《微積分定積分》ppt課件

1、微 積 分6.1 6.1 定積分的概念定積分的概念6.2 6.2 定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)6.3 6.3 微積分根本公式微積分根本公式6.4 6.4 定積分的換元積分法定積分的換元積分法6.7 6.7 定積分的幾何運(yùn)用定積分的幾何運(yùn)用6.5 6.5 定積分的分部積分法定積分的分部積分法6.6 6.6 反常積分與反常積分與函數(shù)函數(shù)6.8 6.8 定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的運(yùn)用定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的運(yùn)用.問題的提出問題的提出存在定理存在定理小結(jié)小結(jié) 思索題思索題6.1 6.1 定積分的概念定積分的概念定積分的定義定積分的定義定積分的幾何意義定積分的幾何意義.abxyo曲邊梯形由連續(xù)曲線曲邊梯形由連續(xù)曲線實(shí)例實(shí)

2、例1 1 求曲邊梯形的面積求曲邊梯形的面積x軸軸與與兩兩條條直直線線ax 、bx 所所圍圍成成.一、問題的提出一、問題的提出)(xfy A=?.abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積面積四個(gè)小矩形四個(gè)小矩形九個(gè)小矩形九個(gè)小矩形.xyab1x2x下和下和 上和上和SS)(xfy 下和與上和下和與上和 .察看以下演示過程，留意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，上和察看以下演示過程，留意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，上和 、下和下和 、曲邊梯形的面積、曲邊梯形的面積A這三者之間關(guān)系；并思這三者之間關(guān)系；并思

3、索上和索上和 及下和及下和 的極限的極限S與與A的關(guān)系。的關(guān)系。SSSS.察看以下演示過程，留意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，察看以下演示過程，留意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系.察看以下演示過程，留意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，察看以下演示過程，留意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系.察看以下演示過程，留意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，察看以下演示過程，留意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系.察看以下演示過程，留意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，察看以下演示過程，留意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面

4、積的關(guān)系.察看以下演示過程，留意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，察看以下演示過程，留意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系.察看以下演示過程，留意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，察看以下演示過程，留意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系.察看以下演示過程，留意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，察看以下演示過程，留意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系.察看以下演示過程，留意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，察看以下演示過程，留意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系.察看以下演示過程，留意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，察看以下演示過程，

5、留意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系.察看以下演示過程，留意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，察看以下演示過程，留意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系.察看以下演示過程，留意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，察看以下演示過程，留意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系.,1210bxxxxxabann 內(nèi)內(nèi)插插入入若若干干個(gè)個(gè)分分點(diǎn)點(diǎn)，在在區(qū)區(qū)間間abxyoix1x1 ix1 nx;,11 iiiiixxxxxnba長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為，個(gè)小區(qū)間個(gè)小區(qū)間分成分成把區(qū)間把區(qū)間(1) 分割分割.，上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)在每個(gè)小區(qū)間

6、在每個(gè)小區(qū)間iiixx ,1 ()iifx 為高的小矩形面積為為高的小矩形面積為為底，為底，以以)(,1iiifxx (2) 取近似取近似abxyoi ix1x1 ix1 nx)(if 它可以近似替代小曲邊梯形的面積它可以近似替代小曲邊梯形的面積, 即即()iiiAfx .01lim()niiiAfx 1maxiinx 曲邊梯形面積為曲邊梯形面積為(3) 求和求和n個(gè)小矩形面積的和就是曲邊梯形的面積個(gè)小矩形面積的和就是曲邊梯形的面積A的近似值的近似值11()nniiiiiAAfx (4) 取極限取極限當(dāng)分割無限加細(xì)，即小區(qū)間的最大長(zhǎng)度當(dāng)分割無限加細(xì)，即小區(qū)間的最大長(zhǎng)度趨近于零時(shí)，趨近于零時(shí)，n

7、 （這這時(shí)時(shí)）問題：?jiǎn)栴}：0n 與與能否是一回事？能否是一回事？.實(shí)例實(shí)例2 2 求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程 設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng)，已知速度設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng)，已知速度)(tvv 是是時(shí)間間隔時(shí)間間隔,21TT上上t的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，且的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，且0)( tv，求物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過的路程，求物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過的路程.思緒：把整段時(shí)間分割成假設(shè)干小段，每小段上速思緒：把整段時(shí)間分割成假設(shè)干小段，每小段上速度度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后經(jīng)過對(duì)時(shí)間的無限細(xì)分過程求得路的近似值，最后經(jīng)過對(duì)時(shí)間的無限細(xì)分

8、過程求得路程的準(zhǔn)確值程的準(zhǔn)確值.1分割分割212101TtttttTnn 1 iiitttiiitvs )( 部分路程值部分路程值某時(shí)辰的速度某時(shí)辰的速度3求和求和iinitvs )(1 4取極限取極限12max,nttt 01lim()niiisvt (路程的準(zhǔn)確值路程的準(zhǔn)確值)2取近似取近似,1iiitt 第第i個(gè)時(shí)間段的長(zhǎng)度個(gè)時(shí)間段的長(zhǎng)度:其中其中.二、定積分的定義二、定積分的定義定義定義有界，有界，個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)間間，分分成成了了把把區(qū)區(qū)間間nba, i1ix,x在在各各小小區(qū)區(qū)間間,i上上任任取取一一點(diǎn)點(diǎn)),2 , 1(nixxx1iii各小區(qū)間的長(zhǎng)度依次為各小區(qū)間的長(zhǎng)度依次為)2 ,

9、 1()(nixfii作作乘乘積積上上在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù),)(baxf中中任任意意插插入入在在,ba個(gè)個(gè)分分點(diǎn)點(diǎn)1n1,iiixx 分分割割，也也在在小小區(qū)區(qū)間間上上點(diǎn)點(diǎn)不不論論怎怎樣樣選選取取，bxxxxxann 1210假設(shè)不論對(duì)假設(shè)不論對(duì)a,b怎樣怎樣1()niiiSfx 并并作作和和 .記為記為( ),baf x dx 即即只需當(dāng)只需當(dāng)0時(shí)，和時(shí)，和S總趨于確定的極限總趨于確定的極限 I，那么稱，那么稱這個(gè)極限這個(gè)極限 I 為函數(shù)為函數(shù)f (x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上的定積分，上的定積分， baIdxxf)( 被積函數(shù)被積函數(shù)被積表達(dá)式被積表達(dá)式積分變量積分變量積積分分區(qū)區(qū)間間,ba積分上

10、限積分上限積分下限積分下限積分和積分和01lim()niiifx .留意：留意：（1） 積積分分值值僅僅與與被被積積函函數(shù)數(shù)及及積積分分區(qū)區(qū)間間有有關(guān)關(guān)， badxxf)( badttf)( baduuf)(（3 3）當(dāng)函數(shù)）當(dāng)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上的定積分存在時(shí)，上的定積分存在時(shí)，而而與與積積分分變變量量的的字字母母無無關(guān)關(guān).稱稱)(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上上可積可積. 當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)時(shí)時(shí)，定理定理1 1定理定理2 2 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上有有界界，三、存在定理三、存在定理且且只只有有有有限限個(gè)個(gè)間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)，.對(duì)定積分的補(bǔ)

11、充規(guī)定對(duì)定積分的補(bǔ)充規(guī)定:闡明闡明 在后面的性質(zhì)中，假定定積分都存在，在后面的性質(zhì)中，假定定積分都存在，且不思索積分上下限的大小且不思索積分上下限的大小.ab, 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形的面積, 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形的面積的負(fù)值1A2A3A4A badxxf)(四、定積分的幾何意義四、定積分的幾何意義 4321AAAA.幾何意義：幾何意義： 軸軸下下方方的的面面積積取取負(fù)負(fù)號(hào)號(hào)上上方方的的面面積積取取正正號(hào)號(hào)；在在軸軸數(shù)數(shù)和和在在之之間間的的各各部部分分面面積積的的代代的的圖圖形形及及兩兩條條直直線線軸軸、函函數(shù)數(shù)定定積積分分是是介介于于xxbxaxxfx

12、,)(ab.例例1 1 利用定義計(jì)算定積分利用定義計(jì)算定積分.102dxx 解解小區(qū)間小區(qū)間,1iixx 的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度nxi1 ，(ni, 2 , 1 )取取iix ，(ni, 2 , 1 )iinixf )(1 iinix 21 ,12iniixx .nnini121 niin12316)12)(1(13 nnnn,121161 nn n0 dxx 102iinix 210lim nnn121161lim.31 .證明證明12nnfffnnn 12lnennfffnnn nnnnfnfnf 21lim試證試證10ln( )e.f x dx 利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)得利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)得極限運(yùn)算與指數(shù)運(yùn)算交

13、換順序得極限運(yùn)算與指數(shù)運(yùn)算交換順序得.11limlnenniifnn 11limlnenniifnn 12lim lnennnfffnnn 分割是將分割是將0,1n等分，分點(diǎn)為等分，分點(diǎn)為, (1,2, )iixinnnnnnfnfnf 21lim指數(shù)部分為：指數(shù)部分為：lnf(x) 在區(qū)間在區(qū)間0,1上的一個(gè)積分和上的一個(gè)積分和.nnifnin1lnlim1 10)(lndxxf故故nnnnfnfnf 21lim10ln( )e.f x dx 因?yàn)橐驗(yàn)?(xf在區(qū)間在區(qū)間 1 , 0上連續(xù)，且上連續(xù)，且0)( xf所所以以)(lnxf在在 1 , 0上上有有意意義義且且可可積積 ,.例例3

14、3 利用定義計(jì)算定積分利用定義計(jì)算定積分.121dxx 解解在在2 , 1中中插插入入分分點(diǎn)點(diǎn) 12, nqqq,典型小區(qū)間為典型小區(qū)間為,1iiqq ，（ni, 2 , 1 ）小小區(qū)區(qū)間間的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度)1(11 qqqqxiiii,取取1 iiq ，（ni, 2 , 1 ）iinixf )(1 iniix 11 )1(1111 qqqinii. niq1)1()1( qn取取2 nq即即nq12 ),12(1 nn)12(lim1 xxxxxx112lim1 , 2ln )12(lim1 nnn, 2ln dxx 211iniix 101lim )12(lim1 nnn. 2ln iinixf )(1 .五、小結(jié)五、小結(jié)定積分的本質(zhì)：特殊和式的極限定積分的思想和方法：分割分割化整為零化整為零求和求和積