分形混沌和灰色理論

1、分形和混沌分形和混沌（一）分形分形（二）混沌混沌（ 三）混沌與分形的關(guān)系混沌與分形的關(guān)系（四）非線性科學(xué)的非線性科學(xué)的展望展望 西方有個(gè)傳說:在因陀羅的天堂里有一張網(wǎng),你可以從其中的一個(gè)看到其他所有的寶石里反映出來的映象.世界上的每個(gè)物體也都是這樣,也就是說,每個(gè)事物不僅僅是他自身,而且還包含著其他所有的事物的性質(zhì). “英國海岸線”問題 我們差不多可以對(duì)英國海岸線的長(zhǎng)度有個(gè)概念,因?yàn)槲覀円砸粋€(gè)適當(dāng)?shù)牧慷葋頊y(cè)量它.當(dāng)我們換一個(gè)標(biāo)度(采用更小的單位)來量度它的長(zhǎng)度的時(shí)候,我們會(huì)發(fā)現(xiàn)海岸線的長(zhǎng)度被大大增加了. 這是為什么呢?我們將用分形(fractal)來解釋. 自然界的閃電也是一個(gè)典型的分形.因?yàn)?/p>

2、閃電與它的分支形狀,不論從全體還是從分支流都沒有太大的變化.fractal 分形 自然界和社會(huì)中存在著各種各樣的分形,其中有些是曲線或曲面,有些是不連通的“塵”,還有一些形狀是非常奇怪的,在科學(xué)和藝術(shù)中都找不到合適的術(shù)語來給它們命名.但是,它們都有一個(gè)共同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)-粗糙和自相似.為此我們先介紹分?jǐn)?shù)維的概念: w拓?fù)渚S數(shù)：確定整個(gè)圖形中點(diǎn)的位置所需的參數(shù)個(gè)數(shù)，實(shí)際上就是我們通常所理解的關(guān)于維的概念。w例如，直線是一維的，平面是二維的，空間是三維的，曲線是一維的，曲面是二維的。w例如科克曲線，如若用傳統(tǒng)的維數(shù)觀點(diǎn)去看的話，你會(huì)發(fā)現(xiàn)曲線上任意兩點(diǎn)間沿曲線的距離為無窮大，從而不能用一個(gè)參數(shù)確定圖形上

3、的所有的點(diǎn)。但是，分形不具有傳統(tǒng)的維數(shù)。w為解決這個(gè)問題，需引進(jìn)新的維數(shù)概念來重新描述圖形的復(fù)雜程度。w新維數(shù)有不同于傳統(tǒng)維數(shù)的定義方法，從而有了成為分?jǐn)?shù)的可能性。w新維數(shù)有許多種定義方法。其中相似性維數(shù)是一種較初等的定義方法。w相似性維數(shù)：如果某圖形是由把全體縮小成a的b個(gè)相似形所組成，則相似性維數(shù)為wlogb/loga w新的維數(shù)定義方法與傳統(tǒng)的維的觀念并不矛盾。例如將一個(gè)正方形縮小成邊長(zhǎng)是原來1/2的小正方形，則4個(gè)這樣的小正方形 拼成原來的大正方形。所以正方形的維數(shù) d=log4/log2=2，這和拓?fù)渚S數(shù)相一致。點(diǎn)擊進(jìn)入分形程序w我們現(xiàn)在來用新的維數(shù)觀點(diǎn)來看科克曲線的維數(shù)。w科克曲線

4、的生成方式：將一條長(zhǎng)度是1的線段三等分，以中間的線段為底邊作一等 邊三角形，然后去掉中間的 線段得到一條由四條長(zhǎng)度是 1/3的線段所組成的折線。 再將這四條線段重復(fù)以上 過程得到16條長(zhǎng)度是1/9的 線段所組成的折線。不斷 重復(fù)以上過程就生成了科 克曲線。w科克曲線的維數(shù)：將4個(gè)迭代了n次的圖形在尺度縮小到1/3便可拼成一個(gè)迭代了n+1次的圖形。而科克曲線迭代了無窮多次，于是將4個(gè)在尺度上縮小到1/3的科克曲線 便可拼成原尺度的科克曲線。所以，科克曲線的相似性維數(shù)d=log4/log3=1.2618w由此可見科克曲線具有分?jǐn)?shù)維，它和傳統(tǒng)的平面曲線具有不同的性質(zhì)，例如科克曲線是在一個(gè)有限的范圍內(nèi)

5、卻沒有有限的長(zhǎng)度。w形態(tài)的不規(guī)則性.它是如此的不規(guī)則,以致不能用傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)語言來描述;w結(jié)構(gòu)的精細(xì)性,即具有任意小的比例細(xì)節(jié);w局部與整體的自相似性,即局部與整體具有自相似性(這種自相似性可以是嚴(yán)格的,近似的或統(tǒng)計(jì)的);w維數(shù)的非整數(shù)性,它的維數(shù)一般是分?jǐn)?shù)的,并且大于其拓?fù)渚S數(shù);w生成的迭代性,分形雖然具有復(fù)雜結(jié)構(gòu),但是通?？梢杂玫椒ㄉ? 作為非線性科學(xué)三大理論前沿之一的分形理論,具有一些不同與整形(歐氏幾何里具有整數(shù)維的幾何圖形)的特點(diǎn),概括有五個(gè)基本特征或性質(zhì).分形結(jié)束返回主頁 我們?cè)倏匆粋€(gè)著名的例子“蝴蝶效應(yīng)”.洛侖茲有一個(gè)形象的比喻“巴西的一只蝴蝶扇動(dòng)幾下翅膀,可能會(huì)改變3個(gè)月后

6、美國得克薩斯的氣候”。他說明了天氣演變對(duì)初值的敏感依賴性。用混沌學(xué)的術(shù)語表述就是，系統(tǒng)的長(zhǎng)期行為對(duì)初值的敏感依賴性。（1）混沌的定義混沌的定義（2）混沌的特性：混沌的特性：a.確定系統(tǒng)的內(nèi)在隨機(jī)性b.對(duì)初值的敏感性c.非平衡過程產(chǎn)生的混沌是一種“奇異吸引子”d.混沌區(qū)具有分?jǐn)?shù)維數(shù)e.混沌區(qū)具有無窮嵌套的自相似結(jié)構(gòu)（3）進(jìn)入混沌的機(jī)制）進(jìn)入混沌的機(jī)制1 1）倍周期分岔道路倍周期分岔道路2 2）陣發(fā)混沌道路陣發(fā)混沌道路（4）應(yīng)用應(yīng)用.混沌混沌返回首頁混沌的定義混沌的定義 混沌的定義目前尚未確定，眾說紛紜，這兒只取其一幫助理解。 混沌是指確定宏觀的非線形系統(tǒng)在一定條件下所呈現(xiàn)的或不可預(yù)測(cè)的隨即現(xiàn)象，

7、是確定性與不確定性，規(guī)則性與不規(guī)則性，有序性與無序性融為一體的現(xiàn)象，其不確定性或隨機(jī)性不是來源于外部干擾，而是來源于內(nèi)部的“非線性交叉耦合作用機(jī)制”。這種“非線性交叉耦合作用”得數(shù)學(xué)表達(dá)式是動(dòng)力學(xué)方程中的非線性項(xiàng)。正是由于這種“交叉”作用，非線性系統(tǒng)在一定的臨界條件下才表現(xiàn)出混沌現(xiàn)象，才導(dǎo)致其對(duì)初值的敏感性，才導(dǎo)致內(nèi)在的不穩(wěn)定性的綜合效果。 所謂確定性系統(tǒng)是指我們考慮的物理系統(tǒng)，它的物理量隨時(shí)間的變化是一個(gè)確定性的常微分方程組或差分方程組所決定的。只要給了初始條件，它的解（或運(yùn)動(dòng)軌跡）就是唯一確定。 在某些情況和給定的控制參數(shù)下，其解會(huì)呈現(xiàn)出混沌狀態(tài)。 混沌現(xiàn)象是確定性系統(tǒng)“內(nèi)在的隨機(jī)性”，它

8、是有別于由系統(tǒng)外部引入的不確定的隨機(jī)影響（如噪聲等）而產(chǎn)生的外部隨機(jī)性 。 “確定性”是因?yàn)樗袃?nèi)在的原因而不是外來的噪聲 或干擾所產(chǎn)生；而“隨機(jī)性”指的是不規(guī)則的不能預(yù)測(cè)的行為。 返回混沌主頁下面我們來講混沌的特性。（1）確定系統(tǒng)的內(nèi)在隨機(jī)性. 混沌現(xiàn)象是由系統(tǒng)內(nèi)部的非線性因素引起的，是系統(tǒng)內(nèi)在隨機(jī)性的表現(xiàn)，而不是外來隨即擾動(dòng)所產(chǎn)生的不規(guī)則結(jié)果?；煦缋碚摰难芯勘砻?，只要確定性系統(tǒng)中有非線性因素作用，系統(tǒng)就會(huì)在一定的控制參數(shù)范圍內(nèi)產(chǎn)生一種內(nèi)在的隨機(jī)性，即確定性混沌。 混沌現(xiàn)象是確定性系統(tǒng)的一種“內(nèi)在隨機(jī)性”，它有別于由系統(tǒng)外部引入不確定隨機(jī)影響而產(chǎn)生的隨機(jī)性。為了與類似大量分子熱運(yùn)動(dòng)的外在隨機(jī)

9、性和無序性加以區(qū)別，我們稱所研的混沌為非線形動(dòng)力學(xué)混沌，而把系統(tǒng)處于平衡態(tài)時(shí)究所呈現(xiàn)的雜亂無章的熱運(yùn)動(dòng)混亂狀態(tài)稱為平衡態(tài)熱力學(xué)混沌。 它們間的重要差別在于：平衡態(tài)熱力學(xué)混沌所表現(xiàn)出的隨機(jī)現(xiàn)象是系統(tǒng)演化的短期行為無法確定。比如擲骰子，第一次擲的結(jié)果就無法確定，而長(zhǎng)期則服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律；非線形動(dòng)力學(xué)混沌則不然，系統(tǒng)的短期演化結(jié)果是確定的，是可以預(yù)測(cè)的；只有經(jīng)過長(zhǎng)期演化，其結(jié)果才是不確定的，不可預(yù)測(cè)的。比如天氣預(yù)報(bào)，三天以內(nèi)的天氣狀況是可以預(yù)測(cè)的，三天以后的舊無法預(yù)測(cè)了。（2）對(duì)初值的敏感性。返回混沌主頁系統(tǒng)的長(zhǎng)期行為對(duì)初值的敏感依賴性是混沌的本質(zhì)特征。我們經(jīng)常說 “差之毫厘，失之千里”；講的就是這個(gè)道

10、理。在西方，控制論的創(chuàng)立者維納引用民謠對(duì)“蝴蝶效應(yīng)”作了生動(dòng)描述： 釘子缺，蹄鐵卸； 蹄鐵卸，戰(zhàn)馬蹶； 戰(zhàn)馬蹶，騎士絕； 騎士絕，戰(zhàn)事折； 戰(zhàn)事折，國家滅。馬蹄鐵上缺了根釘子本是一件微不足道的事，但經(jīng)過逐級(jí)放大后，竟然導(dǎo)致整個(gè)國家滅亡的災(zāi)難性后果。下面我們來舉一個(gè)例子：這個(gè)例子將告訴我們混沌產(chǎn)生的原因及其它對(duì)初值的敏感性考察下列這個(gè)數(shù)列： 2 xn 0= xn 1/2 xn+1 = 2 xn-1 1/2= xn =5)都全部為0。第二種：當(dāng)為x0有理數(shù)且表示為分?jǐn)?shù)時(shí)，其分母不為2的冪數(shù)的形式。此時(shí)xn有周期變化（當(dāng)n足夠大時(shí)）.例如取x0 =13/28,則有x1=13/14, x2=6/7,

11、x3=5/7, x4=3/7, x5=6/7, x6=5/7, x7=3/7, x8=6/7它表示在n很大以后就出現(xiàn)了在三個(gè)數(shù) 6/7,5/7與3/7 之間的循環(huán).第三種：當(dāng)x0是無理數(shù)時(shí)，則序列xn是不規(guī)劃的。例如取x0=1 /2就屬于這種情況。但是，從本質(zhì)上看，上述三種情況表征的都是一種形態(tài)混沌。為此進(jìn)一步分析前面三種初值x0的情況。對(duì)于第二種情況，所取初值為 x0 =13/28=0.46428571428571428571可發(fā)現(xiàn)，從n=2開始就有： xn+2=xn(n=2,3),如x3002=6/7, x3003=5/7, x3004=3/7, x3005=6/7現(xiàn)在，若選一個(gè)與x0前9

12、00 多位小數(shù)都相同的數(shù)x0=13*(1-1/ 88000)/28 =13*（ 88000 -1）/（28* 88000 ） =13*（ 88000 -1）/（7* 23002 ） 作為新初值后，迭代結(jié)果又將如何呢？注意到 x0的分母可以表示為2的冪次的形式。所以，這個(gè) x0就應(yīng)屬于第一種情況，迭代結(jié)果為x3002= 0， x3003=0， x3004=0， x3005=0這表明，上訴結(jié)果與選x0初值時(shí)xn+3= xn(n=2,3)出現(xiàn)周期循環(huán)的結(jié)果大不一樣。 初值x0與x0之差z= | x0- x0 |=13/(7* 23002) =1/ 10900是非常小的，但經(jīng)過3002次迭代之后結(jié)果就

13、完全不同了。這就是說， x0小數(shù)的前900位（或二進(jìn)制的3002位）信息完全喪失。這里并沒有在迭代中進(jìn)行“舍入”處理，而完全是由于初值的不確定性造成的。 總之，這個(gè)例子就告訴我們，混沌并不是計(jì)算方法的近似或計(jì)算中的舍入誤差處理造成的，而是系統(tǒng)對(duì)初值的敏感所制，是系統(tǒng)固有的一種屬性。 返回混沌主頁（3）非平衡過程產(chǎn)生的混沌是一種“奇異吸引子” 任何物理理論，在一定意義上都是研究物質(zhì)在時(shí)空中運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。一個(gè)物質(zhì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)將向何處？它有沒有一定的歸宿？是返回原狀態(tài)，還是會(huì)達(dá)到某種新的穩(wěn)定狀態(tài)？這是人們感興趣的課題。 當(dāng)演化時(shí)間t趨向于無窮大時(shí)，系統(tǒng)所達(dá)到的極限集合稱為“吸引子”。 例如單擺運(yùn)動(dòng)，如果

14、沒有摩擦或其他消耗（保守系統(tǒng)），單擺將周而復(fù)始地?cái)[下去，運(yùn)動(dòng)永不停止。如果有摩擦（耗散系統(tǒng)），振動(dòng)將逐漸減小，最終將停在中間位置，這個(gè)狀態(tài)（不動(dòng)點(diǎn)）就叫做一個(gè)吸引子。耗散系統(tǒng)最終要收縮到相空間的有限區(qū)域即吸引子上。0維的吸引子是一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，一維是一個(gè)極限環(huán)，二維是一個(gè)面，等等。這些吸引子通常叫做普通吸引子或平凡吸引子。混沌狀態(tài)也是非平衡非線形系統(tǒng)演化的一種歸宿，它相當(dāng)于一個(gè)吸引子，它是耗散運(yùn)動(dòng)收縮到相空間有限區(qū)域的一種形式。 但與平凡吸引子相比，它又有一些奇特的性質(zhì)。系統(tǒng)在吸引子外的所有狀態(tài)都向吸引子靠攏，這是吸引作用，反映系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)“穩(wěn)定”的一面；而一旦到達(dá)吸引子內(nèi)，其運(yùn)動(dòng)又是互相排斥的，這對(duì)

15、應(yīng)著不穩(wěn)定的一面。也可以說在整體上是穩(wěn)定的，而在局部上是不穩(wěn)定的。在混沌區(qū)內(nèi)，兩個(gè)靠的很近的點(diǎn)，隨著時(shí)間的推移會(huì)指數(shù)發(fā)散開來；兩個(gè)相距很遠(yuǎn)的點(diǎn)，有可能無限的接近；它們將在混沌區(qū)中自由的游蕩，又不跳出混沌區(qū)去，因此無法描寫它們的“軌跡”，無法預(yù)測(cè)其未來的狀態(tài)。1971年，法國物理學(xué)家茹勒和泰肯首次把混沌的這種性質(zhì)叫奇異吸引子或奇怪吸引子。返回混沌主頁（4）混沌區(qū)具有分?jǐn)?shù)維數(shù) 奇異吸引子往往具有分?jǐn)?shù)維數(shù)。系統(tǒng)到達(dá)混沌區(qū)后，被限制在奇異吸引子內(nèi)。在吸引子中，可以到處游蕩，各態(tài)歷經(jīng)，但其軌道又不能充滿整個(gè)區(qū)域，它們彼此間有無窮多的空隙。（5）混沌區(qū)具有無窮嵌套的自相似結(jié)構(gòu) 在混沌區(qū)內(nèi)，從大到小，一層一

16、層類似洋蔥頭或套箱，具有自相似結(jié)構(gòu)。這些自相似結(jié)構(gòu)無窮無盡的互相套疊，從而形成了“無窮嵌套的自相似結(jié)構(gòu)”。我們?nèi)稳∑渲幸恍卧?，放大來看都和原來混沌區(qū)一樣，具有和整體相似的結(jié)構(gòu)，包含整個(gè)系統(tǒng)的“信息”。由此可見，混沌現(xiàn)象既具有紊亂性，又具有規(guī)律性。 返回混沌主頁圖中表示將圖一次次縮小觀察可看出它的自相似性點(diǎn)擊安裝程序后觀看錄象安裝程序 錄象1 錄象2readme!又例如：謝爾賓斯基“毯片” 下面舉一個(gè)例子來說明它的第4，5個(gè)性質(zhì)： 馬爾薩斯（trmalthas）在其論人口原理一書中，在分析了19世紀(jì)美洲和歐洲一些地區(qū)的人口增長(zhǎng)規(guī)律后得出結(jié)論說：“在不加控制的條件下，人口每25年增加一倍，即按幾

17、何級(jí)數(shù)增長(zhǎng)”不難把這種“馬爾薩斯人口論”寫成數(shù)學(xué)形式為此可把25年作為一代，把第n代的人口記為yn馬爾薩斯的意思是yn+12yn （7.20） 這是簡(jiǎn)單的正比例關(guān)系，還可以寫得更一般些，即yn+1=yn （7.21）其中是比例系數(shù)不難驗(yàn)證，差分方程差分方程（7.21）的解為yn=ny0 （7.22） y0是開始計(jì)算的那一代人口數(shù)只要1，yn很快就趨向無窮大，發(fā)生“人口爆炸”這樣的線性模型，完全不能反映人口的變化規(guī)律，但是稍加修正，就可以成為描述某些沒有世代交疊的昆蟲數(shù)目的蟲口方程這項(xiàng)修正就是計(jì)入限制蟲口增長(zhǎng)的負(fù)因素蟲口數(shù)目太多時(shí)，由于爭(zhēng)奪有限的食物和生存空間發(fā)生咬斗，由于接觸傳染而導(dǎo)致疾病蔓延

18、，都是使蟲口數(shù)目減少的事件 這些事件的數(shù)目比例于yn2，于是方程（7.21）可以修正為yn+1=yn-yn2 （7.23）（為甚末比例于yn2呢？想知道的話，請(qǐng)按這里） 如果x代表某種昆蟲的數(shù)目，每個(gè)昆蟲產(chǎn)個(gè)卵，其總數(shù) y=x （7.8）由線性關(guān)系決定然而，x個(gè)昆蟲由于爭(zhēng)奪食物而咬斗，咬斗事件的數(shù)目可能有 y=x(x-1)/2種組合這就是非線性關(guān)系了相互作用使得整體不再簡(jiǎn)單地等于部分之和，而可能出現(xiàn)不同于“線性疊加”的增益或虧損即正比于yn2。 這個(gè)看起來很簡(jiǎn)單的方程，卻可以展現(xiàn)出豐富多采的動(dòng)力學(xué)行為其實(shí)它并不只是一個(gè)描述蟲口變化的模型它同時(shí)考慮了鼓勵(lì)和抑制兩種因素，反映出“過猶不及”的效應(yīng)，

19、因而具有更普遍的意義和用途可以適當(dāng)?shù)刂匦隆皹?biāo)度”方程（7.23）的變量，例如取yn為新的變量，而以/作為新的參量，還可進(jìn)一步取最大蟲口數(shù)目為1，這樣得到一個(gè)抽象的、標(biāo)準(zhǔn)的蟲口方程xn+1=xn（1-xn） （7.24）現(xiàn)在xn的變化范圍是0，1線段，而參量通常在0到4之間取值蟲口方程（7.24）是通向混沌動(dòng)力學(xué)主峰的崎嶇道路的起點(diǎn)我們只能踏最初幾步，略探其中奧秘先換幾個(gè)角度來考察方程（7.24）它右面的xn從0，1線段取值，變換成左面的xn+l，仍然在同一個(gè)線段中這是線段到自身的一個(gè)“映射”，性命圭旨中的“化身五五圖”。 其一般形式為xn+1=f（，xn），xni （7.25）其中f（，x）是

20、依賴于參量的一個(gè)非線性函數(shù)方程（7.4）或（7.25）又是一個(gè)迭代過程迭代過程取初始值x0，計(jì)算出x1；再把x1代入右端，求得x2，這樣得到一條軌道軌道x0，x1，x2，x3， （7.26）這個(gè)迭代過程可以用圖上作業(yè)形象地表示出來，如下圖所示圖中畫出了非線性函數(shù)f（x）和代表y=x的45傾斜的分角線在橫軸上取初值x0，垂直向上找到與f（x）的交點(diǎn)就是x1；為了把它作為下一次迭代的自變量，只須水平地找到與分角線的交點(diǎn) 這樣，整個(gè)迭代過程就是不斷地在函數(shù)f（x）和分角線之間作直線掌握這種圖上作業(yè)，對(duì)于理解蟲口方程的動(dòng)力學(xué)很有幫助我們還可以把迭代計(jì)數(shù)n看作離散的時(shí)間，在馬爾薩斯的模型中指第n個(gè)25年

21、，而在蟲口方程中則是第n個(gè)夏天這樣，（7.24）或（725）就是離散的時(shí)間演化方程，而式（7.26）是演化過程的記錄對(duì)于軌道式（7.26）可以提許多問題例如，它是周期還是非周期的，它是簡(jiǎn)單還是復(fù)雜的，它對(duì)于初值x0的細(xì)微變化是否敏感，等等這些問題都可用嚴(yán)格的理論方法來回答，不過我們最好先拿一個(gè)小計(jì)算器來取得一些感性知識(shí)先取定參數(shù)=2.5，用初值x00.5開始迭代，得到如下一串?dāng)?shù)值：x1=0.625x20.5859375x28=0.599999998 x29=0.6x300.6從x29開始，都得到0.6，不再變化這條軌道在經(jīng)過一段過渡過程之后導(dǎo)致一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)不動(dòng)點(diǎn)x*0.6用蟲口模型的語言說，在這

22、樣一個(gè)參量下蟲口最終達(dá)到不隨時(shí)間變化的固定值重要的事實(shí)是：換用任何其它初值，結(jié)果都達(dá)到同一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)x*，只是過渡過程可能略有不同換句話說，最終的狀態(tài)對(duì)初值的變化不敏感；所有的初值都被“吸引”到不動(dòng)點(diǎn)或者說，不動(dòng)點(diǎn)是一個(gè)吸引子如果把參量改為=3.3，還從初值x00.5出發(fā)，經(jīng)過一段過渡后軌道成為兩個(gè)數(shù)的交替：x320.479427020 x330.823603283 x340.479427020 x35=0.823603283我們說，這是一條周期周期2軌道這條軌道對(duì)初值也不敏感，所有的初值最終都殊途同歸，達(dá)到這個(gè)周期2吸引子對(duì)于蟲口模型，這表明如果今年夏天蟲子數(shù)目多，明年夏天就少，如此交替下去這

23、是較為符合實(shí)際情形的結(jié)果用這種方法當(dāng)然只能檢查有限個(gè)參量點(diǎn)上的動(dòng)力學(xué)行為為了縱觀全局，我們用程序?qū)D畫出： 我們用屏幕的縱軸表示xn，橫軸代表參量從小到大取幾百個(gè)參量點(diǎn)，在每個(gè)參量處用同樣的初值x0=0.6作迭代舍去200個(gè)過渡點(diǎn)，把稍后的300個(gè)迭代值都畫到屏幕上對(duì)于不動(dòng)點(diǎn)，300個(gè)數(shù)都落到同一點(diǎn)上，而對(duì)于周期2，則得到上下兩個(gè)點(diǎn)，這樣得到的分岔圖分岔圖示于圖7-9中事實(shí)上我們舍去了興味不大的大部分不動(dòng)點(diǎn)參量區(qū)，只畫出了=2.9到4的一段參量軸 分岔圖是全面反映一維映射動(dòng)力學(xué)行為的簡(jiǎn)便方式在圖中我們看到不動(dòng)點(diǎn)分岔為周期2，周期2分岔到周期4等等，最終進(jìn)入了沿xn方向連成一片的混沌區(qū)在混沌區(qū)里

24、還可以看到不少周期窗口周期窗口，其中最明顯的是一個(gè)周期3窗口，即三個(gè)點(diǎn)交替出現(xiàn)的周期軌道 左圖為迭代左圖為迭代5次產(chǎn)生的，右圖為迭代次產(chǎn)生的，右圖為迭代6次產(chǎn)生的次產(chǎn)生的看一些簡(jiǎn)單的迭代圖形左圖為迭代左圖為迭代7次產(chǎn)生的，右圖為迭代次產(chǎn)生的，右圖為迭代8次產(chǎn)生的次產(chǎn)生的這是經(jīng)過100次迭代之后的圖形點(diǎn)擊使用迭代程序性質(zhì)已講完返回混沌主頁記為n，當(dāng)n較大時(shí)，這些參量靠得越來越近，很快趨近一個(gè)極限=3.5699趨近極限的方式很簡(jiǎn)單，乃是 這里常數(shù)a與具體的映射有關(guān)，但是常數(shù)是普適的，即與具體模型無關(guān)它的值是=4.6692016091 （7.28）考察左圖圖中最明顯的一種改變參量值而走向混沌的道路，

25、是不動(dòng)點(diǎn)周期2周期4周期8，最終達(dá)到混沌區(qū)這叫作倍周期分岔倍周期分岔道道路路把第n次分岔的參量值 普適性是極為重要的，因?yàn)椴徽撛谝痪S映射還是更復(fù)雜的微分方程中，只要看到倍周期分岔現(xiàn)象，它們都遵從同樣的規(guī)律式（7.27），其中具有同一個(gè)數(shù)值式（7.28）普適的性質(zhì)必須有普適的理論說明正是普適性的研究加深了人們對(duì)混沌現(xiàn)象的認(rèn)識(shí) 把參量值取在略為超過倍周期分岔序列的極限處，例如取=3.59，迭代300次的xn變化示于圖7-10中這顯然不是一條周期軌道它很象是xn的隨機(jī)起伏，但似乎又有一些內(nèi)部結(jié)構(gòu)我們以后再討論怎樣刻劃這類混沌軌道返回混沌主頁 在圖79中周期3窗口的左端，減少參量值也會(huì)進(jìn)入混沌制度我們

26、首先考察一下實(shí)際的迭代過程周期3窗口的起始點(diǎn)可以精確地定出來，我們不詳加討論，只給出其值取稍為小于c的參量，例如=3.82835，進(jìn)行迭代300個(gè)xn隨n的變化曲線示于圖711中這也是一條混沌軌道，但同圖7-10的性質(zhì)頗不相同軌道的某些段落象是規(guī)則的周期運(yùn)動(dòng)，稱為“層流相”；各層流相之間是或長(zhǎng)或短的隨機(jī)跳躍，稱為“湍流相”迭代過程中何時(shí)出現(xiàn)層流相，何時(shí)進(jìn)入湍流相，又是隨機(jī)和不可預(yù)言的但是，只要參量一定，湍流相或?qū)恿飨嗟钠骄鶗r(shí)間也是確定的參量值越是靠近c(diǎn)，湍流相的平均時(shí)間越短當(dāng)趨近c(diǎn)時(shí)，湍流相平均時(shí)間趨近零的方式是 這一規(guī)律與溫度t從低溫側(cè)趨向居里溫度tc時(shí)，鐵磁體平均磁化強(qiáng)度消失的方式類似：平

27、均磁化強(qiáng)度t-tc （7.31）根據(jù)相變的平均場(chǎng)理論，指數(shù)=1/2，更與（7.30）式一致如圖711所示，在周期窗口起點(diǎn)附近進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)的情形，稱為陣發(fā)混沌道路陣發(fā)混沌道路返回混沌主頁 混沌的應(yīng)用混沌的應(yīng)用 1) 理解流體湍流的發(fā)生機(jī)制： 目前研究較為透徹的，是局限在容器中的流體的運(yùn)動(dòng)例如，夾在上下底板之間而從下面加熱的流體，從熱對(duì)流失穩(wěn)而發(fā)展到振蕩和湍流又如介于兩個(gè)同軸圓柱面之間的流體，當(dāng)內(nèi)圓柱轉(zhuǎn)動(dòng)速度漸高時(shí)，會(huì)經(jīng)歷一系列運(yùn)動(dòng)模式的突變，最終進(jìn)入湍流狀態(tài)這類湍流發(fā)展過程的最初幾步，與非線性系統(tǒng)走向混沌的道路有并行或相似之處工業(yè)應(yīng)用中更為重要的是開放流中的湍流為此必須把空間自由度的耦合也考慮進(jìn)

28、來對(duì)各種“時(shí)空混沌”模型的研究，是本領(lǐng)域的另一個(gè)前沿 2）聲學(xué)中有更多混沌無益的實(shí)例 令強(qiáng)功率超聲波通過液體，波前的局部壓力可能減小到使液體氣化發(fā)泡這種“空化”過程伴隨著大量噪聲，頻譜中甚至還有原來頻率一半的分頻成分近年來在空化噪聲中觀察到了通過倍周期分岔走向混沌的全過程空化現(xiàn)象還發(fā)生在高速運(yùn)動(dòng)的渦輪葉片背面，是造成葉片損傷的一種因素在更簡(jiǎn)單的聲學(xué)系統(tǒng)，例如擴(kuò)音器中，線性響應(yīng)通常導(dǎo)致高保真度，而質(zhì)量不佳的喇叭在較低的輸入電平上就可能發(fā)生向分頻的分岔而這正是混沌樂章的序曲 3）高能粒子加速器中束流的損失，受控?zé)岷朔磻?yīng)實(shí)驗(yàn)裝置中約束磁場(chǎng)的漏失，核反應(yīng)堆中循環(huán)水的有害回流，乃至光學(xué)雙穩(wěn)器件的不穩(wěn)定性

29、凡此種種概與混沌有關(guān)深水采油浮塔及其附近系泊的用以懸掛輸油管路的相聯(lián)的塔柱，在海浪沖擊下會(huì)發(fā)生次頻甚至混沌振動(dòng)這些通常都屬于應(yīng)當(dāng)回避的混沌現(xiàn)象 4）地球物理學(xué)中有許多復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)過程，很難簡(jiǎn)單地以“利”“害”名之，人們必須深入研究才能認(rèn)識(shí)它們例如，古地磁資料表明地磁場(chǎng)在近數(shù)百萬年內(nèi)曾經(jīng)多次隨機(jī)地反向，又如影響全球天氣變化的南太平洋海溫的非周期振蕩，即所謂厄爾尼諾（ei nino）現(xiàn)象，最近幾年都有人用確定論模型中的混沌加以解釋當(dāng)然，人們還不能宣稱混沌就是這些現(xiàn)象的唯一原因，但至少增加了一種考慮問題的觀點(diǎn) 5）各種各樣的生物節(jié)律，既非完全周期，又不可能屬于純粹隨機(jī)，它們既有“鎖頻”到自然界周期（季節(jié)，晝夜等）的一面，又保持著內(nèi)在的“自洽”性質(zhì)許多生物節(jié)律可用耦合的非線性振子模型，而混沌運(yùn)動(dòng)正是耦合振子系統(tǒng)的一類典型行為考察人類的腦電波，對(duì)比就更為尖銳癲癇患者發(fā)病時(shí)的腦電波呈明顯的周期性，而正常人的腦電波近乎隨機(jī)訊號(hào)進(jìn)一步測(cè)量表明它們不是隨機(jī)的，而象是來自維