000144(2 )16zzzQQQFeeeraa 22222222 3200011148()4(2 )zQ dSQ a dSQ

6、Faaa 第7頁/共44頁討論討論: 如果如果導(dǎo)體板不接地導(dǎo)體板不接地，左半空間有電場存在，左半空間有電場存在 。這時左、。這時左、右兩右兩 半空間的電勢必須滿足以下條件：半空間的電勢必須滿足以下條件：200 0 Rx左左左有限的定值2001(,0,0) 0 RxQxa yz右右右有限的定值2001(,0,0)0 0 RxQxa yz 第8頁/共44頁注意： 光線是直線傳播到導(dǎo)體板面上的。有的地方是與板面，有的地方是與板面有一定夾角；但電力線切線方向是場強的方向，電力線在板面附近處處與板面，這一點通過靜電平衡原理可知。QQba根據(jù)光的反射可找到Q的大小和位置鏡象法的圖形與光路用此圖比較：Q0V

7、 Qz第9頁/共44頁例例2在無窮大空間中充滿介電常數(shù)為在無窮大空間中充滿介電常數(shù)為 和和 的兩種的兩種均勻電介質(zhì)，其分界面為平面。設(shè)在介質(zhì)均勻電介質(zhì)，其分界面為平面。設(shè)在介質(zhì) 中放一點中放一點電荷電荷Q，其所在位置距分界面為，其所在位置距分界面為a，試求二介質(zhì)中的電，試求二介質(zhì)中的電勢分布。勢分布。211Qa121221Solution: 設(shè) 中電勢的 ， 中的電勢為 ，并滿足如下定解條件：1 界面是平面第10頁/共44頁211221212001(, , ) (1)0 (2)0 (3) (RRRRQxa y z 1212004) (5)xxxx第11頁/共44頁 a) 求 空間的電勢 時，設(shè)

8、想將 半空間換成與 半空間一樣，而以假想的電荷Q來代替分界面上極化電荷對 半空間的場的影響；1211處理問題的方法： b) 求 半空間的電勢 時，設(shè)想將 半空間換成 半空間一樣，而以假想的電荷Q來代替Q和分界面上的極化電荷對 半空間場的影響。122122xxSS右半空間左半空間acbQQQrrrRooP(x,y,z)yy21換成P2換成121R第12頁/共44頁在x0的區(qū)域，空間一點的電勢為111()4QQrrrQ 2241在x0區(qū)域電勢：2122212122122211)()()()(14zyaxzyaxQ2122221222)()(241zyaxQx R0 處有一點電荷 Q，求空間各點電勢

9、。410rQrQrr球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系PROZQQ2 界面是球面第18頁/共44頁2 界面是球面cos222RaaRrcos222RbbRr0000222200RRRRRRRrQrQrQrQ（2）由邊界條件確定Qr和bQO設(shè) 222200()2cosQRbQ R b222200()2cosQRaQ R a因 任意的aQbQ22)()(22022202aRQbRQ解得 aQRQaRb020 QQabaQRQaRb020Rob QaQxrrP(x,y,z)第19頁/共44頁)(0)(/cos2/cos214002024020220RRRRaRRaRRaRRaaRQ ，因此Q發(fā)出的電力線一部分會聚到導(dǎo)

10、體球面上，剩余傳到無窮遠。 球面感應(yīng)電荷分布 QQ （3）討論： 2/3020202020)cos2(40aRRaRRaQRRRaQRdSQRR00導(dǎo)體球接地后，感應(yīng)電荷總量不為零，可認為電荷 移到地中去了。aQRQQ0 cos2)/(12020RaRRRa2 界面是球面第20頁/共44頁感應(yīng)電荷：0RdSQa 電通量：00001R RR QE dSdSa 電荷受到的作用力：0232 2002200011() /1 () 4()4zRQQRRQaFabRaa 2 界面是球面第21頁/共44頁討論：導(dǎo)體球不帶電不接地邊界條件：000R RdSR在球心處再添一像電荷：0RQQa 022220/14

11、2cos2cosR Q aQRaRaRbRb0/R Q aR)( 0未知常數(shù)RR00RRRR外內(nèi)aQRQ00044 內(nèi)2 界面是球面第22頁/共44頁導(dǎo)體球不帶電，接電勢0V0SV022220/142cos2cosR Q aQRaRaRbRb00R VR在球心處再添一像電荷：0004QR V 00RRRR外內(nèi)0V內(nèi)2 界面是球面第23頁/共44頁點電荷 Q 在導(dǎo)體球殼內(nèi)距球心 a 處01Ra0022220/142cos2cosR Q aQRaRaRbRb0RQQa 20Rba21202402021220)cos2()cos2(14aRRaRRaRRaaRQ內(nèi)像電荷的電量Q大于源電荷的電量Q。2

12、 界面是球面第24頁/共44頁2 界面是球面導(dǎo)體球帶有電荷 ，不接地q022220/142cos2cosR Q aQRaRaRbRb0/R Q aqRR點電荷q受到的力：2201()4()Q qQQQFaab32200222200(2)14()QRaRQqaa aRRob QaQxrrPq-Q球心有電荷（q- Q) ，P點的電勢為00RRRR外內(nèi)0000044RqQQqaRR內(nèi)第25頁/共44頁ooaaQQQQ點電荷Q在球內(nèi)點電荷Q在球外bb鏡像法與光路圖比較2 界面是球面第26頁/共44頁0ER0-+0ESolution: 本題的物理圖象是在原有的均勻電場 中放置一中性導(dǎo)體球。此時導(dǎo)體球上的

13、感應(yīng)電荷也要在空間激發(fā)場，故使原來的場空間電場發(fā)生了變化。 球外空間任一點的場將是一個均勻場和一個球體感應(yīng)電荷等效的偶極子的場的迭加。 場區(qū)域只能在球外。由于靜電屏蔽， 例例55均勻場中的導(dǎo)體球所產(chǎn)生的電勢。均勻場中的導(dǎo)體球所產(chǎn)生的電勢。第27頁/共44頁 第一步：第一步：用兩個點電荷Q激發(fā)一均勻場 點電荷Q放在對稱軸z= a處，a很大，Q也很大，在坐標(biāo)原點附近的區(qū)域內(nèi)。0E+Q-Qz0EaaoEE0200241aQE第二步：第二步： 將一中性導(dǎo)體球放在均勻場中第28頁/共44頁此時+Q在球面上感應(yīng)的電量為 ，-Q在球面上感應(yīng)電量為 ，這仍然保持導(dǎo)體球為電中性(不管導(dǎo)體球接地與否)。根據(jù)唯一性

14、定理，導(dǎo)體球外的電勢就是這四個點電荷分別在某點產(chǎn)生的。 +Q-QzaaR0bboQaR0QaR0)(0QaR)(0QaRQ相當(dāng)于兩個場源電荷，球面上將出現(xiàn)感應(yīng)電荷，由像電荷來代替，即第29頁/共44頁電勢迭加，即212024020212024020212221220)cos2()cos2()cos2()cos2(41aRRaRRQaRaRRaRRQaRRaaRQRaaRQ外22aRbaRR240224022RaRRb因為aR， ,則選略去 和第30頁/共44頁又因為 皆為小量，應(yīng)用展開式212002120021210)cos21 ()cos21 ()cos21 ()cos21 (14aRRaR

15、RaRRaRRaRaQaRaQ外aRRRaRaR2020和)( 211)1 (21為小量xxx即第31頁/共44頁)cos1 ()cos1 ()cos1 ()cos1 (420020000RaRRRRaRaRaRaRaQ外cos2cos242300aRRaRaQ223000cos2414cos2RaQRaRQcoscos02300ERRRE第32頁/共44頁 的第一項恰好等于一個原均勻場以o點為參考點電勢。第二項恰好等于位于o點的電偶極矩為 的電偶極子的電勢。zeREP03004)( 40300電偶極場即原場外ERRPzEP外令則第33頁/共44頁（3）界面為柱面的情況）界面為柱面的情況 例例

16、66有一線電荷要密度為的無限長帶電直線與半徑為 R0 的接地?zé)o限長導(dǎo)體圓柱軸線平行。求空間電勢分布。yaaxR0R00內(nèi)Solution: 由于導(dǎo)體柱面把整個空間分成柱內(nèi)、柱外兩個區(qū)域，而柱內(nèi)有 ，柱外區(qū)域電勢滿足定解條件：3 界面是柱面第34頁/共44頁 處于帶電直線的電場中的導(dǎo)體圓柱，其柱面上要出現(xiàn)感應(yīng)電荷，空間任一點的電勢 就是帶電線和感應(yīng)電荷分別產(chǎn)生的電勢的迭加。0201(, ) 0 R Rxa y 外外外 現(xiàn)假定導(dǎo)體圓柱面的感應(yīng)電荷密度為 ，距軸線為b，由于帶電直線不僅帶電(均勻)且是無限長的，導(dǎo)體圓柱也是無限長的，故垂直于柱軸的任何平面上的電勢分布是完全相同的，即是一個二維場，因此

17、可取一垂直于柱軸的平面來討論。RobaxrrP(x,y)R0第35頁/共44頁取取oa 連線與圓柱面的交點為電勢參考點。連線與圓柱面的交點為電勢參考點。則則圓柱圓柱外空間任一點的電勢為外空間任一點的電勢為RobaxrrP(x,y)R0bRrRar0000ln2ln2即即第36頁/共44頁其中2122212221222122cos2)(cos2)(RbbRybxrRaaRyaxr02102200)cos2(ln20RaaRaRRR由 得0)cos2(ln2 02102200aRbRbR00 R R外第37頁/共44頁即bRbRbRRaaRaR02102200210220)cos2(ln)cos2

18、(ln11222222000000 (2cos )(2cos )RaR aRbR baRRb200220200220)(cos2()(cos2(RabRbRbRaRaR要使該等式成立，必有比較兩邊系數(shù)，即2222220000220000()()()() 2cos ()2cos () RaRbRbaRR aRbR baR 2200 RRbaba第38頁/共44頁0)(202022aRRababaRbab2021 , 解一元二次方程得到化簡上式：其中 b1=a不符合物理要求。相當(dāng)于球面距離情況相當(dāng)于平板時電荷情況 20aRbaRRrRar200000ln2ln2因而柱面外任一點的勢為)(lnln20000RaRraRar000000()ln2ln2arR aRraRarR r第39頁/共44頁例6 在接地的導(dǎo)體平面上有半經(jīng)為a a的半球凸部，半球的球心在導(dǎo)體平面上，一點電荷q