高數(shù)多元函數(shù)復習題PPT012

1、一、基本題型用圖表示；求多元函數(shù)的定義域并. 1明不存在的方法。求多元函數(shù)的極限及證. 2. 3 偏導數(shù)及求法. 4 全微分及求法。在、全微分存在的關(guān)系多元函數(shù)連續(xù)、偏導存. 5).(. 6抽象函數(shù)求高階導復合函數(shù)求導法則).3(. 7種情況隱函數(shù)求導法則. 8方向?qū)?shù)及計算公式).3(. 9種形式面方程空間曲線的切線和法平).2(.10種形式線方程空間曲面的切平面及法.11方法多元函數(shù)的極值及判別乘數(shù)法。多元條件極值的lagrange.12.13求法區(qū)域上多元函數(shù)最值的0,1),(22xyyxyx1. xyyxz)(arcsin22提示提示:122 yx0 xy0 xdxyo.1)ln(.

2、222yxxxyz定義域為解:yxfyyxu23,2且21 ,xxu求yxu,解解21 ,xxu223xxf令23123txxt 2291ttf2222391,yxyyxu1. 22200sinlimyxyxyx提示提示: 222sin0yxyx0ysiny11lim. 200yxyxyx)(21lim00yxyxyx22225300limyxyxyx提示提示: 22530yxyx3yx 03222222yyxyxyxx4. 設2),(yyxyxyxf, 則),(yxfx,yxvyxu則),(vuf, )(212vuu 即)(21),(2yxxyxfyx21提示提示: 令),(yxf,sin2

3、yxyx0yx,00yx則)1 ,0(xf提示提示:)1 ,0(xfxfxfx) 1 , 0() 1 ,(lim0220sinlimxxx16. f ( x , y ) 在點),(00yx處偏導數(shù), ),(00yxfx存在是 f ( x , y ) 在該點連續(xù) ( ) .(a) 充分條件但非必要 (b) 必要條件但非充分 ;(c) 充要條件 ; (d) 既非充分也非必要條件.d1選擇題 ( 6 - 8 ),(00yxfy)(),(),(lim0 xbxafbxafx),()(; ),2()(; ),(2)(;0)(bafdbafcbafbaxxxb提示提示: 因為只要寫結(jié)果 , 可直接用羅必塔

4、法則找答案 ),(),(lim110bxafbxafx原式),(21baf )()1 (lnlim00yxyxxyx1)( ;)( ;0)(decb提示提示: 利用令,mxyx即xxym則 原式=yxyxyx200limmmyxxxx2300lim,1當 m = 3 時,當 m = 4 時a(a) 不存在 ;,)1 (lnyxyx證明、判斷下列極限存在與否26300limyxyxyx（2）26300sinlimyxyxyx（3）提示：（1）42200limyxxyyxxky 取時，有2422200limxkxxkyx42001limkkyx3xky 取時，有626600limxkxkxyx20

5、01limkkyx3xky 取時，有6263300sinlimxkxxkxyx2001limkkyx表明上式中極限均不存在。224400)sin(lim. 4yxyxyx224400limyxyxyx22400limyxxyx22400limyxyyx000.)(lim2222200不存在證明yxyxyxyx:證明1,yx當沿路徑時極限為, 02路徑時極限為當沿xy .所以極限不存在證明證明：函數(shù) 點 連續(xù)、|),(xyyxf),( 00)0 , 0(0|lim),(lim:0000fxyyxfyxyx證明所以在點 連續(xù) ),( 0000lim)0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(00

6、xxfxffxxx00lim)0 , 0(), 0(lim)0 , 0(00yyfyffyyy所以在點 偏導數(shù)都存在 ),( 00|)0 , 0()0 , 0(yxyfxffyx偏導數(shù)存在、但不可微.0lim2200|limyxyxyx220|limyxyxxyx0212lim220 xxx所以在點 不可微。 ),(001、函數(shù)可微，偏導數(shù)不一定連續(xù)；2、當yxfxyx,lim00和yxfyyx,lim00不存在時，也不能斷定0 , 0 xf和0 , 0yf不存在。這只能說明偏導數(shù)在點（0，0）處不連續(xù)。yxfz,在點00, yxp處四個基本概念之間的關(guān)系連續(xù)性偏導數(shù)方向?qū)?shù)可微性可微性條件增

7、強由它可以推出其它三個概念，反之不一定存在。求下列函數(shù)的偏導數(shù)和全微分。（1）設)2sin(),(yxeyxfx解解求,)4, 0(xf,)4, 0(yf,)4, 0(fd可先代入部分值，再求導數(shù)。xexfxcos4,1cossin04, 0 xxxxexfyyf2sin, 002cos244, 0yyyfxdfd4, 0),(zyxuddzzudyyudxxu)1ln(2xxx) 1 , 1 ,(xu5111111 , 1 , 221 , 1 , 2xxu242ln2) 1 , 2(2yyuy55212ln41 , 1 , 2yu52ln2), 1 , 2(zzu2ln21 , 1 , 2z

8、u),(zyxud, )ln(222yxxxuzy求, ) 1 , 1 ,2(ud（2）設解解設,arctanyxz 求.yzxz解法一解法一: xzyx11yx211yxyyzyx11yx21xxylnyzxz)1 (2yyxxxxyln解法二解法二: zdyx11yx21yxdyx11yx21)ln(1ydxxxdyxyy,)(xyfxu 其中,2cf 求2222yuxu解解:)(xyfxu)(xyfxy; )(xyfyu)(222xyfxyxu)(2xyfxy)(32xyfxy )(32xyfxy )(122xyfxyu )()1(1222222xyfxyxyuxu ),(2vufxz

9、xzx22x1ffx2),(2xyxyfxz yxz2設其中具有二階連續(xù)偏導，求f解：解：,xyu 令fuxy xyv,xyv f2xy2f y1fy22fyx2212fyxfyfxyxz2uf22fx223112213yfxfxyfxfx2121fxfxy11211fxfxyx212221fxfxxz),(2xyxyfxz ),(yxzz 由方程0),(xzyyzxf確定 ,其中f 可微 , 求.yzyxzx解解:)(21yydzzdyxdf 0)(22 xxdzzdxydf得xdffxzzd122ydffyz212xfyf21xfyf21yzyxzx yx21fyfx)(2112fyfyz

10、fxfxzzyx023:2333zyxzyx上在點a(1,1.1)處的切線方程和法平面方程。解：解： 方程組兩邊對 x 求導得02210333222z zyzzyyx將點a(1，1，1）代入 2111111zyzy 431411zy3, 1, 441s切線方程311141zyx法平面方程 013114zyx0),(),(tyxfttxfy是由而設取微分將0),(),(tyxftxfy0dtfdyfdxfdtfdxfdytyxtxtytxtxtfffffffdxdy解解.,dxdyyx求函數(shù)確定的xtfdxdtfdxdyxtyfdxdtfdxdyf依題意，兩平面平行63421000zyx.200

11、0zyx解：解： 令求曲面平行于平面的各切平面方程。2132222zyx064zyx),(000zyx設為曲面上的切點，10 x滿足方程),(000zyx切點為, )2,2, 1 ()2, 2, 1(0)2(6)2(4) 1(zyx切平面方程(1)0)2(6)2(4) 1(zyx切平面方程(2)2132,222zyxzyxfzyxzyxn3 ,2 ,26 ,4 ,20122322zyx繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周生成的曲面在點2, 3, 0上的切平面與xoy平面的夾角。解解 旋轉(zhuǎn)曲面1223:222yzxzyxn3,2,322, 3, 0在點23, 32, 0nxoy平面上1, 0, 01n11cosn

12、nnn153153arccos,xyexz 證明曲面在任意點),(zyxm解解: 令, zexfxy則曲面在點 m 的法向量為zyxfffn, ,xyxyexye而zyxom,omnxyeyz0故.omn 的法線與向量 垂直 .om,xye1xyxyeyex求最大長方體xoy解解 設長方體的一個頂點 在錐面，則長方體),(zyxm)0, 0, 0()2(4zyxzxyv)()2(),(222yxzzxyzyxf作）（令102)2(xzyfx）（ 202)2(yzxfy）（ 302zxyfz）（ 4222yxz22yxz2z在圓錐面與平面所圍成的錐體內(nèi)作底面與面平行的長方體，的體積。的體積：將式

13、乘以x與式乘以y相比較得 yx 將 代入式并由式得 yx xz2232x所以得唯一駐點為 ),(34232232依題意必有最大值，從而長方體的最大體積為276434232242)()(v22 z02yxz的最短距離 .解解: 問題為222)2() 1(zyxd02yxz( 條件 )設222)2() 1(zyxf)(2yxz 令0)1(2yxfx0)2(2xyfy022zzfz02yxzf解得)0,0, 1(),(zyx)0,2,0(),(zyx此兩點到曲面的距離為;2)0,0, 1(d1)0,2,0(d故1)0,2,0(d)min(為最短 . 1, 3)0(zyezyezeyzyyxxxx的最

14、大值，并證明求滿足和、設三個實數(shù), 3zeyx,3xeyzzyeyxfx),(令)3(yeyexx)23(yeyexfxx)23(yeeyfxx解解023023yeyfyexfxx令1, 0yx唯一駐點, 2)1 , 0(22xfa而, 1)1 , 0(2yxfb2)1 , 0(22yfc, 03) 1()2()2(22bac0,a且1),(yxf. 1zyex從而，即為最大值處取得極值在點1) 1 , 0() 1 , 0(),(fyxf是直線直線設函數(shù)lzyxyu,)(cos22解.coscoscoszuyuxulu的方向向量先求l,5:0420231:1上的投影在平面zyxzyzxl的方向

15、導數(shù)及沿直線在點試求函數(shù)lpu) 1 , 0 , 0().(軸正向為銳角與規(guī)定zlugradp作平面束過直線1l0)42(23zyzx04)221(3zyx垂直的條件由與平面022131 185 的方程直線l020560zyxzyx的方向向量l1561110kjilkji1174軸正向夾角為銳角與zlkjils11740取的方向余弦l,1864cos,cos1867 .cos18611 , 0)2sin(ppxyyxu, 1)12sin(2ppzxyxyu, 0)2(3ppzyzuppzuyuxulu)coscoscos(1867pkzujyuixugradu) 1 , 0 , 0(0 , 1

16、, 0 21222zyx上求出一點 m , 使),(zyxf222zyx沿著點)1 , 1 , 1(a)1 ,0,2(b的方向?qū)?shù)具有最大值 . 解解: ,0, 1, 1 ab其方向余弦為,0,2121則問題為212y02 z)(2yx )max(21222zyx( 條件 )設yxf212 xlf到) 1222(222zyx) 1222(222zyxyxf041xfx041yfy04zfz01222222zyxf解得; )0,(21211m)0,(21212m經(jīng)驗證21mlf為最大值 .令,azyx證明曲面上任一點處的切平面在三坐標軸上的截距之和為常數(shù) . 證明證明: 曲面在任一點),(000zyx處的法向量為0000000zzzyyyxxx即azzyyxx000則在坐標軸上的截距之和為aaazyxa)(000切平面方程為00021,21,21zyx0001,1,121zyx0)()()(zzfyyfxxfzyx),(zyxf