初等數(shù)論練習(xí)題二含答案

1、初等數(shù)論期末練習(xí)一一、單項(xiàng)選擇題1、如果，則( ).a b c d 2、如果，則15（ ）.a 整除 b 不整除 c 等于 d不一定3、在整數(shù)中正素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)（ ）.a 有1個(gè) b 有限多 c 無(wú)限多 d 不一定4、如果,是任意整數(shù),則a b c t d 5、如果( ),則不定方程有解.a b c d 6、整數(shù)5874192能被( )整除.a 3 b 3與9 c 9 d 3或97、如果，則30（ ）.a 整除 b 不整除 c 等于 d不一定8、大于10且小于30的素?cái)?shù)有（ ）.a 4個(gè) b 5個(gè) c 6個(gè) d 7個(gè)9、模5的最小非負(fù)完全剩余系是( ).a -2,-1,0,1,2 b -5,-4,

2、-3,-2,-1 c 1,2,3,4,5 d 0,1,2,3,410、整數(shù)637693能被( )整除.a 3 b 5 c 7 d 9二、填空題1、素?cái)?shù)寫(xiě)成兩個(gè)平方數(shù)和的方法是（ ）.2、同余式有解的充分必要條件是( ).3、如果是兩個(gè)正整數(shù),則不大于而為的倍數(shù)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)為( ).4、如果是素?cái)?shù),是任意一個(gè)整數(shù),則被整除或者( ).5、的公倍數(shù)是它們最小公倍數(shù)的( ).6、如果是兩個(gè)正整數(shù),則存在( )整數(shù),使,.7、設(shè)是素?cái)?shù),則不定方程有（ ）.8、如果同余式有解,則解的個(gè)數(shù)( ).9、在176與545之間有( )是13的倍數(shù).10、如果,則=( ).11、如果,那么=( ).三、計(jì)算題1

3、、求136,221,391=?2、求解不定方程.3、解同余式.4、求,其中563是素?cái)?shù). （8分）5、求24871,3468=?6、求解不定方程.7、解同余式.8、求17的平方剩余與平方非剩余.四、證明題1、證明對(duì)于任意整數(shù),數(shù)是整數(shù).2、證明相鄰兩個(gè)整數(shù)的立方之差不能被5整除.3、證明形如的整數(shù)不能寫(xiě)成兩個(gè)平方數(shù)的和.4、如果整數(shù)的個(gè)位數(shù)是5,則該數(shù)是5的倍數(shù).5、證明相鄰兩個(gè)偶數(shù)的乘積是8的倍數(shù).初等數(shù)論期末練習(xí)一答案一、單項(xiàng)選擇題1、d. 2、a 3、c 4、a 5、a 6、b 7、a 8、c 9、d 10、c二、填空題1、素?cái)?shù)寫(xiě)成兩個(gè)平方數(shù)和的方法是（唯一的）.2、同余式有解的充分必要

4、條件是().3、如果是兩個(gè)正整數(shù),則不大于而為的倍數(shù)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)為( ).4、如果是素?cái)?shù),是任意一個(gè)整數(shù),則被整除或者( 與互素 ).5、的公倍數(shù)是它們最小公倍數(shù)的( 倍數(shù) ).6、如果是兩個(gè)正整數(shù),則存在( 唯一 )整數(shù),使,.7、設(shè)是素?cái)?shù),則不定方程有（ 唯一解 ）.8、如果同余式有解,則解的個(gè)數(shù)( ).9、在176與545之間有( 28 )是13的倍數(shù).10、如果,則=( ).11、如果,那么=( 1 ).三、計(jì)算題1、 求136,221,391=?（8分）解 136,221,391=136,221,391 =1768,391 = =104391=40664. 2、求解不定方程.（8分

5、） 解：因?yàn)椋?，21）=3，所以有解； 化簡(jiǎn)得； 考慮，有， 所以原方程的特解為， 因此，所求的解是。 3、解同余式. （8分）解 因?yàn)?12,45)=35,所以同余式有解,而且解的個(gè)數(shù)為3. 又同余式等價(jià)于,即. 我們利用解不定方程的方法得到它的一個(gè)解是(10,3), 即定理4.1中的. 因此同余式的3個(gè)解為, , .4、求,其中563是素?cái)?shù). （8分）解 把看成jacobi符號(hào),我們有,即429是563的平方剩余. 5、求24871,3468=?（8分） 解：因?yàn)椋?4871,3468）=17 , 所以 24871,3468= =5073684 6、求解不定方程.（8分） 解：因?yàn)?,所

6、以有解; 考慮,; 所以是特解, 即原方程的解是 7、解同余式.（8分）解 因?yàn)?111,321)=375,所以同余式有3個(gè)解. 將同余式化簡(jiǎn)為等價(jià)的同余方程 . 我們?cè)俳獠欢ǚ匠? 得到一解(-8,3). 于是定理4.1中的. 因此同余式的3個(gè)解為, , . 8、求17的平方剩余與平方非剩余.(8分)解 因?yàn)?所以平方剩余與平方非剩余各有8個(gè). 又因?yàn)?, , 所以,1,2,4,8,9,13,15,16是素?cái)?shù)17的8個(gè)平方剩余.其它的8個(gè)數(shù)3,5,6,7,10,11,12,14是素?cái)?shù)17的平方非剩余. 四、證明題1、證明對(duì)于任意整數(shù),數(shù)是整數(shù). (10分) 證明 因?yàn)?, 而且兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的

7、乘積是2的倍數(shù),3個(gè)連續(xù)整數(shù)的乘積是3的倍數(shù), 并且(2,3)=1, 所以從和有,即是整數(shù). -（1分）2、證明相鄰兩個(gè)整數(shù)的立方之差不能被5整除. （11分） 證明 因?yàn)? 所以只需證明.而我們知道模5的完全剩余系由-2,-1,0,1,2構(gòu)成,所以這只需將n=0,1,2代入分別得值1，7，1，19，7.對(duì)于模5, 的值1，7，1，19，7只與1，2，4等同余, 所以 所以相鄰兩個(gè)整數(shù)的立方之差不能被5整除。 3、證明形如的整數(shù)不能寫(xiě)成兩個(gè)平方數(shù)的和. （11分） 證明: 設(shè)是正數(shù),并且, 如果, 則因?yàn)閷?duì)于模4,只與0,1,2,-1等同余, 所以只能與0,1同余, 所以, 而這與的假設(shè)不符, 即定理的結(jié)論成立. 4、如果整數(shù)的個(gè)位數(shù)是5,則該數(shù)是5的倍數(shù).（11分）證明: 設(shè)是一正整數(shù),并將寫(xiě)成10進(jìn)位數(shù)的形式: