專題復(fù)習(xí)線段和差的最值

1、第1頁(yè)/共27頁(yè) 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.結(jié)合線段和最小的課本原型題的知識(shí)梳理及典型例題再探，能求出兩定一動(dòng)、兩動(dòng)一定、兩定兩動(dòng)的線段和最小值。 2.通過(guò)對(duì)線段差最大課本原型知識(shí)點(diǎn)的梳理及例題再探，能求出兩點(diǎn)同側(cè)、兩點(diǎn)異側(cè)的線段差最大值。第2頁(yè)/共27頁(yè)常規(guī)積累 判斷線段之間關(guān)系的公理和定理有哪些？1.兩點(diǎn)之間線段最短。2.直線外一點(diǎn)與直線上所有點(diǎn)的連線段中，垂線段最短。3.三角形兩邊之和大于第三邊或三角形兩邊之差小于第三邊。第3頁(yè)/共27頁(yè)課本原型（八上85頁(yè)） 如圖所示，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊 飲馬，然后到B地。木馬人到河邊的什么地方飲馬，可是所走路徑最短？ABCAC 理論依據(jù)：兩點(diǎn)之間

2、，線段最短 用途：求兩條線段和的最小值l第4頁(yè)/共27頁(yè) 如圖，A.B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上建一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假設(shè)河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）bNAaAMMNB課本原型（八上86頁(yè)）N N N第5頁(yè)/共27頁(yè) 如圖，A.B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上建一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假設(shè)河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）AbNAaAMMB課本原型（八上86頁(yè)）N第6頁(yè)/共27頁(yè)應(yīng)用：求兩條線段和的最小值模型一：（兩點(diǎn)同側(cè)）：如圖1，點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，畫出一點(diǎn)P使PA+PB取最小值。模型二：（兩點(diǎn)異側(cè)）：如

3、圖2，點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，畫出一點(diǎn)P使PA+PB取最小值。BlCA圖1BABlC圖2第7頁(yè)/共27頁(yè)【典型例題】例1.（“兩定一動(dòng)” ）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(3,4)，B(0,2)，點(diǎn)P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，求當(dāng)PA +PB最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)yxBAOP類型類型“兩點(diǎn)同側(cè)兩點(diǎn)同側(cè)”在x軸上確定一點(diǎn)P使PA+PB最小，因此先作B（A）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B（ A） ，連接AB與與x軸的交點(diǎn)即為所軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)求的點(diǎn)P。由由B(0,2)，所以B(0,-2)，因?yàn)?，因?yàn)?A(3,4)，所以易求直線A B：y=2x-2,所以點(diǎn)所以點(diǎn)P（1，0）B第8頁(yè)/共27頁(yè)變式訓(xùn)練如圖，MN 是O的直徑，MN=2

4、，點(diǎn)A 在O 上，AMN=30，B 為弧AN 的中點(diǎn)，P是直徑MN 上一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PB 的最小值為 ABONMPB第9頁(yè)/共27頁(yè)【典型例題】例2.（“兩動(dòng)一定”）如圖，在銳角ABC中，AB= ，BAC=45，BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)你求出BM+MN的最小值24ABCDNMNN解析：AD是角平分線，所以具有軸對(duì)稱，先作N與N關(guān)于AD對(duì)稱，所以M N=MN，要使BM+MN最小，即BM+MN=BM+MN最小，所以當(dāng)B，M， N在一條直線上時(shí)最小，此時(shí)為BN的長(zhǎng)度，而BN最小時(shí)即為B N與AC垂直時(shí)最小，易求得BM+MN的最小值為4第10頁(yè)/共27頁(yè)變式訓(xùn)練

5、練習(xí)1，如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，CDB的平分線DE交BC于點(diǎn)E，若點(diǎn)P,Q分別是DE和DC上的動(dòng)點(diǎn)，則PQ+PC的最小值（ ） A.2 B. C.4 D. 2224ABCDQPE第11頁(yè)/共27頁(yè)【變式訓(xùn)練】練習(xí)2，如圖，AOB=45，P是AOB內(nèi)一點(diǎn)，OP=10，Q、R分別是OB、OA上的動(dòng)點(diǎn)，求PQR周長(zhǎng)的最小值BPAOP1P2 QR第12頁(yè)/共27頁(yè)【典型例題】例3.(“兩動(dòng)兩定”)如圖，直線l1、l2交于O，A、B是兩直線間的兩點(diǎn)，從點(diǎn)A出發(fā)，先到l1上一點(diǎn)P，再?gòu)腜點(diǎn)到l2上一點(diǎn)Q，再回到B點(diǎn)，求作P、Q兩點(diǎn)，使APPQ QB最小。Q QP PAB解析：由前面的知識(shí)積累可以得

6、知：先作出點(diǎn)A與 A關(guān)于直線l1對(duì)稱，則PA=P A，然后再作 B與B關(guān)于l2對(duì)稱，則QB=Q B連接AB交l1，l2于點(diǎn)P，Q，則AP+PQ+QB= P A+PQ+Q B，當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)， AP+PQ+QB最小。ABOl1l2第13頁(yè)/共27頁(yè)【變式訓(xùn)練】 已知,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1,3)、B(4,2)，請(qǐng)問(wèn)在x軸上是否存在點(diǎn)C，在y軸上是否存在點(diǎn)D，使得圍成的四邊形ADCB周長(zhǎng)最短. xyAOBADCB第14頁(yè)/共27頁(yè)課本原型 任意畫一個(gè)三角形ABC,從點(diǎn)B出發(fā)，沿三角形的變到點(diǎn)C有幾條線路路可已選擇？各條線路的長(zhǎng)有什么關(guān)系？能證明你的結(jié)論嗎？BA C即：三角形任意兩邊之差小于第三

7、邊即：三角形任意兩邊之差小于第三邊AB-ACBC第15頁(yè)/共27頁(yè)應(yīng)用：求兩條線段差的最大值A(chǔ)、理論依據(jù)：三角形兩邊之差小于第三邊B、用途：求兩條線段差的最大值當(dāng)P在直線運(yùn)動(dòng)到D 時(shí)，（PBPC）取最大PB CD第16頁(yè)/共27頁(yè)【常見模型】模型一：兩點(diǎn)同側(cè)：如圖1，點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)。畫出一點(diǎn)P，使 |PAPB|取最大值；模型二：兩點(diǎn)異側(cè)：如圖2，點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，畫出一點(diǎn)P,使|PAPB|取最大值；PBAlB BPAl圖1圖2ppA第17頁(yè)/共27頁(yè)例1 1：已知：點(diǎn)A(0,1)A(0,1)，B(3,4)B(3,4)，點(diǎn)P P在x x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)|PA-PB|PA-PB|的值最大時(shí)，求

8、出此時(shí)點(diǎn)P P 的坐標(biāo)yxOABPP P分析：分析：“兩點(diǎn)同側(cè)兩點(diǎn)同側(cè)”當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P、A、B不在一條直線上時(shí)，不在一條直線上時(shí)，|PA-PB|AB，所以當(dāng)所以當(dāng)|PA-PB|的值最大時(shí)，此時(shí)的值最大時(shí)，此時(shí)點(diǎn)點(diǎn)p、A、B在一條直線上，即直線在一條直線上，即直線AB與與x軸的交點(diǎn)為軸的交點(diǎn)為P。解析：當(dāng)解析：當(dāng)|PA-PB|PA-PB|取最大時(shí)，此時(shí)點(diǎn)取最大時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P P、A A、B B在一條在一條直線上，設(shè)直線直線上，設(shè)直線ABAB：y=kx+by=kx+b將將A(0,1)A(0,1) B(3,4)B(3,4)代入解代入解得得k=1,b=1k=1,b=1所以直線所以直線ABAB：y=x+1y=

9、x+1，又因?yàn)辄c(diǎn)，又因?yàn)辄c(diǎn)P P在在x x軸上，軸上，易求點(diǎn)易求點(diǎn)P P（-1-1，0 0）【典型例題】第18頁(yè)/共27頁(yè)例1 1：已知：點(diǎn)A(-3,-3)A(-3,-3)，B(-1,-1)B(-1,-1)，點(diǎn)P P在x x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)|PA-PB|PA-PB|的值最大時(shí)，求出此時(shí)點(diǎn)P P 的坐標(biāo)yxOABPPP大顯身手第19頁(yè)/共27頁(yè)【典型例題】例2 2：已知：點(diǎn)A(0,1)A(0,1)，B(3,0)B(3,0)，點(diǎn)P P在直線x=2x=2上運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)|PA-PB|PA-PB|的值最大時(shí)，求出此時(shí)點(diǎn)P P的坐標(biāo)yxOABx=2PB1 1P分析：分析：“兩點(diǎn)異側(cè)兩點(diǎn)異側(cè)”由題知：由題知：|

10、PA-PB|AB，所以當(dāng)，所以當(dāng)|PA-PB|的值最大時(shí)，先找出點(diǎn)的值最大時(shí)，先找出點(diǎn)B關(guān)于直線關(guān)于直線x=2的對(duì)稱點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)Bl，連接，連接AB與直線與直線x=2的的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P，此時(shí)滿足：此時(shí)滿足： |PA-PB|的值最大；的值最大；解析：點(diǎn)解析：點(diǎn)B B與點(diǎn)與點(diǎn)B Bl l關(guān)于直線關(guān)于直線x=2x=2對(duì)稱，對(duì)稱，B B（3,03,0），得），得B B（1 1，0 0）；易求直線）；易求直線ABAB ：y=-x+1,y=-x+1,因?yàn)辄c(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn)P P在在x=2x=2上，所以聯(lián)立可解得：上，所以聯(lián)立可解得：P(2,-1)P(2,-1)第20頁(yè)/共27頁(yè)例2 2：已知：點(diǎn)A(0

11、,1)A(0,1)，B(3,0)B(3,0)，點(diǎn)P P在直線x=2x=2上運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)|PA-PB|PA-PB|的值最大時(shí)，求出此時(shí)點(diǎn)P P的坐標(biāo)yxOABx=2PB1 1P大顯身手第21頁(yè)/共27頁(yè) 在平面幾何的動(dòng)態(tài)問(wèn)題中，當(dāng)某幾何元素在給定條件變動(dòng)，求線段和的最小值或線段差的最大值時(shí)： 1.思路：找點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱點(diǎn)(作定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn)，或動(dòng)點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn)；同時(shí)要考慮點(diǎn)點(diǎn)、點(diǎn)線、線線之間的最短問(wèn)題),實(shí)現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直” 。 2.方法： （1）應(yīng)用兩點(diǎn)間線段最短的公理（含應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系）求最值； （2）應(yīng)用垂線段最短的性質(zhì)求最值； （3）應(yīng)用軸對(duì)稱（折疊）、平移的性質(zhì)求最值。 反思總結(jié)第22頁(yè)/共27頁(yè)中考題哪里來(lái)？中考題哪里來(lái)？課本例題課本例題或常見題或常見題中考題中考題來(lái)來(lái)源源引申、條件變換、引申、條件變換、移植轉(zhuǎn)換、增加解移植轉(zhuǎn)換、增加解題層次性等題層次性等如何去解？轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化第23頁(yè)/共27頁(yè)第24頁(yè)/共27頁(yè)1.如圖1，等邊ABC的邊長(zhǎng)為6，AD是邊BC上的中線，M是AD上的動(dòng)點(diǎn)，E是邊AC上的一點(diǎn)，若AE=2，EM+CM的最小值為_。2.如圖2，菱形ABCD中，BAD=600，M是AB的中點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若PM+PB的最小值是