三級數(shù)學(xué)活動課

1、三年級數(shù)學(xué)活動課程第1講 加減法的巧算在進(jìn)行加減運(yùn)算時，為了又快又準(zhǔn)確，除了要熟練地掌握計算法則外，還需要掌握一些巧算方法。加減法的巧算主要是“湊整”，就是將算式中的數(shù)分成若干組，使每組的運(yùn)算結(jié)果都是整十、整百、整千的數(shù)，再將各組的結(jié)果求和。這種“化零為整”的思想是加減法巧算的基礎(chǔ)。先講加法的巧算。加法具有以下兩個運(yùn)算律：加法交換律：兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，它們的和不變。即a+b=b+a，其中a，b各表示任意一數(shù)。例如，5+6=6+5。一般地，多個數(shù)相加，任意改變相加的次序，其和不變。例如，a+b+c+d=d+b+a+c=其中a，b，c，d各表示任意一數(shù)。加法結(jié)合律：三個數(shù)相加，先把前兩個

2、數(shù)相加，再加上第三個數(shù)；或者，先把后兩個數(shù)相加，再與第一個數(shù)相加，它們的和不變。即a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)，其中a，b，c各表示任意一數(shù)。例如，4+9+7=(4+9)+7=4+(9+7)。一般地，多個數(shù)(三個以上)相加，可先對其中幾個數(shù)相加，再與其它數(shù)相加。把加法交換律與加法結(jié)合律綜合起來應(yīng)用，就得到加法的一些巧算方法。1.湊整法 先把加在一起為整十、整百、整千的加數(shù)加起來，然后再與其它的數(shù)相加。例1計算：(1)2354184782；(2)(13504968)(51321650)。解：(1)2354184782(2347)(1882)547010054224；(2)(1350

3、4968)(51321650)135049685132+1650(13501650)(4951)(6832)30001001003200。2.借數(shù)湊整法有些題目直觀上湊整不明顯，這時可“借數(shù)”湊整。例如，計算97685，可在85中借出24，即把85拆分成2461，這樣就可以先用976加上24，“湊”成1000，然后再加61。例2計算：(1)576423846；(2)499339965997848。解：(1)57642384657(622)238(433)(5743)(62238)2310030023405；(2)499339965997848=499339965997(743834)=(499

4、37)(39964)(59973)834=50004000600083415834。下面講減法和加減法混合運(yùn)算的巧算。加、減法有如下一些重要性質(zhì)：(1)在連減或加、減混合運(yùn)算中，如果算式中沒有括號，那么計算時可以帶著運(yùn)算符號“搬家”。例如，a-b-ca-c-b，a-b+ca+c-b，其中a，b，c各表示一數(shù)。(2)在加、減法混合運(yùn)算中，去括號時：如果括號前面是“”號，那么去掉括號后，括號內(nèi)的數(shù)的運(yùn)算符號不變；如果括號前面是“-”號，那么去掉括號后，括號內(nèi)的數(shù)的運(yùn)算符號“”變?yōu)椤?”，“-”變?yōu)椤啊?。例如，a(b-c)=a+b-c， a-(bc)=a-b-c， a-(b-c)=a-b+c。(3)

5、在加、減法混合運(yùn)算中，添括號時：如果添加的括號前面是“”號，那么括號內(nèi)的數(shù)的原運(yùn)算符號不變；如果添加的括號前面是“-”號，那么括號內(nèi)的數(shù)的原運(yùn)算符號“”變?yōu)椤啊?，?”變?yōu)椤啊?。例如，ab-ca(b-c)，a-bc=a-(b-c)，a-b-ca-(bc)。靈活運(yùn)用這些性質(zhì)，可得減法或加、減法混合計算的一些簡便方法。3.分組湊整法例3計算：(1)875-364-236；(2)1847-1928628-136-64；(3)1348-234-762234-48-24。解：(1)875-364-236=875-(364236)=875-600=275；(2)1847-1928628-136-64=18

6、47-(1928-628)-(13664)=1847-1300-200347；(3)1348-234-762234-48-24=(1348-48)+(2234-234)-(7624)=13002000-1003200。4.加補(bǔ)湊整法例4計算：(1)512-382；(2)6854-876-97；(3)397-146288-339。解：(1)512-382=(50012)-(400-18)=500+12-400+18(500-400)(1218)10030130；(2)6854-876-97=6854-(1000-124)-(100-3)=6854-1000124-1003=5854+24+358

7、81；(3)397-146288-3393973-3-14628812-12-339(3973)(28812)-(146312339)400300-500=200。練習(xí)1巧算下列各題：1.4271242958。2.43+(3845)(556257)。3.698784158。4.3993+2996+7994135。5.43561287-356。6.526-73-27-26。7.4253-(253-158)。8.1457-(185457)。9.389-497234。10.698-154+269+787。第2講 橫式數(shù)字謎(一)在一個數(shù)學(xué)式子(橫式或豎式)中擦去部分?jǐn)?shù)字，或用字母、文字來代替部分?jǐn)?shù)字

8、的不完整的算式或豎式，叫做數(shù)字謎題目。解數(shù)字謎題就是求出這些被擦去的數(shù)或用字母、文字代替的數(shù)的數(shù)值。例如，求算式324+=528中所代表的數(shù)。根據(jù)“加數(shù)=和-另一個加數(shù)”知，=582-324258。又如，求右豎式中字母a，b所代表的數(shù)字。顯然個位數(shù)相減時必須借位，所以，由12-b5知，b12-57；由a-13知，a314。解數(shù)字謎問題既能增強(qiáng)數(shù)字運(yùn)用能力，又能加深對運(yùn)算的理解，還是培養(yǎng)和提高分析問題能力的有效方法。這一講介紹簡單的算式(橫式)數(shù)字謎的解法。解橫式數(shù)字謎，首先要熟知下面的運(yùn)算規(guī)則：(1)一個加數(shù)+另一個加數(shù)=和；(2)被減數(shù)-減數(shù)=差；(3)被乘數(shù)乘數(shù)=積；(4)被除數(shù)除數(shù)=商。

9、由它們推演還可以得到以下運(yùn)算規(guī)則：由(1)，得 和-一個加數(shù)=另一個加數(shù)；其次，要熟悉數(shù)字運(yùn)算和拆分。例如，8可用加法拆分為80817263544；24可用乘法拆分為24124=2123846(兩個數(shù)之積)=1212226=(三個數(shù)之積)=12262223=(四個數(shù)之積)例1 下列算式中，*各代表什么數(shù)？(1)+513-6； (2)28-157；(3)3=54； (4)387；(5)56*7。解：(1)由加法運(yùn)算規(guī)則知，=13-6-52；(2)由減法運(yùn)算規(guī)則知，28-(157)6；(3)由乘法運(yùn)算規(guī)則知，54318；(4)由除法運(yùn)算規(guī)則知，=873261；(5)由除法運(yùn)算規(guī)則知，*5678。例

10、2 下列算式中，各代表什么數(shù)？(1)+=48； (2)621-；(3)5-18612； (4)63-4513。解：(1)表示一個數(shù)，根據(jù)乘法的意義知，+=3，故=48316。(2)先把左端(6)看成一個數(shù)，就有(6)21，321-6，1535。(3)把5，186分別看成一個數(shù)，得到5=12186，5=15，=1553。(4)把63，45分別看成一個數(shù)，得到4563-13，455，4559。例3(1)滿足581271的整數(shù)等于幾？(2)180是由哪四個不同的且大于1的數(shù)字相乘得到的？試把這四個數(shù)按從小到大的次序填在下式的里。180=。(3)若數(shù)，滿足=48和=3，則，各等于多少？分析與解：(1)

11、因為5812410，7112511，并且為整數(shù)，所以，只有=5才滿足原式。(2)拆分180為四個整數(shù)的乘積有很多種方法，如1801459012330但拆分成四個“大于1”的數(shù)字的乘積，范圍就縮小了，再限制拆分成四個“不同的”數(shù)字的乘積，范圍又縮小了。按從小到大的次序排列只有下面一種：1802356。所以填的四個數(shù)字依次為2，3，5，6。(3)首先，由=3知，因此，在把48拆分為兩數(shù)的乘積時，有4848124216312486，其中，只有48124中，124=3，因此=12，=4。這道題還可以這樣解：由=3知，=3。把=48中的換成3，就有(3)48，于是得到=4831

12、6。因為1644，所以=4。再把=3中的換成4，就有=3=43=12。這是一種“代換”的思想，它在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)用十分廣泛。下面，我們再結(jié)合例題講一類“填運(yùn)算符號”問題。例4 在等號左端的兩個數(shù)中間添加上運(yùn)算符號，使下列各式成立：(1)4 4 4 424；(2)5 5 5 5 5=6。解：(1)因為444424，所以必須填一個“”。4416，剩下的兩個4只需湊成8，因此，有如下一些填法：444424；444424；444424。(2)因為5+1=6，等號左端有五個5，除一個5外，另外四個5湊成1，至少要有一個“”，有如下填法：55+5-5+56；5555-56；55555=6；555556

13、。由例4看出，填運(yùn)算符號的問題一般會有多個解。這些填法都是通過對問題的綜合觀察、分析和試算得到的，如果只是盲目地“試算”，那么就可能走很多彎路。例5 在下式的兩數(shù)中間添上四則運(yùn)算符號，使等式成立：8 2 33 3。分析與解：首先考察右端“3 3”，它有四種填法：3+36； 3-30；339； 33=1。再考察左端“8 2 3”，因為只有一個奇數(shù)3，所以要想得到奇數(shù)，3的前面只能填“”或“-”，要想得到偶數(shù)，3的前面只能填“”。經(jīng)試算，只有兩種符合題意的填法：8-2333；82-333。填運(yùn)算符號可加深對四則運(yùn)算的理解和認(rèn)識，也是培養(yǎng)分析能力的好內(nèi)容。練習(xí)21.在下列各式中，分別代表什么數(shù)？+1

14、635； 47-=12； -315；4=36； 4=15； 84=4。2.在下列各式中，各代表什么數(shù)？(+350)3=200； (54-)40；360-710； 49-5=1。3.在下列各式中，各代表什么數(shù)？150-=；92=22。4.120是由哪四個不同的一位數(shù)字相乘得到的？試把這四個數(shù)字按從小到大的次序填在下式的里：120 。5.若數(shù)，同時滿足=36和-=5，則，各等于多少？6.在兩數(shù)中間添加運(yùn)算符號，使下列等式成立：(1)5 5 5 5 53；(2)1 2 3 41。7.在下列各式的內(nèi)填上合適的運(yùn)算符號，使等式成立：1244=103。8.在下列各式的內(nèi)填上合適的運(yùn)算符號，使等式成立：12

15、3456789100；123456789100；123456789100；123456789100；123456789100；123456789100；123456789100。第3講 豎式數(shù)字謎(一)這一講主要講加、減法豎式的數(shù)字謎問題。解加、減法數(shù)字謎問題的基本功，在于掌握好上一講中介紹的運(yùn)算規(guī)則(1)(2)及其推演的變形規(guī)則，另外還要掌握數(shù)的加、減的“拆分”。關(guān)鍵是通過綜合觀察、分析，找出解題的“突破口”。題目不同，分析的方法不同，其“突破口”也就不同。這需要通過不斷的“學(xué)”和“練”，逐步積累知識和經(jīng)驗，總結(jié)提高解題能力。例1 在右邊的豎式中，a，b，c，d各代表什么數(shù)字？解：顯然，c=

16、5，d=1(因兩個數(shù)字之和只能進(jìn)一位)。由于a41即a5的個位數(shù)為3，且必進(jìn)一位(因為43)，所以a5=13，從而a13-5=8。同理，由7b1=12，即b812，得到b12-84。故所求的a=8，b=4，c=5，d=1。例2 求下面各豎式中兩個加數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字之和：分析與解：(1)由于和的個位數(shù)字是9，兩個加數(shù)的個位數(shù)字之和不大于9918，所以兩個加數(shù)的個位上的兩個方框里的數(shù)字之和只能是9。(這是“突破口”)再由兩個加數(shù)的個位數(shù)之和未進(jìn)位，因而兩個加數(shù)的十位數(shù)字之和就是14。故這兩個加數(shù)的四個數(shù)字之和是914=23。(2)由于和的最高兩位數(shù)是19，而任何兩個一位數(shù)相加的和都不超過18，

17、因此，兩個加數(shù)的個位數(shù)相加后必進(jìn)一位。(這是“突破口”，與(1)不同)這樣，兩個加數(shù)的個位數(shù)字相加之和是15，十位數(shù)字相加之和是18。所求的兩個加數(shù)的四個數(shù)字之和是151833。注意：(1)(2)兩題雖然題型相同，但兩題的“突破口”不同。(1)是從和的個位著手分析，(2)是從和的最高兩位著手分析。例3 在下面的豎式中，a，b，c，d，e各代表什么數(shù)？分析與解：解減法豎式數(shù)字謎，與解加法豎式數(shù)字謎的分析方法一樣，所不同的是“減法”。首先，從個位減起(因已知差的個位是5)。45，要使差的個位為5，必須退位，于是，由14-d5知，d=14-59。(這是“突破口”)再考察十位數(shù)字相減：由b-1-09知

18、，也要在百位上退位，于是有10b-1-09，從而b0。百位減法中，顯然e=9。千位減法中，由10a-1-37知，a1。萬位減法中，由9-1-c0知，c8。所以，a1，b0，c8，d9，e9。例4 在下面的豎式中，“車”、“馬”、“炮”各代表一個不同的數(shù)字。請把這個文字式寫成符合題意的數(shù)字式。分析與解：例3是從個位著手分析，而這里就只能從首位著手分析。由一個四位數(shù)減去一個三位數(shù)的差是三位數(shù)知，“炮”1。被減數(shù)與減數(shù)的百位數(shù)相同，其相減又是退位相減，所以，“馬”9。至此，我們已得到下式：由上式知，個位上的運(yùn)算也是退位減法，由11-“車”=9得到“車”2。因此，符合題意的數(shù)字式為：例5 在右邊的豎式

19、中，“巧，填，式，謎”分別代表不同的數(shù)字，它們各等于多少？解：由(4謎)的個位數(shù)是0知，“謎”0或5。當(dāng)“謎”0時，(3式)的個位數(shù)是0，推知“式”0，與“謎”“式”矛盾。當(dāng)“謎”5時，個位向十位進(jìn)2。由(3式+2)的個位數(shù)是0知，“式”6，且十位要向百位進(jìn)2。由(2填+2)的個位數(shù)是0，且不能向千位進(jìn)2知，“填”4。最后推知，“巧”1。所以“巧”1，“填”4，“式”=6，“謎”5。練習(xí)31.在下列各豎式的中填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使豎式成立：2.下列各豎式中，里的數(shù)字被遮蓋住了，求各豎式中被蓋住的各數(shù)字的和：3.在下列各豎式的中填入合適的數(shù)字，使豎式成立：4.下式中不同的漢字代表19中不同的數(shù)字，相

20、同的漢字代表相同的數(shù)字。這個豎式的和是多少？5.在下列各豎式的中填入合適的數(shù)字，使豎式成立：第4講 豎式數(shù)字謎(二)本講只限于乘數(shù)、除數(shù)是一位數(shù)的乘、除法豎式數(shù)字謎問題。掌握好乘、除法的基本運(yùn)算規(guī)則(第2講的公式(3)(4)及推演出的變形式子)是解乘、除法豎式謎的基礎(chǔ)。根據(jù)題目結(jié)構(gòu)形式，通過綜合觀察、分析，找出“突破口”是解題的關(guān)鍵。例1 在左下乘法豎式的中填入合適的數(shù)字，使豎式成立。分析與解：由于積的個位數(shù)是5，所以在乘數(shù)和被乘數(shù)的個位數(shù)中，一個是5，另一個是奇數(shù)。因為乘積大于被乘數(shù)的7倍，所以乘數(shù)是大于7的奇數(shù)，即只能是9(這是問題的“突破口”)，被乘數(shù)的個位數(shù)是5。因為797089，所以

21、，被乘數(shù)的百位數(shù)字只能是7。至此，求出被乘數(shù)是785，乘數(shù)是9(見右上式)。例2 在右邊乘法豎式的里填入合適的數(shù)字，使豎式成立。分析與解：由于乘積的數(shù)字不全，特別是不知道乘積的個位數(shù)，我們只能從最高位入手分析。乘積的最高兩位數(shù)是2，被乘數(shù)的最高位是3，由可以確定乘數(shù)的大致范圍，乘數(shù)只可能是6，7，8，9。到底是哪一個呢？我們只能逐一進(jìn)行試算：(1)若乘數(shù)為6，則積的個位填2，并向十位進(jìn)4，此時，乘數(shù)6與被乘數(shù)的十位上的數(shù)字相乘之積的個位數(shù)只能是5(因4+5=9)。這樣一來，被乘數(shù)的十位上就無數(shù)可填了。這說明乘數(shù)不能是6。(2)若乘數(shù)為7，則積的個位填9，并向十位進(jìn)4。與(1)分析相同，為使積的

22、十位是9，被乘數(shù)的十位只能填5，從而積的百位填4。得到符合題意的填法如右式。(3)若乘數(shù)為8，則積的個位填6，并向十位進(jìn)5。為使積的十位是9，被乘數(shù)的十位只能填3或8。當(dāng)被乘數(shù)的十位填3時，得到符合題意的填法如右式。當(dāng)被乘數(shù)的十位填8時，積的最高兩位為3，不合題意。(4)若乘數(shù)為9，則積的個位填3，并向十位進(jìn)6。為使積的十位是9，被乘數(shù)的十位只能填7。而此時，積的最高兩位是3 ，不合題意。綜上知，符合題意的填法有上面兩種。除法豎式數(shù)字謎問題的解法與乘法情形類似。例3 在左下邊除法豎式的中填入適當(dāng)?shù)臄?shù)，使豎式成立。分析與解：由488=6即86=48知，商的百位填6，且被除數(shù)的千位、百位分別填4，

23、8。又顯然，被除數(shù)的十位填1。由1=商的個位8知，兩位數(shù)1能被8除盡，只有168=2，推知被除數(shù)的個位填6，商的個位填2。填法如右上式。例3是從最高位數(shù)入手分析而得出解的。例4 在右邊除法豎式的中填入合適的數(shù)字。使豎式成立。分析與解：從已知的幾個數(shù)入手分析。首先，由于余數(shù)是5，推知除數(shù)5，且被除數(shù)個位填5。由于商4時是除盡了的，所以，被除數(shù)的十位應(yīng)填2，且由于34=12，84=32，推知，除數(shù)必為3或8。由于已經(jīng)知道除數(shù)5，故除數(shù)=8。(這是關(guān)鍵！)從84=32知，被除數(shù)的百位應(yīng)填3，且商的百位應(yīng)填0。從除數(shù)為8，第一步除法又出現(xiàn)了4，88=64，83=24，這說明商的千位只能填8或3。試算知

24、，8和3都可以。所以，此題有下面兩種填法。練習(xí)41.在下列各豎式的里填上合適的數(shù)：2.在右式中，“我”、“愛”、“數(shù)”、“學(xué)”分別代表什么數(shù)時，乘法豎式成立？3.“我”、“們”、“愛”、“祖”、“國”各代表一個不同的數(shù)字，它們各等于多少時，右邊的乘法豎式成立？4.在下列各除法豎式的里填上合適的數(shù)，使豎式成立：5.在下式的里填上合適的數(shù)。第5講 找規(guī)律(一)這一講我們先介紹什么是“數(shù)列”，然后講如何發(fā)現(xiàn)和尋找“數(shù)列”的規(guī)律。按一定次序排列的一列數(shù)就叫數(shù)列。例如，(1) 1，2，3，4，5，6，(2) 1，2，4，8，16，32；(3) 1，0，0，1，0，0，1，(4) 1，1，2，3，5，8，

25、13。一個數(shù)列中從左至右的第n個數(shù)，稱為這個數(shù)列的第n項。如，數(shù)列(1)的第3項是3，數(shù)列(2)的第3項是4。一般地，我們將數(shù)列的第n項記作an。數(shù)列中的數(shù)可以是有限多個，如數(shù)列(2)(4)，也可以是無限多個，如數(shù)列(1)(3)。許多數(shù)列中的數(shù)是按一定規(guī)律排列的，我們這一講就是講如何發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律。數(shù)列(1)是按照自然數(shù)從小到大的次序排列的，也叫做自然數(shù)數(shù)列，其規(guī)律是：后項=前項+1，或第n項ann。數(shù)列(2)的規(guī)律是：后項=前項2，或第n項數(shù)列(3)的規(guī)律是：“1，0，0”周而復(fù)始地出現(xiàn)。數(shù)列(4)的規(guī)律是：從第三項起，每項等于它前面兩項的和，即a3=1+1=2，a4=1+2=3，a5=2+3

26、5，a6=3+5=8，a7=5+8=13。常見的較簡單的數(shù)列規(guī)律有這樣幾類：第一類是數(shù)列各項只與它的項數(shù)有關(guān)，或只與它的前一項有關(guān)。例如數(shù)列(1)(2)。第二類是前后幾項為一組，以組為單元找關(guān)系才可找到規(guī)律。例如數(shù)列(3)(4)。第三類是數(shù)列本身要與其他數(shù)列對比才能發(fā)現(xiàn)其規(guī)律。這類情形稍為復(fù)雜些，我們用后面的例3、例4來作一些說明。例1 找出下列各數(shù)列的規(guī)律，并按其規(guī)律在( )內(nèi)填上合適的數(shù)：(1)4，7，10，13，( )，(2)84，72，60，( )，( )；(3)2，6，18，( )，( )，(4)625，125，25，( )，( )；(5)1，4，9，16，( )，(6)2，6，12

27、，20，( )，( )，解：通過對已知的幾個數(shù)的前后兩項的觀察、分析，可發(fā)現(xiàn)(1)的規(guī)律是：前項+3=后項。所以應(yīng)填16。(2)的規(guī)律是：前項-12=后項。所以應(yīng)填48，36。(3)的規(guī)律是：前項3=后項。所以應(yīng)填54，162。(4)的規(guī)律是：前項5=后項。所以應(yīng)填5，1。(5)的規(guī)律是：數(shù)列各項依次為1=11， 4=22， 9=33， 16=44，所以應(yīng)填55=25。(6)的規(guī)律是：數(shù)列各項依次為2=12，6=23，12=34，20=45，所以，應(yīng)填 56=30， 67=42。說明：本例中各數(shù)列的每一項都只與它的項數(shù)有關(guān)，因此an可以用n來表示。各數(shù)列的第n項分別可以表示為(1)an3n+1

28、；(2)an96-12n；(3)an23n-1；(4)an55-n；(5)ann2；(6)ann(n+1)。這樣表示的好處在于，如果求第100項等于幾，那么不用一項一項地計算，直接就可以算出來，比如數(shù)列(1)的第100項等于3100+1=301。本例中，數(shù)列(2)(4)只有5項，當(dāng)然沒有必要計算大于5的項數(shù)了。例2 找出下列各數(shù)列的規(guī)律，并按其規(guī)律在( )內(nèi)填上合適的數(shù)：(1)1，2，2，3，3，4，( )，( )；(2)( )，( )，10，5，12，6，14，7；(3) 3，7，10，17，27，( )；(4) 1，2，2，4，8，32，( )。解：通過對各數(shù)列已知的幾個數(shù)的觀察分析可得其

29、規(guī)律。(1)把數(shù)列每兩項分為一組，1，2，2，3，3，4，不難發(fā)現(xiàn)其規(guī)律是：前一組每個數(shù)加1得到后一組數(shù)，所以應(yīng)填4，5。(2)把后面已知的六個數(shù)分成三組：10，5，12，6，14，7，每組中兩數(shù)的商都是2，且由5，6，7的次序知，應(yīng)填8，4。(3)這個數(shù)列的規(guī)律是：前面兩項的和等于后面一項，故應(yīng)填( 17+27=)44。(4)這個數(shù)列的規(guī)律是：前面兩項的乘積等于后面一項，故應(yīng)填(832=)256。例3 找出下列各數(shù)列的規(guī)律，并按其規(guī)律在( )內(nèi)填上合適的數(shù)：(1)18，20，24，30，( )；(2)11，12，14，18，26，( )；(3)2，5，11，23，47，( )，( )。解：(

30、1)因20-18=2，24-20=4，30-24=6，說明(后項-前項)組成一新數(shù)列2，4，6，其規(guī)律是“依次加2”，因為6后面是8，所以，a5-a4=a5-30=8，故a5=8+30=38。(2)12-11=1，14-12=2， 18-14=4， 26-18=8，組成一新數(shù)列1，2，4，8，按此規(guī)律，8后面為16。因此，a6-a5a6-26=16，故a616+26=42。(3)觀察數(shù)列前、后項的關(guān)系，后項=前項2+1，所以a6=2a5+1247+195，a72a6+1295+1=191。例4 找出下列各數(shù)列的規(guī)律，并按其規(guī)律在( )內(nèi)填上合適的數(shù)：(1)12，15，17，30， 22，45，

31、( )，( )；(2) 2，8，5，6，8，4，( )，( )。解：(1)數(shù)列的第1，3，5，項組成一個新數(shù)列12，17， 22，其規(guī)律是“依次加5”，22后面的項就是27；數(shù)列的第2，4，6，項組成一個新數(shù)列15，30，45，其規(guī)律是“依次加15”，45后面的項就是60。故應(yīng)填27，60。(2)如(1)分析，由奇數(shù)項組成的新數(shù)列2，5，8，中，8后面的數(shù)應(yīng)為11；由偶數(shù)項組成的新數(shù)列8，6，4， 中，4后面的數(shù)應(yīng)為2。故應(yīng)填11，2。練習(xí)5按其規(guī)律在下列各數(shù)列的( )內(nèi)填數(shù)。1.56，49，42，35，( )。2.11， 15， 19， 23，( )，3.3，6，12，24，( )。4.2，

32、3，5，9，17，( )，5.1，3，4，7，11，( )。6.1，3，7，13，21，( )。7.3，5，3，10，3，15，( )，( )。8.8，3，9，4，10，5，( )，( )。9.2，5，10，17，26，( )。10.15，21，18，19，21，17，( )，( )。11.數(shù)列1，3，5，7，11，13，15，17。(1)如果其中缺少一個數(shù)，那么這個數(shù)是幾？應(yīng)補(bǔ)在何處？(2)如果其中多了一個數(shù)，那么這個數(shù)是幾？為什么？第6講 找規(guī)律(二)這一講主要介紹如何發(fā)現(xiàn)和尋找圖形、數(shù)表的變化規(guī)律。例1 觀察下列圖形的變化規(guī)律，并按照這個規(guī)律將第四個圖形補(bǔ)充完整。分析與解：觀察前三個圖，

33、從左至右，黑點數(shù)依次為4，3，2個，并且每個圖形依次按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90，所以第四個圖如右圖所示。觀察圖形的變化，主要從各圖形的形狀、方向、數(shù)量、大小及各組成部分的相對位置入手，從中找出變化規(guī)律。例2 在下列各組圖形中尋找規(guī)律，并按此規(guī)律在“？”處填上合適的數(shù)：解：(1)觀察前兩個圖形中的數(shù)可知，大圓圈內(nèi)的數(shù)等于三個小圓圈內(nèi)的數(shù)的乘積的一半，故第三個圖形中的“？”=5382=60；第四個圖形中的“？”=(212)32=7。(2)觀察前兩個圖形中的已知數(shù)，發(fā)現(xiàn)有10=8+5-3， 8=7+4-3，即三角形里面的數(shù)的和減去三角形外面的數(shù)就是中間小圓圈內(nèi)的數(shù)。故第三個圖形中的“？”=12+1-5=8

34、；第四個圖形中的“？”=7+1-5=3。例3 尋找規(guī)律填數(shù)：解：(1)考察上、下兩數(shù)的差。32-16=16，31-15=16，33-17=16，可知，上面那個“？”=35-16=19，下面那個“？”=18+16=34。(2)從左至右，一上一下地看，由1，3，5，？，9，知，12下面的“？”=7；一下一上看，由6，8，10，12，？，知，9下面的“？”=14。例4 尋找規(guī)律在空格內(nèi)填數(shù)：解：(1)因為前兩圖中的三個數(shù)滿足：256=464，72=612，所以，第三圖中空格應(yīng)填1215=180；第四圖中空格應(yīng)填16913=13。第五圖中空格應(yīng)填2247=32。(2)圖中下面一行的數(shù)都是上一行對應(yīng)數(shù)的

35、3倍，故43下面應(yīng)填433=129；87上面應(yīng)填873=29。例5在下列表格中尋找規(guī)律，并求出“？”：解：(1)觀察每行中兩邊的數(shù)與中間的數(shù)的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)3+8=11，4+2=6，所以，？=5+7=12。(2)觀察每列中三數(shù)的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)1+32=7，7+22=11，所以，？=4+52=14。例6 尋找規(guī)律填數(shù)：(1)(2)解：(1)觀察其規(guī)律知(2)觀察其規(guī)律知：觀察比較圖形、圖表、數(shù)列的變化，并能從圖形、數(shù)量間的關(guān)系中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，這種能力對于同學(xué)們今后的學(xué)習(xí)將大有益處。練習(xí)6尋找規(guī)律填數(shù)：6.下圖中第50個圖形是還是？第7講 加減法應(yīng)用題用數(shù)學(xué)方法解決人們生活和工作中的實際問題就產(chǎn)生了通常所說的

36、“應(yīng)用題”。應(yīng)用題由已知的“條件”和未知的“問題”兩部分構(gòu)成，而且給出的已知條件應(yīng)能保證求出未知的問題。這一講主要介紹利用加、減法解答的簡單應(yīng)用題。例1 小玲家養(yǎng)了46只鴨子，24只雞，養(yǎng)的雞和鵝的總只數(shù)比養(yǎng)的鴨多5只。小玲家養(yǎng)了多少只鵝？解：將已知條件表示為下圖：表示為算式是：24+？=46+5。由此可求得養(yǎng)鵝(46+5)-24=27(只)。答：養(yǎng)鵝27只。若例1 中雞和鵝的總數(shù)比鴨少5只(其它不變)，則已知條件可表示為下圖，表示為算式是：24+？+5=46。由此可求得養(yǎng)鵝46-5-24=17(只)。例2 一個筐里裝著52個蘋果，另一個筐里裝著一些梨。如果從梨筐里取走18個梨，那么梨就比蘋果

37、少12個。原來梨筐里有多少個梨？分析：根據(jù)已知條件，將各種數(shù)量關(guān)系表示為下圖。有幾種思考方法：(1)根據(jù)取走18個梨后，梨比蘋果少12個，先求出梨筐里現(xiàn)有梨52-12=40(個)，再求出原有梨(52-12)+18=58(個)。(2)根據(jù)取走18個梨后梨比蘋果少12個，我們設(shè)想“少取12個”梨，則現(xiàn)有的梨和蘋果一樣多，都是52個。這樣就可先求出原有梨比蘋果多18-126(個)，再求出原有梨52+(18-12)=58(個)。(3)根據(jù)取走18個梨后梨比蘋果少12個，我們設(shè)想不取走梨，只在蘋果筐里加入18個蘋果，這時有蘋果52+18=70(個)。這樣一來，現(xiàn)有蘋果就比原來的梨多了12個(見下圖)。由

38、此可求出原有梨(52+18)-12=58(個)。由上面三種不同角度的分析，得到如下三種解法。解法 1：(52-12)+18=58(個)。解法 2：52+(18-12)=58(個)。解法 3：(52+18)-12=58(個)。答：原來梨筐中有58個梨。例3 某校三年級一班為歡迎“手拉手”小朋友們的到來，買了若干糖果。已知水果糖比小白兔軟糖多15塊，巧克力糖比水果糖多28塊。又知巧克力糖的塊數(shù)恰好是小白兔軟糖塊數(shù)的2倍。三年級一班共買了多少塊糖果？分析與解：只要求出某一種糖的塊數(shù)，就可以根據(jù)已知條件得到其它兩種糖的塊數(shù)，總共買多少就可求出。先求出哪一種糖的塊數(shù)最簡便呢？我們先把已知條件表示為下圖。

39、由上圖可求出，小白兔軟糖塊數(shù)=15+28=43(塊)，水果糖塊數(shù)=43+15=58(塊)，巧克力糖塊數(shù)=432=86(塊)。糖果總數(shù)=43+58+86=187(塊)。答:共買了187塊糖果。例4 一口枯井深230厘米，一只蝸牛要從井底爬到井口處。它每天白天向上爬110厘米，而夜晚卻要向下滑70厘米。這只蝸牛哪一個白天才能爬出井口？分析與解：因蝸牛最后一個白天要向上爬110厘米，井深230厘米減去這110厘米后(等于120厘米)，就是蝸牛前幾天一共要向上爬的路程。因為蝸牛白天向上爬110厘米，而夜晚又向下滑70厘米，所以它每天向上爬110-70=40(厘米)。由于12040=3，所以，120厘米

40、是蝸牛前3天一共爬的。故第4個白天蝸牛才能爬到井口。若將例4中枯井深改為240厘米，其它數(shù)字不變，這只蝸牛在哪個白天才能爬出井口？(第5個白天)練習(xí)71.甲、乙、丙三人原各有桃子若干個。甲給乙2個，乙給丙3個，丙又給甲5個后，三人都有桃子9個。甲、乙、丙三人原來各有桃子多少個？2.三座橋，第一座長287米，第二座比第一座長85米，第三座比第一座與第二座的總長短142米。第三座橋長多少米？3.(1)幼兒園小班有巧克力糖40塊，還有一些奶糖。分給小朋友奶糖24塊后，奶糖就比巧克力糖少了10塊。原有奶糖多少塊？(2)幼兒園中班有巧克力糖48塊，還有一些奶糖。分給小朋友奶糖26塊后，奶糖就只比巧克力糖

41、多18塊。原有奶糖多少塊？4.一桶柴油連桶稱重120千克，用去一半柴油后，連桶稱還重65千克。這桶里有多少千克柴油？空桶重多少？5.一只蝸牛從一個枯水井底面向井口處爬，白天向上爬110厘米，而夜晚向下滑40厘米，第5天白天結(jié)束時，蝸牛到達(dá)井口處。這個枯水井有多深？若第5天白天爬到井口處，這口井至少有多少厘米深？(厘米以下的長度不計)6.在一條直線上，a點在b點的左邊20毫米處，c點在d點左邊50毫米處，d點在b點右邊40毫米處。寫出這四點從左到右的次序。7.(1)五個不同的數(shù)的和為172，這些數(shù)中最小的數(shù)為32，最大的數(shù)可以是多少？(2)六個不同的數(shù)的和為356，這些數(shù)中，最大的是68，最小的

42、數(shù)可以是多少？第8講 乘除法應(yīng)用題本講向同學(xué)們介紹如何利用乘、除法解答簡單應(yīng)用題。用乘、除法解應(yīng)用題，首先要明確下面幾個關(guān)系，然后根據(jù)應(yīng)用題中的已知條件，利用這些數(shù)量關(guān)系求解。被乘數(shù)乘數(shù)=乘積， 相同數(shù)個數(shù)=總數(shù)，小數(shù)倍數(shù)=大數(shù)，被除數(shù)除數(shù)=商，被除數(shù)商=除數(shù)，被除數(shù)除數(shù)=(不完全)商余數(shù)。例1學(xué)校開運(yùn)動會，三年級有86人報名參加單項比賽，其他年級參加單項比賽的人數(shù)是三年級的4倍少5人。全校參加單項比賽的人數(shù)有多少人？分析：先求出其他年級參賽人數(shù)，864-5339(人)，再加上三年級參賽人數(shù)，就可求出全校參賽人數(shù)。解：(864-5)86425(人)。答：全校參賽425人。本題中全校參賽人數(shù)也可

43、以看成是三年級參賽人數(shù)的5倍少5人，所以可列式為865-5425(人)。例2有5只猴子，其中2只各摘了7個桃子，另外3只各摘了12個桃子。把所有摘下的桃子平均分給這5只猴子，每只猴子能分到多少個桃子？解：共摘桃子7212350(個)，平均每只猴可分50510(個)。綜合算式(72123)510(個)。答：每只猴子能分到10個桃。例3小白兔上山采摘了許多蘑菇。它把這些蘑菇先平均分成4堆，3堆送給它的小朋友，自己留一堆。后來它又把留下的這一堆平均分成3堆，兩堆送給別的小白兔，一堆自己吃。自己吃的這一堆有5個。它共采摘了多少個蘑菇？分析：我們從后向前分析。當(dāng)分成3堆時，共有5315(個)，這是分成4

44、堆時每一堆的個數(shù)。所以，分成4堆時，共有15460(個)。解：(53)4154=60(個)。答：共摘了60個蘑菇。例4小雨到奶奶家。如果來回都乘車，那么路上要用20分鐘。如果去時乘車，回來時步行，那么一共要用50分鐘。小雨步行回來用多少時間？分析：來回都乘車用20分，所以乘車單程所用的時間是202=10(分)。去時乘車回來時步行共用50分，減掉去時乘車用的10分，回來時步行用了50-1040(分)。解：50-202=40(分)。答：步行回來用40分鐘。例5師徒二人加工同樣的機(jī)器零件。師傅加工的個數(shù)是徒弟的4倍，其個數(shù)比徒弟多54個。師徒二人這天各加工了多少個零件？分析：如下圖所示，把徒弟加工的

45、個數(shù)看成“1份”，師傅加工的就是“4份”，因而師傅比徒弟多(4-1)份。由上圖可求得1份為54(4-1)=18(個)，由此可求出師徒二人各加工了多少個零件。解：徒弟加工了54(4-1)=18(個)，師傅加工了18472(個)。答：徒弟加工了18個，師傅加工了72個。解這類題的關(guān)鍵是分析出“54”是如何多出來的，即弄明白用“倍數(shù)-1”來除它，所得的數(shù)代表什么。例6工廠裝配四輪推車，1個車身要配4個車輪?，F(xiàn)在有40個車身，70個車輪。問：裝配出多少輛四輪推車后，剩下的車身和車輪的數(shù)量相等？分析：1個車身配4個車輪，即每裝配出一輛四輪推車，用的車輪數(shù)比車身數(shù)多4-1=3(個)?，F(xiàn)在車輪比車身多70-

46、4030(個)，要把這30個車輪“消耗掉”，需裝配30310(輛)四輪車。解：(70-40)(4-1)10(輛)。答：需裝配出10輛四輪推車。練習(xí)81.某項工作3人做需要3個星期又3天，中間無休息日，那么，1人單獨(dú)做這項工作需要多少天？2.賀林家養(yǎng)雞的只數(shù)是鵝的只數(shù)的6倍，鴨比鵝多8只，鴨有15只。賀林家養(yǎng)了多少只雞？3.小敏買了一本書和一包糖。買一本書用了3元6角，買糖用的錢數(shù)是買書所用錢數(shù)的5倍。她帶去的50元錢還剩多少？4.小峰去老師家看望老師。如果往返都騎自行車，那么在路上要用1時20分。如果去時騎自行車，回來時步行，那么一共要用2時30分。小峰步行回來用多少時間？5.4元錢能買西瓜8

47、千克，10元錢能買多少西瓜？6.小蘭有24本書，小玲有18本書。小蘭要給小玲幾本書，兩人的書才一樣多？7.小紅與小光買拼音本。小紅買了12本，小光買了8本。小紅比小光多用2元4角錢。每本多少錢？8.甲、乙兩輛汽車分別從同一車站出發(fā)，沿相反方向開去，3時共行360千米。甲的速度是乙的速度的2倍。甲、乙的速度各是多少？9.甲、乙兩個糧庫共存糧150噸。甲庫運(yùn)出40噸，乙?guī)爝\(yùn)入10噸，這時甲庫存糧是乙?guī)齑婕Z的2倍。甲、乙糧庫原來存糧各多少？第9講 平均數(shù)把一個(總)數(shù)平均分成幾個相等的數(shù)，相等的數(shù)的數(shù)值就叫做這個(總)數(shù)的平均數(shù)。例如，24平均分成四個數(shù)：6，6，6，6，數(shù)6就叫做24分成四份的平均

48、數(shù)。又如，24平均分成六個數(shù)：4，4，4，4，4，4，數(shù)4就叫做24分成六份的平均數(shù)。由此可見，平均數(shù)是相對于“總數(shù)”和分成的“份數(shù)”而言的。知道了被均分的“總數(shù)”和均分的“份數(shù)”，就可以求出平均數(shù)：總數(shù)份數(shù)=平均數(shù)。“平均數(shù)”這個數(shù)學(xué)概念在我們的日常生活和工作中經(jīng)常用到。例如，某次考試全班同學(xué)的“平均成績”，幾件貨物的“平均重量”，某輛汽車行駛某段路程的“平均速度”等等，都是我們經(jīng)常碰到的求平均數(shù)的問題。根據(jù)求平均數(shù)的一般公式可以得到它們的計算方法：全班同學(xué)的總成績?nèi)嗤瑢W(xué)人數(shù)=平均成績，幾件貨物的總重量貨物件數(shù)=平均重量，一輛汽車行駛的路程所用的時間=平均速度。我們在上一講的例2中，已經(jīng)接

49、觸到求平均數(shù)的應(yīng)用題，下面再舉一些例子來說明有關(guān)平均數(shù)應(yīng)用問題的解法。例1一小組六個同學(xué)在某次數(shù)學(xué)考試中，分別為98分、87分、93分、86分、88分、94分。他們的平均成績是多少？解：總成績=988793868894546(分)。這個小組有6個同學(xué)，平均成績是546691(分)。答：平均成績是91分。例2把40千克蘋果和80千克梨裝在6個筐內(nèi)(可以混裝)，使每個筐裝的重量一樣。每筐應(yīng)裝多少千克？解：蘋果和梨的總重量為4080120(千克)。因要裝成6筐，所以，每筐平均應(yīng)裝120620(千克)。答：每筐應(yīng)裝20千克。例3小明家先后買了兩批小豬，養(yǎng)到今年10月。第一批的3頭每頭重66千克，第二批

50、的5頭每頭重42千克。小明家養(yǎng)的豬平均多重？解：兩批豬的總重量為663425408(千克)。兩批豬的頭數(shù)為358(頭)，故平均每頭豬重408851(千克)。答：平均每頭豬重51千克。注意，在上例中不能這樣來求每頭豬的平均重量：(6642)254(千克)。上式求出的是兩批豬的“平均重量的平均數(shù)”，而不是(35)8頭豬的平均重量。這是剛接觸平均數(shù)的同學(xué)最容易犯的錯誤！例4一個學(xué)生為了培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)解題能力，除了認(rèn)真讀一些書外，還規(guī)定自己每周(一周為7天)平均每天做4道數(shù)學(xué)競賽訓(xùn)練題。星期一至星期三每天做3道，星期四不做，星期五、六兩天共做了13道。那么，星期日要做幾道題才能達(dá)到自己規(guī)定的要求？分析

51、：要先求出每周規(guī)定做的題目總數(shù)，然后求出星期一至星期六已做的題目數(shù)。兩者相減就是星期日要完成的題目數(shù)。每周要完成的題目總數(shù)是47=28(道)。星期一至星期六已做題目331322(道)，所以，星期日要完成28-226(道)。解：47-(3313)6(道)。答：星期日要做6道題。例5三年級二班共有42名同學(xué)，全班平均身高為132厘米，其中女生有18人，平均身高為136厘米。問：男生平均身高是多少？解：全班身高的總數(shù)為132425544(厘米)，女生身高總數(shù)為136182448(厘米)，男生有42-1824(人)，身高總數(shù)為5544-24483096(厘米)，男生平均身高為309624129(厘米)

52、。綜合列式：(13242-13618)(42-18)129(厘米)。答：男生平均身高為129厘米。例6小敏期末考試，數(shù)學(xué)92分，語文90分，英語成績比這三門的平均成績高4分。問：英語得了多少分？分析：英語比平均成績高的這4分，是“補(bǔ)”給了數(shù)學(xué)和語文，所以三門功課的平均成績?yōu)?92904)293(分)，由此可求出英語成績。解：(92924)2497(分)。答：英語得了97分。練習(xí)91.一班有40個學(xué)生，二班有42個學(xué)生，三班有45個學(xué)生。開學(xué)后又轉(zhuǎn)學(xué)來了11個學(xué)生。怎樣分才能使每班學(xué)生人數(shù)相等？2.小崗計劃4天做15道數(shù)學(xué)題，結(jié)果多做了9道。平均每天做了多少道？3.一小組同學(xué)體檢量身高時發(fā)現(xiàn)其中2人的身高是123厘米，另