2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何8.3空間點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系課件文新人教版

1、8 8. .3 3空間點(diǎn)、直線、空間點(diǎn)、直線、平面平面 之間之間的位置關(guān)系的位置關(guān)系-2-知識梳理雙基自測23416571.平面的基本性質(zhì)公理1:如果一條直線上的在一個平面內(nèi),那么這條直線在此平面內(nèi).公理2:過的三點(diǎn),有且只有一個平面.公理3:如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn),那么它們有且只有過該點(diǎn)的公共直線.兩點(diǎn) 不在一條直線上 一條 -3-知識梳理雙基自測23416572.直線與直線的位置關(guān)系 平行 相交 任何 (2)異面直線所成的角定義:設(shè)a,b是兩條異面直線,經(jīng)過空間任一點(diǎn)o作直線aa,bb,把a(bǔ)與b所成的銳角(或直角)叫做異面直線a,b所成的角(或夾角).-4-知識梳理雙基自測234

2、16573.公理4平行于的兩條直線互相平行.同一條直線 -5-知識梳理雙基自測23416574.定理空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行,那么這兩個角.相等或互補(bǔ) -6-知識梳理雙基自測23416575.直線與平面的位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系有 、 、_三種情況.平行 相交 在平面內(nèi) -7-知識梳理雙基自測23416576.平面與平面的位置關(guān)系平面與平面的位置關(guān)系有、兩種情況.平行 相交 -8-知識梳理雙基自測23416577.常用結(jié)論(1)唯一性定理過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行.過直線外一點(diǎn)有且只有一個平面與已知直線垂直.過平面外一點(diǎn)有且只有一個平面與已知平面平行.過平面外一點(diǎn)

3、有且只有一條直線與已知平面垂直.(2)異面直線的判定定理經(jīng)過平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線互為異面直線.-9-知識梳理雙基自測2341657(3)確定平面的三個推論推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn),有且只有一個平面.推論2:經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個平面.推論3:經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個平面.(4)異面直線易誤解為“分別在兩個不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線”,實(shí)質(zhì)上兩異面直線不能確定任何一個平面,因此異面直線既不平行,也不相交.2-10-知識梳理雙基自測34151.下列結(jié)論正確的打“”,錯誤的打“”.(1)兩個不重合的平面只能把空間分成四個部分.()(2)兩個平面,有一

4、個公共點(diǎn)a,就說,相交于a點(diǎn),記作=a.()(3)已知a,b是異面直線,直線c平行于直線a,那么c與b不可能是平行直線.()(4)如果兩個不重合的平面,有一條公共直線a,那么就說平面,相交,并記作=a.()(5)若a,b是兩條直線,是兩個平面,且a,b,則a,b是異面直 線.() -11-知識梳理雙基自測234152.如圖,在正方體abcd-a1b1c1d1中,e,f分別為bc,bb1的中點(diǎn),則下列直線與直線ef相交的是()a.直線aa1b.直線a1b1c.直線a1d1d.直線b1c1 答案解析解析關(guān)閉只有b1c1與ef在同一平面內(nèi),是相交的.選項a,b,c中直線與ef都是異面直線,故選d 答

5、案解析關(guān)閉d -12-知識梳理雙基自測234153.如圖,在下列四個正方體中,a,b為正方體的兩個頂點(diǎn),m,n,q為所在棱的中點(diǎn),則在這四個正方體中,直線ab與平面mnq不平行的是() 答案解析解析關(guān)閉易知選項b中,abmq,且mq平面mnq,ab 平面mnq,則ab平面mnq;選項c中,abmq,且mq平面mnq,ab 平面mnq,則ab平面mnq;選項d中,abnq,且nq平面mnq,ab 平面mnq,則ab平面mnq.故排除選項b,c,d.故選a. 答案解析關(guān)閉a-13-知識梳理雙基自測234154.設(shè)p表示一個點(diǎn),a,b表示兩條直線,表示兩個平面,給出下列四個命題,其中正確的命題是.(

6、填序號)pa,pa;ab=p,ba;ab,a,pb, pb;=b,p,ppb.-14-知識梳理雙基自測234155.(教材探究改編p46)如圖,在三棱錐a-bcd中,e,f,g,h分別是棱ab,bc,cd,da的中點(diǎn),則(1)當(dāng)ac,bd滿足條件時,四邊形efgh為菱形;(2)當(dāng)ac,bd滿足條件時,四邊形efgh是正方形. 答案解析解析關(guān)閉 答案解析關(guān)閉-15-知識梳理雙基自測23415自測點(diǎn)評1.做有關(guān)平面基本性質(zhì)的判斷題時,要抓住關(guān)鍵詞,如“有且只有”“只能”“最多”等.2.兩個不重合的平面只要有一個公共點(diǎn),那么兩個平面一定相交且得到的是一條直線.3.異面直線是指不同在任何一個平面內(nèi),沒

7、有公共點(diǎn)的直線.不能錯誤地理解為不在某一個平面內(nèi)的兩條直線就是異面直線.-16-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3例1如圖,在正方體abcd-a1b1c1d1中,e,f分別是ab,aa1的中點(diǎn),求證:(1)e,c,d1,f四點(diǎn)共面;(2)ce,d1f,da三線共點(diǎn).思考如何利用平面的基本性質(zhì)證明點(diǎn)共線和線共點(diǎn)?-17-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3證明 (1)如圖,連接ef,cd1,a1b.e,f分別是ab,aa1的中點(diǎn),efa1b.又a1bcd1,efcd1,e,c,d1,f四點(diǎn)共面.(2)efcd1,efcd1,ce與d1f必相交,設(shè)交點(diǎn)為p,則由pce,ce平面abcd,得p平面abcd.同理p平面add1a1.又

8、平面abcd平面add1a1=da,p直線da.ce,d1f,da三線共點(diǎn).-18-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解題心得1.點(diǎn)線共面問題的證明方法:(1)納入平面法:先確定一個平面,再證有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi);(2)輔助平面法:先證有關(guān)點(diǎn)、線確定平面,再證其余點(diǎn)、線確定平面,最后證明平面,重合.2.證明多線共點(diǎn)問題,常用的方法是:先證其中兩條直線交于一點(diǎn),再證交點(diǎn)在第三條直線上.證交點(diǎn)在第三條直線上時,第三條直線應(yīng)為前兩條直線所在平面的交線,可以利用公理3證明.-19-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對點(diǎn)訓(xùn)練對點(diǎn)訓(xùn)練1如圖,在空間四邊形abcd中,e,f分別是ab,ad的中點(diǎn),g,h分別在bc,cd上,且bggc=dh

9、hc=12.(1)求證:e,f,g,h四點(diǎn)共面;(2)設(shè)eg與fh交于點(diǎn)p,求證:p,a,c三點(diǎn)共線.-20-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3證明 (1)e,f分別為ab,ad的中點(diǎn),efbd.ghbd,efgh.e,f,g,h四點(diǎn)共面.(2)egfh=p,peg,eg平面abc,p平面abc.同理p平面adc.p為平面abc與平面adc的公共點(diǎn).又平面abc平面adc=ac,pac,p,a,c三點(diǎn)共線.-21-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3例2平面過正方體abcd-a1b1c1d1的頂點(diǎn)a,平面cb1d1,平面abcd=m,平面abb1a1=n,則m,n所成角的正弦值為()思考如何求兩條異面直線所成的角? a-22-

10、考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解析:(方法一)平面cb1d1,平面abcd平面a1b1c1d1,平面abcd=m,平面cb1d1平面a1b1c1d1=b1d1,mb1d1.平面cb1d1,平面abb1a1平面dcc1d1,平面abb1a1=n,平面cb1d1平面dcc1d1=cd1,ncd1.b1d1,cd1所成的角等于m,n所成的角,即b1d1c等于m,n所成的角.b1d1c為正三角形,b1d1c=60,-23-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(方法二)由題意畫出圖形如圖,將正方體abcd-a1b1c1d1平移,補(bǔ)形為兩個全等的正方體如圖,易證平面aef平面cb1d1,所以平面aef即為平面,m即為ae,n即為af,

11、所以ae與af所成的角即為m與n所成的角.因為aef是正三角形,所以eaf=60,-24-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解題心得幾何法求異面直線所成的角(1)作:利用定義轉(zhuǎn)化為平面角,對于異面直線所成的角,可固定一條,平移另一條,或兩條同時平移到某個特殊的位置,頂點(diǎn)選在特殊的位置上.(2)證:證明作出的角為所求角.(3)求:把這個平面角置于一個三角形中,通過解三角形求空間角.-25-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對點(diǎn)訓(xùn)練對點(diǎn)訓(xùn)練2(1)在我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中,將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑,如圖,在鱉臑abcd中,ab平面bcd,且ab=bc=cd,則異面直線ac與bd所成角的余弦值為()a -26-考

12、點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解析:(1)如圖所示,分別取ab,ad,bc,bd的中點(diǎn)e,f,g,o,則efbd,egac,foog,feg為異面直線ac與bd所成角.-27-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)如圖,在正方體abcd-a1b1c1d1中,m,n分別是a1b1,b1c1的中點(diǎn).問:am和cn是不是異面直線?說明理由.d1b和cc1是不是異面直線?說明理由.-28-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)解:不是異面直線.理由如下:如圖,連接mn,a1c1,ac.m,n分別是a1b1,b1c1的中點(diǎn),mna1c1.又a1ac1c,四邊形a1acc1為平行四邊形,a1c1ac,mnac.a,m,n,c在同一平面內(nèi),故am和

13、cn不是異面直線.-29-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3是異面直線.理由如下:abcd-a1b1c1d1是正方體,b,c,c1,d1不共面.假設(shè)d1b與cc1不是異面直線,則存在平面,使d1b平面,cc1平面,d1,b,c,c1,與b,c,c1,d1不共面矛盾.假設(shè)不成立,即d1b與cc1是異面直線.-30-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3例3設(shè)直線m與平面相交但不垂直,則下列說法中正確的是()a.在平面內(nèi)有且只有一條直線與直線m垂直b.過直線m有且只有一個平面與平面垂直c.與直線m垂直的直線不可能與平面平行d.與直線m平行的平面不可能與平面垂直思考如何借助空間圖形確定線面位置關(guān)系? 答案解析解析關(guān)閉 答案解析關(guān)閉-3

14、1-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解題心得解決這類問題的關(guān)鍵就是熟悉直線與直線、直線與平面、平面與平面的各種位置關(guān)系及相應(yīng)的公理定理,歸納整理平面幾何中成立但立體幾何中不成立的命題,并在解題過程中注意避免掉入由此設(shè)下的陷阱.判斷時可由易到難進(jìn)行,一般是作圖分析,構(gòu)造出符合題設(shè)條件的圖形或反例來判斷.-32-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對點(diǎn)訓(xùn)練對點(diǎn)訓(xùn)練3(1)(2020浙江,6)已知空間中不過同一點(diǎn)的三條直線l,m,n.“l(fā),m,n共面”是“l(fā),m,n兩兩相交”的()a.充分不必要條件b.必要不充分條件c.充分必要條件d.既不充分也不必要條件(2)已知,是兩個平面,m,n是兩條直線,有下列四個命題:如果mn,m,n,

15、那么.如果m,n,那么mn.如果,m,那么m.如果mn,那么m與所成的角和n與所成的角相等.其中正確的命題有.(填寫所有正確命題的編號)b -33-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解析:(1)由條件可知,當(dāng)m,n,l在同一平面內(nèi)時,三條直線不一定兩兩相交,有可能兩條直線平行;或三條直線平行;反過來,當(dāng)空間中不過同一點(diǎn)的三條直線m,n,l兩兩相交時,如圖,三個不同的交點(diǎn)確定一個平面,則m,n,l在同一平面內(nèi),所以“m,n,l”共面是“m,n,l兩兩相交”的必要不充分條件.故選b.(2)對于,若mn,m,n,則,的位置關(guān)系無法確定,故錯誤;對于,因為n,所以過直線n作平面與平面相交于直線c,則nc.因為m,所以

16、mc,所以mn,故正確;對于,由兩個平面平行的性質(zhì)可知正確;對于,由線面所成角的定義和等角定理可知其正確,故正確命題的編號有.-34-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)31.公理1是判斷一條直線是否在某個平面內(nèi)的依據(jù);公理2及其推論是判斷或證明點(diǎn)、線共面的依據(jù);公理3是證明三線共點(diǎn)或三點(diǎn)共線的依據(jù).要能夠熟練用文字語言、符號語言、圖形語言來表示公理.2.判定空間兩條直線是異面直線的方法(1)判定定理:平面外一點(diǎn)a與平面內(nèi)一點(diǎn)b的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點(diǎn)b的直線是異面直線.(2)反證法:證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面,從而可得兩線異面.-35-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)31.異面直線易誤解為“分別在兩個不同平面內(nèi)

17、的兩條直線為異面直線”,實(shí)質(zhì)上兩異面直線不能確定任何一個平面,因此異面直線既不平行,也不相交.2.直線與平面的位置關(guān)系在判斷時最易忽視“線在面內(nèi)”.-36-思想方法構(gòu)造模型判斷空間線面的位置關(guān)系空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系是立體幾何的理論基礎(chǔ),高考常設(shè)置選擇題或填空題,考查直線、平面位置關(guān)系的判斷和異面直線所成的角的求法.在判斷線、面位置關(guān)系時,有時可以借助常見的幾何體作出判斷.這類試題一般稱為空間線面位置關(guān)系的組合判斷題,解決的方法是“推理論證加反例推斷”,即正確的結(jié)論需要根據(jù)空間線面位置關(guān)系的相關(guān)定理進(jìn)行證明,錯誤的結(jié)論需要通過舉出反例說明其錯誤,在解題中可以以常見的空間幾何體(如正方體、

18、正四面體等)為模型進(jìn)行推理或者反駁.-37-典例(1)已知空間三條直線l,m,n,若l與m異面,且l與n異面,則()a.m與n異面b.m與n相交c.m與n平行d.m與n異面、相交、平行均有可能(2)在正方體abcd-a1b1c1d1中,e,f分別為棱aa1,cc1的中點(diǎn),則在空間中與三條直線a1d1,ef,cd都相交的直線有條.-38-(3)已知m,n是兩條不同的直線,為兩個不同的平面,有下列四個命題:若m,n,mn,則;若m,n,mn,則;若m,n,mn,則;若m,n,則mn.其中所有正確的命題的序號是.答案:(1)d(2)無數(shù)(3)-39-解析:(1)在如圖所示的長方體中,m,n1與l都異面,但是mn1,所以a,b錯誤;m,n2與l都異面,且m,n2也異面,所以c錯誤.(2)(方法一)如圖,在ef上任意取一點(diǎn)m,直線a1d1與m確定一個平面,這個平面與cd有且僅有一個交點(diǎn)n,當(dāng)m取不同的位置時就確定不同的平面,從而與cd有不同的交點(diǎn)n,而直線mn與這三條異面直線都有交點(diǎn),所以在空間中與這三條直線都相交的直線有無數(shù)條.-40-(方法二)在a1d1上任取一點(diǎn)p,過點(diǎn)p與直線ef作一個平面,因cd與平面不平行,所以它們相交,設(shè)它們交于點(diǎn)q,連接pq(圖略),則pq與ef必然相交,即pq為所求直