2021屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第二章函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第三節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性教師文檔教案文北師大版

1、第三節(jié)第三節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性函數(shù)的奇偶性與周期性授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第 16 頁基礎(chǔ)梳理1函數(shù)的奇偶性奇偶性條件圖像特點(diǎn)偶函數(shù)對于函數(shù) f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè) x，都有 f(x)f(x)關(guān)于 y 軸對稱奇函數(shù)對于函數(shù) f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè) x，都有 f(x)f(x)關(guān)于原點(diǎn)對稱2.周期性(1)周期函數(shù)：對于函數(shù) yf(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù) t，使得當(dāng) x 取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有 f(xt)f(x)，那么就稱函數(shù) yf(x)為周期函數(shù)，稱 t 為這個(gè)函數(shù)的周期(2)最小正周期：如果在周期函數(shù) f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫作 f(x)的最小

2、正周期1奇、偶函數(shù)的一個(gè)必要不充分條件奇、偶函數(shù)定義域的特點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)對稱函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件2奇偶性的兩個(gè)等價(jià)定義在定義域內(nèi)恒有若 f(x)f(x)0 或f（x）f（x）1(f(x)0)，則 f(x)為奇函數(shù)，若 f(x)f(x)0 或f（x）f（x）1(f(x)0)，則 f(x)為偶函數(shù)3奇偶性的六個(gè)重要結(jié)論(1)如果一個(gè)奇函數(shù) f(x)在原點(diǎn)處有定義，即 f(0)有意義，那么一定有 f(0)0.(2)如果函數(shù) f(x)是偶函數(shù)，那么 f(x)f(x)f(|x|)(3)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類型，即 f(x)0，xd，其中定義域 d 是關(guān)于原

3、點(diǎn)對稱的非空數(shù)集(4)奇函數(shù)在兩個(gè)對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性(5)偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相同的最大(小)值，取最值時(shí)的自變量互為相反數(shù)；奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的最值互為相反數(shù)，取最值時(shí)的自變量也互為相反數(shù)(6)設(shè) f(x)，g(x)的定義域分別是 d1，d2，那么在它們的公共定義域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇4函數(shù)周期性常用的結(jié)論對 f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值 x，(1)若 f(xa)f(x)，則 t2a(a0)(2)若 f(xa)1f（x），則 t2a(a0)(3)若 f(xa)1f（x），則 t2a(a0)

4、5函數(shù)對稱性問題的結(jié)論(1)若函數(shù) yf(xa)是偶函數(shù)，即 f(ax)f(ax)，則函數(shù) yf(x)的圖像關(guān)于直線 xa 對稱；(2)若對于 r 上的任意 x 都有 f(2ax)f(x)或 f(x)f(2ax)，則 yf(x)的圖像關(guān)于直線 xa對稱；(3)若函數(shù) yf(xb)是奇函數(shù)，即 f(xb)f(xb)0，則函數(shù) yf(x)關(guān)于點(diǎn)(b，0)中心對稱四基自測1(基礎(chǔ)點(diǎn)：函數(shù)奇偶性判斷)下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為()ayx1byx3cy1xdyx|x|答案：d2(基礎(chǔ)點(diǎn)：奇函數(shù)定義)設(shè) f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng) x0 時(shí)，f(x)ex1，則 f(1)_答案：1e3(易錯(cuò)點(diǎn)：奇函數(shù)

5、)(2018高考全國卷改編)設(shè)函數(shù) f(x)x3(a1)x2ax 為奇函數(shù)，則 a_答案：14(基礎(chǔ)點(diǎn)：奇函數(shù)圖像對稱性)函數(shù) f(x)exexx2的對稱中心為_答案：(0，0)授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第 17 頁考點(diǎn)一函數(shù)奇偶性的判斷挖掘 1判斷具體函數(shù)的奇偶性/ 自主練透例 1(1)已知函數(shù) f(x)3x13x，則 f(x)()a是偶函數(shù)，且在 r r 上是增函數(shù)b是奇函數(shù)，且在 r r 上是增函數(shù)c是偶函數(shù)，且在 r r 上是減函數(shù)d是奇函數(shù)，且在 r r 上是減函數(shù)解析xr r，f(x)3x3xf(x)，f(x)為奇函數(shù)，又因 y13x為增函數(shù)，y213x為增函數(shù)，故 y3x13x為增函

6、數(shù)，故選 b.答案b(2)函數(shù) f(x)lg(x1)lg(x1)的奇偶性是()a奇函數(shù)b偶函數(shù)c非奇非偶函數(shù)d既奇又偶函數(shù)解析由x10 x10，知 x1，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故 f(x)為非奇非偶函數(shù)答案c(3)函數(shù) f(x) x21 1x2，則 f(x)為()a奇函數(shù)b偶函數(shù)c既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)d非奇非偶函數(shù)解析由x210，1x20，得 x1，f(x)的定義域?yàn)?，1又 f(1)f(1)0，f(1)f(1)0，故 f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)，故選 c.答案c破題技法1.函數(shù) yf(x)具有奇偶性，首先其定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對稱，這樣 f(x)與 f(x)才有意義2對一個(gè)函數(shù)而言，其奇

7、偶性結(jié)果為：是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，是非奇非偶函數(shù)，必具其一挖掘 2判斷非具體函數(shù)的奇偶性/ 互動探究例 2(1)已知 yf(x)滿足 f(x1)f(x1)2，則以下四個(gè)選項(xiàng)一定正確的是()af(x1)1 是偶函數(shù)bf(x1)1 是奇函數(shù)cf(x1)1 是偶函數(shù)df(x1)1 是奇函數(shù)解析根據(jù)題中條件可知函數(shù) f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1，1)中心對稱，故 f(x1)的圖像關(guān)于點(diǎn)(0，1)中心對稱，則 f(x1)1 的圖像關(guān)于點(diǎn)(0，0)中心對稱，所以 f(x1)1 是奇函數(shù)故選 d.答案d(2)設(shè)函數(shù) f(x)，g(x)的定義域都為 r r，且 f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函

8、數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是()af(x)g(x)是偶函數(shù)b|f(x)|g(x)是奇函數(shù)cf(x)|g(x)|是奇函數(shù)d|f(x)g(x)|是奇函數(shù)解析由題意可知 f(x)f(x)，g(x)g(x)，對于選項(xiàng) a，f(x)g(x)f(x)g(x)，所以f(x)g(x)是奇函數(shù)， 故a項(xiàng)錯(cuò)誤； 對于選項(xiàng)b， |f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)， 所以|f(x)|g(x)是偶函數(shù)，故 b 項(xiàng)錯(cuò)誤；對于選項(xiàng) c，f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，所以 f(x)|g(x)|是奇函數(shù)，故c 項(xiàng)正確；對于選項(xiàng) d，|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|，所以

9、|f(x)g(x)|是偶函數(shù)，故 d 項(xiàng)錯(cuò)誤，選 c.答案c破題技法判定奇偶性的方法(1)定義法：確定函數(shù)的奇偶性時(shí)，必須先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱若對稱，再化簡解析式后驗(yàn)證 f(x)f(x)或其等價(jià)形式 f(x)f(x)0 是否成立(2)圖像法：(3)性質(zhì)法：利用奇偶性的運(yùn)算關(guān)系考點(diǎn)二函數(shù)的周期性及應(yīng)用挖掘利用周期求值/ 互動探究例(1)(2018高考全國卷)已知(x)是定義域?yàn)?，)的奇函數(shù)，滿足(1x)(1x)若(1)2，則(1)(2)(3)(50)()a50b0c2d50解析(x)是奇函數(shù)，(x)(x)，(1x)(x1)由(1x)(1x)，(x1)(x1)，(x2)(x)，(x4

10、)(x2)(x)(x)，函數(shù)(x)是周期為 4 的周期函數(shù)由(x)為奇函數(shù)得(0)0.又(1x)(1x)，(x)的圖像關(guān)于直線 x1 對稱，(2)(0)0，(2)0.又(1)2，(1)2，(1)(2)(3)(4)(1)(2)(1)(0)20200，(1)(2)(3)(4)(49)(50)012(49)(50)(1)(2)202.故選 c.答案c(2)已知函數(shù) yf(x)，滿足 yf(x)和 yf(x2)是偶函數(shù)，且 f(1)3，設(shè) f(x)f(x)f(x)，則 f(3)()a.3b23cd43解析yf(x)為偶函數(shù)，則 yf(x)為偶函數(shù)，關(guān)于 x0 對稱，yf(x2)為偶函數(shù)，關(guān)于 x2 對

11、稱，t4，f(x)f(x)f(x)2f(x)，f(3)2f(3)而 f(3)f(41)f(1)f(1)3，f(3)23.故選 b.答案b破題技法1.若函數(shù)的最小正周期為 t，在圖像上表現(xiàn)為每隔 t 單位，圖像相同，只是位置不同，在函數(shù)值上表現(xiàn)為 f(xt)f(x)2求函數(shù)周期的方法方法解讀適合題型定義法具體步驟為：對于函數(shù) yf(x)，如果能夠找到一個(gè)非零常數(shù) t，使得當(dāng) x 取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有 f(xt)f(x)，那么 t 就是函數(shù) yf(x)的周期非零常數(shù) t 容易確定的函數(shù)遞推法采用遞推的思路進(jìn)行，再結(jié)合定義確定周期如：若 f(xa)f(x)，則 f(x2a)f(xa)af(xa

12、)f(x)，所以 2a 為 f(x)的一個(gè)周期含有 f(xa)與 f(x)的關(guān)系式換元法通過換元思路將表達(dá)式化簡為定義式的結(jié)構(gòu)， 如： 若 f(xa)f(xa)，令 xat，則 xta，則 f(t2a)f(taa)f(taa)f(t)，所以 2a 為 f(x)的一個(gè)周期f(bxa)f(bxc)型關(guān)系式考點(diǎn)三函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用挖掘 1利用性質(zhì)求解析式/ 互動探究例 1(1)(2019高考全國卷)設(shè) f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng) x0 時(shí)，f(x)ex1，則當(dāng) x0 時(shí)，f(x)()aex1bex1cex1dex1解析當(dāng) x0，當(dāng) x0 時(shí)，f(x)ex1，f(x)ex1.又f(x)為奇函數(shù)，f(x)f

13、(x)ex1.故選 d.答案d(2)設(shè) f(x)是定義在 r r 上以 2 為周期的偶函數(shù)，當(dāng) x0，1時(shí)，f(x)log2(x1)，則函數(shù) f(x)在1，2上的解析式是_解析令 x1，0，則x0，1，結(jié)合題意可得 f(x)f(x)log2(x1)，令 x1，2，則 x21，0，故 f(x)log2(x2)1log2(3x)故函數(shù) f(x)在1，2上的解析式是 f(x)log2(3x)答案f(x)log2(3x)挖掘 2求函數(shù)值/ 互動探究例 2(1)對任意的實(shí)數(shù) x 都有 f(x2)f(x)2f(1)，若 yf(x1)的圖像關(guān)于 x1 對稱，且f(0)2，則 f(2 019)f(2 020)

14、()a0b2c3d4解析yf(x1)的圖像關(guān)于 x1 對稱，則函數(shù) yf(x)的圖像關(guān)于 x0 對稱，函數(shù) f(x)是偶函數(shù)， 對于 f(x2)f(x)2f(1)，令 x1，則 f(12)f(1)2f(1)， 則 f(1)f(1)2f(1)0，即 f(1)0，則 f(x2)f(x)2f(1)0，即 f(x2)f(x)，則函數(shù) f(x)的周期是 2，又 f(0)2，則 f(2 019)f(2 020)f(1)f(0)022，故選 b.答案b(2)已知函數(shù) f(x)x3sin x1(xr r)，若 f(a)2，則 f(a)的值為()a3b0c1d2解析設(shè) f(x)f(x)1x3sin x，顯然 f

15、(x)為奇函數(shù)，又 f(a)f(a)11，所以 f(a)f(a)11，所以 f(a)0.故選 b.答案b挖掘 3求參數(shù)/ 互動探究例 3(1)設(shè)函數(shù) f(x)exaex(a 為常數(shù))若 f(x)為奇函數(shù)，則 a_解析f(x)為奇函數(shù)，f(x)f(x)，exaexexaex，(1a)ex(1a)ex0，a1.答案1(2)(2019高考全國卷)已知 f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng) x0 時(shí)，f(x)eax.若 f(ln 2)8，則 a_解析設(shè) x0，則x0.當(dāng) x0 時(shí)，f(x)eax，f(x)eax.f(x)是奇函數(shù)，f(x)f(x)eax，f(ln 2)ealn 2(eln 2)a2a.又f(ln 2

16、)8，2a8，a3.答案3(3)若函數(shù) f(x)xln(x ax2)為偶函數(shù)，則 a_解析由題意得 f(x)xln(xax2)f(x)xln(ax2x)，所以ax2x1ax2x，解得 a1.答案1挖掘 4解不等式、比較大小/ 互動探究例 4(1)(2017高考全國卷)函數(shù) f(x)在(，)單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)若 f(1)1，則滿足1f(x2)1 的 x 的取值范圍是()a2，2b1，1c0，4d1，3解析函數(shù) f(x)在(，)單調(diào)遞減，且 f(1)1，f(1)f(1)1，由1f(x2)1，得1x21，1x3，故選 d.答案d(2)已知函數(shù) f(x)|x|(10 x10 x)，不等式 f(12x

17、)f(3)0 的解集為()a(，2)b(2，)c(，1)d(1，)解析f(x)|x|(10 x10 x)f(x)，f(x)為奇函數(shù)，當(dāng) x0 時(shí)，f(x)x(10 x10 x)為增函數(shù)，f(x)在 r r 上是遞增函數(shù)，故 f(12x)f(3)0f(12x)f(3)f(3)，所以 12x3，解得 x2，故選 a.答案a(3)已知定義在 r r 上的奇函數(shù)滿足 f(x4)f(x)，且在區(qū)間0，2上是增函數(shù)，則()af(25)f(11)f(80)bf(80)f(11)f(25)cf(11)f(80)f(25)df(25)f(80)f(11)解析f(x4)f(x)，f(x8)f(x4)，f(x8)f(x)，f(x)的周期為 8，f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)f(14)f(1)f(1)，又奇函數(shù) f(x)在區(qū)間0，2上是增函數(shù)，f(x)在區(qū)間2，2上是增函數(shù)，f(25)f(80)f(11)，故選 d.答案d破題技法1.奇函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相同；偶函數(shù)在對稱