競賽講座02整數(shù)的整除性

1、精品資源競賽講座 02整數(shù)的整除性1整數(shù)的整除性的有關(guān)概念、性質(zhì)（ 1） 整除的定義：對于兩個(gè)整數(shù) a、d（d0），若存在一個(gè)整數(shù)p，使得成立，則稱 d 整除 a，或 a 被 d 整除，記作 d|a 。若 d 不能整除 a，則記作 d a ，如 2|6 ，4 6 。（ 2）性質(zhì)1）若 b|a ，則 b|(-a)，且對任意的非零整數(shù)m有 bm|am2）若 a|b ，b|a ，則 |a|=|b|;3）若 b|a ，c|b ，則 c|a4）若 b|ac ，而（ a，b）=1（ a，b）=1 表示 a、 b 互質(zhì)，則 b|c ；5）若 b|ac ，而 b 為質(zhì)數(shù)，則 b|a ，或 b|c ；6） 若

2、c|a ，c|b ，則 c| （ ma+nb），其中 m、n 為任意整數(shù)（這一性質(zhì)還可以推廣到更多項(xiàng)的和）例 1 （1987 年北京初二數(shù)學(xué)競賽題） x，y，z 均為整數(shù)，若 11（7x+2y-5z ），求證： 11（ 3x-7y+12z ）。證明 4(3x -7y+12z)+3(7x+2y-5z)=11(3x-2y+3z)而1111(3x-2y+3z),且11 (7x+2y-5z),11 4(3x-7y+12z)又(11,4)=111(3x-7y+12z).2. 整除性問題的證明方法(1) 利用數(shù)的整除性特征（見第二講）例 2（1980 年加拿大競賽題）設(shè)72的值。解 72=89，且（ 8，

3、9）=1，所以只需討論8、9 都整除的值。若 8，則 8，由除法可得。若 9，則 9（ a+6+7+9+2），得 a=3。（ 2）利用連續(xù)整數(shù)之積的性質(zhì) 任意兩個(gè)連續(xù)整數(shù)之積必定是一個(gè)奇數(shù)與一個(gè)偶數(shù)之一積， 因此一定可被 2 整除。 任意三個(gè)連續(xù)整數(shù)之中至少有一個(gè)偶數(shù)且至少有一個(gè)是 3 的倍數(shù)，所以它們之積一定可以被 2 整除，也可被 3 整除，所以也可以被 23=6 整除。這個(gè)性質(zhì)可以推廣到任意個(gè)整數(shù)連續(xù)之積。例 3（1956 年北京競賽題）證明：對任何整數(shù) n 都為整數(shù)，且用3除時(shí)余 2。證明歡迎下載精品資源為連續(xù)二整數(shù)的積 , 必可被 2 整除 .對任何整數(shù) n 均為整數(shù) ,為整數(shù) ,

4、即原式為整數(shù) .又，2n、2n+1、2n+2 為三個(gè)連續(xù)整數(shù)，其積必是3 的倍數(shù)，而 2 與 3 互質(zhì)，是能被 3 整除的整數(shù) .故被 3除時(shí)余 2.例 4一整數(shù) a 若不能被 2 和 3 整除，則 a2+23 必能被 24 整除 .證明222a+23=（a -1） +24，只需證 a -1 可以被 24 整除即可 .2. a為奇數(shù) . 設(shè) a=2k+1(k 為整數(shù) ),則 a2-1=(2k+1) 2-1=4k 2 +4k=4k(k+1). k、 k+1 為二個(gè)連續(xù)整數(shù)，故 k（k+1）必能被 2 整除， 8|4k （ k+1），即 8| （a2-1 ）.又（a-1 ），a，（a+1）為三個(gè)連

5、續(xù)整數(shù)， 其積必被 3 整除，即 3|a（a-1 ）（a+1）=a（a2-1 ），3a ， 3| （ a2-1 ） .3 與 8 互質(zhì) ,24|(a 2-1), 即 a2+23 能被 24 整除 .(3) 利用整數(shù)的奇偶性下面我們應(yīng)用第三講介紹的整數(shù)奇偶性的有關(guān)知識來解幾個(gè)整數(shù)問題.例 5求證 : 不存在這樣的整數(shù) a、b、c、d 使：abcd-a=abcd-b=abcd-c=abcd-d=歡迎下載精品資源證明由， a（bcd-1 ）=.右端是奇數(shù)，左端a 為奇數(shù)， bcd-1 為奇數(shù) .同理 , 由、知 b、c、d 必為奇數(shù)，那么 bcd 為奇數(shù)， bcd-1 必為偶數(shù)，則 a（bcd-1

6、）必為偶數(shù)，與式右端為奇數(shù)矛盾 . 所以命題得證 .例 6 (1985 年合肥初中數(shù)學(xué)競賽題 ) 設(shè)有 n 個(gè)實(shí)數(shù) x1,x 2, ，xn，其中每一個(gè)不是+1就是 -1 ，且試證 n 是 4 的倍數(shù) .證明設(shè)(i=1,2, ， n-1) ，則 yi 不是 +1 就是 -1 ，但 y1+y2 + +yn=0，故其中 +1 與-1 的個(gè)數(shù)相同，設(shè)為 k，于是 n=2k. 又 y1y2 y3 yn=1，即（ -1 ）k=1，故 k 為偶數(shù)，n是 4 的倍數(shù) . 其他方法：整數(shù) a 整除整數(shù) b，即 b 含有因子 a. 這樣 , 要證明 a 整除 b, 采用各種公式和變形手段從 b 中分解出因子 a

7、就成了一條極自然的思路 .例 7 ( 美國第 4 屆數(shù)學(xué)邀請賽題 ) 使 n3+100 能被 n+10 整除的正整數(shù) n 的最大值是多少 ?解 n3+100=(n+10)(n 2-10n+100)-900.若 n+100 能被 n+10 整除 , 則 900 也能被 n+10 整除 . 而且 , 當(dāng) n+10 的值為最大時(shí) , 相應(yīng)地 n 的值為最大 . 因?yàn)?900 的最大因子是 900. 所以 ,n+10=900,n=890.例 8 ( 上海 1989 年高二數(shù)學(xué)競賽 ) 設(shè) a、 b、 c 為滿足不等式 1 a b c 的整數(shù)，且（ ab-1 ）（ bc-1 ）（ ca-1 ）能被 ab

8、c 整除，求所有可能數(shù)組（ a，b，c）.解 （ ab-1 ）（ bc-1 ）（ ca-1 ） =a2b2c2-abc （a+b+c）+ab+ac+bc-1， abc| （ ab-1 ）（ bc-1 ）（ ca-1 ）.存在正整數(shù) k, 使ab+ac+bc-1=kabc,k= k=1.若 a3，此時(shí)1=-矛盾.歡迎下載精品資源已知 a1.只有 a=2.當(dāng) a=2 時(shí)，代入中得 2b+2c-1=bc，即1=0 b 4，知 b=3，從而易得 c=5.說明：在此例中通過對因數(shù)k 的范圍討論，從而逐步確定a、b、c 是一項(xiàng)重要解題技巧 .例 9（ 1987 年全國初中聯(lián)賽題）已知存在整數(shù)n，能使數(shù)被

9、1987 整除. 求證數(shù)，都能被 1987 整除 .證明（ 103n+），且能被 1987 整除，p能被 1987 整除 .同樣，q=（）且故、102（n+1） 、被除，余數(shù)分別為 1000，100，10，于是 q 表示式中括號內(nèi)的數(shù)被除，余數(shù)為 1987，它可被 1987 整除，所以括號內(nèi)的數(shù)能被1987 整除，即 q 能被 1987 整除 .練習(xí)二1選擇題歡迎下載精品資源（ 1）（ 1987 年上海初中數(shù)學(xué)競賽題）若數(shù)n=2030405060708090100110120130，則不是 n 的因數(shù)的最小質(zhì)數(shù)是（）.（ A） 19（B）17（ C） 13（D）非上述答案（ 2）在整數(shù) 0、1

10、、2 、 8、9 中質(zhì)數(shù)有 x 個(gè)，偶數(shù)有 y 個(gè)，完全平方數(shù)有z 個(gè)，則 x+y+z 等于（）.（A）14（B）13（C）12（D）11（E）10（ 3）可除盡 311+518 的最小整數(shù)是（）.（ A） 2 （ B） 3 （C）5 （D）311+518（E）以上都不是2 填空題（ 1）（ 1973 年加拿大數(shù)學(xué)競賽題）把 100000 表示為兩個(gè)整數(shù)的乘積，使其中沒有一個(gè)是 10 的整倍數(shù)的表達(dá)式為 _.(2)一個(gè)自然數(shù)與 3 的和是 5 的倍數(shù) , 與 3 的差是 6 的倍數(shù) , 這樣的自然數(shù)中最小的是 _.(3)(1989 年全國初中聯(lián)賽題 ) 在十進(jìn)制中 , 各位數(shù)碼是 0 或 1,

11、 并且能被225 整除的最小自然數(shù)是 _.3. 求使為整數(shù)的最小自然數(shù)a 的值 .4.(1971 年加拿大數(shù)學(xué)競賽題 ) 證明 : 對一切整數(shù) n,n 2+2n+12 不是 121 的倍數(shù) .5.(1984 年韶關(guān)初二數(shù)學(xué)競賽題 ) 設(shè)是一個(gè)四位正整數(shù) , 已知三位正整數(shù)與 246 的和是一位正整數(shù)d 的 111 倍 ,又是 18 的倍數(shù) . 求出這個(gè)四位數(shù), 并寫出推理運(yùn)算過程 .226.(1954 年蘇聯(lián)數(shù)學(xué)競賽題 ) 能否有正整數(shù)m、 n 滿足方程 m+1954=n .7. 證明：（ 1）133| （ 11n+2+12n+1），其中 n 為非負(fù)整數(shù) .(2) 若將 (1) 中的 11 改

12、為任意一個(gè)正整數(shù) a, 則(1) 中的 12,133 將作何改動(dòng) ?證明改動(dòng)后的結(jié)論 .8.(1986 年全國初中數(shù)學(xué)競賽題 ) 設(shè) a、 b、 c 是三個(gè)互不相等的正整數(shù) . 求證 : 在a3b-ab 3,b 3c-bc 3 ,c 3a-ca 3 三個(gè)數(shù)中 , 至少有一個(gè)能被10 整除 .9.(1986 年上海初中數(shù)學(xué)競賽題 )100 個(gè)正整數(shù)之和為 101101, 則它們的最大公約數(shù)的最大可能值是多少 ?證明你的結(jié)論 .練習(xí)參考答案（） （）由 2000a 為一整數(shù)平方可推出 a=5反證法若是的倍數(shù)，設(shè)（）（）是素?cái)?shù)且除盡（），除盡除盡（）或，不可能歡迎下載精品資源由是的倍，可能是，；又是的倍數(shù)，只能是而，是（） （ ）第一項(xiàng)可被整除又， （）改為改為，改為（）改動(dòng)后命題為（）（），可仿上證明 （ ）；同