一扭轉(zhuǎn)變形相對(duì)扭轉(zhuǎn)角

1、一、扭轉(zhuǎn)變形：（相對(duì)扭轉(zhuǎn)角）一、扭轉(zhuǎn)變形：（相對(duì)扭轉(zhuǎn)角）pgitdxddxgitlp扭轉(zhuǎn)角單位：弧度扭轉(zhuǎn)角單位：弧度（rad） gip抗扭剛度抗扭剛度。dxgitdppgitlpiiigilt單位長(zhǎng)度的扭轉(zhuǎn)角單位長(zhǎng)度的扭轉(zhuǎn)角mrad二、二、 扭轉(zhuǎn)桿的變形和剛度計(jì)算扭轉(zhuǎn)桿的變形和剛度計(jì)算扭轉(zhuǎn)變形與內(nèi)力計(jì)算式扭轉(zhuǎn)變形與內(nèi)力計(jì)算式扭矩不變的等直軸扭矩不變的等直軸pgitdxd各段扭矩為不同值的階梯軸各段扭矩為不同值的階梯軸 # 圖示階梯圓桿，如各段材料圖示階梯圓桿，如各段材料也不同，也不同，ab 兩截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角兩截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為：為： # 圖示等直圓桿受分布扭矩圖示等直圓桿受分布扭矩 t 作用

2、，作用，t 的單位為的單位為 。n m m 13nniia bipimlng i t 從中取從中取 dx 段，段，dx 段兩相鄰截面段兩相鄰截面的扭轉(zhuǎn)角為：的扭轉(zhuǎn)角為： npmx dxdgi tab 截面相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為：截面相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為： nllpmx dxdgi t 從中取從中取 dx 段，該段相鄰兩截段，該段相鄰兩截面的扭轉(zhuǎn)角為：面的扭轉(zhuǎn)角為： # 圖示為變截面圓桿，圖示為變截面圓桿，a、b 兩端直徑分別為兩端直徑分別為 d1、d2 。 dxxgitdp)(ab 截面相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為：截面相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為： dxxgitdlpl)(單位長(zhǎng)度的扭轉(zhuǎn)角單位長(zhǎng)度的扭轉(zhuǎn)角mradpgitdxd 圓軸受扭時(shí)，

3、除滿足強(qiáng)度條件外，還須滿足一定的剛度要求。圓軸受扭時(shí)，除滿足強(qiáng)度條件外，還須滿足一定的剛度要求。通常是限制單位長(zhǎng)度上的最大扭轉(zhuǎn)角不超過規(guī)范給定的許用值通常是限制單位長(zhǎng)度上的最大扭轉(zhuǎn)角不超過規(guī)范給定的許用值圓軸受扭時(shí)剛度條件可寫作圓軸受扭時(shí)剛度條件可寫作 )(maxmaxmax）或（ppgitgit 0maxmax180)(pgitm3 3、剛度條件應(yīng)用：、剛度條件應(yīng)用：1)1)、校核剛度、校核剛度； max max pgmin3)3)、確定外載荷、確定外載荷: :2)2)、設(shè)計(jì)截面尺寸、設(shè)計(jì)截面尺寸: : maxpngimm三、三、 扭轉(zhuǎn)桿的剛度計(jì)算扭轉(zhuǎn)桿的剛度計(jì)算例例 已知：已知：ma =

4、180 n.m， mb = 320 n.m， mc = 140 n.m，ip= 3105 mm4，l = 2 m，g = 80 gpa， = 0.5 ( )/m 。 ac=? 校校核軸的剛度核軸的剛度解：解：1. 1. 內(nèi)力、變形分析內(nèi)力、變形分析mn 1801 amtmn 1402 cmtrad 101.502-p1 giltab rad 101.172-p2 giltbc bcabac rad 1033. 01017. 1101.502-2-22. 2. 剛度校核剛度校核p111ddgitxp222ddgitxp11maxmaxdd gitx故故 m/ )( 43. 0180)m1010p

5、a)(3.010(80mn 180412-59max軸的剛度足夠例例 試計(jì)算圖示圓錐形軸的總扭轉(zhuǎn)角試計(jì)算圖示圓錐形軸的總扭轉(zhuǎn)角解：解：32)()(4pxdxi mt lxxdddgm0 4121d2132 32311211)-(332ddddgmlxldddxd121)( lxxgitd )( p 例例 長(zhǎng)長(zhǎng) l=2 m的圓桿受均布力偶的圓桿受均布力偶 m=20 nm/m的作用，桿的內(nèi)外徑之比為的作用，桿的內(nèi)外徑之比為 =0.8，g=80 gpa，許用剪應(yīng)力許用剪應(yīng)力 =30 mpa，試設(shè)計(jì)桿的外徑；若試設(shè)計(jì)桿的外徑；若 =2/m，試校核試校核此桿的剛度，并求右端面相對(duì)于左端面的轉(zhuǎn)角。此桿的剛

6、度，并求右端面相對(duì)于左端面的轉(zhuǎn)角。解解：1.作扭矩圖作扭矩圖l-x)(20)()(xlxlmxt)(40220maxmnttx40 116d max43twp）（2.2.設(shè)計(jì)桿的外徑設(shè)計(jì)桿的外徑314max 116）（tdmaxpwt 例例 長(zhǎng)長(zhǎng) l=2 m的圓桿受均布力偶的圓桿受均布力偶 m =20 nm/m的作用，桿的內(nèi)外徑之比為的作用，桿的內(nèi)外徑之比為 =0.8，g=80 gpa，許用剪應(yīng)力許用剪應(yīng)力 =30 mpa，試設(shè)計(jì)桿的外徑；若試設(shè)計(jì)桿的外徑；若 =2/m，試校核此桿的剛度，并求右端面相對(duì)于左端面的轉(zhuǎn)角。試校核此桿的剛度，并求右端面相對(duì)于左端面的轉(zhuǎn)角。l-xtx40代入數(shù)值得：代

7、入數(shù)值得： d 0.0226m。314max 116）（td3. 3. 由扭轉(zhuǎn)剛度條件校核剛度由扭轉(zhuǎn)剛度條件校核剛度180maxmaxpgit)1 (108018040324429d m/89. 1剛度足夠剛度足夠 例例 長(zhǎng)長(zhǎng) l=2 m的圓桿受均布力偶的圓桿受均布力偶 m=20 nm/m的作用，桿的內(nèi)外徑之比為的作用，桿的內(nèi)外徑之比為 =0.8，g=80 gpa，許用剪應(yīng)力許用剪應(yīng)力 =30 mpa，試設(shè)計(jì)桿的外徑；若試設(shè)計(jì)桿的外徑；若 =2/m，試試校核此桿的剛度，并求右端面相對(duì)于左端面的轉(zhuǎn)角。校核此桿的剛度，并求右端面相對(duì)于左端面的轉(zhuǎn)角。l-xtx404. 4. 右端面轉(zhuǎn)角右端面轉(zhuǎn)角為：

8、為：lpdxgixt0)(lpdxgixlm0)(pgiml22弧度）( 033. 0例例 實(shí)心圓軸受力如圖示，已知材料的實(shí)心圓軸受力如圖示，已知材料的試設(shè)計(jì)軸的直徑試設(shè)計(jì)軸的直徑 d 。 980,0.3,80 10mpam gpa 扭矩圖扭矩圖解解 （一）繪制扭矩圖如圖。（一）繪制扭矩圖如圖。 （二）由強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)（二）由強(qiáng)度條件設(shè)計(jì) d 。 解得：解得： 66dmm （三）由剛度條件設(shè)計(jì)（三）由剛度條件設(shè)計(jì) d 。 解得：解得： 102dmm 從以上計(jì)算可知，該軸直徑應(yīng)由剛度條件確定，選用從以上計(jì)算可知，該軸直徑應(yīng)由剛度條件確定，選用 d=102mm 。 mknt5 . 4maxmaxma

9、xpwt 16d max3twp180maxmaxpgit 18032d max4gtip 例例 有一階梯形圓軸，軸上裝有三個(gè)皮帶輪如圖有一階梯形圓軸，軸上裝有三個(gè)皮帶輪如圖a所示。軸的直徑所示。軸的直徑分別為分別為d140mm，d270mm。已知作用在軸上的外力偶矩分別為。已知作用在軸上的外力偶矩分別為t10.62 knm，t20.81 knm，t31.43 knm。材料的許用切應(yīng)力。材料的許用切應(yīng)力 =60 mpa，g8104 mpa，軸的許用單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角為，軸的許用單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角為2/m，試校核該軸的強(qiáng)度和剛度。，試校核該軸的強(qiáng)度和剛度。 解（解（1 1）作出扭矩圖）作出扭矩圖 （2

10、2）強(qiáng)度校核）強(qiáng)度校核 由于由于ac 段和段和bd 段的直徑不相段的直徑不相同，橫截面上的扭矩也不相同，因同，橫截面上的扭矩也不相同，因此，對(duì)于此，對(duì)于ac 段軸和段軸和bd 段軸的強(qiáng)度段軸的強(qiáng)度都要進(jìn)行校核。都要進(jìn)行校核。0.62 knm1.43 knmac 段段mpampadwmn604 .4910)40(1610621. 01610621. 09333max31mpampadwmn602 .2110)70(161043. 1161043. 19333max32bd 段段 （3 3）剛度校核）剛度校核ac 段段 mmgimon/2/77. 118010)40(32101081062. 01

11、24643maxmmgimoon/2/434. 018010)70(32101081043. 1124643maxbd 段段 計(jì)算結(jié)果表明，軸的強(qiáng)度和剛度是足夠的。計(jì)算結(jié)果表明，軸的強(qiáng)度和剛度是足夠的。0.62 knm1.43 knm例 試求圖示軸兩端的反力偶矩解解: : 受力分析,建立平衡方程(a) 0 , 0mmmmbax未知力偶矩2個(gè)，平衡方程1個(gè)，一次超靜定四、扭轉(zhuǎn)超靜定問題四、扭轉(zhuǎn)超靜定問題變形分析,列變形協(xié)調(diào)方程0 cbacab (b) 0bmamba聯(lián)立求解方程(a)與(b) bamambambmba ，p1giatac p)(giama p2gibtcb pgibmb 建立補(bǔ)充

12、方程代入上式例例 長(zhǎng)為長(zhǎng)為 l=2 m 的圓桿受均布力偶的圓桿受均布力偶 m=20 nm/m 的作用，如圖，若的作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為桿的內(nèi)外徑之比為 =0.8 ，外徑，外徑 d=0.0226 m ，g=80 gpa，試試求：固定端的反力偶。求：固定端的反力偶。解解：桿的受力圖桿的受力圖02mmmba幾何方程：幾何方程：0ba 物理方程：物理方程：lpbadxgixt0)(mn 20 am 由平衡方程得由平衡方程得：另另: :此題可由對(duì)稱性直接求得結(jié)果。此題可由對(duì)稱性直接求得結(jié)果。mn 20bmxlpbadxgixt0)(0)(ammxxt0 xmmxmxta)(xma202020dx

13、gixmpa0402pagim0ba02mmmba平衡方程平衡方程幾何方程幾何方程)(xtxam7-6 7-6 圓軸扭轉(zhuǎn)破壞分析圓軸扭轉(zhuǎn)破壞分析低碳鋼試件低碳鋼試件：沿橫截面斷開。：沿橫截面斷開。鑄鐵試件：鑄鐵試件：沿與軸線約成沿與軸線約成4545 的螺旋的螺旋線斷開。線斷開。 材料抗拉能力差，構(gòu)材料抗拉能力差，構(gòu)件沿件沿4545斜截面因拉應(yīng)力而斜截面因拉應(yīng)力而破壞（脆性材料）。破壞（脆性材料）。 材料抗剪切能力差，構(gòu)材料抗剪切能力差，構(gòu)件沿橫截面因切應(yīng)力而發(fā)生件沿橫截面因切應(yīng)力而發(fā)生破壞破壞( (塑性材料）；塑性材料）； x分析方法分析方法取單元體（單元體上的應(yīng)力認(rèn)為是均勻分布的）取單元體（

14、單元體上的應(yīng)力認(rèn)為是均勻分布的）, 0n, 0t2sin2cos設(shè)：設(shè)：ef 邊的面積為邊的面積為 da 則則 xntefbeb 邊的面積為邊的面積為dacos bf 邊的面積為邊的面積為dasin 0sin)sin(cos)cos(dadadasin)cos(dadacos)sin(da0 若材料抗拉壓能力差，構(gòu)件沿若材料抗拉壓能力差，構(gòu)件沿4545斜截面發(fā)生破壞（脆性材料）。斜截面發(fā)生破壞（脆性材料）。結(jié)論：結(jié)論： 若材料抗剪切能力差，構(gòu)件沿橫截面發(fā)生破壞若材料抗剪切能力差，構(gòu)件沿橫截面發(fā)生破壞( (塑性材料）；塑性材料）；2cos ; 2sin 分析：分析： 45:,)1minmax,4

15、50;max,450;min:)2max,0;max橫截面上！橫截面上！7-7 7-7 矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)常見的非圓截面受扭桿為矩形截面桿和薄壁桿件圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí) 橫截面保持為平面；橫截面保持為平面；非圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)非圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面由平面變?yōu)闄M截面由平面變?yōu)榍妫òl(fā)生翹曲）。曲面（發(fā)生翹曲）。非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的研究方法：彈性力學(xué)的方法研究彈性力學(xué)的方法研究非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的分類：1 1、自由扭轉(zhuǎn)（純扭轉(zhuǎn)），、自由扭轉(zhuǎn)（純扭轉(zhuǎn)）， 2 2、約束扭轉(zhuǎn)、約束扭轉(zhuǎn)。自由扭轉(zhuǎn)自由扭轉(zhuǎn)：各橫截面翹曲程度不受任何約束（可自由凹凸），：各橫截面翹曲程度不受任何約束（可自由凹凸）， 任意兩

16、相鄰截面翹曲程度相同。任意兩相鄰截面翹曲程度相同。應(yīng)力特點(diǎn)：應(yīng)力特點(diǎn)：橫截面上正應(yīng)力等于零，切應(yīng)力不等于零。橫截面上正應(yīng)力等于零，切應(yīng)力不等于零。約束扭轉(zhuǎn)約束扭轉(zhuǎn)：由于約束條件或受力限制，造成桿各橫截面翹由于約束條件或受力限制，造成桿各橫截面翹 曲程度不同。曲程度不同。應(yīng)力特點(diǎn)：應(yīng)力特點(diǎn)：橫截面上正應(yīng)力不等于零，切應(yīng)力不等于零。橫截面上正應(yīng)力不等于零，切應(yīng)力不等于零。1、 橫截面上角點(diǎn)處，切應(yīng)力為零2、 橫截面邊緣各點(diǎn)處，切應(yīng)力 / 截面周邊3、 橫截面周邊長(zhǎng)邊中點(diǎn)處，切應(yīng)力最大021 0 21 故故0n 0 n 故故矩形截面桿自由扭轉(zhuǎn)時(shí)應(yīng)力分布特點(diǎn)矩形截面桿自由扭轉(zhuǎn)時(shí)應(yīng)力分布特點(diǎn)（彈性力學(xué)解）（彈性力學(xué)