線性系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性

1、第四章第四章 線性系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性線性系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性41 能控性和能觀測(cè)性的定義能控性和能觀測(cè)性的定義能控性和能觀測(cè)性是從控制和觀測(cè)角度表征系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的兩個(gè)基本特性。能控性和能觀測(cè)性是從控制和觀測(cè)角度表征系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的兩個(gè)基本特性。s1s12)0(1x1xy1x )0(2x2x2x u不完全能控但能觀測(cè)不能控不能觀測(cè)電路狀態(tài)狀態(tài)能控性，能達(dá)性定義能控性，能達(dá)性定義 對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng) jtutbxtax,)()(如果存在一個(gè)時(shí)刻 011,ttjt以及一個(gè)無約束的容許控制無約束的容許控制u(t), ,10ttt 使系統(tǒng)狀態(tài)由x(t0)=x0轉(zhuǎn)移到x(t1)=0，則稱非零狀態(tài)x0在t0

2、時(shí)刻為能控能控。 如果存在一個(gè)時(shí)刻t1j,t1t0,以及一個(gè)無約束的容許控制u(t),tt0,t1,使系統(tǒng)狀態(tài)由x(t0)=0轉(zhuǎn)移到x(t1)=xf0,則稱非零狀態(tài)xf在t0時(shí)刻為能達(dá)能達(dá)。 注意：注意： 對(duì)連續(xù)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變時(shí)不變系統(tǒng)，能控性和能達(dá)性等價(jià)等價(jià)；對(duì)離散離散時(shí)間線性系統(tǒng)和線性時(shí)變系統(tǒng)，若系統(tǒng)矩陣g為非奇異為非奇異，則能控性和能達(dá)性等價(jià)等價(jià)；對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)，能控性和能達(dá)性一般為不等價(jià)。 定義：定義：對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng) jtutbxtax,)()(和指定初始時(shí)刻t0j，如果狀態(tài)空間中所有所有非零狀態(tài)在時(shí)刻t0j都為能控/能達(dá)，稱系統(tǒng)在時(shí)刻t0為完全能控/能達(dá)。 定義：

3、定義：對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng) jtutbxtax,)()(和指定初始時(shí)刻t0j，如果狀態(tài)空間中存在一個(gè)非零狀態(tài)或一個(gè)非空狀態(tài)集合在時(shí)刻t0j為不能控/能達(dá)，稱系統(tǒng)在時(shí)刻t0為不完全能控/能達(dá)。 定義：定義：若系統(tǒng)的能控/能達(dá)性與初始時(shí)刻t0的選取無關(guān)，或系統(tǒng)在任意初 始時(shí)刻t0j均為完全能控/能達(dá)，則稱系統(tǒng)為一致完全能控/能達(dá)。注：注：從工程實(shí)際角度考慮，一個(gè)實(shí)際系統(tǒng)為能控/能達(dá)的概率幾乎等于1。系統(tǒng)系統(tǒng)能控性，能達(dá)性定義能控性，能達(dá)性定義 能觀測(cè)性定義能觀測(cè)性定義和指定初始時(shí)刻t0j,如果存在一個(gè)時(shí)刻t1j，t1t0，使系統(tǒng)以x(t0)=x0為初始狀態(tài)的輸出y(t)恒為零，即y(t)0，tt

4、0,t1，則稱非零狀態(tài)x0在時(shí)刻t0為不能觀測(cè)；xxx)(,)()(00tcyjtttxtax，對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng) 如果狀態(tài)空間中所有非零狀態(tài)在時(shí)刻t0都不為不能觀測(cè)，則稱系統(tǒng)在時(shí)刻t0為完全能觀測(cè)； 如果狀態(tài)空間中存在一個(gè)非零狀態(tài)或一個(gè)非零狀態(tài)集合在時(shí)刻t0為不能觀測(cè)，則稱系統(tǒng)在時(shí)刻t0為不完全能觀測(cè)； 如果系統(tǒng)對(duì)任意時(shí)刻均為完全能觀測(cè)，即能觀測(cè)性與初始時(shí)刻t0的選取無關(guān)，則稱系統(tǒng)為一致完全能觀測(cè)。 s1s1)(tu12)(ty)0(1x)0(2x1x2x該系統(tǒng)是不完全能觀測(cè)的由于 ttdbuttxtttx0)()()()()(00可見系統(tǒng)的狀態(tài)x(t)的能觀測(cè)性與x(t0)的能觀測(cè)性是

5、等價(jià)的。注：注：從工程實(shí)際角度考慮，一個(gè)實(shí)際系統(tǒng)為能觀測(cè)的概率幾乎等于1。xxx)(,)()()(00tcyjtttutbxtax，其解為；42 連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)的能控性判據(jù)連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)的能控性判據(jù) 結(jié)論結(jié)論1： (格拉姆矩陣判據(jù)格拉姆矩陣判據(jù)) 線性時(shí)變系統(tǒng)在t0時(shí)刻是狀態(tài)完全能控的充分必要條件是下列格拉姆矩陣10),()()(),(),(0010ttttcdtbbtttw為非奇異矩陣。證明：證明： 充分性充分性 為非奇異時(shí)，系統(tǒng)能控 ),(10ttwc)(),(),()()(01010txttwtttbtuctt0)(),(),(),()(),()(),(),()()(),(),()(

6、),()(),(),()()(),()(),()()(),()(),()(010110010010101000100101010100110011101010txttwttwtttxttdtxttwtbbttttxttdtxttwtbbttxttdubttxtttxccttctttttttt說明系統(tǒng)是能控的。必要性證明采用反證法，自閱。 jtttutbxtax000,)()()(xx， 由于時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣求解困難，故能控性格拉姆矩陣判據(jù)格拉姆矩陣判據(jù)的 意義主要在于理論分析中的應(yīng)用。 tttttddaadaitt010012210,結(jié)論3：n 維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng) jttxtxutbx

7、tax000,)()()(設(shè)a(t),b(t)對(duì)t為n-1階連續(xù)可微，定義 )()()()()()()()()()()()()()(2211120010tmdtdtmtatmtmdtdtmtatmtmdtdtmtatmtbtmnnn則系統(tǒng)在時(shí)刻t0j完全能控的一個(gè)充分條件充分條件為，存在一個(gè)有限時(shí)刻t1j，t1t0，,使 ntmtmtmrankn)(,),(),(111110能控性秩判據(jù)能控性秩判據(jù)結(jié)論2：連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變時(shí)不變系統(tǒng)： 0)0(0txxbuaxx 完全能控的充分必要條件是，存在時(shí)刻t10，使格拉姆矩陣 101, 0ttatatcdtebbetwt為非奇異。 (格拉姆矩陣判據(jù)格

8、拉姆矩陣判據(jù))主要在于理論分析和推導(dǎo)中的應(yīng)用。主要在于理論分析和推導(dǎo)中的應(yīng)用。結(jié)論4 （能控性秩判據(jù)）（能控性秩判據(jù)）對(duì)n 維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變時(shí)不變系統(tǒng)，系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為能控性判別矩陣 ,12babaabbqnc 滿秩，即rankqc=n 結(jié)論5（能控性（能控性pbh秩判據(jù)）秩判據(jù)）n 維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變時(shí)不變系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為： ranksi-a，b=n, s c c為復(fù)數(shù)域或 rank ii-a，b=n， i為系統(tǒng)特征值結(jié)論6： （能控性（能控性pbh特征向量判據(jù)）特征向量判據(jù)） n 維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變時(shí)不變系統(tǒng)完全能控 的充分必要條件為：矩陣a不存在與b所有列

9、正交的非零左特征向量， 即對(duì)矩陣a所有特征值 i ，使同時(shí)滿足ta a= i t，t b=0 的左特 征向量t =0。 主要在于理論分析中，特別是線性時(shí)不變系統(tǒng)的復(fù)頻域分析中。主要在于理論分析中，特別是線性時(shí)不變系統(tǒng)的復(fù)頻域分析中。結(jié)論7： （約當(dāng)規(guī)范型判據(jù)）（約當(dāng)規(guī)范型判據(jù)）對(duì)n維線性時(shí)不變時(shí)不變系統(tǒng)，若a為對(duì)角陣，且其特征值兩兩相異，系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是b中不包含零行向量。結(jié)論8： （約當(dāng)規(guī)范型判據(jù)）（約當(dāng)規(guī)范型判據(jù)）對(duì)n維線性時(shí)不變時(shí)不變系統(tǒng)，若a為約當(dāng)陣，系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是： 特征值互異的約當(dāng)塊最后一行對(duì)應(yīng)的b陣中，該行元素不全為零。 特征值相同的各約當(dāng)塊最后一行對(duì)應(yīng)

10、的b陣各行向量線性無關(guān)。注：注：1. 能控性pbh特征向量判據(jù)主要用于理論分析中，特別是線性時(shí)不變 系統(tǒng)的復(fù)頻域分析中。 2. 狀態(tài)向量的線性非奇異變換不改變系統(tǒng)的能控性。例例 圖示電路，判斷系統(tǒng)能控性條件 ul1r2r3r4rclicu解解 選取狀態(tài)變量x1=il，x2=uc，得系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： 2432114342122243321114343212111111111xrrrrcxrrrrrrcxulxrrrrrrlxrrrrrrrrlx4342124343212121011,rrrrrrlcrrrrrrrrllabbqc434212rrrrrr即（r1r4=r2r3）時(shí)，系統(tǒng)不能控。否

11、則系統(tǒng)能控。 例例 211312112211111100111100211010001000111llllbbbbuxx 系統(tǒng)能控的充分必要條件是向量組bl11、bl12、bl13線性無關(guān)以及bl21 不為零向量。 系統(tǒng)能控系統(tǒng)能控當(dāng)kn時(shí)，qk為能控性判別矩陣。,1baabbqkk對(duì)完全能控能控連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，定義能控性指數(shù)能控性指數(shù)為： 使“rankqk=n”成立的最小正整數(shù)k 。 結(jié)論9：對(duì)完全能控單輸入單輸入連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變時(shí)不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n， 則系統(tǒng)能控性指數(shù)n。能控性指數(shù)能控性指數(shù)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變時(shí)不變系統(tǒng)： 0)0(0txxbuaxx 定義：結(jié)論10：對(duì)完全能控

12、多輸入多輸入連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n， 輸入維數(shù)為p，設(shè)rankb=r，則能控性指數(shù)滿足如下估計(jì)： 1rnpn設(shè) n為矩陣a的最小多項(xiàng)式次數(shù)，則 1,minrnnpn結(jié)論11：多輸入多輸入連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變時(shí)不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，輸入維數(shù)為p， 且rankb=r，則系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為： nbaabbrankrankqrnrn,1結(jié)論12：對(duì)完全能控能控多輸入連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)， 狀態(tài)維數(shù)為n，輸入維數(shù)為p，將q表為： 0)0(0txxbuaxx ,p12111p21p21bababaabababbbbqr1rr21221111,;,;,21baabbbaabbbaa

13、bbr其中： 12 rn由于rankb=r，將q中的n個(gè)線性無關(guān)列重新排列：能控性指數(shù)滿足： max 1，2 ，r 且稱 1，2 ，r 為系統(tǒng)的能控性指數(shù)集。ba-1b43 連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)的能觀測(cè)性判據(jù)連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)的能觀測(cè)性判據(jù) 結(jié)論1：線性時(shí)變系統(tǒng)在t0時(shí)刻是狀態(tài)完全能觀測(cè)的充分必要條件是下列格蘭姆矩陣為非奇異矩陣 10),()()(),(,00100ttttdttttctcttttw結(jié)論2：連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變時(shí)不變系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件是，存在時(shí)刻t10，使格拉姆矩陣 為非奇異。 1010, 0tatttadtcecetwtcxyjtttxtax000,)()(xx，結(jié)論3：

14、n 維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)設(shè)a(t),c(t)對(duì)t為n-1階連續(xù)可微，定義 則系統(tǒng)在時(shí)刻t0j完全能觀測(cè)的一個(gè)充分條件充分條件為，存在一個(gè)有限時(shí)刻t1j，t1t0，,使 )()()()()()()()()(2210010tndtdtatnntndtdtatntntctnnnnntntntnrankn)()()(111110結(jié)論4 對(duì)n 維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變時(shí)不變系統(tǒng)，系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件為能觀測(cè)性判別矩陣 滿秩，即rankq o=n 結(jié)論5n 維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變時(shí)不變系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件為：或?yàn)橄到y(tǒng)特征值10ncacacqcsncasiranknincairank,21c為復(fù)

15、數(shù)域結(jié)論7：對(duì)n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變時(shí)不變系統(tǒng)，若a為對(duì)角陣，且其特征值兩兩相異，系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件是c陣中不包含零列向量。 結(jié)論8：對(duì)n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變時(shí)不變系統(tǒng)，若a為約當(dāng)陣，系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件是： 特征值互異的約當(dāng)塊第一列對(duì)應(yīng)的c陣中，該列元素不全為零。 特征值相同的約當(dāng)塊第一列對(duì)應(yīng)的c陣中，各列向量線性無關(guān)。結(jié)論6：n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變時(shí)不變系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件為：矩陣a不存在與c所有行正交的非零右特征向量，即對(duì)矩陣a所有特征值，使同時(shí)滿足0,cai的右特征向量 0定義：令 完全能觀測(cè)n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的能觀測(cè)性指數(shù)能觀測(cè)性指數(shù)定義為 使“ra

16、nkqk=n”成立的最小正整數(shù)。 結(jié)論9：對(duì)完全能觀測(cè)單輸出單輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變時(shí)不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，則能觀測(cè)性指數(shù)為 n。 結(jié)論10：對(duì)完全能觀測(cè)多輸出多輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變時(shí)不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，輸入維數(shù)為q，設(shè)rankc=m，則 設(shè) n為矩陣a的最小多項(xiàng)式次數(shù)，則 結(jié)論11：對(duì)多輸出多輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變時(shí)不變系統(tǒng)，設(shè)rankc=m，則系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件是： 1kkcacacq1mnqn) 1,min(mnnqnncacacrankqranktmnttttmn)(,14.4 離散時(shí)間線性系統(tǒng)的能控性和能觀性判據(jù)離散時(shí)間線性系統(tǒng)的能控性和能觀性判據(jù) 時(shí)變系統(tǒng)的能控性

17、和能觀性判據(jù)時(shí)變系統(tǒng)的能控性和能觀性判據(jù)定義 離散時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng) kjkkukhkkgk)()()()() 1(xx如果對(duì)初始時(shí)刻hjk 和任意非零初始狀態(tài)x(h)=x0都存在時(shí)刻ljk,lh和對(duì)應(yīng)輸入u(k),使輸入作用下系統(tǒng)狀態(tài)在時(shí)刻ljk達(dá)到原點(diǎn)，即有x(l)=0,則稱系統(tǒng)在時(shí)刻h完全能控； 如果對(duì)初始時(shí)刻h和任意非零狀態(tài)xl，都存在時(shí)刻ljk,lh和對(duì)應(yīng)輸入u(k)，使輸入作用下由初始狀態(tài)x(h)=0出發(fā)的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)在時(shí)刻ljk達(dá)到xl，則稱系統(tǒng)在時(shí)刻h完全能達(dá)。結(jié)論1 離散時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)在時(shí)刻h完全能達(dá)能達(dá)的充分必要條件充分必要條件為，存在時(shí)刻ljk,lh，使格蘭姆矩陣 1) 1,

18、()()() 1,(,lhkttcklkhkhkllhw為非奇異 結(jié)論2 若系統(tǒng)矩陣若系統(tǒng)矩陣g(k)對(duì)所有對(duì)所有 kh,l-1 非奇異非奇異，則離散時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)在時(shí)刻hjk完全能控能控的充分必要條件為，存在時(shí)刻ljk,lh，使格蘭姆矩陣 1) 1,()()() 1,(,lhkttcklkhkhkllhw為非奇異 若系統(tǒng)矩陣g(k)對(duì)一個(gè)或一些kh,l-1奇異。格蘭姆矩非奇異為系統(tǒng)在時(shí)刻h完全能控的一個(gè)充分條件。 若系統(tǒng)矩陣g(k) 對(duì)所有kh,l-1非奇異，則系統(tǒng)能控性和能達(dá)性等價(jià)。 若離散時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)為連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)的時(shí)間離散化，則系統(tǒng)的能控性和能達(dá)性等價(jià)。時(shí)不變系統(tǒng)的能控性

19、和能達(dá)性判據(jù)時(shí)不變系統(tǒng)的能控性和能達(dá)性判據(jù) 結(jié)論3 離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng) )()() 1(khukgkxx系統(tǒng)完全能達(dá)能達(dá)的充分必要條件為，存在時(shí)刻l 0，使格蘭姆矩陣 10)(, 0lkkttkcghhglw為非奇異。若系統(tǒng)矩陣g非奇異，則系統(tǒng)完全能控能控的充分必要條件為存在時(shí)刻l 0，使格蘭姆矩陣為非奇異。10)(, 0lkkttkcghhglw若系統(tǒng)矩陣g奇異奇異，則上述格蘭姆矩陣非奇異為系統(tǒng)完全能控的充分條件充分條件。 結(jié)論4 n維離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng) )()() 1(khukgkxx系統(tǒng)完全能達(dá)的充分必要條件為矩陣 hgghhqnkc1,滿秩 若系統(tǒng)矩陣g非奇異，則系統(tǒng)完全能控的

20、充分必要條件為 rankqkc=n。若系統(tǒng)矩陣g奇異，rankqkc=n 為系統(tǒng)完全能控的一個(gè)充分條件。結(jié)論5 對(duì)于單輸入離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)完全能控時(shí)，可構(gòu)造如下一組輸入控制 0121,) 1() 1 ()0(xhghghgnuuun則系統(tǒng)必可在n步內(nèi)由任意非零初態(tài)x(0)，轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間原點(diǎn)，通常稱這組控制為最小拍控制。 若系統(tǒng)矩陣g非奇異，則離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)能控性和能達(dá)性等價(jià)。 若離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)為連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)間離散化，則系統(tǒng)的能控性和能達(dá)性等價(jià)。例例 設(shè)單輸入線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 )(101)(011220001) 1(kukxkx試判斷系統(tǒng)的能

21、控性，若初始狀態(tài)x(0)=2,1,0t，確定使x(3)=0的控制序列u(0),u(1),u(2)；研究x(2)=0的可能性。 解解 33112201112kckcrankqhgghhq系統(tǒng)是能控的 )2(101) 1 (121)0(3214122)2()2()3(uuuhugxx令0)3(x8115)2() 1 ()0(4122)2() 1 ()0(101121321uuuuuu若令0)2(x062) 1 ()0(101121uu無解。即不存在控制序列u（0），u（1）能夠使系統(tǒng)從初始狀態(tài)x(0)=2,1,0t轉(zhuǎn)移到x(2)=0。時(shí)變系統(tǒng)的能觀測(cè)性判據(jù)時(shí)變系統(tǒng)的能觀測(cè)性判據(jù)結(jié)論6 離散時(shí)間線性

22、時(shí)變系統(tǒng)在時(shí)刻hjk完全能觀測(cè)的充分必要條件為，存在一個(gè)離散時(shí)刻ljk,l h,使格蘭姆矩陣 10),()()(),(),(lhktthkkckchklhw為非奇異 時(shí)不變系統(tǒng)的能觀測(cè)性判據(jù)時(shí)不變系統(tǒng)的能觀測(cè)性判據(jù) 結(jié)論7 離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件為，存在一個(gè)離散時(shí)刻l0,使格蘭姆矩陣 100)(, 0lkktktcgcglw為非奇異 結(jié)論8 n 維離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件為 1nokcgcgcq滿秩 結(jié)論9 若單輸出離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)完全能觀測(cè)，則利用n步輸出值就可構(gòu)造出相應(yīng)的初始狀態(tài)初始狀態(tài) ) 1() 1 ()0(110nyyycgcgcn

23、x4.5 對(duì)偶性對(duì)偶性對(duì)于線性系統(tǒng)，能控性和能觀測(cè)性之間在概念和判據(jù)形式上存在對(duì)偶關(guān)系，實(shí)質(zhì)上反映了系統(tǒng)控制問題和系統(tǒng)估計(jì)問題的對(duì)偶。定義：對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng) xcybxax)()()(tutt其對(duì)偶系統(tǒng)定義為如下形式的一個(gè)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)tttttttttttbca)()()(d對(duì)偶系統(tǒng)對(duì)偶系統(tǒng)其中，狀態(tài)xn維行向量，協(xié)狀態(tài) n維行向量 輸入up維列向量，輸入 q 維行向量 輸出yq維列向量，輸出 p 維行向量 顯然，是一個(gè)p維輸入q維輸出的n階系統(tǒng)，其對(duì)偶系統(tǒng)d是一個(gè)q維輸入p維輸出的n階系統(tǒng)。 d 系統(tǒng)矩陣系統(tǒng)矩陣的轉(zhuǎn)秩d 輸入矩陣輸出矩陣的轉(zhuǎn)秩d 輸出矩陣輸入矩陣的轉(zhuǎn)秩對(duì)偶系統(tǒng)

24、之間具有如下屬性：對(duì)偶系統(tǒng)之間具有如下屬性：1.線性屬性和時(shí)變屬性2.系數(shù)矩陣的對(duì)偶性xcybxax)()()(tutttttttttttttbca)()()(d3.狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的對(duì)偶性),(),(00tttttd互為轉(zhuǎn)秩逆！互為轉(zhuǎn)秩逆！xcybxax)()()(tutt 互為對(duì)偶的兩系統(tǒng)，輸入端與輸出端互換，信號(hào)傳遞方向相反，信號(hào)引出點(diǎn)和綜合點(diǎn)互換，對(duì)應(yīng)矩陣轉(zhuǎn)置。 t t tatctbt dtttttttttttbca)()()(d原構(gòu)系統(tǒng)與其對(duì)偶系統(tǒng)具有相同屬性。4.方塊圖對(duì)偶屬性結(jié)論: 設(shè)為原構(gòu)線性系統(tǒng), d為對(duì)偶線性系統(tǒng),則有 完全能控 d 完全能觀測(cè) 完全能觀測(cè) d 完全能控 線性時(shí)

25、不變系統(tǒng)，線性時(shí)不變系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)矩陣 baicw1)()(ss)()()()(11dssssttttttwbaiccaibw互為對(duì)偶系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣互為轉(zhuǎn)置，特征方程式相同，特征值相同?；閷?duì)偶系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣互為轉(zhuǎn)置，特征方程式相同，特征值相同。aiaisst對(duì)偶性原理對(duì)偶性原理10),()()(),(,00100ttddtdtdddttttctcttttw10100,ttrankwttrankwcd10),()()(),(00ttttdttttbtbtt完全能控 d 完全能觀測(cè) 根據(jù)這一原理，一個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)完全能控（狀態(tài)完全能觀測(cè)）的特性，根據(jù)這一原理，一個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)完全能控（狀態(tài)

26、完全能觀測(cè)）的特性，可以轉(zhuǎn)化為其對(duì)偶系統(tǒng)的狀態(tài)完全能觀測(cè)（狀態(tài)完全能控）的特性來研究。可以轉(zhuǎn)化為其對(duì)偶系統(tǒng)的狀態(tài)完全能觀測(cè)（狀態(tài)完全能控）的特性來研究。 對(duì)偶原理的意義，不僅在于對(duì)偶原理的意義，不僅在于提供了一條途徑提供了一條途徑，使可由一種結(jié)構(gòu)特性判據(jù)，使可由一種結(jié)構(gòu)特性判據(jù)導(dǎo)出另一種結(jié)構(gòu)特性判據(jù)，而且還在于提供了一種可能性，使可建立了系統(tǒng)導(dǎo)出另一種結(jié)構(gòu)特性判據(jù)，而且還在于提供了一種可能性，使可建立了系統(tǒng)最優(yōu)控制問題和最佳估計(jì)問題基本結(jié)論間的對(duì)于關(guān)系。最優(yōu)控制問題和最佳估計(jì)問題基本結(jié)論間的對(duì)于關(guān)系。 10,ttwcxcybxax)()()(tutttttttttttttbca)()()(d)

27、,(),(00tttttd4.6離散化線性系統(tǒng)保持能控性和能觀測(cè)性的條件離散化線性系統(tǒng)保持能控性和能觀測(cè)性的條件 設(shè)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng) cxybuaxx 對(duì)應(yīng)的時(shí)間離散化系統(tǒng) )()()()() 1(kkkkkcxyhugxx其中g(shù) =eat h=tatdtbe0,21jia的特征值 ji n結(jié)論1： 如果連續(xù)系統(tǒng)（a、b、c）不能控（不能觀測(cè)），則對(duì)任意采樣周期t離散化后的系統(tǒng)（g、h、c）也是不能控（不能觀測(cè)）的。 本定理也可敘述為： 如果離散化后的系統(tǒng)是能控（能觀測(cè)）的，則離散化前的連續(xù)系統(tǒng)一定是能控（能觀測(cè)）的。將線性連續(xù)系統(tǒng)化為線性離散系統(tǒng)進(jìn)行分析和控制，是現(xiàn)今系統(tǒng)與控制理論中常

28、為采用的一種模式。結(jié)論2 ：設(shè)連續(xù)系統(tǒng)（a、b、c）能控（能觀測(cè)），則離散化后的系統(tǒng)也能控（能觀測(cè)）的必要條件必要條件是： jtl2不是a的特征值。其中l(wèi)為非零整數(shù) 結(jié)論3: 對(duì)時(shí)間離散化系統(tǒng)，使采樣周期t的值，對(duì)滿足reij=0的一切特征值，成立)(2jimilt則時(shí)間離散化系統(tǒng)能控的充分必要條件是eatb為行線性無關(guān) 結(jié)論4: 連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，其時(shí)間離散化系統(tǒng)保持完全能控/完全能觀測(cè)的一個(gè)充分條件為，采樣周期t滿足如下條件：對(duì)a的任意兩個(gè)特征值1、 2，不存在非零整數(shù)l ，使jtl221成立對(duì)于單輸入單輸出系統(tǒng)，本定理是充分必要的。, 2 , 1ji，4.7能控性、能觀測(cè)性與傳遞函

29、數(shù)的關(guān)系能控性、能觀測(cè)性與傳遞函數(shù)的關(guān)系 結(jié)論1: 單輸入單輸出單輸入單輸出系統(tǒng)（a、b、c）是能控且能觀測(cè)的充分必要條件是：傳遞函數(shù)g（s）的分母|si-a|與分子之間不發(fā)生因子相消。 例 設(shè)單輸入、單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 231)(2ssssg由于存在零、極點(diǎn)對(duì)消，系統(tǒng)不可能是既能控又能觀測(cè)的。結(jié)論2: 多輸入多輸出多輸入多輸出線性時(shí)不變系統(tǒng)能控能控的充分必要條件是：狀態(tài)向量與輸入向量之間的傳遞矩陣 basisgxu1)(的各行在復(fù)數(shù)域上線性無關(guān)。結(jié)論3：多輸入多輸出多輸入多輸出線性時(shí)不變系統(tǒng)能觀測(cè)能觀測(cè)的充分必要條件是：輸出向量與初始狀態(tài)向量x(0)之間的傳遞矩陣 1 asic的各列在復(fù)數(shù)

30、域上線性無關(guān)。48能控規(guī)范形和能觀測(cè)規(guī)范形：能控規(guī)范形和能觀測(cè)規(guī)范形：siso情形情形 由于狀態(tài)變量選擇的非唯一性，系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述也不是唯一的。在實(shí)際應(yīng)用中，常常根據(jù)所研究問題的需要，將狀態(tài)空間描述化成相應(yīng)的幾種規(guī)范形式規(guī)范形式：如約當(dāng)規(guī)范型，對(duì)于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算，能控性和能觀性分析是十分方便的。能控規(guī)范型對(duì)于狀態(tài)反饋來說比較方便，而能觀測(cè)規(guī)范型則對(duì)于狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)及系統(tǒng)辯識(shí)比較方便。 無論選用哪種規(guī)范形，其實(shí)質(zhì)都是對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)空間描述進(jìn)行非奇異線性變換，其關(guān)鍵關(guān)鍵在于尋找相應(yīng)的變換矩陣。本節(jié)以線性時(shí)不變siso系統(tǒng)為對(duì)象，討論能控規(guī)范形和能觀測(cè)規(guī)范形的基本形式基本形式和變換矩陣的構(gòu)造方

31、法構(gòu)造方法。線性時(shí)不變系統(tǒng)狀態(tài)空間描述為 cxybuaxx：能控性能觀測(cè)性在線性非奇異變換下的屬性能控性能觀測(cè)性在線性非奇異變換下的屬性引入坐標(biāo)變換 ）（xpxxpx1，則變換后系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為 xcyubxax：cpcb,pbap,pa11,12babababqnc ccrankqqrank,111121111bppapbppapbapppbpn cnqpbabaabbp1121, 結(jié)論結(jié)論1：連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性在線性非奇異變換下保持不變。能控性指數(shù)，能觀測(cè)性指數(shù)也保持不變。 能控規(guī)范形能控規(guī)范形結(jié)論結(jié)論2：對(duì)完全能控能控n維單輸入單輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng) cx

32、ybuaxx:0111)det(sssasinnnnbaabbrankn1，pqqoo同理：oorankqqrank則通過變換矩陣 11,1 -11 -1nnnbabbap1011111212112nnnnbabaabbp或可將系統(tǒng)變換成能控規(guī)范形，即xpx1導(dǎo)出： xxxccccyuba11011000001000010ncappa1001bpbc110,nccpc注：1.能控規(guī)范形以明顯形式直接和特征多項(xiàng)式系數(shù)0，1， ，n-1 聯(lián)系起來，對(duì)于系統(tǒng)綜合與仿真研究很方便。 2.完全能控的任意兩個(gè)代數(shù)等價(jià)系統(tǒng)必具有相同的能控規(guī)范形。 3.一個(gè)單輸入系統(tǒng)，如果其a、b陣具有如上形式，則系統(tǒng)一定能

33、控。 4.單輸入系統(tǒng)具有唯一唯一的能控規(guī)范形。無特殊形式結(jié)論3：對(duì)完全能觀測(cè)能觀測(cè)的n 維單輸入單輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，其能觀測(cè)規(guī)范形可基于線性非奇異變換 qxx 導(dǎo)出 xxx000cyuba其中ccacaqnnn1111111211212110111nnnncacacacq110101001001000nqaqa1100nqbb100010cqc注：1.能觀測(cè)規(guī)范形以明顯形式直接和特征多項(xiàng)式系數(shù)0，1， ，n-1 聯(lián)系起來，對(duì)于綜合系統(tǒng)的觀測(cè)器很方便。 2.完全能觀測(cè)的任意兩個(gè)代數(shù)等價(jià)系統(tǒng)必具有相同的能觀測(cè)規(guī)范形。 3.一個(gè)單輸出系統(tǒng)，如果其a、c陣具有如上形式，則系統(tǒng)一定能觀測(cè)。 4

34、.單輸出系統(tǒng)具有唯一唯一的能觀測(cè)規(guī)范形。無特殊形式u432654423321xx 1629)det(23sssasi272324244283172202cq例：已知線性時(shí)不變能控系統(tǒng)的狀態(tài)方程，試化為能控規(guī)范型。解：11,1 -11 -1nnnbabbapu1009216100010 xxu0010100011629xx111111nnnbaabbp49 能控規(guī)范形和能觀測(cè)規(guī)范形能控規(guī)范形和能觀測(cè)規(guī)范形mimo情形情形 多輸入多輸出多輸入多輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的能控規(guī)范型和能觀測(cè)規(guī)范型，相比于單輸入單輸出情形，無論規(guī)范形式還是構(gòu)造方法都要復(fù)雜一些。 1.規(guī)范形式的不唯一性 2.構(gòu)造變換矩

35、陣的復(fù)雜性 本節(jié)僅討論應(yīng)用較廣的龍伯格規(guī)范形。 搜索線性無關(guān)的行或列的方法搜索線性無關(guān)的行或列的方法多輸入多輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的能控性判別矩陣和能觀測(cè)性判別矩陣 10ncacacq12bab,aab,b,q nc從qc或qo中找出n個(gè)線性無關(guān)的列或行，通常需經(jīng)過一個(gè)搜索過程。nnpnqn考察n維多輸入多輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng) cxybuaxx :,12babaabbqnc ,p21bbbb能控性判別矩陣為若系統(tǒng)完全能控，rankqc=n，即qc的np列中只有n個(gè)線性無關(guān)。nnp1.搜索qc中的n個(gè)線性無關(guān)的列向量的“列向搜索方案列向搜索方案”,p1n21n11np21p21cbab

36、abaabababbbbq用格柵圖的方法在qc中搜索n個(gè)線性無關(guān)的列向量。格柵圖格柵圖b1 b2 b3 b4a0a1a2a3a4a5baba2ba3ba4ba5b,12babaabbqnc n6 1 2 3搜索到搜索到 1 2 3n停止。停止。 1 3， 2 2， 31 ，l3qc中的中的6個(gè)線性無關(guān)的列個(gè)線性無關(guān)的列: b1, ab1, a2b1; b2, ab2; b3 b1 b2 b3 b4a0a1a2a3a4a5 1 2 3 1 3， 2 1 ， 3 22.搜索qc中的n個(gè)線性無關(guān)的列向量的“行向搜索方案行向搜索方案”rankb=rpn6，p4，r3搜索到搜索到 1 2 3 n 停止。

37、停止。 1, 2, 3 為系統(tǒng)的為系統(tǒng)的能控性指數(shù)集。能控性指數(shù)集。qc中的中的6個(gè)線性無關(guān)的列個(gè)線性無關(guān)的列: b1, ab1, a2b1; b2; b3, ab3baba2ba3ba4ba5b龍伯格能控規(guī)范形龍伯格能控規(guī)范形龍伯格能控規(guī)范形在系統(tǒng)極點(diǎn)配置綜合問題中有著廣泛的用途。龍伯格能控規(guī)范形在系統(tǒng)極點(diǎn)配置綜合問題中有著廣泛的用途?？疾焱耆芸氐膎維多輸入多輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng) cxybuaxx :,12babaabbqnc 能控性判別矩陣為rankb=rp采用“行向搜索方案行向搜索方案”，在qc中找出n個(gè)線性無關(guān)的列向量，并組成非奇異矩陣：r1rr212211111,;,;,21

38、baabbbaabbbaabbpr其中 1，2 ，r 為系統(tǒng)的能控性指數(shù)集，且 12 rntrtrttreeeepp1111111構(gòu)造變換矩陣s1111111111111raeaeeaeaeestrtrtrttt 1，2 ，r 為系統(tǒng)的能控性指數(shù)集，且 12 rn對(duì)于完全能控的n維多輸入多輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng) cxybuaxx :rankb=rp基于線性非奇異變換 ，可導(dǎo)出系統(tǒng)的龍伯格能控規(guī)范形龍伯格能控規(guī)范形xx1 srrrrnncaaaaass11111)(ariiiii, 2 , 1,*1010)(ajijiij,*0000)(a*100*10*01)(bsbpnccscnqc )

39、(無特殊形式無特殊形式r 列p - r 列例例：已知完全能控能控的連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng) uxx110002171160241試將其變換為龍伯格能控規(guī)范形龍伯格能控規(guī)范形解：1.寫出能控性判別矩陣qc8121111571100862402,2baabbqc采用“行向搜索方案行向搜索方案”，在qc中找出3個(gè)線性無關(guān)的列向量b1 b2 ab1 ab2 a2b1 a2b2b1 b2a0a1a2 1 2 12， 2 1rankb=r=p=2qc中3個(gè)線性無關(guān)的列向量為b1 ，b2 ，ab1由qc中找出的3個(gè)線性無關(guān)的列向量組成非奇異矩陣：111100402;,2111babbp135 . 001002

40、5 . 011pp135 . 01600102112121ttteaees016001221811ss 12， 2 1te12te21303627190101assca1011001bsbcuxx10110030362719010龍伯格能控規(guī)范形為：龍伯格能控規(guī)范形為：4.10 連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解 系統(tǒng)按能控性分解系統(tǒng)按能控性分解 設(shè)不完全能控n維多輸入多數(shù)出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為 cxybuaxx 在qc中采用“行向搜索方案行向搜索方案”或“列向搜索方案列向搜索方案”搜索出k個(gè)線性無關(guān)列q1, q2，qk ；其次，在除qc外的n維

41、狀態(tài)空間中，任意選取n - k個(gè)線性無關(guān)列qk+1, qk+2，qn ，構(gòu)成非奇異變換p-1 結(jié)構(gòu)分解的實(shí)質(zhì)是以明顯的形式，將不完全能控或/和不完全能觀測(cè)的系統(tǒng)分解為不同的四部分，其目的既可以深入了解系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特征，又可以深入揭示狀態(tài)空間描述與輸入輸出描述間的關(guān)系。nkbabaabbrankrankqnc ,12能控性判別矩陣的秩nkkqqqqqp,111引入非奇異線性變換)(1xpxpxxxcyubxaxccaaapapa0121其中 ccxxx可使系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)按能控性的結(jié)構(gòu)分解：0cbpbbcccccpc1ccqrankrankq 狀態(tài)向量的非奇異線性變換，不改變系統(tǒng)的能控性及能控程度。經(jīng)非奇

42、異變換后，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程寫為 cccccccccccxxccyubxxaaaxx0012于是可得能控子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為： cccccccxcyubxaxax112不能控子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為： cccccxcyxax2ccccasiasiasiaasiasiasi012由于 輸入u的作用，只能改變能控振型位置，不能改變不能控振型位置，這對(duì)系統(tǒng)分析和綜合具有重要意義。 結(jié)構(gòu)分解形式惟一性和結(jié)果的不惟一性。 基于結(jié)構(gòu)分解式的能控性判據(jù)。 特征值為特征值為能控振型能控振型 特征值為特征值為不能控振型不能控振型caca例： 已知 111100341010121cba試按能控性進(jìn)行規(guī)范分解 解： 3283100

43、04102 rankbaabbrank系統(tǒng)不完全能控，取 0311000101p12100110024124011cpcpbbpapa能控子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為 ccccxyuxxx21012241401不能控子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為 cccxyxx2011001103p系統(tǒng)按能觀測(cè)性分解系統(tǒng)按能觀測(cè)性分解 設(shè)不能觀測(cè)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為 cxybuaxx 其能觀測(cè)性矩陣qo=c,ca,ca2,can-1 t的秩為mn，選出其中m個(gè)線性無關(guān)行，再加任意n-m個(gè)行，構(gòu)成非奇異變換f ooxxxxfxfxx）（1xcyubxax系統(tǒng)按能觀測(cè)性的結(jié)構(gòu)分解對(duì)偶對(duì)偶于系統(tǒng)按能控性的結(jié)構(gòu)分解。nmmhhhhf1100121

44、1oooooccfcbbfbbaaafafaoooooooooooxxcyubbxxaaaxx0021能觀測(cè)子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為 ooooooxcyubxax1不能觀測(cè)子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為 0221yubxaxaxoooooxcyubxax系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的規(guī)范分解系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的規(guī)范分解 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的規(guī)范分解是指，對(duì)不完全能控和不完全能觀測(cè)系統(tǒng)，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的規(guī)范分解是指，對(duì)不完全能控和不完全能觀測(cè)系統(tǒng)，同時(shí)按能控性和能觀測(cè)性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解同時(shí)按能控性和能觀測(cè)性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解 。但變換陣但變換陣tco的構(gòu)造需要涉及較多的線性空間概念。下面介紹一種的構(gòu)造需要涉及較多的線性空間概念。下面介紹一種逐逐步分解步分解的方法。的方法。

45、 (1) 先將系統(tǒng)按先將系統(tǒng)按能控能控(能觀測(cè)能觀測(cè))性分解；性分解； (2) 將不能控的子系統(tǒng)按將不能控的子系統(tǒng)按能觀測(cè)能觀測(cè)(能控能控)性分解；性分解； (3) 將能控的子系統(tǒng)按將能控的子系統(tǒng)按能觀測(cè)能觀測(cè)(能控能控)性分解；性分解； (4) 綜合以上三次變換，綜合以上三次變換，導(dǎo)出導(dǎo)出系統(tǒng)同時(shí)按能控性和能觀測(cè)性進(jìn)行系統(tǒng)同時(shí)按能控性和能觀測(cè)性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解的表達(dá)式。結(jié)構(gòu)分解的表達(dá)式。 可通過非奇異變換可通過非奇異變換 ，將原系統(tǒng)，將原系統(tǒng)(a, b, c)變換為按能控性變換為按能控性和能觀測(cè)性規(guī)范分解的系統(tǒng)（和能觀測(cè)性規(guī)范分解的系統(tǒng)（aco,bco,cco）。）。xtxco 設(shè)系統(tǒng)（設(shè)系統(tǒng)（

46、a、b、c）不完全能控、不完全能觀測(cè)，可先對(duì)系統(tǒng)按能）不完全能控、不完全能觀測(cè)，可先對(duì)系統(tǒng)按能控性分解，即令控性分解，即令 ccxxpx1nkkqqqqp,111cccccccccccxxccyubxxaaaxx0012kn-k再分別對(duì)k維能控子系統(tǒng)、 nk維不能控子系統(tǒng)按能觀測(cè)性分解 occoocxxfx11ocococxxfx12fo1為k k維非奇異方陣， fo2為(n k) (n k)維非奇異為方陣。綜合以上三次變換綜合以上三次變換，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為 ocococcooccooccoocococcoocococcoocococcoxxxxccyubbxxxxaaaaaaaaaxxxx0

47、00000000004324232113結(jié)構(gòu)分解形式惟一性和結(jié)果的不惟一性。cacacccccb12a)()()()()()(111sgbasicsgbasicbasicsg)()(1sgbasiccocococooccooccococccbbasiaasicbasic00)(1211ccccccccbasicbasiaasiccbasicsg11121)(00)()(ocococcooccooccoocococcoocococcoocococcoxxxxccyubbxxxxaaaaaaaaaxxxx000000000004324232113作為輸入輸出描述的傳遞函數(shù)矩陣g(s)只能反映系統(tǒng)的

48、能控能觀測(cè)部分。21a13a23a24a43acobocbocccoccoocococuy系統(tǒng)結(jié)構(gòu)規(guī)范分解方塊圖作為輸入輸出描述的傳遞函數(shù)矩陣g(s)只能反映系統(tǒng)的能控能觀測(cè)部分。例：設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)如下，試將該系統(tǒng)按能控性和能觀測(cè)性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解。例：設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)如下，試將該系統(tǒng)按能控性和能觀測(cè)性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解。 ,011310301100uxx xy210 解解 ：1. 系統(tǒng)能控性判別陣系統(tǒng)能控性判別陣 2103111012baabbqcrankqc=2n=3 , 所以系統(tǒng)是所以系統(tǒng)是不完全能控不完全能控的。的。 ,0111q,1102q1003q取取 1100110011p其中其中q3是

49、任意是任意的，只要能保證的，只要能保證p非奇異即可。非奇異即可。2. 按能控性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解按能控性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解變換后的系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為：變換后的系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為： pbuxpapx1ux 01111001100111001100131030110011001100111ux 001100221110 xcpy1ccxx211uxxxxcccc001100221110即 顯然，不能控子空間是能觀測(cè)的，無需再進(jìn)行分解。將能控子空顯然，不能控子空間是能觀測(cè)的，無需再進(jìn)行分解。將能控子空間按能觀測(cè)性進(jìn)行分解。間按能觀測(cè)性進(jìn)行分解。 11011ffoccooccoxxxx101121101011

50、1uxc011011211011能控子系統(tǒng)能控子系統(tǒng)為為 ,01212110uxxxcccccxy11 3.對(duì)能控子系統(tǒng)按能觀測(cè)性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解對(duì)能控子系統(tǒng)按能觀測(cè)性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解1111cccocaccq顯然，能控子系統(tǒng)不完全能觀測(cè)能控子系統(tǒng)不完全能觀測(cè)21ocrankqoccocxxy1011111occoxx01即即 uxxxxxcoccoocco01211101綜合以上兩次變換結(jié)果，系統(tǒng)按能控性和能觀測(cè)性綜合以上兩次變換結(jié)果，系統(tǒng)按能控性和能觀測(cè)性分解為分解為 uxxxxxxococcoococco001100211101ococcoxxxy201654321654321654321002

51、041005013006100347531101130134014xxxxxxyxxxxxxxxxxxxu能控能觀測(cè)： x1，x2能控不能觀測(cè)： x3，x5不能控能觀測(cè)： x4不能控不能觀測(cè)： x6結(jié)構(gòu)分解的另一種方法ocococcoocococcoocococcoxxxxyyxxxxxxxx02004105001300006134753110000003000010100001030000004000001421u 按此順序重新排列，可導(dǎo)出；4.11 最小實(shí)現(xiàn)最小實(shí)現(xiàn)ducxybuaxx:)(1sgdba)c(si 由描述系統(tǒng)輸入輸出動(dòng)態(tài)關(guān)系的微分方程式或傳遞函數(shù)建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述，這樣

52、的問題叫實(shí)現(xiàn)問題實(shí)現(xiàn)問題。由于狀態(tài)變量的選擇是非唯一的，因此實(shí)現(xiàn)也是非唯一的實(shí)現(xiàn)也是非唯一的。而且并非任意的微分方程式或傳遞函數(shù)都能求得其實(shí)現(xiàn)，實(shí)現(xiàn)存在的條件是nm 從工程的觀點(diǎn)看，在無窮多個(gè)內(nèi)部不同結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)中，其中維數(shù)最小的一類實(shí)現(xiàn)就是所謂的最小實(shí)現(xiàn)。對(duì)于給定傳遞函數(shù)陣g(s)，若有一狀態(tài)空間描述使之成立則稱 為傳遞函數(shù)陣g(s)的一個(gè)實(shí)現(xiàn)。當(dāng)mn時(shí)，d0當(dāng)m=n時(shí)，)(limsgds標(biāo)量傳遞函數(shù)的實(shí)現(xiàn)標(biāo)量傳遞函數(shù)的實(shí)現(xiàn)(單輸入單輸出系統(tǒng)單輸入單輸出系統(tǒng))上式中的d 就是下列動(dòng)態(tài)方程中的直接傳遞部分ducxy,buaxx所以只需討論上式中的嚴(yán)格真有理分式部分。給定嚴(yán)格真有理函數(shù) 01110111011101110)(asasasssdsssdsdsddssgnnnnnnnnnnn01110111)(asasassssgnnnnn設(shè)給定有理函數(shù)要求尋找 a,b,c，使得)()(1sgbasic并且在所有滿足上式的a,b,c中，要求 a 的維數(shù)盡可能的小的維數(shù)盡可能的小。 當(dāng)g(s)的分子和分母無非常數(shù)公因式的情況，即無零、極點(diǎn)對(duì)消時(shí)，系統(tǒng)能控能觀測(cè)能控能觀測(cè)。a、能控規(guī)范形實(shí)現(xiàn)、能控規(guī)范形實(shí)現(xiàn)11012101000100001000010nncbab、能觀規(guī)范形實(shí)現(xiàn)、能觀規(guī)范形實(shí)現(xiàn)1000100010001000