2022版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第3章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第2節(jié)第4課時(shí)利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立能成立問(wèn)題學(xué)案含解析新人教A版

1、第3章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第4課時(shí)利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立(能成立)問(wèn)題考點(diǎn)1分離參數(shù)(構(gòu)造函數(shù))解決恒成立問(wèn)題綜合性(2020全國(guó)卷)已知函數(shù)f (x)exax2x.(1)當(dāng)a1時(shí)，討論f (x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)x0時(shí)，f (x)x31，求a的取值范圍解：(1)當(dāng)a1時(shí)，f (x)exx2x，f (x)ex2x1.由于f (x)ex20恒成立，故f (x)在r上單調(diào)遞增，注意到f (0)0，故當(dāng)x(，0)時(shí)，f (x)0，f (x)單調(diào)遞減，當(dāng)x(0，)時(shí)，f (x)0，f (x)單調(diào)遞增(2)由f (x)x31，得exax2xx31，其中x0.當(dāng)x0時(shí)，不等式為11，顯然成立，符合題意當(dāng)x0時(shí)

2、，得a.記g(x)，g(x).令h(x)exx2x1(x0)，則h(x)exx1，h(x)ex10，故h(x)單調(diào)遞增，h(x)h(0)0，故函數(shù)h(x)單調(diào)遞增，h(x)h(0)0.由h(x)0得exx2x10恒成立，故當(dāng)x(0,2)時(shí)，g(x)0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x(2，)時(shí)，g(x)0，g(x)單調(diào)遞減因此，g(x)maxg(2).綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍為1分離參數(shù)法解含參不等式恒成立問(wèn)題的思路用分離參數(shù)法解含參不等式恒成立問(wèn)題，是指在能夠判斷出參數(shù)的系數(shù)正負(fù)的情況下，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來(lái)，得到一端是參數(shù)，另一端是變量表達(dá)式的不等式，只要研究變量表達(dá)式的最值就可以解

3、決問(wèn)題2求解含參不等式恒成立問(wèn)題的關(guān)鍵是過(guò)好“雙關(guān)”轉(zhuǎn)化關(guān)通過(guò)分離參數(shù)法，先轉(zhuǎn)化為f (a)g(x)(或f (a)g(x)對(duì)xd恒成立，再轉(zhuǎn)化為f (a)g(x)max(或f (a)g(x)min)求最值關(guān)求函數(shù)g(x)在區(qū)間d上的最大值(或最小值)問(wèn)題已知函數(shù)f (x)ln xax21.(1)討論f (x)的單調(diào)性；(2)若a0，xf (x)k(x1)在(1，)上恒成立，求整數(shù)k的最大值解：(1)f (x)2ax(x0)當(dāng)a0時(shí)，f (x)0，則f (x)在(0，)上單調(diào)遞增當(dāng)a0時(shí)，由f (x)0，得0x，則f (x)在上單調(diào)遞增；由f (x)，則f (x)在上單調(diào)遞減綜上，當(dāng)a0時(shí)，f

4、(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a0時(shí)，f (x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(2)由題意，x(ln x1)k(x1)在(1，)上恒成立，即k1)設(shè)g(x)(x1)，則g(x).令h(x)xln x2(x1)，則h(x)10，所以，h(x)在(1，)上為增函數(shù)因?yàn)閔(2)ln 20，h(3)1ln 3ln0，所以h(x)在(1，)上有唯一實(shí)數(shù)根m(3,4)，使得mln m20.當(dāng)x(1，m)時(shí)，h(x)0.即g(x)在(1，m)上單調(diào)遞減，在(m，)上單調(diào)遞增，所以g(x)在xm處取得極小值，且g(m)m，所以km.由3m4，得整數(shù)k的最大值為3.考點(diǎn)2分離參數(shù)(構(gòu)造函數(shù))解決能成立問(wèn)題綜合性已知

5、函數(shù)f (x)axex(ar)，g(x).(1)求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若x0(0，)，使不等式f (x)g(x)ex成立，求a的取值范圍解：(1)f (x)aex，xr.當(dāng)a0時(shí)，f (x)0，f (x)在r上單調(diào)遞減；當(dāng)a0時(shí)，令f (x)0得xln a.由f (x)0得f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，ln a)；由f (x)0得f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(ln a，)綜上，當(dāng)a0時(shí)，f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為r；當(dāng)a0時(shí)，f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，ln a)，單調(diào)遞減區(qū)間為(ln a，)(2)因?yàn)閤0(0，)，使不等式f (x)g(x)ex成立，所以ax，即a.設(shè)h(x)，則

6、問(wèn)題轉(zhuǎn)化為ah(x)max.由h(x)，令h(x)0，得x.當(dāng)x在區(qū)間(0，)內(nèi)變化時(shí)，h(x)，h(x)的變化情況如下表：x(0，)(，)h(x)0h(x)極大值由上表可知，當(dāng)x時(shí)，函數(shù)h(x)有極大值，也是最大值，為h().所以a，即a的取值范圍是.1含參數(shù)的能成立(存在型)問(wèn)題的解題方法af (x)在xd上能成立，則af (x)min；af (x)在xd上能成立，則af (x)max.2含全稱量詞、存在量詞不等式能成立問(wèn)題(1)存在x1a，對(duì)任意x2b使f (x1)g(x2)成立，則f (x)maxg(x)max；(2)任意x1a，存在x2b，使f (x1)g(x2)成立，則f (x)m

7、ing(x)min.若存在x，不等式2xln xx2mx30成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：因?yàn)?xln xx2mx30，所以m2ln xx.設(shè)h(x)2ln xx，則h(x)1.當(dāng)x1時(shí)，h(x)0，h(x)單調(diào)遞減；當(dāng)10，h(x)單調(diào)遞增因?yàn)榇嬖趚，m2ln xx成立，所以mh(x)max.因?yàn)閔23e，h(e)2e，且2e40，所以hh(e)，所以m3e2.考點(diǎn)3雙參不等式恒成立問(wèn)題應(yīng)用性設(shè)f (x)xln x，g(x)x3x23.(1)如果存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)m成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)m；(2)如果對(duì)于任意的s，t，都有f (s)g(t)成立，求實(shí)數(shù)a的取值

8、范圍解：(1)存在x1 ，x2 0,2使得g(x1 )g(x2 )m成立，等價(jià)于g(x1 )g(x2 )max m.因?yàn)間(x)x3 x2 3，所以g(x)3x2 2x3x .g(x)，g(x)隨x變化的情況如下表：x0 2g(x)00 g(x)3極小值1由上表可知，g(x)min g ，g(x)max g(2)1.g(x 1 )g(x 2 )max g(x)max g(x)min ，所以滿足條件的最大整數(shù)m4.(2)對(duì)于任意的s，t ，都有f (s)g(t)成立，等價(jià)于在區(qū)間 上，函數(shù)f (x)min g(x)max .由(1)可知，在區(qū)間 上，g(x)的最大值g(2)1.在區(qū)間 上，f (

9、x)xln x1恒成立等價(jià)于axx2ln x恒成立，記h(x)xx2ln x，則h(x)12xln xx，h(1)0.當(dāng)1x2時(shí)，h(x)0；當(dāng)x0.即函數(shù)h(x)xx2ln x在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,2上單調(diào)遞減，所以h(x) max h(1)1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是1，)解雙參不等式恒成立問(wèn)題的方法和基本思想(1)x1d1，x2d2，f (x1)g(x2)，等價(jià)于函數(shù)f (x)在d1上的最小值大于g(x)在d2上的最小值，即f (x)ming(x)min(這里假設(shè)f (x)min，g(x)min存在)其等價(jià)轉(zhuǎn)化的基本思想：函數(shù)yf (x)的任意一個(gè)函數(shù)值大于函數(shù)yg(x)的某一個(gè)函數(shù)

10、值，但并不要求大于函數(shù)yg(x)的所有函數(shù)值(2)x1d1，x2d2，f (x1)g(x2)，等價(jià)于函數(shù)f (x)在d1上的最大值小于函數(shù)g(x)在d2上的最大值(這里假設(shè)f (x)max，g(x)max存在)其等價(jià)轉(zhuǎn)化的基本思想：函數(shù)yf (x)的任意一個(gè)函數(shù)值小于函數(shù)yg(x)的某一個(gè)函數(shù)值，但并不要求小于函數(shù)yg(x)的所有函數(shù)值已知向量m(ex，ln xk)，n(1，f (x)，mn(k為常數(shù)，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，曲線yf (x)在點(diǎn)(1，f (1)處的切線與y軸垂直，f(x)xexf (x)(1)求k的值及f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)已知函數(shù)g(x)x22ax(a為正實(shí)數(shù))，若對(duì)于任

11、意x20,1，總存在x1(0，)，使得g(x2)f(x1)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)由已知可得f (x)，所以f (x).由已知，f (1)0，所以k1，所以f(x)xexf (x)x1xln xx，所以f(x)ln x2.由f(x)ln x20得0x，由f(x)ln x20得x，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)因?yàn)閷?duì)于任意x20,1，總存在x1(0，)，使得g(x2)f(x1)，所以g(x)maxf(x)max.由(1)知，當(dāng)x時(shí)，f(x)取得最大值f1.對(duì)于g(x)x22ax，其對(duì)稱軸為xa，當(dāng)0a1時(shí)，g(x)maxg(a)a2，所以a21，從而01時(shí)，g(x)m

12、axg(1)2a1，所以2a11，從而1a1.綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.已知函數(shù)f (x)(ar)若a0，不等式x2f (x)a2e對(duì)任意x(0，)恒成立，求a的取值范圍四字程序讀想算思a的取值范圍1.恒成立問(wèn)題的解題策略；2.如何構(gòu)造函數(shù)？求導(dǎo)研究有關(guān)函數(shù)的單調(diào)性，并求其最值轉(zhuǎn)化與化歸若a0，x2f (x)a2e對(duì)任意x(0，)恒成立1.數(shù)形結(jié)合；2.分離參數(shù)法；3.構(gòu)造h(x)x2f (x)ae2；4.構(gòu)造g(x)xf (x)1.h(x)xln xaxae2，h(x)ln x1a；2.g(x)ln xa，g(x)1.函數(shù)最值；2.不等式與對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象的分布關(guān)系思路參考：構(gòu)造函數(shù)h(x)

13、xln xaxae2的方式，把不等式問(wèn)題直接轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)研究解：x2f (x)a2e，即xln xaxae20對(duì)任意x(0，)恒成立令h(x)xln xaxae2，則h(x)ln x1a.令h(x)0，得xea1.當(dāng)x(0，ea1)時(shí)，h(x)0.所以h(x)的最小值是h(ea1)ae2ea1.令t(a)ae2ea1，則t(a)1ea1.令t(a)0得a1.當(dāng)a0,1)時(shí)，t(a)0，t(a)在0,1)上單調(diào)遞增；當(dāng)a(1，)時(shí)，t(a)0；當(dāng)a(1，)時(shí)，h(x)的最小值為t(a)ae2ea10.故a0,2.思路參考：把原不等式通過(guò)等價(jià)變形，轉(zhuǎn)化為g(x)ln xa的最值問(wèn)題來(lái)研究

14、解：要使x2f (x)a2e對(duì)任意x(0，)恒成立，只要使xf (x)0即可代入f (x)可得ln xa0.構(gòu)造函數(shù)g(x)ln xa，g(x).當(dāng)x(0，ae2)時(shí)，g(x)0，g(x)單調(diào)遞增所以g(x)ming(ae2)ln(ae2)a1.再構(gòu)造函數(shù)h(a)ln(ae2)a1，則h(a).令h(a)0得到a3e.當(dāng)a0,3e時(shí)，h(a)0，h(a)單調(diào)遞增當(dāng)a3e，)時(shí)，h(a)0，且h(3e)e20，但是因?yàn)閔(2)0，所以0a2.思路參考：分離參數(shù)，a，減弱參數(shù)的影響，避免過(guò)多的討論解：原式可變?yōu)閤ln xe2a(x1)(*)對(duì)任意x(0，)恒成立當(dāng)x(0,1)時(shí)，分離變量可得a.先

15、求出函數(shù)g(x)xln x的最小值求得g(x)ln x1.當(dāng)x(0，e1)時(shí)，g(x)0，g(x)單調(diào)遞增所以g(x)ming(e1)e1.因?yàn)榇藭r(shí)(xln x)mine1，所以xln xe2e1e20.又因?yàn)閤(0,1)，所以0，所以h(x)單調(diào)遞增即xe是t(x)的唯一零點(diǎn)當(dāng)x(1，e)時(shí)，t(x)0，t(x)單調(diào)遞增所以at(x)mint(e)2，故a0,2 思路參考：把不等式通過(guò)等價(jià)變形后，使不等號(hào)的一邊出現(xiàn)直線的方程h(x)a(x1)(2e)，再分析不等號(hào)另外一邊的函數(shù)g(x)xln x的單調(diào)性，就會(huì)發(fā)現(xiàn)二者相切時(shí)即為參數(shù)的臨界值解：通過(guò)變形原不等式等價(jià)于證明：xln xa(x1)(

16、2e)，x(0，)若令g(x)xln x和h(x)a(x1)(2e)則只需證明函數(shù)g(x)的圖象在直線h(x)的上方首先分析g(x)xln x的圖象由解法三可知：當(dāng)x(0，e1)時(shí)，g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(e1，)時(shí)，g(x)單調(diào)遞增，且g(x)ming(e1)e1.其次分析h(x)a(x1)(2e)的圖象因?yàn)閍0所以h(x)表示過(guò)定點(diǎn)(1,2e)的非減函數(shù)，且g(x)mine12e.兩個(gè)函數(shù)的圖象大致如圖1所示：圖1圖2所以如果我們能說(shuō)明當(dāng)g(x)和h(x)相切時(shí)二者只有一個(gè)切點(diǎn)，就能求出a的最大值設(shè)g(x)和h(x)相切于點(diǎn)p(x0，y0)，則可得消去ln x0得2eaea1.易得a2為式

17、的解令t(a)aea1e2，t(a)1ea1.當(dāng)t(a)0時(shí)，a1.當(dāng)a0,1時(shí)，t(a)0，t(a)單調(diào)遞增；當(dāng)a1，)時(shí)，t(a)0且t(1)e20，所以函數(shù)t(a)在區(qū)間0,1上無(wú)零點(diǎn)，在區(qū)間(1，)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，a2.綜上所述，a0,2思路參考：通過(guò)等價(jià)變形后，使不等號(hào)兩邊變化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)g(x)ln xa和h(x)，然后通過(guò)分析這兩個(gè)函數(shù)的圖象發(fā)現(xiàn)兩條曲線相切時(shí)，即為參數(shù)的臨界值解：原式化為ln xa對(duì)任意x(0，)恒成立下面我們研究函數(shù)g(x)ln xa和函數(shù)h(x).a0，顯然兩個(gè)函數(shù)在x(0，)上都是單調(diào)遞增的而且我們可以驗(yàn)證當(dāng)a0時(shí)上式成立，即ln x(證明略)也就是

18、說(shuō)a0時(shí)，g(x)的圖象在h(x)的圖象上方如圖3：所以當(dāng)a越來(lái)越大時(shí)，兩個(gè)圖象會(huì)越來(lái)越接近所以當(dāng)g(x)和h(x)的圖象相切時(shí)，a取得最大值，如圖4.所以我們假設(shè)二者的圖象相切于點(diǎn)p(x0，y0)，得即化簡(jiǎn)得ea2ea1，解得a2.仿照解法四，可以證明這是唯一解所以a0,21本題考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題，基本解題方法是參變分離、數(shù)形結(jié)合、最值分析等在求解過(guò)程中，力求“腦中有形，心中有數(shù)”依托端點(diǎn)效應(yīng)，縮小范圍，借助數(shù)形結(jié)合，尋找臨界點(diǎn)2基于課程標(biāo)準(zhǔn)，解答本題一般需要熟練掌握運(yùn)算求解能力、邏輯思維能力，體現(xiàn)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)3基于高考數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)體系，本題涉及函數(shù)、不等式、方程、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)，滲透