高等數(shù)學(xué)的教學(xué)課件17無(wú)窮小的比較

1、第七節(jié)第七節(jié) 無(wú)窮小的比較無(wú)窮小的比較一、無(wú)窮小的比較一、無(wú)窮小的比較二、等價(jià)無(wú)窮小的性質(zhì)二、等價(jià)無(wú)窮小的性質(zhì)三、小結(jié)三、小結(jié)一、無(wú)窮小的比較例如例如,xxx3lim20 xxxsinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,022都是無(wú)窮小都是無(wú)窮小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxxxx 極限不同極限不同, 反映了反映了趨向于零的趨向于零的“快慢快慢”程度程度不不同同.;32要快得多要快得多比比 xx;sin大致相同大致相同與與xx不可比不可比., 0 , 1 xx1sinlim0 .不存在不存在觀察各極限觀察各極限);(,)()(, 0)()(lim)1( oxxxx 記作記作的無(wú)窮小的無(wú)窮小

2、高階高階是比是比就說(shuō)就說(shuō)如果如果定義定義1:1:,)(),(窮窮小小是是同同一一過(guò)過(guò)程程中中的的兩兩個(gè)個(gè)無(wú)無(wú)設(shè)設(shè)xx 的無(wú)窮小。是同階與就說(shuō)如果)()(, 0)()(lim)2(xxcxx 。記作的無(wú)窮小是等價(jià)與就說(shuō)如果 ,)()(, 1)()(lim)3(xxxx 說(shuō)明：說(shuō)明：無(wú)窮小的比較就是無(wú)窮小之間趨向無(wú)窮小的比較就是無(wú)窮小之間趨向0 0的速度的比較的速度的比較度度幾幾乎乎是是相相同同的的。而而等等價(jià)價(jià)無(wú)無(wú)窮窮小小則則表表明明速速倍倍差差。同同階階，它它們們?cè)谠谒偎俣榷壬仙嫌杏信c與有有階階差差。高高階階，它它們們?cè)谠谒偎俣榷壬仙媳缺葧r(shí)時(shí)比比如如：當(dāng)當(dāng)333543,0 xxxxx )(co

3、s1 ,0,21cos1lim220 xoxxxxx 時(shí)時(shí)例如例如xxxxxxsin,0, 1sinlim0時(shí)時(shí) ;)(, 0)()(lim)(20000階的無(wú)窮小的是關(guān)于時(shí)則且是無(wú)窮小，時(shí)如果定義kxxxxxlxxxxxxk ;1)(, 01)(lim)(3階的無(wú)窮小的是關(guān)于時(shí)則且是無(wú)窮小，時(shí)如果定義kxxxlxxxxk 說(shuō)明：說(shuō)明：即相對(duì)誤差很小。即相對(duì)誤差很小。本身要小得多，本身要小得多，比比產(chǎn)生的誤差產(chǎn)生的誤差時(shí)，所時(shí)，所代替其等價(jià)無(wú)窮小代替其等價(jià)無(wú)窮小用用 )()(xx二、等價(jià)無(wú)窮小的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 1).( o 證證lim) 1lim(1lim0lim1lim).( o 性質(zhì)性質(zhì)2

4、 2則有：則有：存在存在且且設(shè)設(shè),lim,1111 vu證證 vulim)lim(1111 vu 1111limlimlim vu.lim11 vu ( (等價(jià)無(wú)窮小替換定理等價(jià)無(wú)窮小替換定理) ).limlimlimlim1111 vuvuvuvu 常用等價(jià)無(wú)窮小常用等價(jià)無(wú)窮小: :則：則：值的無(wú)窮小值的無(wú)窮小是不取是不取假設(shè)假設(shè),0)(x 說(shuō)明說(shuō)明:在求極限的過(guò)程中，分子或分母中的在求極限的過(guò)程中，分子或分母中的因子因子，可用其等價(jià)無(wú)窮小替換?？捎闷涞葍r(jià)無(wú)窮小替換。.21cos1,1)1 (),1ln(1,arctanarcsintansin2e例例1 1.cos12tanlim20 xx

5、x 求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)22021)2(limxxx 原式原式. 8 不能濫用等價(jià)無(wú)窮小代換不能濫用等價(jià)無(wú)窮小代換.對(duì)于代數(shù)和中各無(wú)窮小不能分別替換對(duì)于代數(shù)和中各無(wú)窮小不能分別替換.注意注意只能分子或分母中的因子，才可替換。只能分子或分母中的因子，才可替換。例例2 2.2sinsintanlim30 xxxx 求求解解.sin,tan,0 xxxxx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 30)2(limxxxx 原式原式. 0 解解,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 錯(cuò)錯(cuò) 例例3 3.3s

6、in1cos5tanlim0 xxxx求解解,55tanxx,33sinxx.21cos12xxxxxxxx3sincos1lim3sin5tanlim00原式353215lim20 xxxx原式.35035xxxxxx321lim35lim200x例例4 4.2)ln()sinln(lim2220 xxexxexxx 求求解解.)1ln(,sin)sin1ln(,0222222xexexexexxxxx 時(shí)時(shí))(limsinlim02220 xxxxxexexe 原式原式. 1 )1ln()sin1ln(22)1ln()sin1ln(2)1(ln)sin1(ln2)ln()sinln(2222222222222xexexxxexxxexxeexxeexxexxexxxxxxxxxx 三、小結(jié)1.無(wú)窮小的比較無(wú)窮小的比較:反映了同一過(guò)程中反映了同一過(guò)程中, 兩無(wú)窮小趨于零的速度兩無(wú)窮小趨于零的速度快慢快慢, 但并不是所有的無(wú)窮小都可進(jìn)行比較但并不是所有的無(wú)