線性系統(tǒng)的能控性和能觀測性

1、第四章第四章 線性系統(tǒng)的能控性和能觀測性線性系統(tǒng)的能控性和能觀測性41 能控性和能觀測性的定義能控性和能觀測性的定義能控性和能觀測性是從控制和觀測角度表征系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的兩個基本特性。能控性和能觀測性是從控制和觀測角度表征系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的兩個基本特性。s1s12)0(1x1xy1x )0(2x2x2x u不完全能控但能觀測不能控不能觀測電路狀態(tài)狀態(tài)能控性，能達性定義能控性，能達性定義 對連續(xù)時間線性時變系統(tǒng) jtutbxtax,)()(如果存在一個時刻 011,ttjt以及一個無約束的容許控制無約束的容許控制u(t), ,10ttt 使系統(tǒng)狀態(tài)由x(t0)=x0轉(zhuǎn)移到x(t1)=0，則稱非零狀態(tài)x0在t0

2、時刻為能控能控。 如果存在一個時刻t1j,t1t0,以及一個無約束的容許控制u(t),tt0,t1,使系統(tǒng)狀態(tài)由x(t0)=0轉(zhuǎn)移到x(t1)=xf0,則稱非零狀態(tài)xf在t0時刻為能達能達。 注意：注意： 對連續(xù)連續(xù)時間線性時不變時不變系統(tǒng)，能控性和能達性等價等價；對離散離散時間線性系統(tǒng)和線性時變系統(tǒng)，若系統(tǒng)矩陣g為非奇異為非奇異，則能控性和能達性等價等價；對連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)，能控性和能達性一般為不等價。 定義：定義：對連續(xù)時間線性時變系統(tǒng) jtutbxtax,)()(和指定初始時刻t0j，如果狀態(tài)空間中所有所有非零狀態(tài)在時刻t0j都為能控/能達，稱系統(tǒng)在時刻t0為完全能控/能達。 定義：

3、定義：對連續(xù)時間線性時變系統(tǒng) jtutbxtax,)()(和指定初始時刻t0j，如果狀態(tài)空間中存在一個非零狀態(tài)或一個非空狀態(tài)集合在時刻t0j為不能控/能達，稱系統(tǒng)在時刻t0為不完全能控/能達。 定義：定義：若系統(tǒng)的能控/能達性與初始時刻t0的選取無關，或系統(tǒng)在任意初 始時刻t0j均為完全能控/能達，則稱系統(tǒng)為一致完全能控/能達。注：注：從工程實際角度考慮，一個實際系統(tǒng)為能控/能達的概率幾乎等于1。系統(tǒng)系統(tǒng)能控性，能達性定義能控性，能達性定義 能觀測性定義能觀測性定義和指定初始時刻t0j,如果存在一個時刻t1j，t1t0，使系統(tǒng)以x(t0)=x0為初始狀態(tài)的輸出y(t)恒為零，即y(t)0，tt

4、0,t1，則稱非零狀態(tài)x0在時刻t0為不能觀測；xxx)(,)()(00tcyjtttxtax，對連續(xù)時間線性時變系統(tǒng) 如果狀態(tài)空間中所有非零狀態(tài)在時刻t0都不為不能觀測，則稱系統(tǒng)在時刻t0為完全能觀測； 如果狀態(tài)空間中存在一個非零狀態(tài)或一個非零狀態(tài)集合在時刻t0為不能觀測，則稱系統(tǒng)在時刻t0為不完全能觀測； 如果系統(tǒng)對任意時刻均為完全能觀測，即能觀測性與初始時刻t0的選取無關，則稱系統(tǒng)為一致完全能觀測。 s1s1)(tu12)(ty)0(1x)0(2x1x2x該系統(tǒng)是不完全能觀測的由于 ttdbuttxtttx0)()()()()(00可見系統(tǒng)的狀態(tài)x(t)的能觀測性與x(t0)的能觀測性是

5、等價的。注：注：從工程實際角度考慮，一個實際系統(tǒng)為能觀測的概率幾乎等于1。xxx)(,)()()(00tcyjtttutbxtax，其解為；42 連續(xù)時間線性系統(tǒng)的能控性判據(jù)連續(xù)時間線性系統(tǒng)的能控性判據(jù) 結(jié)論結(jié)論1： (格拉姆矩陣判據(jù)格拉姆矩陣判據(jù)) 線性時變系統(tǒng)在t0時刻是狀態(tài)完全能控的充分必要條件是下列格拉姆矩陣10),()()(),(),(0010ttttcdtbbtttw為非奇異矩陣。證明：證明： 充分性充分性 為非奇異時，系統(tǒng)能控 ),(10ttwc)(),(),()()(01010txttwtttbtuctt0)(),(),(),()(),()(),(),()()(),(),()(

6、),()(),(),()()(),()(),()()(),()(),()(010110010010101000100101010100110011101010txttwttwtttxttdtxttwtbbttttxttdtxttwtbbttxttdubttxtttxccttctttttttt說明系統(tǒng)是能控的。必要性證明采用反證法，自閱。 jtttutbxtax000,)()()(xx， 由于時變系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣求解困難，故能控性格拉姆矩陣判據(jù)格拉姆矩陣判據(jù)的 意義主要在于理論分析中的應用。 tttttddaadaitt010012210,結(jié)論3：n 維連續(xù)時間線性時變系統(tǒng) jttxtxutbx

7、tax000,)()()(設a(t),b(t)對t為n-1階連續(xù)可微，定義 )()()()()()()()()()()()()()(2211120010tmdtdtmtatmtmdtdtmtatmtmdtdtmtatmtbtmnnn則系統(tǒng)在時刻t0j完全能控的一個充分條件充分條件為，存在一個有限時刻t1j，t1t0，,使 ntmtmtmrankn)(,),(),(111110能控性秩判據(jù)能控性秩判據(jù)結(jié)論2：連續(xù)時間線性時不變時不變系統(tǒng)： 0)0(0txxbuaxx 完全能控的充分必要條件是，存在時刻t10，使格拉姆矩陣 101, 0ttatatcdtebbetwt為非奇異。 (格拉姆矩陣判據(jù)格

8、拉姆矩陣判據(jù))主要在于理論分析和推導中的應用。主要在于理論分析和推導中的應用。結(jié)論4 （能控性秩判據(jù)）（能控性秩判據(jù)）對n 維連續(xù)時間線性時不變時不變系統(tǒng)，系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為能控性判別矩陣 ,12babaabbqnc 滿秩，即rankqc=n 結(jié)論5（能控性（能控性pbh秩判據(jù)）秩判據(jù)）n 維連續(xù)時間線性時不變時不變系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為： ranksi-a，b=n, s c c為復數(shù)域或 rank ii-a，b=n， i為系統(tǒng)特征值結(jié)論6： （能控性（能控性pbh特征向量判據(jù)）特征向量判據(jù)） n 維連續(xù)時間線性時不變時不變系統(tǒng)完全能控 的充分必要條件為：矩陣a不存在與b所有列

9、正交的非零左特征向量， 即對矩陣a所有特征值 i ，使同時滿足ta a= i t，t b=0 的左特 征向量t =0。 主要在于理論分析中，特別是線性時不變系統(tǒng)的復頻域分析中。主要在于理論分析中，特別是線性時不變系統(tǒng)的復頻域分析中。結(jié)論7： （約當規(guī)范型判據(jù)）（約當規(guī)范型判據(jù)）對n維線性時不變時不變系統(tǒng)，若a為對角陣，且其特征值兩兩相異，系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是b中不包含零行向量。結(jié)論8： （約當規(guī)范型判據(jù)）（約當規(guī)范型判據(jù)）對n維線性時不變時不變系統(tǒng)，若a為約當陣，系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是： 特征值互異的約當塊最后一行對應的b陣中，該行元素不全為零。 特征值相同的各約當塊最后一行對應

10、的b陣各行向量線性無關。注：注：1. 能控性pbh特征向量判據(jù)主要用于理論分析中，特別是線性時不變 系統(tǒng)的復頻域分析中。 2. 狀態(tài)向量的線性非奇異變換不改變系統(tǒng)的能控性。例例 圖示電路，判斷系統(tǒng)能控性條件 ul1r2r3r4rclicu解解 選取狀態(tài)變量x1=il，x2=uc，得系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： 2432114342122243321114343212111111111xrrrrcxrrrrrrcxulxrrrrrrlxrrrrrrrrlx4342124343212121011,rrrrrrlcrrrrrrrrllabbqc434212rrrrrr即（r1r4=r2r3）時，系統(tǒng)不能控。否

11、則系統(tǒng)能控。 例例 211312112211111100111100211010001000111llllbbbbuxx 系統(tǒng)能控的充分必要條件是向量組bl11、bl12、bl13線性無關以及bl21 不為零向量。 系統(tǒng)能控系統(tǒng)能控當kn時，qk為能控性判別矩陣。,1baabbqkk對完全能控能控連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，定義能控性指數(shù)能控性指數(shù)為： 使“rankqk=n”成立的最小正整數(shù)k 。 結(jié)論9：對完全能控單輸入單輸入連續(xù)時間線性時不變時不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n， 則系統(tǒng)能控性指數(shù)n。能控性指數(shù)能控性指數(shù)連續(xù)時間線性時不變時不變系統(tǒng)： 0)0(0txxbuaxx 定義：結(jié)論10：對完全能控

12、多輸入多輸入連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n， 輸入維數(shù)為p，設rankb=r，則能控性指數(shù)滿足如下估計： 1rnpn設 n為矩陣a的最小多項式次數(shù)，則 1,minrnnpn結(jié)論11：多輸入多輸入連續(xù)時間線性時不變時不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，輸入維數(shù)為p， 且rankb=r，則系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為： nbaabbrankrankqrnrn,1結(jié)論12：對完全能控能控多輸入連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)， 狀態(tài)維數(shù)為n，輸入維數(shù)為p，將q表為： 0)0(0txxbuaxx ,p12111p21p21bababaabababbbbqr1rr21221111,;,;,21baabbbaabbbaa

13、bbr其中： 12 rn由于rankb=r，將q中的n個線性無關列重新排列：能控性指數(shù)滿足： max 1，2 ，r 且稱 1，2 ，r 為系統(tǒng)的能控性指數(shù)集。ba-1b43 連續(xù)時間線性系統(tǒng)的能觀測性判據(jù)連續(xù)時間線性系統(tǒng)的能觀測性判據(jù) 結(jié)論1：線性時變系統(tǒng)在t0時刻是狀態(tài)完全能觀測的充分必要條件是下列格蘭姆矩陣為非奇異矩陣 10),()()(),(,00100ttttdttttctcttttw結(jié)論2：連續(xù)時間線性時不變時不變系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件是，存在時刻t10，使格拉姆矩陣 為非奇異。 1010, 0tatttadtcecetwtcxyjtttxtax000,)()(xx，結(jié)論3：

14、n 維連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)設a(t),c(t)對t為n-1階連續(xù)可微，定義 則系統(tǒng)在時刻t0j完全能觀測的一個充分條件充分條件為，存在一個有限時刻t1j，t1t0，,使 )()()()()()()()()(2210010tndtdtatnntndtdtatntntctnnnnntntntnrankn)()()(111110結(jié)論4 對n 維連續(xù)時間線性時不變時不變系統(tǒng)，系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件為能觀測性判別矩陣 滿秩，即rankq o=n 結(jié)論5n 維連續(xù)時間線性時不變時不變系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件為：或為系統(tǒng)特征值10ncacacqcsncasiranknincairank,21c為復

15、數(shù)域結(jié)論7：對n維連續(xù)時間線性時不變時不變系統(tǒng)，若a為對角陣，且其特征值兩兩相異，系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件是c陣中不包含零列向量。 結(jié)論8：對n維連續(xù)時間線性時不變時不變系統(tǒng)，若a為約當陣，系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件是： 特征值互異的約當塊第一列對應的c陣中，該列元素不全為零。 特征值相同的約當塊第一列對應的c陣中，各列向量線性無關。結(jié)論6：n維連續(xù)時間線性時不變時不變系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件為：矩陣a不存在與c所有行正交的非零右特征向量，即對矩陣a所有特征值，使同時滿足0,cai的右特征向量 0定義：令 完全能觀測n維連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的能觀測性指數(shù)能觀測性指數(shù)定義為 使“ra

16、nkqk=n”成立的最小正整數(shù)。 結(jié)論9：對完全能觀測單輸出單輸出連續(xù)時間線性時不變時不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，則能觀測性指數(shù)為 n。 結(jié)論10：對完全能觀測多輸出多輸出連續(xù)時間線性時不變時不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，輸入維數(shù)為q，設rankc=m，則 設 n為矩陣a的最小多項式次數(shù)，則 結(jié)論11：對多輸出多輸出連續(xù)時間線性時不變時不變系統(tǒng)，設rankc=m，則系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件是： 1kkcacacq1mnqn) 1,min(mnnqnncacacrankqranktmnttttmn)(,14.4 離散時間線性系統(tǒng)的能控性和能觀性判據(jù)離散時間線性系統(tǒng)的能控性和能觀性判據(jù) 時變系統(tǒng)的能控性

17、和能觀性判據(jù)時變系統(tǒng)的能控性和能觀性判據(jù)定義 離散時間線性時變系統(tǒng) kjkkukhkkgk)()()()() 1(xx如果對初始時刻hjk 和任意非零初始狀態(tài)x(h)=x0都存在時刻ljk,lh和對應輸入u(k),使輸入作用下系統(tǒng)狀態(tài)在時刻ljk達到原點，即有x(l)=0,則稱系統(tǒng)在時刻h完全能控； 如果對初始時刻h和任意非零狀態(tài)xl，都存在時刻ljk,lh和對應輸入u(k)，使輸入作用下由初始狀態(tài)x(h)=0出發(fā)的系統(tǒng)運動在時刻ljk達到xl，則稱系統(tǒng)在時刻h完全能達。結(jié)論1 離散時間線性時變系統(tǒng)在時刻h完全能達能達的充分必要條件充分必要條件為，存在時刻ljk,lh，使格蘭姆矩陣 1) 1,

18、()()() 1,(,lhkttcklkhkhkllhw為非奇異 結(jié)論2 若系統(tǒng)矩陣若系統(tǒng)矩陣g(k)對所有對所有 kh,l-1 非奇異非奇異，則離散時間線性時變系統(tǒng)在時刻hjk完全能控能控的充分必要條件為，存在時刻ljk,lh，使格蘭姆矩陣 1) 1,()()() 1,(,lhkttcklkhkhkllhw為非奇異 若系統(tǒng)矩陣g(k)對一個或一些kh,l-1奇異。格蘭姆矩非奇異為系統(tǒng)在時刻h完全能控的一個充分條件。 若系統(tǒng)矩陣g(k) 對所有kh,l-1非奇異，則系統(tǒng)能控性和能達性等價。 若離散時間線性時變系統(tǒng)為連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)的時間離散化，則系統(tǒng)的能控性和能達性等價。時不變系統(tǒng)的能控性

19、和能達性判據(jù)時不變系統(tǒng)的能控性和能達性判據(jù) 結(jié)論3 離散時間線性時不變系統(tǒng) )()() 1(khukgkxx系統(tǒng)完全能達能達的充分必要條件為，存在時刻l 0，使格蘭姆矩陣 10)(, 0lkkttkcghhglw為非奇異。若系統(tǒng)矩陣g非奇異，則系統(tǒng)完全能控能控的充分必要條件為存在時刻l 0，使格蘭姆矩陣為非奇異。10)(, 0lkkttkcghhglw若系統(tǒng)矩陣g奇異奇異，則上述格蘭姆矩陣非奇異為系統(tǒng)完全能控的充分條件充分條件。 結(jié)論4 n維離散時間線性時不變系統(tǒng) )()() 1(khukgkxx系統(tǒng)完全能達的充分必要條件為矩陣 hgghhqnkc1,滿秩 若系統(tǒng)矩陣g非奇異，則系統(tǒng)完全能控的

20、充分必要條件為 rankqkc=n。若系統(tǒng)矩陣g奇異，rankqkc=n 為系統(tǒng)完全能控的一個充分條件。結(jié)論5 對于單輸入離散時間線性時不變系統(tǒng)，當系統(tǒng)完全能控時，可構(gòu)造如下一組輸入控制 0121,) 1() 1 ()0(xhghghgnuuun則系統(tǒng)必可在n步內(nèi)由任意非零初態(tài)x(0)，轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間原點，通常稱這組控制為最小拍控制。 若系統(tǒng)矩陣g非奇異，則離散時間線性時不變系統(tǒng)能控性和能達性等價。 若離散時間線性時不變系統(tǒng)為連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的時間離散化，則系統(tǒng)的能控性和能達性等價。例例 設單輸入線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 )(101)(011220001) 1(kukxkx試判斷系統(tǒng)的能

21、控性，若初始狀態(tài)x(0)=2,1,0t，確定使x(3)=0的控制序列u(0),u(1),u(2)；研究x(2)=0的可能性。 解解 33112201112kckcrankqhgghhq系統(tǒng)是能控的 )2(101) 1 (121)0(3214122)2()2()3(uuuhugxx令0)3(x8115)2() 1 ()0(4122)2() 1 ()0(101121321uuuuuu若令0)2(x062) 1 ()0(101121uu無解。即不存在控制序列u（0），u（1）能夠使系統(tǒng)從初始狀態(tài)x(0)=2,1,0t轉(zhuǎn)移到x(2)=0。時變系統(tǒng)的能觀測性判據(jù)時變系統(tǒng)的能觀測性判據(jù)結(jié)論6 離散時間線性

22、時變系統(tǒng)在時刻hjk完全能觀測的充分必要條件為，存在一個離散時刻ljk,l h,使格蘭姆矩陣 10),()()(),(),(lhktthkkckchklhw為非奇異 時不變系統(tǒng)的能觀測性判據(jù)時不變系統(tǒng)的能觀測性判據(jù) 結(jié)論7 離散時間線性時不變系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件為，存在一個離散時刻l0,使格蘭姆矩陣 100)(, 0lkktktcgcglw為非奇異 結(jié)論8 n 維離散時間線性時不變系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件為 1nokcgcgcq滿秩 結(jié)論9 若單輸出離散時間線性時不變系統(tǒng)完全能觀測，則利用n步輸出值就可構(gòu)造出相應的初始狀態(tài)初始狀態(tài) ) 1() 1 ()0(110nyyycgcgcn

23、x4.5 對偶性對偶性對于線性系統(tǒng)，能控性和能觀測性之間在概念和判據(jù)形式上存在對偶關系，實質(zhì)上反映了系統(tǒng)控制問題和系統(tǒng)估計問題的對偶。定義：對連續(xù)時間線性時變系統(tǒng) xcybxax)()()(tutt其對偶系統(tǒng)定義為如下形式的一個連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)tttttttttttbca)()()(d對偶系統(tǒng)對偶系統(tǒng)其中，狀態(tài)xn維行向量，協(xié)狀態(tài) n維行向量 輸入up維列向量，輸入 q 維行向量 輸出yq維列向量，輸出 p 維行向量 顯然，是一個p維輸入q維輸出的n階系統(tǒng)，其對偶系統(tǒng)d是一個q維輸入p維輸出的n階系統(tǒng)。 d 系統(tǒng)矩陣系統(tǒng)矩陣的轉(zhuǎn)秩d 輸入矩陣輸出矩陣的轉(zhuǎn)秩d 輸出矩陣輸入矩陣的轉(zhuǎn)秩對偶系統(tǒng)

24、之間具有如下屬性：對偶系統(tǒng)之間具有如下屬性：1.線性屬性和時變屬性2.系數(shù)矩陣的對偶性xcybxax)()()(tutttttttttttttbca)()()(d3.狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的對偶性),(),(00tttttd互為轉(zhuǎn)秩逆！互為轉(zhuǎn)秩逆！xcybxax)()()(tutt 互為對偶的兩系統(tǒng)，輸入端與輸出端互換，信號傳遞方向相反，信號引出點和綜合點互換，對應矩陣轉(zhuǎn)置。 t t tatctbt dtttttttttttbca)()()(d原構(gòu)系統(tǒng)與其對偶系統(tǒng)具有相同屬性。4.方塊圖對偶屬性結(jié)論: 設為原構(gòu)線性系統(tǒng), d為對偶線性系統(tǒng),則有 完全能控 d 完全能觀測 完全能觀測 d 完全能控 線性時

25、不變系統(tǒng)，線性時不變系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)矩陣 baicw1)()(ss)()()()(11dssssttttttwbaiccaibw互為對偶系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣互為轉(zhuǎn)置，特征方程式相同，特征值相同?；閷ε枷到y(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣互為轉(zhuǎn)置，特征方程式相同，特征值相同。aiaisst對偶性原理對偶性原理10),()()(),(,00100ttddtdtdddttttctcttttw10100,ttrankwttrankwcd10),()()(),(00ttttdttttbtbtt完全能控 d 完全能觀測 根據(jù)這一原理，一個系統(tǒng)的狀態(tài)完全能控（狀態(tài)完全能觀測）的特性，根據(jù)這一原理，一個系統(tǒng)的狀態(tài)完全能控（狀態(tài)

26、完全能觀測）的特性，可以轉(zhuǎn)化為其對偶系統(tǒng)的狀態(tài)完全能觀測（狀態(tài)完全能控）的特性來研究。可以轉(zhuǎn)化為其對偶系統(tǒng)的狀態(tài)完全能觀測（狀態(tài)完全能控）的特性來研究。 對偶原理的意義，不僅在于對偶原理的意義，不僅在于提供了一條途徑提供了一條途徑，使可由一種結(jié)構(gòu)特性判據(jù)，使可由一種結(jié)構(gòu)特性判據(jù)導出另一種結(jié)構(gòu)特性判據(jù)，而且還在于提供了一種可能性，使可建立了系統(tǒng)導出另一種結(jié)構(gòu)特性判據(jù)，而且還在于提供了一種可能性，使可建立了系統(tǒng)最優(yōu)控制問題和最佳估計問題基本結(jié)論間的對于關系。最優(yōu)控制問題和最佳估計問題基本結(jié)論間的對于關系。 10,ttwcxcybxax)()()(tutttttttttttttbca)()()(d)

27、,(),(00tttttd4.6離散化線性系統(tǒng)保持能控性和能觀測性的條件離散化線性系統(tǒng)保持能控性和能觀測性的條件 設連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng) cxybuaxx 對應的時間離散化系統(tǒng) )()()()() 1(kkkkkcxyhugxx其中g(shù) =eat h=tatdtbe0,21jia的特征值 ji n結(jié)論1： 如果連續(xù)系統(tǒng)（a、b、c）不能控（不能觀測），則對任意采樣周期t離散化后的系統(tǒng)（g、h、c）也是不能控（不能觀測）的。 本定理也可敘述為： 如果離散化后的系統(tǒng)是能控（能觀測）的，則離散化前的連續(xù)系統(tǒng)一定是能控（能觀測）的。將線性連續(xù)系統(tǒng)化為線性離散系統(tǒng)進行分析和控制，是現(xiàn)今系統(tǒng)與控制理論中常

28、為采用的一種模式。結(jié)論2 ：設連續(xù)系統(tǒng)（a、b、c）能控（能觀測），則離散化后的系統(tǒng)也能控（能觀測）的必要條件必要條件是： jtl2不是a的特征值。其中l(wèi)為非零整數(shù) 結(jié)論3: 對時間離散化系統(tǒng)，使采樣周期t的值，對滿足reij=0的一切特征值，成立)(2jimilt則時間離散化系統(tǒng)能控的充分必要條件是eatb為行線性無關 結(jié)論4: 連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，其時間離散化系統(tǒng)保持完全能控/完全能觀測的一個充分條件為，采樣周期t滿足如下條件：對a的任意兩個特征值1、 2，不存在非零整數(shù)l ，使jtl221成立對于單輸入單輸出系統(tǒng)，本定理是充分必要的。, 2 , 1ji，4.7能控性、能觀測性與傳遞函

29、數(shù)的關系能控性、能觀測性與傳遞函數(shù)的關系 結(jié)論1: 單輸入單輸出單輸入單輸出系統(tǒng)（a、b、c）是能控且能觀測的充分必要條件是：傳遞函數(shù)g（s）的分母|si-a|與分子之間不發(fā)生因子相消。 例 設單輸入、單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 231)(2ssssg由于存在零、極點對消，系統(tǒng)不可能是既能控又能觀測的。結(jié)論2: 多輸入多輸出多輸入多輸出線性時不變系統(tǒng)能控能控的充分必要條件是：狀態(tài)向量與輸入向量之間的傳遞矩陣 basisgxu1)(的各行在復數(shù)域上線性無關。結(jié)論3：多輸入多輸出多輸入多輸出線性時不變系統(tǒng)能觀測能觀測的充分必要條件是：輸出向量與初始狀態(tài)向量x(0)之間的傳遞矩陣 1 asic的各列在復數(shù)

30、域上線性無關。48能控規(guī)范形和能觀測規(guī)范形：能控規(guī)范形和能觀測規(guī)范形：siso情形情形 由于狀態(tài)變量選擇的非唯一性，系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述也不是唯一的。在實際應用中，常常根據(jù)所研究問題的需要，將狀態(tài)空間描述化成相應的幾種規(guī)范形式規(guī)范形式：如約當規(guī)范型，對于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計算，能控性和能觀性分析是十分方便的。能控規(guī)范型對于狀態(tài)反饋來說比較方便，而能觀測規(guī)范型則對于狀態(tài)觀測器的設計及系統(tǒng)辯識比較方便。 無論選用哪種規(guī)范形，其實質(zhì)都是對系統(tǒng)狀態(tài)空間描述進行非奇異線性變換，其關鍵關鍵在于尋找相應的變換矩陣。本節(jié)以線性時不變siso系統(tǒng)為對象，討論能控規(guī)范形和能觀測規(guī)范形的基本形式基本形式和變換矩陣的構(gòu)造方

31、法構(gòu)造方法。線性時不變系統(tǒng)狀態(tài)空間描述為 cxybuaxx：能控性能觀測性在線性非奇異變換下的屬性能控性能觀測性在線性非奇異變換下的屬性引入坐標變換 ）（xpxxpx1，則變換后系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為 xcyubxax：cpcb,pbap,pa11,12babababqnc ccrankqqrank,111121111bppapbppapbapppbpn cnqpbabaabbp1121, 結(jié)論結(jié)論1：連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的能控性和能觀測性在線性非奇異變換下保持不變。能控性指數(shù)，能觀測性指數(shù)也保持不變。 能控規(guī)范形能控規(guī)范形結(jié)論結(jié)論2：對完全能控能控n維單輸入單輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng) cx

32、ybuaxx:0111)det(sssasinnnnbaabbrankn1，pqqoo同理：oorankqqrank則通過變換矩陣 11,1 -11 -1nnnbabbap1011111212112nnnnbabaabbp或可將系統(tǒng)變換成能控規(guī)范形，即xpx1導出： xxxccccyuba11011000001000010ncappa1001bpbc110,nccpc注：1.能控規(guī)范形以明顯形式直接和特征多項式系數(shù)0，1， ，n-1 聯(lián)系起來，對于系統(tǒng)綜合與仿真研究很方便。 2.完全能控的任意兩個代數(shù)等價系統(tǒng)必具有相同的能控規(guī)范形。 3.一個單輸入系統(tǒng)，如果其a、b陣具有如上形式，則系統(tǒng)一定能

33、控。 4.單輸入系統(tǒng)具有唯一唯一的能控規(guī)范形。無特殊形式結(jié)論3：對完全能觀測能觀測的n 維單輸入單輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，其能觀測規(guī)范形可基于線性非奇異變換 qxx 導出 xxx000cyuba其中ccacaqnnn1111111211212110111nnnncacacacq110101001001000nqaqa1100nqbb100010cqc注：1.能觀測規(guī)范形以明顯形式直接和特征多項式系數(shù)0，1， ，n-1 聯(lián)系起來，對于綜合系統(tǒng)的觀測器很方便。 2.完全能觀測的任意兩個代數(shù)等價系統(tǒng)必具有相同的能觀測規(guī)范形。 3.一個單輸出系統(tǒng)，如果其a、c陣具有如上形式，則系統(tǒng)一定能觀測。 4

34、.單輸出系統(tǒng)具有唯一唯一的能觀測規(guī)范形。無特殊形式u432654423321xx 1629)det(23sssasi272324244283172202cq例：已知線性時不變能控系統(tǒng)的狀態(tài)方程，試化為能控規(guī)范型。解：11,1 -11 -1nnnbabbapu1009216100010 xxu0010100011629xx111111nnnbaabbp49 能控規(guī)范形和能觀測規(guī)范形能控規(guī)范形和能觀測規(guī)范形mimo情形情形 多輸入多輸出多輸入多輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的能控規(guī)范型和能觀測規(guī)范型，相比于單輸入單輸出情形，無論規(guī)范形式還是構(gòu)造方法都要復雜一些。 1.規(guī)范形式的不唯一性 2.構(gòu)造變換矩

35、陣的復雜性 本節(jié)僅討論應用較廣的龍伯格規(guī)范形。 搜索線性無關的行或列的方法搜索線性無關的行或列的方法多輸入多輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的能控性判別矩陣和能觀測性判別矩陣 10ncacacq12bab,aab,b,q nc從qc或qo中找出n個線性無關的列或行，通常需經(jīng)過一個搜索過程。nnpnqn考察n維多輸入多輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng) cxybuaxx :,12babaabbqnc ,p21bbbb能控性判別矩陣為若系統(tǒng)完全能控，rankqc=n，即qc的np列中只有n個線性無關。nnp1.搜索qc中的n個線性無關的列向量的“列向搜索方案列向搜索方案”,p1n21n11np21p21cbab

36、abaabababbbbq用格柵圖的方法在qc中搜索n個線性無關的列向量。格柵圖格柵圖b1 b2 b3 b4a0a1a2a3a4a5baba2ba3ba4ba5b,12babaabbqnc n6 1 2 3搜索到搜索到 1 2 3n停止。停止。 1 3， 2 2， 31 ，l3qc中的中的6個線性無關的列個線性無關的列: b1, ab1, a2b1; b2, ab2; b3 b1 b2 b3 b4a0a1a2a3a4a5 1 2 3 1 3， 2 1 ， 3 22.搜索qc中的n個線性無關的列向量的“行向搜索方案行向搜索方案”rankb=rpn6，p4，r3搜索到搜索到 1 2 3 n 停止。

37、停止。 1, 2, 3 為系統(tǒng)的為系統(tǒng)的能控性指數(shù)集。能控性指數(shù)集。qc中的中的6個線性無關的列個線性無關的列: b1, ab1, a2b1; b2; b3, ab3baba2ba3ba4ba5b龍伯格能控規(guī)范形龍伯格能控規(guī)范形龍伯格能控規(guī)范形在系統(tǒng)極點配置綜合問題中有著廣泛的用途。龍伯格能控規(guī)范形在系統(tǒng)極點配置綜合問題中有著廣泛的用途?？疾焱耆芸氐膎維多輸入多輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng) cxybuaxx :,12babaabbqnc 能控性判別矩陣為rankb=rp采用“行向搜索方案行向搜索方案”，在qc中找出n個線性無關的列向量，并組成非奇異矩陣：r1rr212211111,;,;,21

38、baabbbaabbbaabbpr其中 1，2 ，r 為系統(tǒng)的能控性指數(shù)集，且 12 rntrtrttreeeepp1111111構(gòu)造變換矩陣s1111111111111raeaeeaeaeestrtrtrttt 1，2 ，r 為系統(tǒng)的能控性指數(shù)集，且 12 rn對于完全能控的n維多輸入多輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng) cxybuaxx :rankb=rp基于線性非奇異變換 ，可導出系統(tǒng)的龍伯格能控規(guī)范形龍伯格能控規(guī)范形xx1 srrrrnncaaaaass11111)(ariiiii, 2 , 1,*1010)(ajijiij,*0000)(a*100*10*01)(bsbpnccscnqc )

39、(無特殊形式無特殊形式r 列p - r 列例例：已知完全能控能控的連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng) uxx110002171160241試將其變換為龍伯格能控規(guī)范形龍伯格能控規(guī)范形解：1.寫出能控性判別矩陣qc8121111571100862402,2baabbqc采用“行向搜索方案行向搜索方案”，在qc中找出3個線性無關的列向量b1 b2 ab1 ab2 a2b1 a2b2b1 b2a0a1a2 1 2 12， 2 1rankb=r=p=2qc中3個線性無關的列向量為b1 ，b2 ，ab1由qc中找出的3個線性無關的列向量組成非奇異矩陣：111100402;,2111babbp135 . 001002

40、5 . 011pp135 . 01600102112121ttteaees016001221811ss 12， 2 1te12te21303627190101assca1011001bsbcuxx10110030362719010龍伯格能控規(guī)范形為：龍伯格能控規(guī)范形為：4.10 連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解 系統(tǒng)按能控性分解系統(tǒng)按能控性分解 設不完全能控n維多輸入多數(shù)出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為 cxybuaxx 在qc中采用“行向搜索方案行向搜索方案”或“列向搜索方案列向搜索方案”搜索出k個線性無關列q1, q2，qk ；其次，在除qc外的n維

41、狀態(tài)空間中，任意選取n - k個線性無關列qk+1, qk+2，qn ，構(gòu)成非奇異變換p-1 結(jié)構(gòu)分解的實質(zhì)是以明顯的形式，將不完全能控或/和不完全能觀測的系統(tǒng)分解為不同的四部分，其目的既可以深入了解系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特征，又可以深入揭示狀態(tài)空間描述與輸入輸出描述間的關系。nkbabaabbrankrankqnc ,12能控性判別矩陣的秩nkkqqqqqp,111引入非奇異線性變換)(1xpxpxxxcyubxaxccaaapapa0121其中 ccxxx可使系統(tǒng)實現(xiàn)按能控性的結(jié)構(gòu)分解：0cbpbbcccccpc1ccqrankrankq 狀態(tài)向量的非奇異線性變換，不改變系統(tǒng)的能控性及能控程度。經(jīng)非奇

42、異變換后，系統(tǒng)的動態(tài)方程寫為 cccccccccccxxccyubxxaaaxx0012于是可得能控子系統(tǒng)動態(tài)方程為： cccccccxcyubxaxax112不能控子系統(tǒng)動態(tài)方程為： cccccxcyxax2ccccasiasiasiaasiasiasi012由于 輸入u的作用，只能改變能控振型位置，不能改變不能控振型位置，這對系統(tǒng)分析和綜合具有重要意義。 結(jié)構(gòu)分解形式惟一性和結(jié)果的不惟一性。 基于結(jié)構(gòu)分解式的能控性判據(jù)。 特征值為特征值為能控振型能控振型 特征值為特征值為不能控振型不能控振型caca例： 已知 111100341010121cba試按能控性進行規(guī)范分解 解： 3283100

43、04102 rankbaabbrank系統(tǒng)不完全能控，取 0311000101p12100110024124011cpcpbbpapa能控子系統(tǒng)動態(tài)方程為 ccccxyuxxx21012241401不能控子系統(tǒng)動態(tài)方程為 cccxyxx2011001103p系統(tǒng)按能觀測性分解系統(tǒng)按能觀測性分解 設不能觀測系統(tǒng)的動態(tài)方程為 cxybuaxx 其能觀測性矩陣qo=c,ca,ca2,can-1 t的秩為mn，選出其中m個線性無關行，再加任意n-m個行，構(gòu)成非奇異變換f ooxxxxfxfxx）（1xcyubxax系統(tǒng)按能觀測性的結(jié)構(gòu)分解對偶對偶于系統(tǒng)按能控性的結(jié)構(gòu)分解。nmmhhhhf1100121

44、1oooooccfcbbfbbaaafafaoooooooooooxxcyubbxxaaaxx0021能觀測子系統(tǒng)動態(tài)方程為 ooooooxcyubxax1不能觀測子系統(tǒng)動態(tài)方程為 0221yubxaxaxoooooxcyubxax系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的規(guī)范分解系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的規(guī)范分解 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的規(guī)范分解是指，對不完全能控和不完全能觀測系統(tǒng)，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的規(guī)范分解是指，對不完全能控和不完全能觀測系統(tǒng)，同時按能控性和能觀測性進行結(jié)構(gòu)分解同時按能控性和能觀測性進行結(jié)構(gòu)分解 。但變換陣但變換陣tco的構(gòu)造需要涉及較多的線性空間概念。下面介紹一種的構(gòu)造需要涉及較多的線性空間概念。下面介紹一種逐逐步分解步分解的方法。的方法。

45、 (1) 先將系統(tǒng)按先將系統(tǒng)按能控能控(能觀測能觀測)性分解；性分解； (2) 將不能控的子系統(tǒng)按將不能控的子系統(tǒng)按能觀測能觀測(能控能控)性分解；性分解； (3) 將能控的子系統(tǒng)按將能控的子系統(tǒng)按能觀測能觀測(能控能控)性分解；性分解； (4) 綜合以上三次變換，綜合以上三次變換，導出導出系統(tǒng)同時按能控性和能觀測性進行系統(tǒng)同時按能控性和能觀測性進行結(jié)構(gòu)分解的表達式。結(jié)構(gòu)分解的表達式。 可通過非奇異變換可通過非奇異變換 ，將原系統(tǒng)，將原系統(tǒng)(a, b, c)變換為按能控性變換為按能控性和能觀測性規(guī)范分解的系統(tǒng)（和能觀測性規(guī)范分解的系統(tǒng)（aco,bco,cco）。）。xtxco 設系統(tǒng)（設系統(tǒng)（

46、a、b、c）不完全能控、不完全能觀測，可先對系統(tǒng)按能）不完全能控、不完全能觀測，可先對系統(tǒng)按能控性分解，即令控性分解，即令 ccxxpx1nkkqqqqp,111cccccccccccxxccyubxxaaaxx0012kn-k再分別對k維能控子系統(tǒng)、 nk維不能控子系統(tǒng)按能觀測性分解 occoocxxfx11ocococxxfx12fo1為k k維非奇異方陣， fo2為(n k) (n k)維非奇異為方陣。綜合以上三次變換綜合以上三次變換，系統(tǒng)的動態(tài)方程為 ocococcooccooccoocococcoocococcoocococcoxxxxccyubbxxxxaaaaaaaaaxxxx0

47、00000000004324232113結(jié)構(gòu)分解形式惟一性和結(jié)果的不惟一性。cacacccccb12a)()()()()()(111sgbasicsgbasicbasicsg)()(1sgbasiccocococooccooccococccbbasiaasicbasic00)(1211ccccccccbasicbasiaasiccbasicsg11121)(00)()(ocococcooccooccoocococcoocococcoocococcoxxxxccyubbxxxxaaaaaaaaaxxxx000000000004324232113作為輸入輸出描述的傳遞函數(shù)矩陣g(s)只能反映系統(tǒng)的

48、能控能觀測部分。21a13a23a24a43acobocbocccoccoocococuy系統(tǒng)結(jié)構(gòu)規(guī)范分解方塊圖作為輸入輸出描述的傳遞函數(shù)矩陣g(s)只能反映系統(tǒng)的能控能觀測部分。例：設線性時不變系統(tǒng)如下，試將該系統(tǒng)按能控性和能觀測性進行結(jié)構(gòu)分解。例：設線性時不變系統(tǒng)如下，試將該系統(tǒng)按能控性和能觀測性進行結(jié)構(gòu)分解。 ,011310301100uxx xy210 解解 ：1. 系統(tǒng)能控性判別陣系統(tǒng)能控性判別陣 2103111012baabbqcrankqc=2n=3 , 所以系統(tǒng)是所以系統(tǒng)是不完全能控不完全能控的。的。 ,0111q,1102q1003q取取 1100110011p其中其中q3是

49、任意是任意的，只要能保證的，只要能保證p非奇異即可。非奇異即可。2. 按能控性進行結(jié)構(gòu)分解按能控性進行結(jié)構(gòu)分解變換后的系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為：變換后的系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為： pbuxpapx1ux 01111001100111001100131030110011001100111ux 001100221110 xcpy1ccxx211uxxxxcccc001100221110即 顯然，不能控子空間是能觀測的，無需再進行分解。將能控子空顯然，不能控子空間是能觀測的，無需再進行分解。將能控子空間按能觀測性進行分解。間按能觀測性進行分解。 11011ffoccooccoxxxx101121101011

50、1uxc011011211011能控子系統(tǒng)能控子系統(tǒng)為為 ,01212110uxxxcccccxy11 3.對能控子系統(tǒng)按能觀測性進行結(jié)構(gòu)分解對能控子系統(tǒng)按能觀測性進行結(jié)構(gòu)分解1111cccocaccq顯然，能控子系統(tǒng)不完全能觀測能控子系統(tǒng)不完全能觀測21ocrankqoccocxxy1011111occoxx01即即 uxxxxxcoccoocco01211101綜合以上兩次變換結(jié)果，系統(tǒng)按能控性和能觀測性綜合以上兩次變換結(jié)果，系統(tǒng)按能控性和能觀測性分解為分解為 uxxxxxxococcoococco001100211101ococcoxxxy201654321654321654321002

51、041005013006100347531101130134014xxxxxxyxxxxxxxxxxxxu能控能觀測： x1，x2能控不能觀測： x3，x5不能控能觀測： x4不能控不能觀測： x6結(jié)構(gòu)分解的另一種方法ocococcoocococcoocococcoxxxxyyxxxxxxxx02004105001300006134753110000003000010100001030000004000001421u 按此順序重新排列，可導出；4.11 最小實現(xiàn)最小實現(xiàn)ducxybuaxx:)(1sgdba)c(si 由描述系統(tǒng)輸入輸出動態(tài)關系的微分方程式或傳遞函數(shù)建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述，這樣

52、的問題叫實現(xiàn)問題實現(xiàn)問題。由于狀態(tài)變量的選擇是非唯一的，因此實現(xiàn)也是非唯一的實現(xiàn)也是非唯一的。而且并非任意的微分方程式或傳遞函數(shù)都能求得其實現(xiàn)，實現(xiàn)存在的條件是nm 從工程的觀點看，在無窮多個內(nèi)部不同結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)中，其中維數(shù)最小的一類實現(xiàn)就是所謂的最小實現(xiàn)。對于給定傳遞函數(shù)陣g(s)，若有一狀態(tài)空間描述使之成立則稱 為傳遞函數(shù)陣g(s)的一個實現(xiàn)。當mn時，d0當m=n時，)(limsgds標量傳遞函數(shù)的實現(xiàn)標量傳遞函數(shù)的實現(xiàn)(單輸入單輸出系統(tǒng)單輸入單輸出系統(tǒng))上式中的d 就是下列動態(tài)方程中的直接傳遞部分ducxy,buaxx所以只需討論上式中的嚴格真有理分式部分。給定嚴格真有理函數(shù) 01110111011101110)(asasasssdsssdsdsddssgnnnnnnnnnnn01110111)(asasassssgnnnnn設給定有理函數(shù)要求尋找 a,b,c，使得)()(1sgbasic并且在所有滿足上式的a,b,c中，要求 a 的維數(shù)盡可能的小的維數(shù)盡可能的小。 當g(s)的分子和分母無非常數(shù)公因式的情況，即無零、極點對消時，系統(tǒng)能控能觀測能控能觀測。a、能控規(guī)范形實現(xiàn)、能控規(guī)范形實現(xiàn)11012101000100001000010nncbab、能觀規(guī)范形實現(xiàn)、能觀規(guī)范形實現(xiàn)1000100010001000