最新數(shù)列專題復(fù)習(xí)之典型例題含答案

1、精品文檔猜測(cè)-證數(shù)列知識(shí)點(diǎn)-求通項(xiàng)一、由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)：觀察法和分拆與類比法 明(略) 、由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)an例1已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn= 3n- 1，則它的通項(xiàng)公式為an =答案2 3n-1練1已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn= 3n22n+1,則其通項(xiàng)公式為答案2 n= 1an=bn 5, n2三、由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)例3、(1)設(shè)數(shù)列 訂鳥的前n項(xiàng)和為Sn 已知印=a , anSn - 3n, n N * 設(shè)bn =Sn -3，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；答案：bn =Sh -3 (a -3)2nJ , n N * 精品文檔(2) (4)在數(shù)列a*中，ai =1 , a2 =2

2、 , 且 a*卅= (1+q)an qa*(n 王2,qH0 ).*(I)設(shè)bn二an 1 -an ( nN )，證明b*是等比數(shù)列；(n)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；q ,q =1.n 二1 -q答案:an1 -qn,(3)在數(shù)列 訂鳥中，3 = 2, an 1 = an n 1 (2 - )2n (n N )，其中 0 .(I)求數(shù)列 3n : 的通項(xiàng)公式；(n)求數(shù)列 3n : 的前n項(xiàng)和Sn ；n ： 2 n 12答案:an =( n-1)2n C W 再2n1-2(，1)(1-丸)Sn9 2n 1 -2( =1)2(4)已知數(shù)列:an ?滿足：a?二 3,an an2n 2 n N ”(1

3、)求數(shù)列？的通項(xiàng)公式;求 lim Tn(2)設(shè) Tn- L -aia2a3a4a2 n 丄比 n答案:ann,n 二i -qi -qq =1,q =i.注意：由數(shù)列的遞推式求通項(xiàng) 常見類型(請(qǐng)同學(xué)們查看高一筆記)l.an-=an f(n) 2 . an- = f( n)an .3 an pan q (其中 P，q 均為常數(shù)， (pq(p 1)式0) )。4 . an+ = pa. + f (n )( 1) 卅=pa. +qn (其中 P，q 均為常數(shù)， (pq(p -1)(q T) =0)。(或 anpan rqn ,其中 p，q, r 均為常數(shù))(2)an panan b ( p=1、0,a

4、 = 0)5.遞推公式為a.二 pa*qa*(其中p，q 均為s + t = p常數(shù))先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an七-san* =t(an十-san)其中s，t滿足丿S = -qr6、遞推公式為 Sn 與 an 的關(guān)系式。(或 Sn=f(an) 7、a. 丁二 pa. ( p 0, an 0)8. an 1f (n)an9. anan = pn q 或 a. d a pqn 10.雙數(shù)列型g(n )an +h( n)數(shù)列知識(shí)點(diǎn)-求和問(wèn)題、掌握數(shù)列求和的常見方法：1.公式法求和:(1)等差數(shù)列 snn(ai a.)= nai nd;2(2)等比數(shù)列Sn2.錯(cuò)位相減法:na 1=彳 a1(1 q )I

5、 1 qa1 _ anq1 q主要用于求數(shù)列Nbn 的前n項(xiàng)和，其中Caj、g 中一個(gè)為等差數(shù)列，另一個(gè)為等比數(shù)列。3.裂項(xiàng)相消法：一般適用于通項(xiàng)為1 d r的前n項(xiàng)和，其中 :aj為等差數(shù)列。anan 1常見的裂項(xiàng)技巧有:擊1丄(一-丄)(其中k為整數(shù)) k n n kAi二一，n k -、n k1 1(二(2n -1)(2n 1)2 2n -1 2n 11 -_ I2 |Ln(n 1) (n 1)(n 2) n(n 1)(n 2)4. 倒序相加法：5. 分類相加法：將數(shù)列適當(dāng)拆分，重新組合,6. 分奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)求和二、例題鞏固例1.求和：11(11) (4) (p 7)川-(aa變成幾個(gè)

6、可以求和的部分再分別求和。(1)”32)sin21sin2 2 sin23sin288 sin289解:(1歸=1 時(shí),(3n+1)l；a =1 時(shí),7 + 32 (2)892a-122例 2.求和 Sn= 1+ 1 + 1 + 1+1 1 11+ 2 + 4+ 廠.解:2例3. （08安徽卷）在等差數(shù)列中，31,前n項(xiàng)和Sn滿足條件S2n _ 4n 2Snn 1,n = 1,2,111 ,（I）求數(shù)列a 1 的通項(xiàng)公式;(n)記 bnan=an p（p 0），求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn。n(n 1)解：（I）an （n）Tpnp.（1 一 P）例4.在數(shù)列an中，ai = 1,當(dāng)n2時(shí)，其前n項(xiàng)和

7、Sn滿足Sn = an Sn-2Sn求Sn的表達(dá)式；設(shè)bn =亦肓，求bn的前n項(xiàng)和Tn.1 1 i 1 n解Sn=2n-1 .T尸21科 二 時(shí).例5正數(shù)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且對(duì)任意的n N*，滿足a； -2務(wù)5 T = 0(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2) 記bn二丄，數(shù)列0前n項(xiàng)和為Tn，求證：Tn 20 1 -1)Sn解：(1) a - n - n -1 ( n 二 N .)數(shù)列知識(shí)點(diǎn)-數(shù)列的單調(diào)性1 1例1、已知函數(shù)f(x) ：- (x ： -2) . (1)求f (x)的反函數(shù)f (x) ; (2)設(shè)印=1, jx2 -41an 1-_f(an )(n N*),求 an ；

8、2 2 2(3 )設(shè) Sn=a1a2 III an , bn =S2n 1 -Sn 否存在最小正整數(shù)m，使得對(duì)任意n N*，有bn25成立?若存在,求出m的值；若不存在，說(shuō)明理由.例2、.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn 已知a1=a , an=Sn+3n , n N* .(i)設(shè)bn二& -3n，求數(shù)列:b/f的通項(xiàng)公式；(n)若an 1an, n N *，求a的取值范圍.解：(i)bn=Sn-3n=(a-3)2n，, n N *. (n)所求的 a 的取值范圍是-9,：.例3 設(shè)a為常數(shù)，且a* =3- 2an j( N)(1) 證明對(duì)任意 n_ 1,an =3n (-if (-1)n Fao;

9、5(2) 假設(shè)對(duì)任意n _ 1有an - anJ，求a0的取值范圍.1解：ao的取值范圍為(0, ).3數(shù)列知識(shí)點(diǎn)-數(shù)列的綜合應(yīng)用一、數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用例1(2012南昌模擬)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知對(duì)任意的n N*，點(diǎn) (n, Sn)均在函數(shù)y= bx+ r(b0且1, b, r均為常數(shù))的圖象上.求r的值； 解：(1) r = 1.(2). Tn= 2-|-號(hào)+辛當(dāng)b= 2時(shí)，記bn=n+ 14an(n N*),求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.13練1 (2011福建)已知等比數(shù)列an的公比q = 3,前3項(xiàng)和S3二曽.(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；n(2) 若函數(shù)f(x) = As

10、in(2x+妨(A 0,0v K n在x= 6處取得最大值，且最大值為 a3，求函數(shù)f(x)的解析式.解(1) an = 3X3n1 = 3n2.(2)函數(shù) f(x)的解析式為 f(x) = 3sin；2x+ 才二、數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用412例2、設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn,= 3n-2網(wǎng)+,n=1,2,3,.3 33(I) 求首項(xiàng)ai與通項(xiàng)an；2nJ3(II) 設(shè) Tn=, n=1,2,3,.,證明： TiSn72解：(I) an =4n-2n,n=1, 2, 3，練2在數(shù)列&丨,|bn |中，a1=2, b1=4，且an，bn，彳成等差數(shù)列，bn， an 1， bn 1成 等比數(shù)列(n

11、N* )(I)求a2，a3，a4及b2, b3, b4，由此猜測(cè)| an |，|bn |的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；1115(n)證明： 一6a2 +b2an +bn 12解: (I) an = n(n 1), g =(n -1)2.練 3.數(shù)列：an /滿足 a1 =1,a2 = 2,an 2 = (1 cos2 n-)an sin2 號(hào)，n 二 1,2,3,川.(i)求a3,a4,并求數(shù)列Can ?的通項(xiàng)公式；a1(n )設(shè)bn =,Sn =b, +b2+i|+bn.證明：當(dāng) n 啟6時(shí)，& 2 .a2nnn +1*，n = 2k_1(M N ,解(i) 2)，矗(Sn-Sn-i) Sn-

12、1 ，即 2Sn-iSh= Sn-1-Sn，1 1由題意Sn-1o,式兩邊同除以Sn-1 &，得S；-丁廠2,數(shù)列S是首項(xiàng)為才=1，公差為2的等差數(shù)列.-Sn= 1+ 2(n- 1)= 2n- 1，S = 2n-1.Sn又bn=2SH 二1_丄 1-1(2n 1(2 n+ 1 _ 2(2n- 1-2n+ 1 丿， Tn_ b1 + b2+ bn_ 2_1-3 + 3-5 + 2 - 2精品文檔精品文檔_ 1；_ n=2 J 2n+ 1 丿_ 2n+ 1.例5正數(shù)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且對(duì)任意的n N，滿足a2 -2anSn - 1-0(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2) 記0二丄，數(shù)列bn

13、前n項(xiàng)和為Tn，求證：Tn 2(、n 1 -1)Sn2 2解: (1)T an -2anSn 1=0，令 n =1 ,印 -23金仁0a = S, a . 0 ， a 1an = S Sn 1 , (S Snj)-2( Sn Sn j)Sn *1=0 S；丄=1(n 一2 且 n N .)二數(shù)列S是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，S： =nT an 0 , Sn = n-an = -. n-、n-1 ( n_2 且 n 二N .)當(dāng) n =1 時(shí)，a1 =1 二、1 一 .百-an = . n-、n-1 ( n = N .)(2) bn=j=A=2(Jn +1 -7n)Sn. n n r n

14、. n 1 . n2(、2 - .1-2、4 -、3 n 1 - . n) = 2(、. n 1 -1) 14分精品文檔精品文檔精品文檔數(shù)列知識(shí)點(diǎn)-數(shù)列的單調(diào)性例 1、已知函數(shù) f(x)-1(x :： -2) . (1)求 f(x)的反函數(shù) f(x) ; (2)設(shè) 6=1, Jx2 41 1, f (外)an 1* 2 2 2(n N),求 an ;(3)設(shè) Sn =印 +a? +川 +a. , bS2-Sn 否存在最小正整數(shù)*mm，使得對(duì)任意n N，有bn成立？若存在，求出m的值；若不存25在，說(shuō)明理由.例2、.設(shè)數(shù)列 炫的前n項(xiàng)和為& 已知aa , a. 1二& 3n , n N(I)設(shè)b

15、n = Sn -3“，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(n)右an 1 an, nN,求a的取值范圍.解：(I )依題意，Sn 1 - Sn 二 a. 1 二 Sn 3,即 S. 1 = 2S. 3“，由此得Sn 1 -3n1 =2(Sn -3n) 因此，所求通項(xiàng)公式為 bn 二 Sn -3n =(a-3)2n,n Nnn 1*(n)由知 Sn =3 (a -3)2, n N，于是，當(dāng) n 2時(shí)，an =Sn Sn4、=3n (a-3) 2n4 -3n4 - ( 3) 2n=2n -2=23n4 - (a -3)2n ,nJn -2an 1 an =43(a -3)2當(dāng) n A 2 時(shí)，an1an=1吐 3

16、a30=a A -9 又 a2=a3 a1.12丿綜上，所求的a的取值范圍是丨-9, :.例3 設(shè)a。為常數(shù)，且an =3nJ -2anj( nN)1(1)證明對(duì)任意 n_ 1,an3n(-1)2 2n (1)n 2na0;5(2)假設(shè)對(duì)任意n_1有an anJ，求a0的取值范圍.(1)證法一：(i)當(dāng)n=1時(shí)，由已知 印=1 2ao,等式成立；1(ii)假設(shè)當(dāng) n=k(k 1)等式成立，則 ak3k - (_1)k2k _(_1)k2a0,5那么ak 3k -2ak -3k -3k (-1)k2k -(-1)k2k da05J3k 1(-1)k2k 1 - (-1)k d2k da0.5也就

17、是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立.根據(jù)(1)和(ii),可知等式對(duì)任何 n N，成立.n 1n 1n _1證法二：如果設(shè)an - 32(an a3 ),用 a = 3- - 2an j 代入，可解出3nar是公比為一2，首項(xiàng)為o3的等比數(shù)列.a153n5(2)解法一：由an通項(xiàng)公式an -an2 3心(一代3燈(_1)n3 2na.an(12a3)(-2)n(N). 即an二 (1)n2na0.55-53an an j( n N)等價(jià)于(_1)n(5a0 1)：(導(dǎo)廣 n N).當(dāng)n=2k- 1, k=1 , 2,時(shí)，式即為(1嚴(yán)(5a。一1)：(號(hào)嚴(yán)即為錄(1產(chǎn)5 式對(duì)k=1, 2，都成立，

18、有a。 丄(3)a 1 J0 5(2)532k 13 2 k _2(ii )當(dāng) n=2k，k=1，2，時(shí)，式即為(一1)(5a0 -1) 0且1, b, r均為常數(shù))的圖象上.求r的值；當(dāng)b= 2時(shí)，記bn=n+ 14an(n N*),求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.審題視點(diǎn)第問(wèn)將點(diǎn)（n, Sn）代入函數(shù)解析式，利用an = Sn-Sn-i（n2）,得 到an,再利用ai = Si可求r.第問(wèn)錯(cuò)位相減求和.解（1）由題意，Sn= bn+ r，當(dāng) n2 時(shí)，Sn-i = bn 1 + r，所以 a*= Sn-Sn-i = bn-1 （b- i），由于b 0且bM i,所以n2時(shí)，an是以b為公比的等比

19、數(shù)列，又ai = b+a2r，32= b(b-i)，孑 解得r =- i.*n-1nin + in + i(2)由(1)知，n N ， an= (b- 1)b= 2 ，所以 bn=百=n+i.4X 22234n+1Tn = 2+ 2+ 于+ ?n+1 ，扣=|3+ 24+n2+n+ 112111n+1兩式相減得Tn= 2+ 23+ 24+ 尹 一23 1 n+14-尹 - 2n+2，I Tn =丄2n-n+ 13 n+ 32n+1 = 2 一 2n+1 此類問(wèn)題常常以函數(shù)的解析式為載體， 轉(zhuǎn)化為數(shù)列問(wèn)題，常用的數(shù)學(xué)思想方法 有“函數(shù)與方程”“等價(jià)轉(zhuǎn)化”等.二、數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用4 12例2

20、、設(shè)數(shù)列a.的前n項(xiàng)和Sn an 2n 1, n =1,2,3，3 33(I) 求首項(xiàng)ai與通項(xiàng)a.；2nJ3(II) 設(shè) Tn=, n=1,2,3,證明： TiSn72412解：(I)由 Snan 2n 1 , n =1,2,3，3 33/曰412得玄丄=S1a14 333所以31=24 12再由有Sn 1 an2, n =2,3,333將和相減得an =Sn Sn(a anj)(2 “ ), n = 2,3,33整理得 an 24(anJL2n)，n =2,3/ ,因而數(shù)列an 2n是首項(xiàng)為a1+2=4，公比為4的等比數(shù)列，即an 2n =4 41 = 4， n=1，2， 3，因而 an

21、=4n -2n,n=1，2， 3,3將an Mn -2n代入得匚歹一 J (2n_1)2n31(-n2 2所以,-1練2在數(shù)列|an 1，|bn|中,a1=2， b1=4，且an，bn，an計(jì)成等差數(shù)列,等比數(shù)列(n N* )(I)求a2, a3, a4及b?, b3, ，由此猜測(cè)丨 | , |bn |的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論;1115(n)證明： - .a1 +b1 a2 +b2an +bn 12解:(I)由條件得 2bn 二 an an1 abnbn 1由此可得 a2 = 6, 6=9, a3 = 12, b3 = 16, a4 = 20, b4 = 25 .猜測(cè) an 二 n(n 1)

22、, bn =(n 1)2.用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n=1時(shí)，由上可得結(jié)論成立.2假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立,即 ak 二 k(k 1), bk =(k 1),那么當(dāng)n=k+1時(shí),-k(k 1) = (k 1)(k2), bk12ak 1 二 2bk _ ak = 2(k1)所以當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立.由，可知an = n(n 1),2bn =(n 1)對(duì)一切正整數(shù)都成立.a1n2時(shí)，由(I)知an bn二(n 1)(2n 1)2(n 1)n .62 (2漢33漢4n(n +1)丿1 1 故a da2b2anbn1.1 16115j += 綜上，原不等式成立.n 16412練 3.數(shù)列 玄滿足印=

23、1,a2 = 2,an 2 = (1 cos2 n )an sin2n , n =1,2,3, |l|. 2 2(i)求a3,a4,并求數(shù)列:a/J的通項(xiàng)公式；ai(n )設(shè)bn =,Sn =b, +b2+i|+bn.證明：當(dāng) n X6時(shí)，& 2 .a2nn?応2兀解(I )因?yàn)橛?1,a2 = 2,所以 a (1 cos)a1 sina12,2 2an =(1 cos2 二)a2 sin2 ”： =2a2 =4.一般地，當(dāng) n =2k -1(k N )時(shí)，a2k “ =1 cos2 (2ka2kd sin2 1 二2 2=a2k1，即 a2k 1 一 a2k-1.所以數(shù)列fa2kJ是首項(xiàng)為1

24、公差為1的等差數(shù)列，因此 a2k二k.2 2k :當(dāng) n = 2k(k N )時(shí)，a2k 2 =(1 cos)a2k = 2a2k.2所以數(shù)列也!是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列，因此 $k =2：n +1*，n= 2k _1( N ,故數(shù)列的通項(xiàng)公式為an = 2n *22, n = 2k(M N .(n )由(I ) 知,bnSna2n2223一丄221 1-得，_Sn .2 2知(捫1丄21所以Sn =2121 川+占 22 22 24 山 2n1111 n-32 212*2* 1 n -4要證明當(dāng)n _6時(shí),Sn -2_ n2n 1成立，只需證明當(dāng)nn 一 6 時(shí)，n(n n 2 1 成

25、立.2證法(1)當(dāng)n=6時(shí)，乞?qū)?48 = 31成立.644 假設(shè)當(dāng)n二k（k _6）時(shí)不等式成立，即k(k 2)1.：1.則當(dāng) n之+1 時(shí)，(k +(k +3) _ k(k +2) (k b)(k +3) Jk Kk +3) 2k+2k2k(k+2)(k+2)|_2k由（1）、（2）所述，當(dāng)n36時(shí)，n；1） cl,即當(dāng)n6時(shí)，S.2 c.2n證法二（n 一6），則Cn1 一 Cn(n 1)(n 3)2n +n(n 2)3-n2:0.6x83所以當(dāng) n 一 6 時(shí)，Cn 1 ： Cn.因此當(dāng) n _ 6 時(shí)，cn _ q = 一 = 一 ： 1.644于是當(dāng) n _6 時(shí)，n（n 2 2）

26、 :：: 1.221 綜上所述，當(dāng)n H6時(shí)，Sn 2 .n、數(shù)列與解析幾何的綜合應(yīng)用（點(diǎn)列問(wèn)題）例3如圖，從點(diǎn)Pi （0,0 ）作x軸的垂線交于曲線y=ex于點(diǎn)Qi （0,1）,曲線在Qi點(diǎn)處的切線與x軸交與點(diǎn)P2。再?gòu)腜2作x軸的垂線交曲線于點(diǎn)Q2，依次重復(fù)上述過(guò)程得到一系列點(diǎn)：pi, Qi；p2,Q2Pn,Qn，記Pk 點(diǎn)的坐標(biāo)為（xk,0）（k=1,2 ,，n）。(I)試求xk與xk二的關(guān)系(2眾竊);(n)求 PQ1IHPQ2I-|PQ3 PnQn解（I）設(shè)PUXk,O），由yex得Qk（Xk,ex2）點(diǎn)處切線方程為兀 1 , xk 1 /y -e 一二e (x - Xk J由 y

27、= 0得 xk =xkJ1-1(2 _k _ n)。(n)為=0, xk - xk 4 = T ,得 Xk = (k - J, 所以PQk二exk yz于是，Sn =RQ1|+|PQ2 +|PQ3 +.+|RQn=1 e4 ee4n4)n1 -e1 -e1 -n e -ee T111例4如圖，直線h : y =ykx 1 - k(k = 0, k )與l2 : y x相交于點(diǎn)P。直線l122 2與x軸交于點(diǎn)R，過(guò)點(diǎn)R作x軸的垂線交直線12于點(diǎn)Q1 ,過(guò)點(diǎn)Q1作y軸的垂線直線h于 點(diǎn)P2,過(guò)點(diǎn)F2作x軸的垂線交直線12于點(diǎn)Q2，這樣一直作下去，可得到一系列點(diǎn) R ,Q1,F2 ,(出)(I)證明

28、：設(shè)點(diǎn)Pn的坐標(biāo)是(人匚.)，由已知條件得點(diǎn)Qn、Pn+1的坐標(biāo)分別是：1111(xn, xn), (xn 1, xn)22221由Pn+1在直線l1上，得1 Xn21 kXn 11 - k.21所以尹nf1即小十兀區(qū)-1) N*.Q2，。點(diǎn)Fn(n =1,2,)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列111（n）解：由題設(shè)知 xi =1,xi-10,又由（I）知 xn1_i _（xn_i）,kk2k1 所以數(shù)列 xn -1是首項(xiàng)為x1 -1,公比為 的等比數(shù)列.2k從而 xn（丄）n=即xn=1-2 （丄）n,n N*.k 2k2ky 二 kx 1 - k,（川）解：由11 得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1, 1）.|y =_x+_,2 2所以 2 I PPn |2 = 2（Xn -1）2 2（kXn 1k-1）2 =8 （丄）2n 2（丄）2n，2k2k2 2 2 1 2 2 24k | PP1 |5=4k （1 1）（0-1） 5=4k 9.k1 1122（i）當(dāng)|k| ，即k 或k 時(shí)，4k2 |PR |2七冷+仝日。.2