2022版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章平面解析幾何8.5第1課時橢圓及幾何性質(zhì)學(xué)案新人教A版

1、8.5橢圓第1課時橢圓及幾何性質(zhì)必備知識預(yù)案自診知識梳理1.橢圓的定義平面內(nèi)與兩個定點f1,f2的距離的和等于常數(shù)(大于|f1f2|)的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點,兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距.已知集合p=m|mf1|+|mf2|=2a,|f1f2|=2c,其中a0,c0,且a,c為常數(shù).(1)若ac,則點m的軌跡為橢圓;(2)若ac,則點m的軌跡為線段;(3)若ac,則點m不存在.2.橢圓的標準方程及性質(zhì)標準方程x2a2+y2b2=1(ab0)y2a2+x2b2=1(ab0)圖形性質(zhì)范圍-axa,-byb-bxb,-aya對稱性對稱軸:坐標軸,對稱中心:點(0,0)頂點a1(

2、-a,0),a2(a,0)b1(0,-b),b2(0,b)a1(0,-a),a2(0,a)b1(-b,0),b2(b,0)焦點f1(-c,0),f2(c,0)f1(0,-c),f2(0,c)軸長軸a1a2的長為2a;短軸b1b2的長為2b離心率e=ca,且e(0,1)a,b,c的關(guān)系c2=a2-b2焦點三角形:橢圓上的點p(x0,y0)與兩焦點構(gòu)成的pf1f2叫做焦點三角形.r1=|pf1|,r2=|pf2|,f1pf2=,pf1f2的面積為s,則在橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)中,(1)當r1=r2,即點p為短軸端點時,最大;(2)s=b2tan2=c|y0|,當|y0|=b,即點p為

3、短軸端點時,s取最大值,最大值為bc.考點自診1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“”,錯誤的畫“”.(1)平面內(nèi)與兩個定點f1,f2的距離的和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓.()(2)橢圓的離心率e越大,橢圓就越圓.()(3)關(guān)于x,y的方程mx2+ny2=1(m0,n0,mn)表示的曲線是橢圓.()(4)橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)與橢圓y2a2+x2b2=1(ab0)的焦距相同.()(5)橢圓上一點p與兩個焦點f1,f2構(gòu)成的pf1f2的周長為2a+2c(其中a為橢圓的長半軸長,c為橢圓的半焦距).()2.已知橢圓x24+y23=1的兩個焦點f1,f2,m是橢圓上一點,且|mf1|-|m

4、f2|=1,則mf1f2是()a.鈍角三角形b.直角三角形c.銳角三角形d.等邊三角形3.如圖所示,某瓷器菜盤的外輪廓線是橢圓,根據(jù)圖中數(shù)據(jù)可知該橢圓的離心率為()a.25b.35c.235d.2554.如圖,圓o的半徑是定長r,a是圓o內(nèi)一個定點(不與圓心o重合),p是圓上任意一點,線段ap的垂直平分線l與半徑op相交于點q,當點p在圓上運動時,點q的軌跡是()a.橢圓b.雙曲線c.拋物線d.圓5.“0m0,n0且mn)的形式,避免討論.3.橢圓的標準方程的兩個應(yīng)用:(1)橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)與橢圓x2a2+y2b2=(ab0,0)有相同的離心率.(2)與橢圓x2a2+y2b

5、2=1(ab0)共焦點的橢圓系方程為x2a2+k+y2b2+k=1(ab0,b2+k0).恰當運用橢圓系方程,可使運算簡便.4.用待定系數(shù)法求橢圓標準方程的一般步驟.(1)作判斷:根據(jù)條件判斷橢圓的焦點在x軸上,還是在y軸上,還是兩個坐標軸都有可能;(2)設(shè)方程:根據(jù)上述判斷設(shè)橢圓標準方程為x2a2+y2b2=1(ab0)或y2a2+x2b2=1(ab0);(3)找關(guān)系:根據(jù)已知條件,建立關(guān)于a,b的方程組;(4)得方程:解方程組求出a,b,即可得到橢圓的標準方程.對點訓(xùn)練2(1)如圖,已知橢圓c的中心為原點o,f(-5,0)為橢圓c的左焦點,p為橢圓c上一點,滿足|op|=|of|且|pf|

6、=6,則橢圓c的方程為()a.x236+y216=1b.x240+y215=1c.x249+y224=1d.x245+y220=1(2)(2020湖南郴州二模)已知橢圓e的中心為原點,焦點在x軸上,橢圓上一點到焦點的最小距離為22-2,離心率為22,則橢圓e的方程為.考點橢圓的幾何性質(zhì)及應(yīng)用(多考向探究)考向1橢圓的長軸、短軸、焦距【例3】(2020河南洛陽一模)已知橢圓x211-m+y2m-3=1的長軸在y軸上,且焦距為4,則m等于()a.5b.6c.9d.10解題心得利用橢圓幾何性質(zhì)的注意點及技巧(1)注意橢圓幾何性質(zhì)中的不等關(guān)系在求與橢圓有關(guān)的一些范圍問題時,經(jīng)常用到x,y的范圍、離心率

7、的范圍等不等關(guān)系.(2)利用橢圓幾何性質(zhì)的技巧求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題時,要理清頂點、焦點、長軸、短軸、焦距等基本量的內(nèi)在聯(lián)系.對點訓(xùn)練3(1)(2020陜西漢中高三模擬)已知橢圓x2m+y24=1(m0)的焦距為2,則m的值等于()a.5b.5或3c.3d.8(2)已知橢圓的中心在坐標原點,長軸長是8,離心率是34,則此橢圓的標準方程是()a.x216+y27=1b.x216+y27=1或x27+y216=1c.x216+y225=1d.x216+y225=1或x225+y216=1考向2求橢圓的離心率【例4】(多選)已知橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)上一點a關(guān)于原點的對稱點為b,

8、f為其右焦點,若afbf,設(shè)abf=,且6,4,則該橢圓的離心率e的值可以是()a.22b.33c.63d.3-1解題心得1.求橢圓離心率或其范圍的方法(1)求a,b,c的值,由e2=c2a2=a2-b2a2=1-ba2直接求.(2)列出含有a,b,c的方程(組)或不等式(組),借助b2=a2-c2消去b,轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(組)或不等式(組)求解.2.當離心率e=ca越接近1時,橢圓的短半軸長b=a2-c2越小,橢圓就越“扁”,當e越接近0時,b=a2-c2越大也越接近a,橢圓就越“圓”.對點訓(xùn)練4已知f1,f2為橢圓c:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦點,a為橢圓c的左頂點,點p

9、在過點a且斜率為36的直線上,pf1f2為等腰三角形,f1f2p=120,則橢圓c的離心率為()a.23b.12c.13d.14考向3根據(jù)橢圓的性質(zhì)求參數(shù)【例5】(1)(2021年1月8省適應(yīng)測試)橢圓x2m2+1+y2m2=1(m0)的焦點為f1,f2,上頂點為a,若f1af2=3,則m=()a.1b.2c.3d.2(2)已知橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦點分別為f1,f2,且|f1f2|=2c,若橢圓上存在點m使得在mf1f2中,sinmf1f2a=sinmf2f1c,則該橢圓離心率的取值范圍為()a.(0,2-1)b.22,1c.0,22d.(2-1,1)對點訓(xùn)練5已知橢

10、圓x2a2+y2b2=1(abc0)的左、右焦點分別為f1,f2,若以f2為圓心,b-c為半徑作圓f2,過橢圓上一點p作此圓的切線,切點為t,且|pt|的最小值不小于32(a-c),則橢圓的離心率e的取值范圍是.8.5橢圓第1課時橢圓及幾何性質(zhì)必備知識預(yù)案自診知識梳理1.(1)(2)=(3)考點自診1.(1)(2)(3)(4)(5)2.b由題意可知|mf1|-|mf2|=1,|mf1|+|mf2|=4,解得|mf1|=52,|mf2|=32.又|f1f2|=2,所以|f1f2|2+|mf2|2=|mf1|2,所以mf1f2為直角三角形.故選b.3.b由題意,得2b=16.4,2a=20.5,則

11、ba=45,故離心率e=1-452=35.故選b.4.a連接qa.由已知得|qa|=|qp|.所以|qo|+|qa|=|qo|+|qp|=|op|=r.又點a在圓o內(nèi),且不與圓心o重合,所以0|oa|0,2-m0,m2-m,解得0m2,且m1,所以“0m2”是“方程x2m+y22-m=1表示橢圓”的必要不充分條件.關(guān)鍵能力學(xué)案突破例1(1)a(2)d(1)如圖,由直線l為f1pf2的外角平分線,lf2m,可得|pm|=|pf2|.而在橢圓e:x225+y29=1中,a=5,2a=|pf1|+|pf2|=|pf1|+|pm|=|f1m|=10.故選a.(2)由已知得|ab|+|af2|+|bf2

12、|=4a=422=82.所以|af2|+|bf2|=82-|ab|,當abx軸時,|ab|最小,|af2|+|bf2|最大.|ab|min=2b2a=2222=2,所以|af2|+|bf2|的最大值為82-2=72.故選d.對點訓(xùn)練1(1)d(2)6+26-2(1)如圖,設(shè)線段pf1的中點為m,因為o為f1f2的中點,所以ompf2,由題意可得pf2x軸,易得|pf2|=53,|pf1|=2a-|pf2|=133,|pf2|pf1|=513.故選d.(2)如圖,設(shè)橢圓右焦點為f1,則|pf|+|pf1|=6,f1(2,0).所以|pa|+|pf|=|pa|-|pf1|+6.因為-|af1|pa

13、|-|pf1|af1|(當p,a,f1共線時等號成立).又|af1|=2.所以|pa|+|pf|6+2,|pa|+|pf|6-2.故|pa|+|pf|的最大值為6+2,最小值為6-2.例2 (1)x218+y29=1或y218+x29=1(2)x29+y23=1(3)x28+y26=1或y2253+x2254=1(4)m|m-1或1mb0),在橢圓上任取一點p(x0,y0),取焦點f(-c,0),則pf的中點m為x0-c2,y02,根據(jù)條件可得y02=x0-c2+4,kpf=y0x0+c=-1,聯(lián)立兩式解得x0=-4,y0=4-c,代入橢圓方程解得a=32,b=3.由此可得橢圓的方程為x218

14、+y29=1,同理,當焦點在y軸上時,橢圓的方程為y218+x29=1.(2)設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1(m0,n0,且mn).橢圓經(jīng)過點p1,p2,故點p1,p2的坐標適合橢圓方程,則6m+n=1,3m+2n=1,解得m=19,n=13.所求橢圓的方程為x29+y23=1.(3)若焦點在x軸上,則設(shè)所求橢圓方程為x24+y23=t(t0),將點p(2,-3)的坐標代入,得t=2.故所求橢圓方程為x28+y26=1.若焦點在y軸上,則設(shè)所求橢圓方程為y24+x23=(0),將點p(2,-3)的坐標代入,得=2512,故所求方程為y2253+x2254=1.故橢圓方程為x28+y26=1或y2253+x2254=1.(4)由x2|m|-1+y22-m=1表示焦點在y軸上的橢圓,得2-m|m|-10,解得m-1或1m4時,m-4=1,m=5;當0m|mf1|.因為m為橢圓上一點,所以a-c