第7部分矩陣的特征值和特征向量

1、數(shù) 學(xué) 系university of science and technology of chinadepartment of mathematics第7章 矩陣的特征值和特征向量 很多工程計(jì)算中，會(huì)遇到特征值和特征向量的計(jì)算，如：機(jī)械、結(jié)構(gòu)或電磁振動(dòng)中的固有值問題；物理學(xué)中的各種臨界值等。這些特征值的計(jì)算往往意義重大。數(shù) 學(xué) 系university of science and technology of chinadepartment of mathematics特征值：0)det()(aipa的根 為矩陣a的特征值特征向量：滿足avvi的向量v為矩陣a的對于特征值 的i)(ap稱為矩陣a

2、的特征多項(xiàng)式 是高次的多項(xiàng)式，它的求根是很困難的。沒有數(shù)值方法是通過求它的根來求矩陣的特征值。通常對某個(gè)特征值，可以用些針對性的方法來求其近似值。若要求所有的特征值，則可以對a做一系列的相似變換，“收斂”到對角陣或上（下）三角陣，從而求得所有特征值的近似。)(ap特征向量數(shù) 學(xué) 系university of science and technology of chinadepartment of mathematics7.1 冪法冪法 矩陣的按模最大特征值往往表現(xiàn)為閾值。如：矩陣的譜半徑。冪法就是一種求矩陣按模最大特征值的方法，它是最經(jīng)典的方法。 冪法要求a有完備的特征向量系，即a有n個(gè)線性無

3、關(guān)的特征向量。在實(shí)踐中，常遇到的實(shí)對稱矩陣和特征值互不相同的矩陣就具有這種性質(zhì)。設(shè)a的特征值和特征向量如下：nnvvv 2121特征值：特征向量：冪法可以求11 v，基本思想很簡單。數(shù) 學(xué) 系university of science and technology of chinadepartment of mathematics設(shè) n1iiv線性無關(guān)，取初值)0(x，作迭代)0(1)()1(xaaxxkkk設(shè)：nnvvvx2211)0(nknnkknknkknnkkvvvvavavavvvax22211122112211)( )(則有：數(shù) 學(xué) 系university of science a

4、nd technology of chinadepartment of mathematics（1）若：n21nnknkkkvvvx12212111)(01則k足夠大時(shí)，有111)(vxkk1111)1(vxkk可見)1()(,kkxx幾乎僅差一個(gè)常數(shù)1)1(1)()1(1/kkkxvxx所以：任意分量相除特征向量乘以任意數(shù)，仍是特征向量數(shù) 學(xué) 系university of science and technology of chinadepartment of mathematics（2）若：21321,nnnknkkkvvvx122111)(122111)(1vvxkkk則k足夠大時(shí)，有2

5、1)12()12(21)2()22(/kkkkxxxx所以：)(1)1(2)(1)1(1kkkkxxvxxv所以：數(shù) 學(xué) 系university of science and technology of chinadepartment of mathematics算法：算法：1、給出初值，計(jì)算序列)()1(kkaxx2、若序列表現(xiàn)為，相鄰兩個(gè)向量各個(gè)分量比趨向于常數(shù))(1)()1(1/kkkxvxx若序列表現(xiàn)為，奇偶序列各個(gè)分量比趨向于常數(shù)，則(1)(1)1(1)( )11(1)( )21/kkkkkkxxvxxvxx若序列表現(xiàn)為其他，退出不管數(shù) 學(xué) 系university of scienc

6、e and technology of chinadepartment of mathematics求矩陣a的按模最大的特征值解解 取x(0)=(1,0)t ,計(jì)算x(k)=ax(k-1), 結(jié)果如下例例61515141akx1(k)x2(k)x1(k)/x1(k-1)x2(k)/x2(k-1)01010.250.220.102500.0833330.410.4166530.0422920.0343890.412600.4126740.0174510.0141900.412630.41263可取 0.41263 ,x1 (0.017451,0.014190)t .數(shù) 學(xué) 系university

7、 of science and technology of chinadepartment of mathematics( )(1)111knkkkiiiixaxv決定收斂的速度，特別決定收斂的速度，特別是是 | 2 / 1 | 希望希望 | 2 / 1 | 越小越好。越小越好。不妨設(shè)不妨設(shè) 1 2 n ，且，且 | 2 | | n |。 1 2 nop = ( 2 + n ) / 2思思路路令令 b = a pi ，則有，則有 | i a | = | i (b+pi) | = | ( p)i b | a p = b 。而而 ，所以求，所以求b的特征根收的特征根收斂快。斂快。|1212 pp數(shù)

8、 學(xué) 系university of science and technology of chinadepartment of mathematicsnnknkkkvvvx12212111)(在冪法中，我們構(gòu)造的序列可以看出1 , 1 , 0,11)(kxk因此，若序列收斂慢的話，可能造成計(jì)算的溢出或歸0數(shù) 學(xué) 系university of science and technology of chinadepartment of mathematics改進(jìn)冪法的規(guī)范運(yùn)算改進(jìn)冪法的規(guī)范運(yùn)算)1()1()1()()1(/kkkkkxxyayx則，易知：( )(1)( )(0)( )(0)( )/1k

9、kkkkkyayxa yxxy)0()0()(/yayaykkk所以，有：最大分量為1數(shù) 學(xué) 系university of science and technology of chinadepartment of mathematicsnnknkknnknkkkvvvvvvy1221211112212111)(即（1）若：n210 , 0 , 1111111111)(vvvvyk111111)(vvykkk數(shù) 學(xué) 系university of science and technology of chinadepartment of mathematics01時(shí)，有)(1)1(1kkyvx01時(shí)

10、，有)(1)1(1kkyvx)(ky收斂) 12()2(,kkyy分別收斂到反方向的兩個(gè)向量)(1)()1(kkkyayx1)(1)1(kkyx數(shù) 學(xué) 系university of science and technology of chinadepartment of mathematics（2）若：21321,nnnknkknnknkkkvvvvvvy122111122111)(11)12()2(,kkyy分別收斂到兩個(gè)向量，且不是互為反號(hào)。數(shù) 學(xué) 系university of science and technology of chinadepartment of mathematics

11、(1)()(2)(1)mmmmxayxax借助冪法來求特征值和特征向量。計(jì)算：則：(2)()1/mmxy(2)(1)11(2)(1)21mmmmvxxvxx數(shù) 學(xué) 系university of science and technology of chinadepartment of mathematics算法：算法：1、給出初值，計(jì)算序列)(ky2、若序列收斂，則(1)( )11 , kkxvy若序列的奇偶序列分別收斂，且兩個(gè)數(shù)互為反號(hào)，則(1)( )11 , kkxvy 若序列的奇偶序列分別收斂，且兩個(gè)數(shù)不互為反號(hào)，則(2)()1(2)(1)11(2)(1)21/mmmmmmxyvxxvxx

12、)1()2()()1(mmmmaxxayx數(shù) 學(xué) 系university of science and technology of chinadepartment of mathematics反冪法反冪法vvavav11所以，a和a1的特征值互為倒數(shù)nnaa21121 : : 1ii這樣，求a1的按模最大特征值，就可以求出a的按模最小特征值)1()1()1()(1)1(/kkkkkxxyyax為避免求逆的運(yùn)算，可以解線性方程組)()1(kkyax數(shù) 學(xué) 系university of science and technology of chinadepartment of mathematics

13、若知道某一特征根若知道某一特征根 i 的大致位置的大致位置 p ，即對任意，即對任意 j i 有有| i p | | j p | ，并且如果，并且如果 (a pi) 1存在，則存在，則可以用反冪法求可以用反冪法求(a pi) 1的主特征根的主特征根 1/( i p ) ，收，收斂將非?？?。斂將非?？?。思思路路數(shù) 學(xué) 系university of science and technology of chinadepartment of mathematics7.1 jacobi方法對稱陣方法對稱陣p為n階可逆陣，則a與p1ap相似，相似陣有相同的特征值。若a對稱，則存在正交陣q(qtq=i)，使

14、得ntaqq21直接找q不大可能。我們可以構(gòu)造一系列特殊形式的正交陣q1,.,qn對a作正交變換使得對角元素比重逐次增加，非對角元變小。當(dāng)非對角元已經(jīng)小得無足輕重時(shí)，可以近似認(rèn)為對角元就是a的所有特征值。jacobi方法就是這樣一類方法。數(shù) 學(xué) 系university of science and technology of chinadepartment of mathematics1、givens旋轉(zhuǎn)變換對稱陣),(qpq為正交陣1cossinsincos1),(qpqp列q列數(shù) 學(xué) 系university of science and technology of chinadepartm

15、ent of mathematics記：)(),(),( , )(ijtijbqpaqqpqbaa則：2sin22cos2sincossin2sinsincos,cossin,sincos2222qqpppqqppqpqqqpppppqqqppppqipiqiiqqipipiipaaabbaaabaaabqpiaabbqpiaabb變換的目的是為了減少非對角元的分量，則02sin22cosqqpppqqppqaaabb數(shù) 學(xué) 系university of science and technology of chinadepartment of mathematicstan,2taaaspqpp

16、qq記則1 , 0012 , 02ststst的按模較小根所以：dttct221sin11cos數(shù) 學(xué) 系university of science and technology of chinadepartment of mathematics0,qppqpqqqpppqppppqipiqiiqqipipiipbbtaabtaabqpicadabbqpidacabb數(shù) 學(xué) 系university of science and technology of chinadepartment of mathematics2、jacobi方法取p,q使ijjipqaa max，則),(),()()1(

17、qpqaqpqaktk定理： 若a對稱，則,1)1(nkdiaga提示：可以證明)() 1(21)()1()(kkasnnas2)1()1()()(2)()(kpqkkaasas)(ka其中 是 的非對角元素的平方和)()(kas數(shù) 學(xué) 系university of science and technology of chinadepartment of mathematics 解解 記 a a(0)=a,a,取p=1,q=2,apq(0)=a12(0)=2,于是有例例 用jacobi 方法計(jì)算對稱矩陣的全部特征值.612152224a25. 02)0(12)0(22)0(11aaa78077

18、6. 0)1|/(|)sgn(,2t788206. 0)1 (cos212t615412. 0cossin,t從而有數(shù) 學(xué) 系university of science and technology of chinadepartment of mathematics所以再取p=2,q=3,apq(1)=a23(1)=2.020190,類似地可得1000788206. 0615412. 00615412. 0788206. 01000cossin0sincos)(1pqrr(1)(0)112.43844800.96106.5615522.0201900.9612.0201906tar ar241

19、166. 40724794. 00320386. 8631026. 0724794. 0631026. 0438448. 2)2(a數(shù) 學(xué) 系university of science and technology of chinadepartment of mathematics496424. 4209614. 00209614. 0320386. 8595192. 00595192. 0183185. 2)3(a496424. 4208653. 0020048. 0208653. 0377576. 80020048. 00125995. 2)4(a485239. 40020019. 00388761. 8001073. 0020019. 0001073. 0125995. 2)5(a數(shù) 學(xué) 系university of science and technology of chinadepartment of mathematics485401. 4000009. 0001072. 0000009. 0388761. 800001072.