2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)精準(zhǔn)研析8.1數(shù)列含函數(shù)特性文含解析北師大版

1、數(shù)列核心考點(diǎn)精準(zhǔn)研析考點(diǎn)一數(shù)列的有關(guān)概念及通項(xiàng)公式1.數(shù)列an中,a1=1,當(dāng)n2且nn*時(shí),an=n2(n-1)2,則a3+a5=()a.259 b.2516c.3115d.61162.已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=n2-8n+15,則3()a.不是數(shù)列an中的項(xiàng)b.只是數(shù)列an中的第2項(xiàng)c.只是數(shù)列an中的第6項(xiàng)d.是數(shù)列an中的第2項(xiàng)或第6項(xiàng)3.數(shù)列32,-54,78,-916,的一個(gè)通項(xiàng)公式為()a.an=(-1)n2n+12nb.an=(-1)n2n+12nc.an=(-1)n+12n+12nd.an=(-1)n+12n+12n4.若數(shù)列an滿足a1=1,且對(duì)于任意的nn*都有an+

2、1=an+n+1,則1a1+1a2+1a2021等于()a.2 0212 022b.2 0202 021c.1 0101 011d.2 0211 0115.在數(shù)列an中,a1=2,an+1=an+ln1+1n,則an=世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)()a.2+ln nb.2+(n-1)ln nc.2+nln nd.1+n+ln n【解析】1.選d.因?yàn)閍n=n2(n-1)2(n2),所以a3=94,a5=2516,所以a3+a5=94+2516=3616+2516=6116.2.選d.令an=3,即n2-8n+15=3,解得n=2或6,故3是數(shù)列an中的第2項(xiàng)或第6項(xiàng).3.選d.該數(shù)列是分?jǐn)?shù)形式,分子為奇數(shù)2

3、n+1,分母是指數(shù)2n,各項(xiàng)的符號(hào)由(-1)n+1來(lái)確定,所以d選項(xiàng)正確.4.選d.由an+1=an+n+1,得an+1-an=n+1,則a2-a1=1+1,a3-a2=2+1,a4-a3=3+1,an-an-1=(n-1)+1,以上等式相加,得an-a1=2+3+(n-1)+n,把a(bǔ)1=1代入上式得an=1+2+3+(n-1)+n=n(n+1)2,所以1an=2n(n+1)=21n-1n+1,則1a1+1a2+1a2 021=21-12+12-13+12 021-12 022=21-12 022=2 0211 011.5.選a.因?yàn)閍n+1=an+ln1+1n,所以an-an-1=ln1+1

4、n-1=lnnn-1(n2),所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=lnnn-1+lnn-1n-2+ln32+ln 2+2=2+lnnn-1n-1n-2322=2+ln n(n2).又a1=2適合上式,故an=2+ln n(nn*).將t3改為已知數(shù)列的前4項(xiàng)為2,0,2,0,則依此歸納該數(shù)列的通項(xiàng)不可能是()a.an=(-1)n-1+1b.an=2,n為奇數(shù),0,n為偶數(shù)c.an=2sinn2d.an=cos(n-1)+1【解析】選c.對(duì)n=1,2,3,4進(jìn)行驗(yàn)證,an=2sinn2不合題意.1.由前幾項(xiàng)歸納數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法及具體策略(1)常用方法

5、:觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列)、聯(lián)想(聯(lián)想常見的數(shù)列)等方法.(2)具體策略:分式中分子、分母的特征;相鄰項(xiàng)的變化特征;各項(xiàng)的符號(hào)特征和絕對(duì)值特征;對(duì)于分式還可以考慮對(duì)分子、分母各個(gè)擊破,或?qū)ふ曳肿?、分母之間的關(guān)系;對(duì)于符號(hào)交替出現(xiàn)的情況,可用(-1)k或(-1)k+1,kn*處理.2.遞推公式推導(dǎo)通項(xiàng)公式的方法(1)累加法:an+1-an=f(n).(2)累乘法: an+1an=f(n).(3)待定系數(shù)法:an+1=pan+q(其中p,q均為常數(shù),pq(p-1)0).把原遞推公式轉(zhuǎn)化為:an+1-t=p(an-t),其中t=q1-p,再利用換元法轉(zhuǎn)化為

6、等比數(shù)列求解.【秒殺絕招】1.代入法解t2根據(jù)選項(xiàng)可直接把n=2或n=6代入檢驗(yàn).2.特值檢驗(yàn)法解t3先利用排除法排除a、b,然后可直接把n=3代入檢驗(yàn)排除c.考點(diǎn)二an與sn的關(guān)系及其應(yīng)用【典例】1.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn,且sn=2(an-1)(nn*),則an=()a.2nb.2n-1c.2nd.2n-12.設(shè)sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和,且a1=-1,an+1=snsn+1,求an.世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)【解題導(dǎo)思】序號(hào)聯(lián)想解題1(1)看到an與sn的關(guān)系,想到利用an=sn-sn-1(n2)轉(zhuǎn)化為an與an-1的關(guān)系(2)也可以先檢驗(yàn)n=1,n=2,n=3進(jìn)行排除2(1)利用an+1=sn+

7、1-sn轉(zhuǎn)化為sn+1與sn的關(guān)系(2)求得sn,代入an=sn-sn-1(n2)得an,并檢驗(yàn)n=1是否成立【解析】1.選c.當(dāng)n=1時(shí),a1=s1=2(a1-1),可得a1=2,當(dāng)n2時(shí),an=sn-sn-1=2an-2an-1,所以an=2an-1,所以數(shù)列an為首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,所以an=2n.【一題多解】選c.利用遞推關(guān)系求出a1=2,a2=4,a3=8,易確定c.2.由已知得an+1=sn+1-sn=sn+1sn,兩邊同時(shí)除以sn+1sn,得1sn+1-1sn=-1,故數(shù)列1sn是以-1為首項(xiàng),-1為公差的等差數(shù)列,則1sn=-1-(n-1)=-n,所以sn=-1n.當(dāng)

8、n2時(shí),an=sn-sn-1=-1n+1n-1=1n(n-1),故an=-1(n=1),1n(n-1)(n2).【答題模板微課】本例題2的模板化過程:建模板:當(dāng)n=1時(shí),a1=s1=-1,求首項(xiàng)當(dāng)n2時(shí),an=sn-sn-1=-1n+1n-1=1n(n-1), 作差求通項(xiàng)經(jīng)檢驗(yàn)a1=-1不適合an=1n(n-1),檢驗(yàn)故an=-1(n=1),1n(n-1)(n2).結(jié)論套模板:已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn=n2+2n+1,則an=_.【解析】當(dāng)n=1時(shí),a1=s1=1+2+1=4,求首項(xiàng)當(dāng)n2時(shí),an=sn-sn-1=2n+1,作差求通項(xiàng)經(jīng)檢驗(yàn)a1=4不適合an=2n+1,檢驗(yàn)故an=4(n=1

9、),2n+1(n2).結(jié)論答案:4(n=1),2n+1(n2)1.已知sn求an的三個(gè)步驟(1)先利用a1=s1求出a1.(2)用n-1替換sn中的n得到一個(gè)新的關(guān)系,利用an=sn-sn-1(n2)便可求出當(dāng)n2時(shí)an的表達(dá)式.(3)注意檢驗(yàn)n=1時(shí)的表達(dá)式是否可以與n2的表達(dá)式合并.2.sn與an關(guān)系問題的求解思路根據(jù)所求結(jié)果的不同要求,將問題向不同的兩個(gè)方向轉(zhuǎn)化.(1)利用an=sn-sn-1(n2)轉(zhuǎn)化為只含sn,sn-1的關(guān)系式,再求解.(2)利用sn-sn-1=an(n2)轉(zhuǎn)化為只含an,an-1的關(guān)系式,再求解.1.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn=2n-3,則數(shù)列an的通項(xiàng)公式是_.

10、【解析】當(dāng)n=1時(shí),a1=s1=2-3=-1;當(dāng)n2時(shí),an=sn-sn-1=(2n-3)-(2n-1-3)=2n-2n-1=2n-1.當(dāng)n=1時(shí)不滿足,故an=-1,n=1,2n-1,n2.答案:an=-1,n=1,2n-1,n22.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn,a1=1,sn=2an+1,則sn=()a.2n-1b.32n-1c.23n-1d.12n-1【解析】選b.由已知sn=2an+1得sn=2(sn+1-sn),即2sn+1=3sn,sn+1sn=32,而s1=a1=1,所以sn=32n-1.【變式備選】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn,求an的通項(xiàng)公式.(1)sn=2n2-3n.(2)

11、sn=3n+b.【解析】(1)當(dāng)n=1時(shí),a1=s1=2-3=-1;當(dāng)n2時(shí),an=sn-sn-1=(2n2-3n)-2(n-1)2-3(n-1)=4n-5.由于a1也適合此等式,所以an=4n-5.(2)a1=s1=3+b,當(dāng)n2時(shí),an=sn-sn-1=(3n+b)-(3n-1+b)=23n-1.當(dāng)b=-1時(shí),a1適合此等式;當(dāng)b-1時(shí),a1不適合此等式.所以當(dāng)b=-1時(shí),an=23n-1;當(dāng)b-1時(shí),an=3+b,n=1,23n-1,n2.考點(diǎn)三數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用命題精解讀1.考什么:考查數(shù)列的單調(diào)性、周期性、最值問題2.怎么考:因?yàn)閿?shù)列可以看作是一類特殊的函數(shù)值,所以數(shù)列也具備函數(shù)應(yīng)具

12、備的性質(zhì),因此常常以數(shù)列為載體,考查單調(diào)性、周期性以及最值等問題.解題過程中常常滲透邏輯推理的核心素養(yǎng).3.新趨勢(shì):由遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式考查求通項(xiàng)公式的方法成為考試的新趨勢(shì)學(xué)霸好方法1.解決數(shù)列單調(diào)性問題的三種方法(1)作差比較法(2)作商比較法(3)結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖像直觀判斷.2.解決數(shù)列周期性問題的方法先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng),確定數(shù)列的周期,再根據(jù)周期性求值.3.求數(shù)列最大項(xiàng)或最小項(xiàng)的方法(1)利用不等式組an-1an,anan+1(n2)找到數(shù)列的最大項(xiàng);(2)利用不等式組an-1an,anan+1(n2)找到數(shù)列的最小項(xiàng).4.交匯問題數(shù)列的函數(shù)特性可利用數(shù)形結(jié)合、分類討論進(jìn)行解

13、題數(shù)列的單調(diào)性【典例】已知遞增數(shù)列an,an0,a1=0.對(duì)于任意的正整數(shù)n,不等式t2-an2-3t-3an0恒成立,則正數(shù)t的最大值為()a.1b.2c.3d.6【解析】選c.因?yàn)閿?shù)列an是遞增數(shù)列,又t2-an2-3t-3an=(t-an-3)(t+an)0,t+an0,所以tan+3恒成立,t(an+3)min=a1+3=3,所以tmax=3.在數(shù)列的恒成立問題中,若涉及求參數(shù)的最值問題時(shí),如何進(jìn)行合理地轉(zhuǎn)化?提示:在涉及求參數(shù)的最值問題時(shí),常常與已知數(shù)列的單調(diào)性有關(guān),因此解決這類問題,需要先判斷該數(shù)列的單調(diào)性.數(shù)列的周期性【典例】若數(shù)列an滿足a1=2,an+1=1+an1-an,則

14、a2 022的值為世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)()a.2b.-3c.-12d.13【解析】選b.因?yàn)閍1=2,an+1=1+an1-an,所以a2=1+a11-a1=-3,同理可得:a3=-12,a4=13,a5=2,a6=-3,a7=-12,a8=13,可得an+4=an,則a2 022=a5054+2=a2=-3.在求數(shù)列中某一項(xiàng)的值,特別是該項(xiàng)的序號(hào)較大時(shí),應(yīng)該考慮如何求解?提示:在求數(shù)列中某一項(xiàng)的值,特別是該項(xiàng)的序號(hào)較大時(shí),應(yīng)該考慮該數(shù)列是否具有周期性,利用周期性即可求出該數(shù)列中的某一項(xiàng).數(shù)列中的最值【典例】數(shù)列an的通項(xiàng)為an=2n-1,n4,-n2+(a-1)n,n5(nn*),若a5是an中的

15、最大值,則a的取值范圍是_.世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)【解析】當(dāng)n4時(shí),an=2n-1單調(diào)遞增,因此n=4時(shí)取最大值,a4=24-1=15.當(dāng)n5時(shí),an=-n2+(a-1)n=-n-a-122+(a-1)24.因?yàn)閍5是an中的最大值,所以a-125.5,-25+5(a-1)15,解得9a12.所以a的取值范圍是9,12.答案:9,12當(dāng)數(shù)列涉及最大項(xiàng)或最小項(xiàng)問題時(shí),除了用不等式組求解,還可以考慮什么方法?提示:解決數(shù)列的最值問題,除了用不等式組求解,還可以將數(shù)列看作某個(gè)函數(shù),利用求函數(shù)的最值的方法求數(shù)列的最值.1.在數(shù)列an中,a1=2,an+1=-1an+1,則a2 020等于()a.2b.-13c

16、.-32d.1【解析】選a.因?yàn)閍2=-1a1+1=-13,a3=-1a2+1=-32,a4=-1a3+1=2,所以a3n+1=2,a3n+2=-13,a3n+3=-32,所以a2 020=a3673+1=2.2.已知數(shù)列an滿足an=n+13n-16(nn*),則數(shù)列an的最小項(xiàng)是第_項(xiàng).【解析】因?yàn)閍n=n+13n-16,所以數(shù)列an的最小項(xiàng)必為an0,即n+13n-160,3n-160,從而n0,即-2n-1對(duì)一切nn*恒成立.因?yàn)閚=1時(shí),-2n-1取得最大值-3,所以-3,即(-3,+).【一題多解】函數(shù)f(n)=n2+n的圖像的對(duì)稱軸是n=-2,如圖,只需要-2-3,即(-3,+).1.(2020石家莊模擬)已知在正項(xiàng)等比數(shù)列an中,a2 020=4a2 018,a2+a4=20,則a2 020的個(gè)位數(shù)字是()a.2b.4c.6d.8【解析】選c.設(shè)公比為q(q0),依題意得q2=4,a1q+a1q3=20,解得a1=q=2,故a2 020=222 019=22 020,注意到21