3年高考2年模擬2021版新教材高考數學第一章集合與常用邏輯用語1.1集合的概念第2課時集合的表示法講義新人教A版必修第一冊

1、第2課時集合的表示法課標解讀課標要求核心素養(yǎng)針對具體問題,能在自然語言和圖形語言的基礎上,用符號語言(列舉法、描述法)刻畫集合.(重點、難點)1.通過學習利用描述法表示集合,培養(yǎng)數學抽象的素養(yǎng).2.借助描述法轉化為列舉法時的運算,培養(yǎng)數學運算的素養(yǎng).觀察下列集合:(1)中國古典長篇小說四大名著組成的集合;(2)20的所有正因數組成的集合;(3)大于1小于4的實數組成的集合.問題1:(1)(2)兩個集合中的元素能一一列舉出來嗎?如何表示這兩個集合中的元素?答案能.集合(1)中的元素為水滸傳三國演義西游記紅樓夢,集合(2)中的元素為1,2,4,5,10,20.問題2:集合(3)中的元素能一一列舉出

2、來嗎?如何表示集合(3)?答案不能.用描述法表示.(1)列舉法:把集合的所有元素一一列舉出來,并用花括號“”括起來表示集合的方法叫做列舉法,一般可將集合表示為a,b,c,.特別提醒列舉法表示的集合的結構:(2)描述法:一般地,設a是一個集合,我們把集合a中所有具有共同特征p(x)的元素x所組成的集合表示為xa|p(x),這種表示集合的方法稱為描述法.思考:觀察下列三個集合:a=x|y=x2+1;b=y|y=x2+1;c=(x,y)|y=x2+1.它們是相同的集合嗎?它們各自的含義分別是什么?提示它們不是相同的集合.集合a=x|y=x2+1的代表元素是x,且xr,所以x|y=x2+1=r,即a=

3、r;集合b=y|y=x2+1的代表元素是y,滿足條件y=x2+1的y的取值范圍是y1,所以y|y=x2+1=y|y1;集合c=(x,y)|y=x2+1的代表元素是(x,y),是滿足y=x2+1的數對.可以認為集合c是由坐標平面內滿足y=x2+1的點(x,y)構成的.特別提醒描述法表示的集合的結構:探究一用列舉法表示集合例1用列舉法表示下列集合:(1)小于10的質數組成的集合a;(2)方程x2-2x-3=0的實數根組成的集合b;(3)一次函數y=x+2與y=-2x+5的圖象的交點組成的集合d.解析(1)因為小于10的質數包括2,3,5,7,所以a=2,3,5,7.(2)方程x2-2x-3=0的實

4、數根為3,-1,所以b=3,-1.(3)由y=x+2,y=-2x+5得x=1,y=3,所以一次函數y=x+2與y=-2x+5的圖象的交點為(1,3),所以d=(1,3).思維突破用列舉法表示集合的3個步驟(1)求出集合的元素;(2)把元素一一列舉出來,且相同元素只能列舉一次;(3)用花括號括起來.提醒:二元方程組的解集、函數圖象上的點構成的集合都是點的集合,一定要寫成實數對的形式,元素與元素之間用“,”隔開,如(2,3),(5,-1).1.用列舉法表示下列集合:(1)滿足-2x2且xz的實數組成的集合a;(2)方程(x-2)2(x-3)=0的解組成的集合m;(3)方程組2x+y=8,x-y=1

5、的解組成的集合b;(4)15的正約數組成的集合c.解析(1)滿足-2x2且xz的實數有-2,-1,0,1,2,故a=-2,-1,0,1,2.(2)方程(x-2)2(x-3)=0的解為x=2或x=3,m=2,3.(3)解2x+y=8,x-y=1得x=3,y=2,b=(3,2).(4)15的正約數有1,3,5,15,故c=1,3,5,15.探究二用描述法表示集合例2用描述法表示下列集合:(1)不等式2x-31的解組成的集合a;(2)被3除余2的正整數組成的集合b;(3)c=5,10,15,20;(4)平面直角坐標系中第二象限內的點組成的集合d.解析(1)不等式2x-31的解組成的集合為a,則集合a

6、中的元素是數,設代表元素為x,則x滿足2x-31,則a=x|2x-31,即a=x|x2.(2)設被3除余2的正整數為x,則x=3n+2,nn,所以被3除余2的正整數組成的集合b=x|x=3n+2,nn.(3)c=x|x=5n,n4,nn*.(4)易知平面直角坐標系中第二象限內的點的橫坐標為負,縱坐標為正,即x0,故平面直角坐標系中第二象限內的點的集合d=(x,y)|x0.思維突破用描述法表示集合時需注意的三點(1)用描述法表示集合,應先弄清楚集合中元素的屬性,是數集、點集還是其他的類型.一般地,數集用一個字母代表其元素,而點集則用一個有序數對來表示其元素.(2)用描述法表示集合時,若描述部分出

7、現(xiàn)元素記號以外的字母,則需對新字母說明其含義或取值范圍.(3)多層描述時,應當準確使用“且”和“或”,所有描述的內容都要寫在集合內.2.用描述法表示下列集合:(1)比1大又比10小的實數組成的集合a;(2)直線y=2x+3上所有點組成的集合b;(3)正奇數集m.解析(1)比1大又比10小的實數有無數個,設xa,易知xr,故用描述法表示為a=xr|1x0,即k1,且k0.所以實數k的值組成的集合為k|k1,且k0.(2)由題意可知,方程kx2-8x+16=0至少有一個實數根.當k=0時,由-8x+16=0得x=2,符合題意;當k0時,要使方程kx2-8x+16=0至少有一個實數根,則=64-64

8、k0,即k1,且k0.綜合可知,實數k的值組成的集合為k|k1.1.集合xn*|x-32的另一種表示法是()a.0,1,2,3,4b.1,2,3,4c.0,1,2,3,4,5d.1,2,3,4,5答案bx-32,xn*,x5,xn*,x=1,2,3,4.集合的另一種表示法為1,2,3,4.2.(多選)由大于-3且小于1的偶數所組成的集合是()a.-3,-2,-1,0,1 b.-2,0c.x|-3x1,x=2kd.x|-3x1,x=2k,kz答案bd由題意可知,大于-3且小于1的偶數為-2和0,所以集合用列舉法可表示為-2,0,用描述法可表示為x|-3x-1,那么() a.-2ab.0ac.-3

9、ad.0a答案dx-1,0a,故選d.2.用列舉法表示集合x|x2-2x+1=0為()a.1,1b.1c.x=1d.x2-2x+1=0答案b方程x2-2x+1=0有兩個相等的實數解1,根據集合中元素的互異性知b正確.3.已知集合a=x|x(x-1)=0,那么下列結論正確的是()a.0ab.1ac.-1ad.0a答案aa=x|x(x-1)=0=0,1,0a.4.方程組x+y=1,x2-y2=9的解集是()a.(-5,4)b.(5,-4)c.(-5,4)d.(5,-4)答案d解方程組x+y=1,x2-y2=9,得x=5,y=-4,故解集為(5,-4).5.用符號“”或“”填空:(1)集合a=x|x

10、2-x=0,則1a,-1a;(2)(1,2)(x,y)|y=x+1.答案(1);(2)解析(1)易知a=0,1,故1a,-1a.(2)將x=1,y=2代入y=x+1,等式成立.6.集合x|x=2m-3,mn*,m5用列舉法表示為.答案-1,1,3,5解析集合中的元素滿足x=2m-3,mn*,m5,則滿足條件的x值:m=1,x=-1;m=2,x=1;m=3,x=3;m=4,x=5.則集合為-1,1,3,5.7.所有能被2整除的正整數的集合,用描述法可表示為.答案x|x=2n,nn*解析正整數中所有的偶數均能被2整除.8.選擇適當的方法表示下列集合.(1)由方程x(x2-2x-3)=0的所有實數根

11、組成的集合;(2)大于2且小于6的有理數;(3)由直線y=-x+4上的橫坐標和縱坐標都是自然數的點組成的集合.解析(1)方程的實數根為-1,0,3,故該集合可以用列舉法表示為-1,0,3,也可以用描述法表示為x|x(x2-2x-3)=0.(2)由于大于2且小于6的有理數有無數個,故不能用列舉法表示該集合,但可以用描述法表示該集合為xq|2x6.(3)用描述法表示該集合為(x,y)|y=-x+4,xn,yn.9.(多選)下列命題中正確的是()a.集合xr|x2=1中有兩個元素b.集合0中沒有元素c.13x|x23d.1,2與2,1是同一集合答案adxr|x2=1=1,-1;集合0中,有一個元素,這個元素是0;x|x23=x|x12,故13x|x0,即a98且a0時,方程有兩個實根,又由(1)知,當a=0或a=98時,方程有一個實根.所以a的取值范圍是aa98.(3)由(1)知,當a=0或a=98時,集合a中只有一個元素.若集合a中沒有元素,則a0,=9-8a98.綜上,a的取值范圍是aa98或a=0.13.已知集合a=x|x=3n+1,nz,b=x|x=3n+2,nz,m=x|x=6n+3,nz.(1)若mm,則是否存在aa,bb,使m=a+b成立?(2)對于任意aa,bb,是否一定