第二節(jié)線性空間的定義與簡單性質(zhì)

1、高 等 代 數(shù) 6.2 線性空間的定義與簡單性質(zhì)第二節(jié)第二節(jié) 線性空間的定義與簡單性質(zhì)線性空間的定義與簡單性質(zhì)第六章第六章 線性空間線性空間linear space6.2 線性空間的定義與簡單性質(zhì)一、線性空間的概念一、線性空間的概念定義定義 1 設(shè)設(shè) v 是一個非空集合是一個非空集合 , p 是一個數(shù)域是一個數(shù)域 .在集合在集合 v 的元素之間定義了一種代數(shù)運算，叫做的元素之間定義了一種代數(shù)運算，叫做加法加法；這就是說，給出了一個法則，對于這就是說，給出了一個法則，對于 v 中任中任意兩個元素意兩個元素 與與 ，在，在 v 中都有唯一的一個元素中都有唯一的一個元素 與它們對應(yīng)，稱為與它們對應(yīng)，

2、稱為 與與 的和，記為的和，記為 = + .在數(shù)域在數(shù)域 p 與集合與集合 v 的元素之間還定義了一種運算的元素之間還定義了一種運算 ,叫做叫做數(shù)量乘法數(shù)量乘法；這就是說，對于數(shù)域這就是說，對于數(shù)域 p 中任一中任一數(shù)數(shù) k 與與 v 中任一元素中任一元素 ，在，在 v 中都有唯一的一個中都有唯一的一個6.2 線性空間的定義與簡單性質(zhì)元素元素 與它們對應(yīng)，稱為與它們對應(yīng)，稱為 k 與與 的數(shù)量乘積，記的數(shù)量乘積，記 = k . 如果加法與數(shù)量乘法滿足下述規(guī)則，那如果加法與數(shù)量乘法滿足下述規(guī)則，那么么 v 稱為數(shù)域稱為數(shù)域 p 上的線性空間上的線性空間.加法滿足下面四條規(guī)則：加法滿足下面四條規(guī)則

3、：1) ；2) ( ) ( )；3) 在在 v 中有一個元素中有一個元素 0，對于，對于 v 中任一元素中任一元素 都有都有 + 0 = (具有這個性質(zhì)的元素具有這個性質(zhì)的元素 0 稱為稱為 v 的的零元素零元素) ；6.2 線性空間的定義與簡單性質(zhì)4) 對于對于 v 中每一個元素中每一個元素 ，都有，都有 v 中的元素中的元素 ，使得，使得 + = 0( 稱為稱為 的的負(fù)元素負(fù)元素) .數(shù)量乘法滿足下面兩條規(guī)則：數(shù)量乘法滿足下面兩條規(guī)則：5) 1 = ；6) k( l ) = ( kl ) .數(shù)量乘法與加法滿足下面兩條規(guī)則：數(shù)量乘法與加法滿足下面兩條規(guī)則：7) ( k + l ) = k +

4、 l ;8) k( + ) = k + k .6.2 線性空間的定義與簡單性質(zhì)在以上規(guī)則中，在以上規(guī)則中，k , l 表示數(shù)域表示數(shù)域 p 中的任意數(shù)中的任意數(shù) ; , , 等表示集合等表示集合 v 中任意元素中任意元素.線性空間的元素也稱為線性空間的元素也稱為向量向量. 當(dāng)然，這里所謂當(dāng)然，這里所謂向量比幾何中所謂向量的涵義要廣泛得多向量比幾何中所謂向量的涵義要廣泛得多. 線性空線性空間有時也稱為間有時也稱為向量空間向量空間.一般用小寫的希臘字母一般用小寫的希臘字母 , , , 表示線性空間表示線性空間 v 中的元素，用小寫的中的元素，用小寫的拉丁字母拉丁字母 a, b, c, 表示數(shù)域表示

5、數(shù)域 p 中的數(shù)中的數(shù).6.2 線性空間的定義與簡單性質(zhì) 注注 向量空間的定義可簡單記為向量空間的定義可簡單記為 “1128 ” ，即一個數(shù)域即一個數(shù)域 p，這是基礎(chǔ)域；，這是基礎(chǔ)域； 一個集合一個集合； 兩個兩個運算，又叫做線性運算；八條規(guī)則，其中前四條是運算，又叫做線性運算；八條規(guī)則，其中前四條是加法的運算律，這時稱加法的運算律，這時稱對加法做成一個加群，第對加法做成一個加群，第五、六條是數(shù)量乘法算律，五、六條是數(shù)量乘法算律， 最后兩條是分配律，表最后兩條是分配律，表示兩種運算之間的聯(lián)系示兩種運算之間的聯(lián)系.6.2 線性空間的定義與簡單性質(zhì) 例例 1 在解析幾何中，在解析幾何中， 平面或空

6、間中一切向量平面或空間中一切向量組成的集合組成的集合 v, 對于向量的加法及實數(shù)與向量的乘對于向量的加法及實數(shù)與向量的乘法法, 構(gòu)成實數(shù)域上的一個線性空間構(gòu)成實數(shù)域上的一個線性空間. 例例 3 全體定義在區(qū)間全體定義在區(qū)間 a,b上的連續(xù)函數(shù)組成上的連續(xù)函數(shù)組成的集合的集合v, 對于函數(shù)的加法及實數(shù)與連續(xù)函數(shù)的乘對于函數(shù)的加法及實數(shù)與連續(xù)函數(shù)的乘法法, 構(gòu)成實數(shù)域上的一個線性空間構(gòu)成實數(shù)域上的一個線性空間. 用用 c a,b 表示表示. 例例 2 全體全體 n 維實向量組成的集合維實向量組成的集合 v, 對于向?qū)τ谙蛄康募臃皩崝?shù)與向量的乘法量的加法及實數(shù)與向量的乘法, 構(gòu)成實數(shù)域上的構(gòu)成實數(shù)

7、域上的一個線性空間一個線性空間.6.2 線性空間的定義與簡單性質(zhì) 例例 4 數(shù)域數(shù)域 p 上一元多項式環(huán)上一元多項式環(huán) p x ， 按通常按通常的多項式加法和數(shù)與多項式的乘法，構(gòu)成數(shù)域的多項式加法和數(shù)與多項式的乘法，構(gòu)成數(shù)域 p 上上的一個線性空間的一個線性空間. 如果只考慮其中次數(shù)小于如果只考慮其中次數(shù)小于 n 的多的多項式，再添上零多項式也構(gòu)成數(shù)域項式，再添上零多項式也構(gòu)成數(shù)域 p 上的一個線性上的一個線性空間，用空間，用 p x n 表示表示. 但是，數(shù)域但是，數(shù)域 p 上的上的 n 次多次多項式集合對同樣的運算不構(gòu)成線性空間，因為兩個項式集合對同樣的運算不構(gòu)成線性空間，因為兩個 n 次

8、多項式的和可能不是次多項式的和可能不是 n 次多項式次多項式.6.2 線性空間的定義與簡單性質(zhì)例例 5 全體數(shù)域全體數(shù)域 p 上的上的 m n 矩陣組成的集合矩陣組成的集合v，按矩陣的加法和數(shù)與矩陣的數(shù)量乘法，構(gòu)成數(shù)，按矩陣的加法和數(shù)與矩陣的數(shù)量乘法，構(gòu)成數(shù)域域 p 上的一個線性空間，用上的一個線性空間，用 p m n 表示表示.例例 6 全體實函數(shù)，按函數(shù)的加法和數(shù)與函數(shù)全體實函數(shù)，按函數(shù)的加法和數(shù)與函數(shù)的數(shù)量乘法，構(gòu)成實數(shù)域上的一個線性空間的數(shù)量乘法，構(gòu)成實數(shù)域上的一個線性空間.例例 7 數(shù)域數(shù)域 p 按照本身的加法與乘法，即構(gòu)成按照本身的加法與乘法，即構(gòu)成自身上的一個線性空間自身上的一個

9、線性空間.6.2 線性空間的定義與簡單性質(zhì)例例 8 全體數(shù)域全體數(shù)域 p 上的上的 2 維向量組成的集合維向量組成的集合v ,定義數(shù)與向量的數(shù)量乘法如下定義數(shù)與向量的數(shù)量乘法如下:k (a, b) = ( ka，0) ,對于通常的向量加法及以上定義的數(shù)與向量的數(shù)量對于通常的向量加法及以上定義的數(shù)與向量的數(shù)量乘法不構(gòu)成數(shù)域乘法不構(gòu)成數(shù)域 p 上的線性空間上的線性空間. 事實上事實上 , 當(dāng)當(dāng) b0 時時 1 (a, b) = ( 1a，0) = ( a，0) (a, b) .6.2 線性空間的定義與簡單性質(zhì) 注注 例例 8 中集合中集合 v 滿足線性空間定義中的其滿足線性空間定義中的其他七條公理

10、他七條公理, 可見第五條雖然比較簡單可見第五條雖然比較簡單, 但是不可但是不可由其他七條推出由其他七條推出. 在在 8 條公理中只有第一條加法滿足交換律不條公理中只有第一條加法滿足交換律不是獨立的是獨立的. 證明證明 2( )2 2 (11) (11) (1 1 )(1 1 )( )( ) ( ) , 6.2 線性空間的定義與簡單性質(zhì) 2( ) (11)( ) ( )( ) ( ) , . 證畢證畢6.2 線性空間的定義與簡單性質(zhì)二、線性空間的簡單性質(zhì)二、線性空間的簡單性質(zhì)1. 零向量是唯一的零向量是唯一的.證明證明假設(shè)假設(shè) 01，02 是線性空間是線性空間 v 中的兩個零中的兩個零向量向量.

11、于是于是01 = 01 + 02 = 02 .證畢證畢故零向量是唯一的故零向量是唯一的.6.2 線性空間的定義與簡單性質(zhì)2. 任意向量的負(fù)向量是唯一的任意向量的負(fù)向量是唯一的.假設(shè)假設(shè) 有兩個負(fù)向量有兩個負(fù)向量 與與 ， + = 0， + = 0 .那么那么 證畢證畢向量向量 的負(fù)向量記為的負(fù)向量記為 - .證明證明則則= + 0= .= + ( + ) =( + )+ = 0 + 利用負(fù)向量，定義利用負(fù)向量，定義減法減法如下：如下： - = + ( - ) .6.2 線性空間的定義與簡單性質(zhì)3. 0 = 0 ; k0 = 0 ; (-1) = - .證明證明 + 0 = 1 + 0 = (1 + 0) = 1 0 = 0 . (-1) + = (-1) + 1 =(-1) + 1 = 0 =0 ,所以所以(-1)