用Mathematica進行級數(shù)運算

1、 實驗五實驗五 用用mathematicamathematica進行級數(shù)運算進行級數(shù)運算實驗目的：實驗目的：學會利用學會利用mathematica進行級數(shù)求和、進行級數(shù)求和、函數(shù)冪級數(shù)展開函數(shù)冪級數(shù)展開預備知識預備知識：（一）求和符號（一）求和符號用法及相關(guān)知識用法及相關(guān)知識（二）級數(shù)的斂散性及其確定（二）級數(shù)的斂散性及其確定（三）函數(shù)展開為冪級數(shù)相關(guān)知識（三）函數(shù)展開為冪級數(shù)相關(guān)知識（四）（四）mathematicamathematica中求和及級數(shù)運算相關(guān)命令中求和及級數(shù)運算相關(guān)命令邊學邊做邊學邊做：（一）求和：（一）求和：sumsum命令命令（1 1）求有限項的和）求有限項的和（2 2）

2、分別求級數(shù)）分別求級數(shù) 與與 的和，并判定斂散性的和，并判定斂散性（3 3）分別求級數(shù)）分別求級數(shù) 與與 的和函數(shù)并確定其的和函數(shù)并確定其收斂域收斂域612nnn1) 1(1nnn11nn0!nnnx11) 1(nnnnx（二）函數(shù)展開成冪級數(shù)（二）函數(shù)展開成冪級數(shù)（1 1）將）將 在在 處展開到處展開到 的的5 5次冪次冪（2 2）將）將 在在 處展開到處展開到( -1)( -1)的的3 3次冪次冪（3 3）將）將 在在 處展開到處展開到( -1)( -1)的的3 3次次冪，在冪，在 處展開到處展開到 的的2 2次冪次冪xsin0 xxx311xxyx 11xx) 1(y1y學生實驗：學生實

3、驗：一、基礎(chǔ)部分一、基礎(chǔ)部分1 1求級數(shù)求級數(shù) 與與 的和的和2 2設(shè)設(shè) , ,將將 展開到展開到 的的4 4階冪級數(shù)階冪級數(shù)3 3將將y=sin(xey=sin(xex x) )在點（在點（0,00,0）處展開到）處展開到x x的的7 7次冪次冪. .將將z=xyz=xy在（在（2,3)2,3)處展開為處展開為x x的次冪，的次冪，y y的次的次冪。冪。1)43(nnn11sin1nnnxxf211)()(xf)2( x二、應用部分二、應用部分(1)利用函數(shù)利用函數(shù)z=xy的五階泰勒展開式，計算的五階泰勒展開式，計算1.1011.021的近似值的近似值.(2)作出作出y=sinx的圖形和函數(shù)

4、的冪級數(shù)展開式的圖形的圖形和函數(shù)的冪級數(shù)展開式的圖形（選取不同的（選取不同的x0和和n），將圖形進行比較，并總結(jié)），將圖形進行比較，并總結(jié)規(guī)律。規(guī)律。sumf(n),n,a,b sumf(n),n,a,b 求以求以f(n)f(n)為通項的有限項的和為通項的有限項的和 sumf(n),n,1,infinisumf(n),n,1,infinity ty 求以求以f(n)f(n)為通項的級數(shù)在收斂為通項的級數(shù)在收斂域內(nèi)的和域內(nèi)的和 seriesfx,x,xseriesfx,x,x0 0,n ,n 將將f(x)f(x)在點在點x x0 0處展開為處展開為(x-x(x-x0 0) )的的n n次冪次冪

5、seriesfx,y,x,xseriesfx,y,x,x0 0, ,n,y,yn,y,y0 0,m ,m 將二元函數(shù)將二元函數(shù)f(x,y)f(x,y)在點在點(x(x0 0,y,y0 0) )處展開到處展開到(x-x(x-x0 0) )的的n n次冪，次冪，(y-y(y-y0 0) )的的m m次冪，次冪， 實驗五內(nèi)容詳解：實驗五內(nèi)容詳解：一、命令匯總一、命令匯總注：注：使用使用series命令將函數(shù)在指定點按指點階數(shù)展開命令將函數(shù)在指定點按指點階數(shù)展開時，結(jié)果是級數(shù)形式，其特征是時，結(jié)果是級數(shù)形式，其特征是以oxn作為結(jié)尾，作為結(jié)尾，這種數(shù)據(jù)稱為級數(shù)型數(shù)據(jù)，不便進行計算，也不能這種數(shù)據(jù)稱為級

6、數(shù)型數(shù)據(jù)，不便進行計算，也不能直接畫圖，在使用時，可以將其轉(zhuǎn)換為多項式，然直接畫圖，在使用時，可以將其轉(zhuǎn)換為多項式，然后再計算。需使用命令：后再計算。需使用命令： normalseries 如：a=series1/(1-x),x,0,5，結(jié)果為結(jié)果為 b=normala，結(jié)果為結(jié)果為1xx2x3x4x5o x61xx2x3x4x5二、邊學邊做1 1求和求和(1)algebrasymboblic.m(1)algebrasymboblic.m。 sumn sumn* *2n,n,1,6 2n,n,1,6 求有限項的和，輸出結(jié)果求有限項的和，輸出結(jié)果為為642642(2)algebrasymbobl

7、ic.m(2)algebrasymboblic.m。 sum1/(n sum1/(n* *(n+1),n,1,infinity (n+1),n,1,infinity 求級數(shù)的和，求級數(shù)的和，輸出結(jié)果為輸出結(jié)果為1 1，同時表明級數(shù)收斂。，同時表明級數(shù)收斂。 algebrasymboblic.m algebrasymboblic.m。 sum1/n,n,1,infinity sum1/n,n,1,infinity 求級數(shù)的和，輸出結(jié)求級數(shù)的和，輸出結(jié)果為果為infinityinfinity，同時表明級數(shù)發(fā)散。，同時表明級數(shù)發(fā)散。(3) algebrasymboblic.m(3) algebras

8、ymboblic.m。 sumxn/n!,n,0,infinity sumxn/n!,n,0,infinity 求級數(shù)的和，輸出結(jié)果為求級數(shù)的和，輸出結(jié)果為 還可確定收斂域，只需要執(zhí)行下列各條命令：還可確定收斂域，只需要執(zhí)行下列各條命令： clearf,a,b,n clearf,a,b,n fx_ :=xn/n!; fx_ :=xn/n!; an_:=1/n!;an_:=1/n!; b=limitan/an+1,n-infinity;b=limitan/an+1,n-infinity; 確定收斂半徑為確定收斂半徑為, ,收斂域為收斂域為( (, ,) )xe algebrasymboblic.

9、m algebrasymboblic.m。 sumsum（-1-1）(n+1)(n+1)* *xn/n,n,1,infinity xn/n,n,1,infinity 求級數(shù)的和，輸出結(jié)果為求級數(shù)的和，輸出結(jié)果為log1+xlog1+x還可確定收斂域，只需要執(zhí)行下列各條命令：還可確定收斂域，只需要執(zhí)行下列各條命令：clearf,a,b,nclearf,a,b,nfx_ :=fx_ :=（-1-1）(n+1)(n+1)* *xn/n;xn/n;an_:=an_:=（-1-1）(n+1) /n;(n+1) /n;b=limitan/an+1,n-infinity;b=limitan/an+1,n-i

10、nfinity;print“r=”,absb print“r=”,absb 確定收斂半徑為確定收斂半徑為1 1sumf1,n,1,infinity sumf1,n,1,infinity 確定原級數(shù)在確定原級數(shù)在x=1x=1處收處收斂于斂于log2log2sumf-1,n,1,infinity sumf-1,n,1,infinity 確定原級數(shù)在確定原級數(shù)在x=-1x=-1處處發(fā)散發(fā)散因而原級數(shù)收斂域為因而原級數(shù)收斂域為（-1-1，112 2函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)（1 1）seriessinx,x,0,5 seriessinx,x,0,5 （2 2）series1/(3-x),x,1,3 series1/(3-x),x,1,3 （3 3）series1