基于分形方法的多孔介質(zhì)有效應(yīng)力模型研究

1、基于分形方法的多孔介質(zhì)有效應(yīng)力模型研究/. - 1 -基于分形方法的多孔介質(zhì)有效應(yīng)力模型研究1 閆鐵，李瑋，畢雪亮 大慶石油學(xué)院提高油氣采收率教育部重點實驗室，黑龍江大慶 (163318) 摘 要：泰爾扎吉（terzaghi）的有效應(yīng)力方程是描述多孔介質(zhì)應(yīng)力關(guān)系的經(jīng)典模型，后來的學(xué)者相繼開展了很多研究，建立了相關(guān)模型，但基本都基于淺層巖土而建立的。本文在充分研究國內(nèi)外多孔介質(zhì)有效應(yīng)力研究基礎(chǔ)上，針對石油工程中深層巖石復(fù)雜結(jié)構(gòu)特征，應(yīng)用分形幾何理論,分別建立了深層多孔介質(zhì)巖石有效應(yīng)力的二維和三維分形計算模型。該模型能反應(yīng)任意孔隙結(jié)構(gòu)下的應(yīng)力作用關(guān)系，是現(xiàn)有相關(guān)有效應(yīng)力模型的補充

2、和完善。為了現(xiàn)場應(yīng)用方便，進一步給出多孔介質(zhì)有效應(yīng)力分形模型的簡化式。實例計算表明，應(yīng)用簡化式計算的有效應(yīng)力值誤差在 7以內(nèi)，可以滿足油田現(xiàn)場的要求，并且應(yīng)用簡化式有利于應(yīng)用測井數(shù)據(jù)獲得連續(xù)的有效應(yīng)力剖面。 關(guān)鍵詞：多孔介質(zhì)；有效應(yīng)力；terzaghi方程；分形幾何；分形維數(shù) . 引言 所謂多孔介質(zhì)是一種由非均勻組成且具有復(fù)雜多變孔隙結(jié)構(gòu)上的復(fù)雜體，有效應(yīng)力是描述多孔介質(zhì)中力學(xué)特征的基本參數(shù)。巖土和巖石是多孔介質(zhì)中典型的例子，其結(jié)構(gòu)上是由相互連接在一起的固體顆粒(骨架)所組成的，孔隙中通常被一種或幾種流體填充。通常情況下，多孔介質(zhì)同時受到外部應(yīng)力和內(nèi)部應(yīng)力的共同作用。 目前有關(guān)多孔介質(zhì)有效應(yīng)力

3、的計算模型很多，但都基本基于淺層巖土而建立的。石油工程中的深層巖石多孔介質(zhì)材料與淺層巖土相比，存在以下特點：巖石組成結(jié)構(gòu)嚴密，支撐顆粒膠結(jié)良好；巖石內(nèi)的孔隙空間小，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，聯(lián)通性差；深部巖石和巖石孔隙中流體所處壓力環(huán)境復(fù)雜。由于深部巖石與淺層巖土之間在組成結(jié)構(gòu)及所處環(huán)境上的差異，造成有效應(yīng)力的計算存在著一定的差別。近幾年的研究表明，深層多孔介質(zhì)的巖石具有分形特征，應(yīng)用分形力學(xué)方法來研究更具實際意義。 本文應(yīng)用分形理論，從多孔介質(zhì)結(jié)構(gòu)上的隨機性、非均勻性入手，重新建立了有效應(yīng)力的分形計算模型，并進行了相應(yīng)的參數(shù)分析和簡化計算，為進一步應(yīng)用分形方法研究多孔介質(zhì)的應(yīng)力關(guān)系奠定基礎(chǔ)。 . 多孔介質(zhì)有

4、效應(yīng)力的基本模型分析 18923年泰爾扎吉1在研究淺層巖土多孔介質(zhì)時，首先引入了一維壓實有效應(yīng)力的概念，并給出如下關(guān)系 po p+= （1） 式中： o 為作用在整個多孔介質(zhì)上的應(yīng)力，稱為總應(yīng)力，mpa； 為作用在固體顆粒上的應(yīng)力，稱為有效應(yīng)力，mpa； pp 為孔隙中流體的壓力，稱為孔隙壓力，mpa。這種一維的地層內(nèi)部應(yīng)力處理方法后來被biot所總結(jié)，并用相容性理論闡明了擴散與變形耦合作用的一體過程2,3。目前式（1）已經(jīng)廣泛應(yīng)用于地基處理、巖土工程、地質(zhì)、石油工程等許多領(lǐng)域。 1 本課題得到教育部博士點基金(20070220001)凝灰質(zhì)儲層水力壓裂斷裂損傷機理及裂縫幾何形態(tài)描述的資助。

5、/. - 2 -1959 年 habbert 等人4借鑒了泰爾扎吉方程原理。認為上覆巖層總體重力所形成的壓力ov 即為總應(yīng)力 o ，它由沉積物顆粒之間接觸點上的應(yīng)力 （基巖應(yīng)力）與孔隙流體壓力pp 共同支撐，即 pov p+= （2） 式中： ov 上覆巖層壓力，mpa。在簡單修改變量的概念后，式（2）通過形式上基本照搬式（1），但內(nèi)涵有所不同。由于方程式（2）中只有一個未知量且和上覆巖層壓力聯(lián)系起來，因此在石油工程中得到了廣泛的應(yīng)用。 由以上兩式的結(jié)構(gòu)可知， 和 pp 兩個量均衡地分擔總應(yīng)力的作用，而忽略了巖石本體結(jié)構(gòu)特征在 和 pp 之間協(xié)調(diào)所起的作用。 1963年han

6、din等人5對以上兩式進行修正并引入了校正因子，改進為： po p)1( ?+= （3） 式中： 被稱為有效應(yīng)力系數(shù)，或biot系數(shù)， br cc?=1 ， rc 為骨架壓縮率， bc為容積壓縮率。對比以上兩式，若考慮 非常小情況， 趨向于有限的極限 ，（1- ）近似為1，則式（3）將變?yōu)槭剑?），即泰爾扎吉方程。這說明（1）是式（3）中 很小時的一種特殊情況。然而，這種“ 非常小”的假設(shè)是是很難滿足的,因為對于許多膠結(jié)良好的多孔介質(zhì)(如基質(zhì)膠結(jié)巖石),顆粒接觸面積常常大于孔隙面積6。式中有效應(yīng)力系數(shù)的引入意味著在顆粒間存在著膠結(jié)作用抑制了孔隙壓力的大小以平衡施加的載荷。 上個世紀90年代末，

7、李傳亮等人7對多孔介質(zhì)展開了系統(tǒng)而深入的研究，進一步發(fā)展了有效應(yīng)力理論。他從本體有效應(yīng)力和和結(jié)構(gòu)有效應(yīng)力兩個方面闡述了多孔介質(zhì)所受的應(yīng)力關(guān)系，并得出了本體有效應(yīng)力的真實應(yīng)力表達式： )1( ?+= pov p （4） 式中： 為多孔介質(zhì)的孔隙度。 公式（4）引入了反映多孔介質(zhì)特性的重要參數(shù)孔隙度，從孔隙結(jié)構(gòu)特性上分析了多孔介質(zhì)對各應(yīng)力的響應(yīng)關(guān)系。該公式的提出對多孔介質(zhì)有效應(yīng)力的研究產(chǎn)生了積極的影響。 . 多孔介質(zhì)有效應(yīng)力的分形計算模型 地層巖體在形成過程中經(jīng)歷了漫長的地質(zhì)年代，其過程的非線性、非均勻，造成了地下多孔介質(zhì)的顆粒和孔隙以一種隨機分布的形式存在。由于多孔介質(zhì)在結(jié)構(gòu)上表現(xiàn)出極強的非均勻

8、性及各向異性，這為其結(jié)構(gòu)特性的定量描述帶來困難。 為了降低解決問題的難度，人們常常將這種復(fù)雜結(jié)構(gòu)進行簡化，只在理想的情況下建立多孔介質(zhì)結(jié)構(gòu)的有效應(yīng)力模型。這些模型雖然取得了一定的應(yīng)用效果，但存在著局限性。近些年的研究證明8-10，無論在二維平面還是三維立體空間上，實際的多孔介質(zhì)材料都具有分形特征，可以用分形理論來研究。 在多孔介質(zhì)中任取一單元截面oo(圖1),其截面邊長為l，孔隙和顆粒的總截面積為a,al2。在該截面上對介質(zhì)施加一總應(yīng)力 o ,若 為介質(zhì)固體顆粒上的平均應(yīng)力,則根據(jù)受力平衡有 po paaa 21 += （5） /. - 3 -式中： 1a 為巖石顆粒接觸面積

9、； 2a 為截面上孔隙的面積；且 21 aaa += 。 根據(jù)分形幾何原理，對于圖1中的多孔介質(zhì)結(jié)構(gòu)，單元平面上孔隙面積應(yīng)滿足如下分形關(guān)系 222 )/(?= ldrlcla )/(1( 2221?=?= ldrlclaaa 式中：c為表征巖石孔隙結(jié)構(gòu)性質(zhì)的常數(shù)； l為所選單元體截面的變長； r為在單元范圍內(nèi)孔隙尺寸變量； ld 為面分形維數(shù)。于是式（5）得 )/(1()/( 22 ? ?+= ll dpdo rlcprlc （6） 式（6）為多孔介質(zhì)平面上的有效應(yīng)力微觀分形模型。由此看出影響巖石有效應(yīng)力的因素除了總應(yīng)力，還有多孔介質(zhì)的孔隙尺寸及孔隙結(jié)構(gòu)的分形維數(shù)。 同理可以分析多孔介質(zhì)三維情

10、況下有效應(yīng)力模型。設(shè)多孔介質(zhì)孔隙結(jié)構(gòu)體的分形維數(shù)為ds,如圖取一長度為 l的單元體，其總體積為 3lv = 根據(jù)分形幾何原理，總體積中的分形孔隙體積為 332 )/(?= sdrlclv 多孔介質(zhì)骨架的體積為 )/(1( 3321?=?= ldrlclvvv 根據(jù)力學(xué)平衡原理有 )/(1()/( 33 ? ?+= ss dpdo rlcprlc (7) 式（7）就是應(yīng)用分形方法推得的多孔介質(zhì)有效應(yīng)力三維分形計算模型。根據(jù)式（6）和式（7）公式的基本形式，可以得出維數(shù)更高的數(shù)學(xué)歸納公式 )/(1()/( ndpndo rlcprlc ? ?+= (8) 1<? dn 式中：d為幾何體的分形

11、維數(shù)，n為幾何體對應(yīng)的拓撲維數(shù)。對于現(xiàn)實中的幾何體，給出 d>3 時有效應(yīng)力表達式，其現(xiàn)實意義是不大的。 圖 1 砂巖多孔介質(zhì)中各應(yīng)力關(guān)系圖 fig.1 the relationship between the sandstone stresses in porous media 總應(yīng)力基巖應(yīng)力流體壓力o o/. - 4 -對于式（7）方程中的 3)/( ?sdrlc 的引入主要是從孔隙結(jié)構(gòu)特性上反應(yīng)孔隙壓力對總應(yīng)力的貢獻。而式（3）中有效應(yīng)力的引入主要從顆粒間組成及結(jié)構(gòu)反應(yīng)顆粒支撐應(yīng)力對總應(yīng)力的反應(yīng)。 式（6）和式（7）的有效應(yīng)力分形計算模型是一個能精確表述各應(yīng)力關(guān)系

12、的方程。該方程通過引入介質(zhì)孔隙結(jié)構(gòu)特征參數(shù)來協(xié)調(diào)主應(yīng)力在 pp 和 上的分配比例，又從孔隙結(jié)構(gòu)變化的角度闡明多孔介質(zhì)中流固作用關(guān)系?，F(xiàn)令 3)/(1 ?= sdrlc 則式（7）變?yōu)?po p)1( ?+= (9) 對比式（9）和式（3），二者在形式上形式上基本相同，但內(nèi)涵不同。考慮特殊情況分形維數(shù) ds 為 3 時，式（7）消除了介質(zhì)孔隙尺度變化的影響，由此得 c?= 1 則在 的變化范圍中存在一個與 相同的值，可以認為式（3）是式（7）的一種特殊形式，所以，這兩式多孔介質(zhì)結(jié)構(gòu)本質(zhì)上存在著一定聯(lián)系。 在式（7）中，為了便于分析，我們令 t 代表孔隙尺寸上、下限比值。分別給出了 t 為 2、1

13、0、100、1000 時多孔介質(zhì)分形孔隙度與孔隙結(jié)構(gòu)分形維數(shù)的變化關(guān)系，如圖 3 所示。在 t 值比較小時，孔隙度隨分形維數(shù)變化呈近似直線關(guān)系，當 t 為 1 時呈直線關(guān)系。隨著 t 值增大，曲線的指數(shù)關(guān)系逐漸明顯；在相同的分形維數(shù)下，t 值越小其多孔介質(zhì)的孔隙度越大。圖 4 是上覆巖層總應(yīng)力隨多孔介質(zhì)的孔隙度的變化關(guān)系，圖中基巖應(yīng)力為 25mpa，孔隙壓力為 20mpa。綜合兩圖可知，在基巖應(yīng)力和孔隙壓力不變情況下，上覆巖層總應(yīng)力隨多孔介質(zhì)的孔隙結(jié)構(gòu)分形維數(shù)增大而增大，并表現(xiàn)出指數(shù)關(guān)系。 圖 2 多孔介質(zhì)中各應(yīng)力關(guān)系圖 fig.2 the relationship between the s

14、tresses in porous media 圖 3 多孔介質(zhì)分形 隨孔隙結(jié)構(gòu) d的變化關(guān)系 fig.3 the change relationship between the fractal and the pore structure d in porous media 圖 4 上覆巖層壓力隨孔隙度的變化關(guān)系 fig.4 the change relationship between the overlying rock pressure and the porosity o o總應(yīng)力 基巖應(yīng)力 流體壓力/. - 5 -4. 有效應(yīng)力分形模型的簡化與計算 式（6）和式（

15、7）有效應(yīng)力分形計算模型可以計算任意深度下、任意孔隙結(jié)構(gòu)下的多孔介質(zhì)有效應(yīng)力，但是模型中各參數(shù)求取相對麻煩。鑒于式（6）中 2)/( ?ldrlc 的大小等于多孔介質(zhì)的面孔隙度 a ，即 22 )/( ?= da rlcaa 由此式（6）簡化為 )1( apao p ?+= （10） 同理式（7）簡化為 )1( vpvo p ?+= （11） 式中: v 多孔介質(zhì)的體孔隙度。 對式（11）雖然進行了簡化，但是在公式中依然存在著兩個不可測量的量 o 和 。由于深部地層的應(yīng)力環(huán)境復(fù)雜，總應(yīng)力的組成并不只是來源于上覆巖層壓力，構(gòu)造應(yīng)力也是總應(yīng)力的重要組成部分。這樣使得總應(yīng)力的計算顯得十分困難，有效應(yīng)

16、力的計算也就變得困難。為了現(xiàn)場應(yīng)用的方便，認為垂向的總應(yīng)力近似等于上覆巖層的壓力，式（11）變?yōu)?)1( vpvov p ?+= （12） 式 中 ： = h bov dhh0 )( ； b 為 不 同 沉 積 層 段 沉 積 物 的 容 重 ，( ) fmab +?= 1 ,g/cm3；h為沉積物的埋藏深度,m。 另外，根據(jù)式（7）及式（12）的變形，可以進一步得 330)/(1)/()(?=ssdpdhbrlcprlcdhh 由于隨深度巖石的孔隙分形維數(shù)很難一一獲得，需要對計算過程進行簡化。對于不同深度的體積孔隙，統(tǒng)一用其拓撲維數(shù)（ds=3）來代替。對于 ds=3 時，上式簡化為 1101

17、)(cpcdhh phb?= (13) 式中： 1c 為 ds=3 時的孔隙結(jié)構(gòu)性質(zhì)常數(shù)。式(13)就是多孔介質(zhì)有效應(yīng)力分形模型在三維下的實用計算式。 為了驗證所建立的分形條件下有效應(yīng)力計算模式的準確程度，將式（7）的計算結(jié)果與當前相關(guān)模型對現(xiàn)場實際數(shù)據(jù)的計算結(jié)果進行了對比分析。收集了某油田盆地兩個區(qū)塊的地層及相關(guān)數(shù)據(jù)，計算深度在 17002300m 之間，其巖性主要為灰色細質(zhì)砂巖、雜色含凝灰質(zhì)砂礫巖、灰黑色砂礫巖等。收集的數(shù)據(jù)主要包括地層深度、對應(yīng)深度下的上覆巖層壓力、孔隙壓力和孔隙度等，并用分形模型計算了地層孔隙度對應(yīng)的分形維數(shù)，列于表 1。 /. - 6 -表 1 某盆

18、地實測地層參數(shù) tab.1 the measured formation parameters 巖心號 深度 （m） 上覆巖層壓力（mpa） 孔隙壓力 （mpa） 分形維數(shù) 塔木-1 井 2181.0 55.21 21.37 2.7401 塔木-2 井 2171.09 53.84 22.12 2.4542 塔木-36 井 2286.59 58.42 22.89 2.5202 分別應(yīng)用泰爾扎吉模型式（1）、李傳亮模型式（4）和本文模型式（7）計算了有效應(yīng)力，結(jié)果和誤差列于表 2。 表 2 某盆地有效應(yīng)力及誤差對比表 tab.2 the effective stress caculation an

19、d the error comparison 誤差（(%)） 巖心號 深度（m） 式（1）（mpa） 式（4）（mpa） 式（7）（mpa） （1）與（7） （4）與（7）塔木-1 井 2181.0 33.84 57.72 57.08 40.71 1.12 塔木-2 井 2171.09 31.72 55.33 55.03 42.36 0.55 塔木-36 井 2286.59 35.53 61.59 60.83 41.59 1.25 由表 2 可以看出，如果將目前公認的李傳亮模型式（4）為基準，式（1）與式（4）的平均誤差為 41.55，而式（7）與式（4）的平均誤差為 0.97。因此可以說應(yīng)用

20、本文模型在考慮分形條件下計算的有效應(yīng)力與模型式（4）的計算結(jié)果比較吻合。 表 3 是應(yīng)用簡化式（12）和式（13）與原分形模型式（7）的對比計算結(jié)果，表中的 c值是由實測參數(shù)在分形維數(shù)為 2.4542 時計算得到的，即 c0.135。 表 3 某盆地實測數(shù)據(jù)及有效應(yīng)力計算結(jié)果 tab.3 the measured data and the effective stress caculation results 巖心號 深度(m) 上覆壓力(mpa) 孔隙壓力 (mpa)孔隙度(%) 分形模型(mpa)式(12) (mpa)誤差 (%) 式(13) (mpa) 誤差(%) 塔木-1井 2181.

21、0 55.21 21.37 6.9 57.08 57.72 1.12 60.49 5.98 塔木-2井 2171.09 53.84 22.12 4.5 55.03 55.33 0.55 58.79 6.83 塔木-36井 2286.59 58.42 22.89 8.2 60.83 61.59 1.25 63.97 5.15 由表 3 看出，應(yīng)用式（12）得到的計算結(jié)果與分形模型式（7）誤差在 2%以內(nèi)，而式（13）得到的計算結(jié)果與分形模型式（7）誤差在 7%以內(nèi)。在工程應(yīng)用中，完全可以應(yīng)用簡化式來計算有效應(yīng)力。同時簡化式中的各項參數(shù)可以通過測井曲線來確定，因此可以依此建立有效應(yīng)力隨深度的變化剖

22、面，這在工程應(yīng)用中是十分方便的。 5. 結(jié)論 應(yīng)用分形幾何理論，通過多孔介質(zhì)的復(fù)雜結(jié)構(gòu)特征的描述，建立了多孔介質(zhì)有效應(yīng)力的分形計算模型，給出了一個認識有效應(yīng)力的新途徑。 本文建立的有效應(yīng)力分形計算模型分別考慮了孔隙結(jié)構(gòu)尺寸和分形維數(shù)等參數(shù)，從孔隙結(jié)構(gòu)變化的角度分析了主應(yīng)力在有效應(yīng)力和孔隙壓力上的分配關(guān)系，是當前現(xiàn)有有效應(yīng)力模/. - 7 -型的補充和完善。 為了現(xiàn)場應(yīng)用方便，進一步給出了有效應(yīng)力分形模型的簡化式，通過實例計算表明，應(yīng)用簡化式計算的有效應(yīng)力值誤差在 7以內(nèi)，可以滿足油田現(xiàn)場的要求。并且有利于應(yīng)用測井數(shù)據(jù)獲得連續(xù)的有效應(yīng)力剖面。 參考文獻 1. jc 耶格，ngw

23、 庫克. 巖石力學(xué)基礎(chǔ)m. 北京： 科學(xué)出版社, 1981：268-272.( j.c.jaeger, n.g.w.cook. rock mechanics basis m.beijing：science press，1981：268-272) 2. biot m a.general theory of three-dimensional consol-idationj. j appl phys, 1941, 12: 155- 164 3. biot m a. theory of propagation of elastic waves in afluid-saturated porous m

24、edia.i low frequency rangej. j acoust soc am, 1956, 28(2): 168-178. 4. habbert k and rubey w w. role of fluid pressure in mechanics of overthrust faultingj.bull geol soc am, 1959, 49: 70-78. 5. handin j, hager r v, friedman m, feather j n. experimental deformation of sedimentary rocks under confinin

25、g pressure; pore pressure testsj. aapg bulletin, 1963, 47 (5): 717-755. 6. 李傳亮. 多孔介質(zhì)應(yīng)力關(guān)系方程.應(yīng)用基礎(chǔ)與工程科學(xué)學(xué)報j. 1998, 6(2):145-148. 7. 李傳亮，孔祥言，徐獻芝等. 多孔介質(zhì)的雙重有效應(yīng)力j.自然雜志, 1999, 21(5): 288-292 8. 謝和平. 巖土介質(zhì)的分形孔隙和分形粒子j. 力學(xué)進展, 1993, 23(2): 145-164 9. thompson, a.h. fractals in rock physics. annual rev, of earth a

26、nd planetarg sci. 1991 10. 馬新仿，張士誠，郎兆新. 用分段回歸方法計算孔隙結(jié)構(gòu)的分形維數(shù)j. 石油大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版, 2004, 28(6): 54-56. research on the effective stress model in porous media based on the fractal method yan tie, li wei, bi xueliang key laboratory of enhanced oil & gas recovery, ministry of education, daqing petroleum in

27、stitute, daqing (163318) abstract terzaghi equation is a classic model that is used to describe the relationship between stresses in porous media.the later scholars have been conducting a lot of researches and established many models. however, the models are based on the basic shallow rock. on the basis of the full study on the chinese and foreign information about the effective stress in porous media in this paper, the 2d and 3d fractal calculation models for the effective stress in deep poro