奧運會臨時超市網(wǎng)點設(shè)計的數(shù)學(xué)模型

1、奧運會臨時超市網(wǎng)點設(shè)計的數(shù)學(xué)模型電子科技大學(xué)指導(dǎo)老師：參賽隊員： 2004.9.20奧運會臨時超市網(wǎng)點設(shè)計的數(shù)學(xué)模型摘 要本文對觀眾在出行、餐飲和購物等方面的規(guī)律進(jìn)行了分析研究，在觀眾平均出行兩次的情況下，計算出了20個商區(qū)內(nèi)的人流量分布，并設(shè)計給出了20個商區(qū)內(nèi)ms網(wǎng)點的分布方案。首先，分別從觀眾的性別、年齡來考慮對出行、餐飲和購物的影響，即分成六方面影響，對每一方面影響統(tǒng)計出其數(shù)據(jù)，做相關(guān)性檢驗，并分析得出規(guī)律；再按年齡、性別、出行和餐飲幾方面的不同將觀眾分為72類，引入購物欲望指數(shù)作為評價指標(biāo)，運用聚類分析方法把觀眾歸并為8類，得出不同性別、年齡的觀眾，其購物欲望與出行方式和用餐習(xí)慣關(guān)系

2、的規(guī)律。然后，利用出行、餐飲方面的統(tǒng)計規(guī)律，根據(jù)比賽主場館的觀眾容量和各個看臺的人流方向，建立主場館周邊各個商區(qū)人流量分布的通用模型，以三個體育場的容量和人流方向計算得出20個商區(qū)的人流量分布。在設(shè)計ms方案時，以各個商業(yè)區(qū)的總利潤最大為目標(biāo)、以滿足總購物需求和分布均衡為約束，建立模型。模型求解的關(guān)鍵是求每個商區(qū)的購物需求。利用聚類分析得出的規(guī)律，算出不同種類觀眾的人均日消費額，結(jié)合人流的分布和流動方向，得到各商區(qū)的購物需求，從而確定出各商區(qū)兩種規(guī)模ms個數(shù)的分布方案。最后，我們從模型所用思想方法的科學(xué)性，以及結(jié)果的合理性兩方面進(jìn)行了討論。一、問題重述2008年北京奧運會的建設(shè)工作已經(jīng)進(jìn)入全面

3、設(shè)計和實施階段。奧運會期間，在比賽主場館的周邊地區(qū)需要建設(shè)由小型商亭構(gòu)建的臨時商業(yè)網(wǎng)點，稱為迷你超市（記做ms）網(wǎng)，主要經(jīng)營食品、奧運紀(jì)念品、旅游用品、文體用品和小日用品等。這種ms網(wǎng)，在地點、大小類型和總量方面有三個基本要求：滿足奧運會期間的購物需求、分布基本均衡和商業(yè)上贏利。我們要做的是對下圖中的20個商區(qū)設(shè)計ms網(wǎng)點：作為真實地圖的簡化，圖中僅保留了與本問題有關(guān)的地區(qū)及相關(guān)部分：道路（白色為人行道）、公交車站、地鐵站、出租車站、私車停車場、餐飲部門等,其中標(biāo)有a1-a10、b1-b6、c1-c4的黃色區(qū)域是規(guī)定的設(shè)計ms網(wǎng)點的20個商區(qū)。為了得到人流量的規(guī)律，一個可供選擇的方法，是在已經(jīng)

4、建設(shè)好的某運動場通過對預(yù)演的運動會的問卷調(diào)查，了解觀眾（購物主體）的出行和用餐的需求方式和購物欲望。假設(shè)在某運動場舉辦了三次運動會，并通過對觀眾的問卷調(diào)查采集了相關(guān)數(shù)據(jù)。1 根據(jù)問卷調(diào)查數(shù)據(jù)，找出觀眾在出行、用餐和購物等方面所反映的規(guī)律。 2 假定奧運會期間（指某一天）每位觀眾平均出行兩次，一次為進(jìn)出場館，一次為餐飲，并且出行均采取最短路徑。依據(jù)1的結(jié)果，測算圖中20個商區(qū)的人流量分布（用百分比表示）。3 如果有兩種大小不同規(guī)模的ms類型供選擇，給出圖中20個商區(qū)內(nèi)ms網(wǎng)點的設(shè)計方案（即每個商區(qū)內(nèi)不同類型ms的個數(shù)），以滿足上述三個基本要求。4 闡明所采取方法的科學(xué)性，并說明結(jié)果是貼近實際的。

5、二、問題分析本問題的關(guān)鍵是尋找觀眾在出行、餐飲和購物三方面的規(guī)律。先從問卷調(diào)查的主體觀眾考慮，觀眾的性別、年齡均對這三方面有一定的影響，通過數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析和相關(guān)性檢驗來得到其規(guī)律。再綜合考慮性別、年齡、出行方式和餐飲方式幾個方面對消費額的影響，將觀眾按這幾個方面分類，運用聚類分析的方法來得到不同種類的觀眾在消費額上反映出的規(guī)律。在前面統(tǒng)計分析的基礎(chǔ)上，得到出行方式和餐飲方式不同的觀眾在總?cè)藬?shù)中所占的比例，并根據(jù)假定出行路徑最短的要求，給出具體的出行規(guī)則，建立計算某一比賽主場館周圍，各商區(qū)的人流量的一般模型，并求得通用計算公式。然后將各比賽主場館周圍商區(qū)及人流的相關(guān)數(shù)據(jù)代入，即可得到各個商區(qū)的人

6、流量分布。本問題的難點是各商區(qū)ms的設(shè)置。根據(jù)聚類分析得到的，不同種類觀眾所具有的不同購物欲望，并結(jié)合各商區(qū)人流量的一般模型，得到各商區(qū)的預(yù)期銷售額。再查出兩種大小ms的具體規(guī)模，在滿足ms三個基本條件的前提下，得出各個商區(qū)內(nèi)兩種ms的設(shè)置方案。最后，討論所用方法的科學(xué)性和計算結(jié)果的合理性。三、變量說明：某比賽主場館周圍商區(qū)的個數(shù)。：第個商區(qū)的人流量。：大小因子，即大型ms在占地面積、營業(yè)成本以及銷售額上限等方面均為小型ms的倍。：第個商區(qū)內(nèi)小型ms的個數(shù)。：第個商區(qū)內(nèi)大型ms的個數(shù)。：單個小型ms的銷售額上限。：單個小型ms的營業(yè)成本。:某比賽主場館周圍，所有商區(qū)最大銷售額的均方差上限。四、

7、基本假設(shè)1 觀眾出行時只能經(jīng)過其所在比賽場館周邊的商區(qū)，而不能穿越其它比賽場館及其周圍的商區(qū)。2 每一比賽主場館的周邊商區(qū)之外，設(shè)有南、北向大門各一道，供觀眾進(jìn)出該區(qū)域。3 觀眾從某體育場館出發(fā)前往其它場所時，均從體育場館離該場所最近的大門進(jìn)出。4 各類觀眾在整個比賽主場館區(qū)域內(nèi)均勻分布。5 問卷調(diào)查所得到的消費額（非餐飲）為某觀眾一天的消費額，即日消費額。6 奧運會期間，所有比賽主場館每天均滿座，即每天觀眾的數(shù)量為20萬。五、建模前的準(zhǔn)備二元數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)分析（見文獻(xiàn)1p27）設(shè)是二元總體，從中取得觀測數(shù)據(jù)引進(jìn)數(shù)據(jù)觀測矩陣記 ，則，稱為二元觀測數(shù)據(jù)的均值向量。記 稱為變量的觀測數(shù)據(jù)的方差，為

8、的觀測數(shù)據(jù)的方差，為變量的觀測數(shù)據(jù)的協(xié)方差，而，稱為觀測數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣。由于總有，所以協(xié)方差矩陣是對稱矩陣。由不等式，可知總是非負(fù)定的，一般是正定的。觀測數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)計算公式是.稱為相關(guān)系數(shù)，是反映觀測數(shù)據(jù)相關(guān)性的一種最重要的相關(guān)系數(shù)。由不等式,有.即總有.當(dāng)(或)時，稱變量的觀測數(shù)據(jù)是不相關(guān)的（或近似不相關(guān)）。當(dāng)時，稱變量的觀測數(shù)據(jù)是線性正相關(guān)的。當(dāng)時，稱變量的觀測數(shù)據(jù)是線性負(fù)相關(guān)的。當(dāng)（即時），稱的觀測數(shù)據(jù)完全線性相關(guān)。因此，是二元總體的兩個分量之間的線性聯(lián)系密切程度的度量。六、模型的建立和求解(一)問題1為了找出觀眾在出行、用餐和購物等反面所反映的規(guī)律，我們先分別考慮觀眾的性別和年齡

9、對出行、用餐和購物三方面的影響，得出一定的規(guī)律；再考慮性別、年齡、出行方式、用餐方式在購物方面反映的規(guī)律，將觀眾按照這四方面進(jìn)行分類，引入購物欲望作為衡量指標(biāo)，進(jìn)行聚類分析，即可得到不同性別、不同的年齡的觀眾，其購物欲望與出行方式和用餐習(xí)慣的規(guī)律。1統(tǒng)計得出性別和年齡對出行、用餐和購物三方面的影響具體到性別或年齡對某一方面的影響，先對三份問卷調(diào)查做統(tǒng)計，對其中任兩份問卷的數(shù)據(jù)做相關(guān)性檢驗，如果相關(guān)系數(shù)接近1，就說明這兩份問卷調(diào)查的結(jié)果線性相關(guān)，每一份問卷都能獨立反映出觀眾在某方面的規(guī)律性。為了充分利用所有問卷調(diào)查的結(jié)果，以及使統(tǒng)計規(guī)律更接近實際，我們?nèi)∪輪柧淼钠骄Y(jié)果，進(jìn)行分析。（1）性別對

10、出行方式的影響對于附錄中給出的三份問卷調(diào)查數(shù)據(jù)，利用spss軟件，對不同出行方式下男、女觀眾的人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計，統(tǒng)計結(jié)果見表1.1-a。數(shù)據(jù)的相關(guān)性檢驗：結(jié)果如表1.1-b所示，可見三份問卷數(shù)據(jù)的兩兩相關(guān)系數(shù)均接近1，說明每份問卷調(diào)查的數(shù)據(jù)都顯示了相同的規(guī)律。由總和數(shù)據(jù)可以得出規(guī)律：從各出行方式下男女的數(shù)量方面考慮，乘坐公交車、地鐵的觀眾中男性居多，乘坐出租車和私車的則以女性為主。由標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)可以得出規(guī)律：在不考慮男女觀眾數(shù)量差異時，乘坐公交車的觀眾中男性傾向較大，乘坐出租車和私車的觀眾中女性傾向較大，而兩者對地鐵的需求傾向相差不大。表 1.1-a 各出行方式中男、女人數(shù)統(tǒng)計結(jié)果公交（南北）公

11、交（東西）出租私車地鐵（東）地鐵（西）性 別男女男女男女男女男女男女問卷一384228393205231449102206339306377280問卷二35518336219619839798196343262332278問卷三406218404268249486117239429327430327總 和11456291159669678133231764111118951139885標(biāo)準(zhǔn)化0.210.120.210.130.120.260.060.130.20.180.210.18注：標(biāo)準(zhǔn)化即為某項數(shù)據(jù)與該性別總?cè)藬?shù)的比。 另外，不同性別的觀眾對不同方向的公交車或地鐵的需求幾乎相同，即觀眾只

12、會對不同的出行方式產(chǎn)生影響，而不會對同一出行方式的不同方向產(chǎn)生影響，故在下面的討論中，不考慮公交或地鐵的行駛方向，統(tǒng)一歸為公交或地鐵兩類?？傮w來說，男性中大多數(shù)人乘坐公交和地鐵，女性中乘坐私車的人較少。表 1.1-b 相關(guān)性檢驗問卷一問卷二問卷三問卷一10.98280.9707問卷二0.982810.9857問卷三0.97070.98571（2）年齡對出行方式的影響對所給數(shù)據(jù)中不同出行方式下不同年齡觀眾的人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計，統(tǒng)計結(jié)果如表1.2-a所示。公 交出 租私 車地 鐵年齡段1234123412341234問卷一15264923217760400153674118464191297961621

13、15問卷二1425792331426235012162361745628137718243117問卷三1527352551547443415473362107634153921290149總 和44619637203731961184428302113568196814192435695381標(biāo)準(zhǔn)化0.380.320.350.330.170.190.210.270.090.090.10.070.350.40.340.34表 1.2-a 各出行方式中各年齡段人數(shù)統(tǒng)計結(jié)果注：標(biāo)準(zhǔn)化即為某項數(shù)據(jù)與該年齡段總?cè)藬?shù)的比。表 1.2-b 相關(guān)性檢驗問卷一問卷二問卷三問卷一10.99110.9918問卷二0

14、.991110.9986問卷三0.99180.99861數(shù)據(jù)的相關(guān)性檢驗：結(jié)果如表1.2-b所示，可見三份問卷數(shù)據(jù)的兩兩相關(guān)系數(shù)均接近1，說明每份問卷調(diào)查的數(shù)據(jù)都顯示了相同的規(guī)律。由總和數(shù)據(jù)可以得出規(guī)律：從各出行方式下各個年齡段觀眾的數(shù)量方面考慮，各出行方式下2030歲的觀眾最多，3050歲的觀眾次多。由標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)可以得出規(guī)律：在不考慮各年齡段觀眾數(shù)量差異時，對任一種出行方式而言，各年齡段觀眾的需求傾向相差都不大。只是對出租方面，50歲以上的觀眾的需求傾向稍高；對地鐵方面，2030歲觀眾的需求傾向略高。 總體來說，各年齡段的人中大多數(shù)乘坐公交和地鐵。（3）性別對餐飲方式的影響對所給數(shù)據(jù)中不

15、同餐飲方式下男、女觀眾的人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計，統(tǒng)計結(jié)果如表1.3-a所示。表 1.3-a 各餐飲方式中男、女人數(shù)統(tǒng)計結(jié)果中餐西餐商場餐飲性 別男女男女男女問卷一412371982855432448問卷二379345856816453351問卷三4793961061997495472總 和127011122899266813801271標(biāo)準(zhǔn)化0.230.220.530.530.250.25注：標(biāo)準(zhǔn)化即為某項數(shù)據(jù)與該性別總?cè)藬?shù)的比。 表 1.3-b 相關(guān)性檢驗問卷一問卷二問卷三問卷一10.98310.9946問卷二0.983110.9927問卷三0.99460.99271數(shù)據(jù)的相關(guān)性檢驗：結(jié)果如表1.3-

16、b所示，可見三份問卷數(shù)據(jù)的兩兩相關(guān)系數(shù)均接近1，說明每份問卷調(diào)查的數(shù)據(jù)都顯示了相同的規(guī)律。由總和數(shù)據(jù)可以得出規(guī)律：從各種餐飲方式下男女?dāng)?shù)量方面考慮，各種餐飲方式中男性觀眾稍微居多。由標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)可以得出規(guī)律：不考慮觀眾數(shù)量差異時，各種餐飲方式下男、女觀眾的傾向程度基本相等，相差不大?？傮w來說，男性或女性中大部分人都選擇吃西餐。（4）年齡對餐飲方式的影響對所給數(shù)據(jù)中不同餐飲方式下不同年齡觀眾的人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計，統(tǒng)計結(jié)果如表1.4-a所示。表 1.4-a 各餐飲方式中各年齡段人數(shù)統(tǒng)計結(jié)果中餐西餐商場餐飲年齡段123412341234問卷一3932326915218112582941041624481

17、48122問卷二40297246141177112127896160403129112問卷三443722921671941430322112177498161131總 和12399280746055238098943124991349438365標(biāo)準(zhǔn)化0.100.160.380.400.470.620.420.270.430.220.200.32注：標(biāo)準(zhǔn)化即為某項數(shù)據(jù)與該年齡段總?cè)藬?shù)的比。 表 1.4-b 相關(guān)性檢驗問卷一問卷二問卷三問卷一10.99980.9999問卷二0.999810.9996問卷三0.99990.99961 數(shù)據(jù)的相關(guān)性檢驗：結(jié)果如表1.4-b所示，可見三份問卷數(shù)據(jù)的相關(guān)

18、系數(shù)均接近1，說明每份問卷調(diào)查的數(shù)據(jù)都代表了一定的規(guī)律。由總和數(shù)據(jù)可以得出規(guī)律：從各種餐飲方式下男女?dāng)?shù)量方面考慮，選擇中餐的觀眾中2030歲、3050歲這兩個年齡段的人最多，而西餐和商場餐飲兩種方式中2030歲的觀眾顯著多于其他年齡段的人。由標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)可以得出規(guī)律：不考慮觀眾數(shù)量差異時，中餐方式下3050，50歲以上的觀眾需求傾向較大；西餐方式下2030歲的觀眾需求傾向較大；商場餐飲方式下20歲以下的觀眾需求傾向較大。 總體來說：20歲以下的人，大多數(shù)選擇西餐和商場餐飲；2030歲的人，大多數(shù)選擇西餐；3050歲的人，大多數(shù)選擇中餐和西餐；50歲以上的人，各種方式基本均等，選擇中餐的人數(shù)稍

19、多些。（5）性別對消費額（非餐飲）的影響所給數(shù)據(jù)中將消費額（非餐飲）劃分為6檔：0100、100200、200300、300400、400500、500以上，對前5檔我們分別以其中值50、150、250、350、450作為每一檔的平均消費額，對第6檔，由于處于該消費檔的觀眾數(shù)量少，且隨著消費額的增加，數(shù)量減少較快，故我們?nèi)≈?00作為其平均消費額。統(tǒng)計三份問卷，對男、女觀眾的平均消費額進(jìn)行計算，結(jié)果如表1.5-a所示。表 1.5-a 男、女觀眾的總消費額性 別男女指標(biāo)消費額人數(shù)消費額人數(shù)問卷一33340018263743001674問卷二29516016883396001512問卷三36995

20、020354198001865總 和998510654911337005051 表 1.5-b 相關(guān)性檢驗問卷一問卷二問卷三問卷一10.99991問卷二0.999911問卷三111數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)檢驗：結(jié)果如表1.5-b所示，可見三份問卷數(shù)據(jù)的兩兩相關(guān)系數(shù)均接近1，說明每份問卷調(diào)查的數(shù)據(jù)都代表了一定的規(guī)律。 由總和數(shù)據(jù)得出規(guī)律：全部觀眾中，男性人數(shù)較多，但女性的總平均消費額高于男性的。（6）年齡對餐飲方式的影響我們以同樣的方式取平均消費額，統(tǒng)計三份問卷，對各年齡段觀眾的平均消費額進(jìn)行計算，結(jié)果如表1.6-a所示。數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)檢驗：結(jié)果如表1.6-b所示，可見三份問卷數(shù)據(jù)的兩兩相關(guān)系數(shù)均接近1，

21、說明每份問卷調(diào)查的數(shù)據(jù)都代表了一定的規(guī)律。由總和數(shù)據(jù)得出規(guī)律：全部觀眾中，2030歲的人數(shù)最多，平均消費額也最大。表 1.6-a 男、女觀眾的總消費額年齡段1234消費額人數(shù)消費額人數(shù)消費額人數(shù)消費額人數(shù)問卷一57300382466450202914255071141400378問卷二56250377418550182113095065337650349問卷三62150415527800230015540077544400410總 和17570011741412800615042890021391234501137 表 1.6-b 相關(guān)性檢驗問卷一問卷二問卷三問卷一10.99990.9999問

22、卷二0.999910.9997問卷三0.99990.999712通過聚類分析，確立出行、用餐方式不同的觀眾在購物方面所反映的規(guī)律由于不同的人的購物行為由其購物欲望決定，因此，可以將出行和用餐方式不同的人，在購物方面反映的規(guī)律，轉(zhuǎn)化為他們在購物欲望方面反映的規(guī)律。根據(jù)三份問卷調(diào)查的數(shù)據(jù)，先將觀眾按照性別、年齡、出行方式、用餐方式進(jìn)行分類，具體分類方法如下：1) 按照性別，將觀眾分為男和女兩類；2) 將1）中分好的兩類，分別按年齡（4個年齡段）進(jìn)行分類，共得到8類；3) 將2）中分得的8類，分別按出行方式（6種出行方式）進(jìn)行分類，得到48類；4) 將2）中分得的8類，分別按用餐方式（3種用餐方式）

23、進(jìn)行分類，得到24類。然后，對3）中分得的48類和4）中分得的24類中的每一個類進(jìn)行統(tǒng)計分析如下：首先，分析各類的非餐飲消費情況，統(tǒng)計各類人中分居6個消費檔的人數(shù)占該類觀眾總數(shù)的百分比，并定義觀眾的購物欲望指數(shù)，規(guī)定購物欲望指數(shù)只有6個取值，分別對應(yīng)于6檔非餐飲消費額，如表1.7。表1.7 購物欲望與非餐飲消費額間的關(guān)系等 級123456非餐飲消費額（元）0100100200200300300400400500500以上購物欲望指數(shù)1357912所以，可將每類觀眾對應(yīng)的6個百分比組成一個向量，作為衡量某類觀眾購物欲望的指標(biāo)。其次，針對3)中分得的48類和4）中分得的24類分別進(jìn)行聚類分析，以4

24、8類的聚類分析為例，說明聚類分析的思路如下：1） 聚類分析方法的選定：將48類觀眾看作48個不同的組，可以采用譜系聚類法進(jìn)行聚類分析（見文獻(xiàn)1p210）；2） 相似性度量標(biāo)準(zhǔn)測度：若通過圖像來反映，通常相同的類之間，存在圖像形狀的相似和距離的相近，在此問題中，我們采用歸一化（各分量之和為1）的向量作為聚類指標(biāo)，所以，如果圖像形狀相似，則必然距離相近，因此，只需考慮距離是否相近，就可以判斷是否為同一類。我們選擇最簡單的歐氏距離作為測度(見文獻(xiàn)2p289)；3） 聚類的過程：求得48類觀眾任兩類之間歐氏距離，從小到大排序，選距離最小的兩類聚在一起，最終將48類聚為1類，此過程類似于一顆樹的逆向形成

25、過程（先有葉枝，后有主干）；4） 分析聚類過程，得到合適分類：將歐氏距離較小的各類觀眾聚為一類，而歐氏距離較大的各類觀眾分到不同的類，最終得到聚類結(jié)果。我們將3）中分得的48類觀眾聚為5類，而4）中分得的24類觀眾聚為3類，具體分類情況分別見表1.8和表1.9。表 1.8 出行人員聚類分析表聚類后的類別1m：4：私車，地鐵西，出租，公交南北，地鐵東；2f：1：公交東西，出租，私車，地鐵西，公交南北，地鐵東f：4：公交東西3m：1：私車，地鐵西，公交東西，地鐵東，出租m：4：公交東西f：4：地鐵東，出租，地鐵西，私車、，公交南北4f：2：公交南北，地鐵東，私車，地鐵西，公交東西，出租5m：2：公

26、交南北，私車，地鐵西，地鐵東，公交東西，出租m：3：公交東西，公交南北，私車，地鐵西，出租，地鐵東f：3：私車，地鐵西，公交東西，地鐵東，出租，公交南北m：1：公交南北注：“ m ”：表示男性，“ f ”：表示女性，“ i(i=1,2,3,4) ”：表示第i年齡段；表 1.9 不同餐飲習(xí)慣的人員聚類分析表1f：2：中餐，商場（餐飲）f：2：西餐2f：3：中餐、商場（餐飲）m：3：中餐m：2：商場（餐飲），中餐m：2：西餐m：3：西餐f：3：西餐m：3：商場（餐飲）3m：4：中餐，商場（餐飲）f：4：中餐，商場（餐飲）；f：1：中餐m：1：商場（餐飲）：f：1：商場（餐飲）m：1：中餐，西餐m：

27、4：商場（餐飲）f：4：西餐f：1：西餐注：“ m：”表示男性，“ f：”表示女性，“ i(i=1,2,3,4)：”表示第i年齡段；“ m：i：中餐 ”：表示男性，第i年齡段，吃中餐的觀眾。通過聚類分析表，我們得到了購物欲望相似的觀眾的類別，以及不同性別、不同年齡的觀眾，其購物欲望與出行方式和用餐習(xí)慣的規(guī)律。另外，若假設(shè)奧與會期間各類觀眾的構(gòu)成比例與三次問卷調(diào)查結(jié)果相同，則根據(jù)聚類分析過程中對不同種類的觀眾購物欲望指數(shù)的統(tǒng)計，可得到北京奧運會一天的消費需求約為4039.3萬元。（二）問題2我們首先規(guī)定，某區(qū)域的人流量即是指單位時間內(nèi)經(jīng)過該區(qū)于的總?cè)舜螖?shù)。另外，每位觀眾在奧運會期間一天要出行兩次

28、，一次為進(jìn)出場館，即乘坐不同的交通工具前往和離開比賽場館所在的區(qū)域，一次為餐飲，即中途離開所在比賽場館，在周圍的餐廳或商場用餐后又返回所在比賽場館。另外，出行路徑最短包含兩方面的意思：其一，觀眾從某比賽主場館出發(fā)前往其它場所時，均從比賽場館離該場所最近的大門進(jìn)出；其二，觀眾從某一看臺出口進(jìn)入比賽場館周邊的商區(qū)后，按最短的路線，前往需要出入的大門。由于規(guī)定了觀眾在出行時不能穿越其它比賽主場館及其周邊區(qū)域，且在問題一中已得出所有觀眾均要進(jìn)行非餐飲類消費，故任一商區(qū)的購物人流量大小，僅取決于與其相鄰的比賽主場館的觀眾容量和觀眾的人流方向。設(shè)某比賽主場館容量為（為偶數(shù)）萬人，每個看臺容量均為1萬人且其

29、出口對準(zhǔn)一個商區(qū)。在整個比賽場館周邊區(qū)域內(nèi)，對稱分布兩道南北向的對外進(jìn)出的大門。設(shè)個商區(qū)從左上角起按順時針編號，北向的進(jìn)出大門位于第個商區(qū)，南向的進(jìn)出大門位于第個商區(qū)（如圖2.1所示）。并設(shè)一天之內(nèi)所有需要從北向大門進(jìn)出的人數(shù)為萬，所有需要從南向大門進(jìn)出的人數(shù)為萬，則按照最短路徑原則，在一天之內(nèi)第個商區(qū)的人流量為：第個商區(qū)的人流量為：圖2.1 人流量模型 在計算其余商區(qū)人流量時，由于從進(jìn)出大門所在商區(qū)的比賽場館出口，分別經(jīng)由東西兩邊的商區(qū)到對面大門的距離相等，故令從東西兩邊通過的人數(shù)均為需要通過人數(shù)的一半，那么對于第（）個商區(qū)，若，則其一天之內(nèi)的人流量為：即若，則其一天之內(nèi)的人流量為：即若，則

30、其一天之內(nèi)的人流量為：即故各商區(qū)的人流量為：于是，我們得到了在通用模型中各商區(qū)人流量的表達(dá)式。將a、b、c三個比賽場館區(qū)域的具體數(shù)據(jù)帶入上面的式子，即可得到a、b、c三個比賽場館區(qū)域內(nèi)各商區(qū)的預(yù)期銷售額。對于a區(qū)的國家體育場（鳥巢），一天之內(nèi)需要進(jìn)出北向大門的人數(shù)，即為一天之內(nèi)a區(qū)中需要前往公交東、公交西、私車、出租和中餐的總?cè)藬?shù)。利用問題一中對某體育館舉辦運動會時，人流量規(guī)律的統(tǒng)計結(jié)果，運動會期間前往公交（東西）、私車、出租和中餐的人數(shù)分別占總?cè)藬?shù)的比例為0.172、0.09、0.19、0.225，即可得到同理可以得到又由于、將各項數(shù)值帶入通用表達(dá)式，即可得到a區(qū)中各商區(qū)的人流量（見表2.1

31、）。表 2.1 a區(qū)中各商區(qū)的人流量（萬人次）a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10總 和16.18410.05911.34912.63913.92927.79413.92912.63911.34910.059139.93同理可以得到b區(qū)和c區(qū)中各商區(qū)的人流量（見表2.2、2.3）。表 2.2 b區(qū)中各商區(qū)的人流量（萬人次）b1b2b3b4b5b6總 和8.6417.35110.7687.3518.64117.21859.97表 2.3 c區(qū)中各商區(qū)的人流量（萬人次）c1c2c3c4總 和5.9976.715.99713.2831.984故各商區(qū)的人流量分布如表2.4所示。表 2.4 各商

32、區(qū)的人流量分布（百分比%）商區(qū)人流量分布商區(qū)人流量分布商區(qū)人流量分布a17.0b13.7c12.6a24.3b23.2c22.9a34.9b34.6c32.6a45.5b43.2c45.7a56.0b53.7a612.0b67.4a76.0a85.5a94.9a104.3總和60.425.813.8 分析表中數(shù)據(jù)可以得出：a區(qū)國家體育場人流量最多，占總?cè)肆髁康?0以上，其次為b區(qū)國家體育館；各比賽主場館區(qū)域內(nèi)，靠近南邊的商區(qū)其人流量相對較大。（三）問題3我們首先對設(shè)置的這種ms，在地點、大小類型和總量方面需要滿足的三個基本要求給出如下解釋： （1）滿足奧運會期間的購物需求：若僅考慮所有ms的銷

33、售額上限之和滿足奧運期間的總購物需求，則由于各商區(qū)人流量的不同，會出現(xiàn)局部不滿足需求的情況，故認(rèn)為各商區(qū)內(nèi)所有ms的銷售額上限之和至少要滿足該商區(qū)內(nèi)觀眾可能的購物需求，即該商區(qū)可能的購物總額。 （2）分布基本均衡：即是指對于某一比賽主場館周邊的商區(qū)，各商區(qū)的銷售額上限要基本相等，即各商區(qū)的銷售額上限的均方差要小；另外，在每個商區(qū)內(nèi)，兩種大小、不同規(guī)模的ms的最大銷售額分別各占該商區(qū)銷售額上限的一半。 （3）商業(yè)上盈利：由于觀眾的人數(shù)為定值20萬，在問題一統(tǒng)計的基礎(chǔ)上進(jìn)行分析可知，總消費額的期望也是一個定值。對ms來說，總銷售額應(yīng)等于觀眾的總消費額，為定值，故要增加盈利，即是使實際的總銷售額上限

34、盡量接近預(yù)期的總銷售額。 另一方面，由于比賽場館周圍區(qū)域的人流量遠(yuǎn)大于城市其它地方的平均水平，其對于交通通暢的要求也很高。因此，在滿足以上三個基本條件的前提下，為避免對交通造成較大的影響應(yīng)盡可能的減少兩類ms的個數(shù)和它們所占的面積。定義大小因子，則大型ms在占地面積、營業(yè)成本以及銷售額上限等方面均為小型ms的倍。那么，假設(shè)某一比賽主場館周圍均勻分布著個商區(qū)，且在第（）個商區(qū)內(nèi)設(shè)置個小型ms、個大型ms。并設(shè)每個小型ms的銷售額上限為、營業(yè)成本為，第個商區(qū)的預(yù)期銷售額為，均方差上限定為（），再注意到基本條件三中縮小銷售差額與減少ms占用的資源是一致的，則問題三轉(zhuǎn)化為：其中。 至此，問題三的關(guān)鍵就

35、轉(zhuǎn)化為確定每一個商區(qū)的預(yù)期銷售額。而對于任一比賽主場館，其周圍每一個商區(qū)的預(yù)期銷售額取決于商區(qū)內(nèi)的人流量及購物欲望。每個商區(qū)內(nèi)的人流及其分布我們已經(jīng)在問題二中求得，而對于觀眾的購物欲望，我們已經(jīng)在問題一中定義了購物欲望指數(shù)來衡量，并通過聚類分析得到了不同種類觀眾的人均日消費額（非餐飲）。因此，我們只需將這兩方面的數(shù)據(jù)綜合起來，即可求得任一商區(qū)的預(yù)期銷售額。 對于任一比賽主場館周邊的商區(qū)，就某一種觀眾而言，人均日消費額為一定值，且一天之中要經(jīng)過多個商區(qū)，故假設(shè)觀眾會將自己的日消費額均分到所要經(jīng)過的若干個商區(qū)上。我們利用問題二中求各商區(qū)人流量的方法，來求解各商區(qū)的預(yù)期銷售額。 設(shè)某比賽主場館容量為

36、（為偶數(shù)）萬人，每個看臺容量均為1萬人且其出口對準(zhǔn)一個商 圖2.2 商區(qū)預(yù)期銷售額模型 區(qū)。在整個比賽場館區(qū)域內(nèi)，對稱分布兩道南北向的對外進(jìn)出的大門。設(shè)個商區(qū)從左上角起按順時針編號，北向的進(jìn)出大門位于第個商區(qū)，南向的進(jìn)出大門位于第個商區(qū)（如圖2.2所示）。并設(shè)一天之內(nèi)所有需要從北向大門進(jìn)出的人數(shù)為萬，且其人均日消費額為元；所有需要從南向大門進(jìn)出的人數(shù)為萬，且其人均日消費額為元，則按照最短路徑原則，在一天之內(nèi)第個商區(qū)的預(yù)期銷售額為：第個商區(qū)的預(yù)期銷售額為：對于其余商區(qū)的預(yù)期銷售額，當(dāng)時，預(yù)期銷售額為：當(dāng)時，預(yù)期銷售額為：當(dāng)時，預(yù)期銷售額為：于是，我們得到了在通用模型中各商區(qū)的預(yù)期銷售額。將a、b

37、、c三個比賽場館區(qū)域的具體數(shù)據(jù)帶入上面的式子，即可得到a、b、c三個比賽場館區(qū)域內(nèi)各商區(qū)的人流量。對于a區(qū)的國家體育場（鳥巢），我們已經(jīng)在問題二中得到：、下面，我們結(jié)合問題一的聚類分析中所得到的數(shù)據(jù)，求解和的值。 對于任一比賽主場館周邊的商區(qū)，就某一種觀眾而言，人均日消費額為一定值，且要出行兩次，一次為進(jìn)出場館，即乘坐不同的交通工具前往和離開比賽場館，一次為餐飲，故假設(shè)所有觀眾將自己的日消費額均分到這兩次出行中。我們首先考慮a區(qū)中部分觀眾為吃中餐而出行一次，所產(chǎn)生的人均消費額（見表3.1）。表3.1 吃中餐所產(chǎn)生的人均消費額性別年齡段人數(shù)的比例人均消費額（元）男10.007641127.777

38、820.048867197.104230.038491182.843140.02481189.1635女10.003962130.952420.044717259.810130.037641198.872240.018585118.7817總?cè)司M額0.225185.5164同理可得由于其它原因出行一次所產(chǎn)生的人均消費額（見表3.2）。表3.2 其它出行原因產(chǎn)生的人均消費額出行原因占總?cè)藬?shù)比例人均消費額（元）西 餐0.525209.2850商場（餐飲）0.25201.3750公交（南北）0.167216.8546公交（東西）0.172202.4344地 鐵0.38193.3004出 租0.1

39、9205.2488私 車0.09203.0793由于進(jìn)出a區(qū)北向大門的觀眾主要由需要前往公交（東西）、私車和出租的觀眾組成，故我們對這幾類觀眾的人均消費額和所占比例進(jìn)行加權(quán)平均，即可得到分別帶入通用表達(dá)式得到a區(qū)中各商區(qū)的預(yù)期銷售額（見表3.3）。表3.3 a區(qū)中各商區(qū)的預(yù)期銷售額（萬元）a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10總和272.3129.7130152.6203.3514.9203.3152.6130129.72018.4同理，可以得到b區(qū)和c區(qū)中各商區(qū)的預(yù)期銷售額（見表3.4、3.5）。表3.4 b區(qū)中各商區(qū)的預(yù)期銷售額（萬元）b1b2b3b4b5b6總 和160126228.

40、9160126410.31211.2表3.5 c區(qū)中各商區(qū)的預(yù)期銷售額（萬元）c1c2c3c4總 和134.6159.4134.6378.9807.5 從上面的表中可得到a、b、c三區(qū)的總預(yù)期銷售額為4037.1萬元，與問題一中得到的4039.3萬元僅相差2.2萬元，即誤差為0.055，說明求得的各商區(qū)預(yù)期銷售額的值是合理的。另一方面，根據(jù)網(wǎng)上查得的關(guān)于雅典奧運會紀(jì)念品銷售的相關(guān)資料（見文獻(xiàn)4），我們估算出一個面積為15平方米的小型ms，其日銷售額上限約為15萬元。若假定大型ms的營業(yè)面積為小型ms的兩倍，則大型ms的日銷售額上限約為30萬元。注意到兩種不同大小的ms在各商區(qū)內(nèi)銷售量上限的均衡

41、性，得到各商區(qū)兩種ms的數(shù)量如表3.6。表3.6 各商區(qū)ms數(shù)量的設(shè)置(個)商區(qū)大型ms小型ms商區(qū)大型ms小型ms商區(qū)大型ms小型msa159b135c133a233b225c235a333b348c334a435b435c4712a546b525a6613b6714a746a835a933a1033總和375621421624（四）問題4 1.模型的科學(xué)性我們分別對解決三個問題的過程中，所采用方法的科學(xué)性進(jìn)行分析。（1）在問題一中，我們首先對統(tǒng)計的數(shù)據(jù)進(jìn)行了標(biāo)準(zhǔn)化，消除不同種類人群之間人數(shù)的差異，真實反映了不同種類的觀眾在出行、用餐和購物等方面的不同偏好，并且在統(tǒng)計過程中，通過計算三次問卷

42、調(diào)查結(jié)果間的相關(guān)系數(shù)矩陣，說明統(tǒng)計結(jié)果的規(guī)律性和合理性。另外，由于購物對ms分布有重要影響，故我們以購物欲望指數(shù)為分類標(biāo)準(zhǔn)，分餐飲和出行兩種情況對所有的62種觀眾運用聚類分析，將其科學(xué)的分為8類，綜合、全面的反映了各種因素對購物的影響。（2）在問題二中，我們首先給出了計算各商區(qū)人流量的一般模型，并據(jù)此求解出a區(qū)、b區(qū)、c區(qū)三種“特殊”情況下各商區(qū)的人流量，這種從一般到特殊的思想顯然是科學(xué)的。（3）在問題三中，我們同樣運用了從一般到特殊的思想，對各商區(qū)預(yù)期銷售額進(jìn)行求解。2.結(jié)果的實際（合理）性我們同樣分別對所得到的三個問題結(jié)果，進(jìn)行合理性分析。（1）問題一中，統(tǒng)計所得到的結(jié)果及規(guī)律是否合理，主

43、要取決于三次問卷調(diào)查結(jié)果間的相關(guān)性，而根據(jù)計算，各組數(shù)據(jù)間的相關(guān)系數(shù)都十分接近于1，即說明所得到的規(guī)律是合理的、符合實際的。（2）問題二中，因為根據(jù)常識，無論是否是同一個人，只要經(jīng)過一次商區(qū)就意味著一次商機，故采用“人次”作為人流量的單位和統(tǒng)計對象是合理的。最后的結(jié)果也符合比賽場館大門口人流量較大的客觀規(guī)律。（3）問題三中，我們根據(jù)實際情況合理假設(shè)了觀眾會在所經(jīng)過的商區(qū)及兩次出行間均勻分配其消費額，由此得到的結(jié)果是隨不同方向上觀眾的人流量和人均消費額的改變而改變的，是具有顯示意義的。七、模型檢驗和結(jié)果分析由于不同種類的人進(jìn)出體育場館的過程是一個隨機過程，所以，可以用隨機模擬的方法來計算各個商區(qū)

44、的人流分布，來對我們在問題二中求得的結(jié)果作出驗證。求a區(qū)的人流分布的模擬算法如下：(1) 令，用于限制循環(huán)次數(shù)；(2) 生一個隨機數(shù)，令，表示從體育場館出來之后直接進(jìn)入第個商區(qū)；(3) 產(chǎn)生一個隨機數(shù)，判斷是否小于，如果小于，則轉(zhuǎn)(4)，否則轉(zhuǎn)(5)；(4) 此人要從下面的路走出，根據(jù)的值，判斷某個人經(jīng)過哪些商區(qū)，如果此人經(jīng)過某一個商區(qū)，則此商區(qū)的人流量加1，否則，人流量不改變；(5) 此人要從上面的路走出，根據(jù)的值，判斷某個人經(jīng)過哪些商區(qū)，如果此人經(jīng)過某一個商區(qū)，則此商區(qū)的人流量加1，否則，人流量不改變；(6) 如果小于等于100000成立，則轉(zhuǎn)(1)，否則，結(jié)束程序。對于b和c區(qū)同樣采用類

45、似的模擬算法，進(jìn)行求解(程序見附件)。最終得到模擬結(jié)果為：經(jīng)過個商區(qū)的人流量分別為：243316 100687 113933 126683 139407277616138565 126001 113509 100657總?cè)肆髁繛椋?480374經(jīng)過個商區(qū)的人流量分別為：86994 73466 107500 73426 86150 19876總?cè)肆髁繛椋?26304經(jīng)過個商區(qū)的人流量分別為：60033 67344 60051 123037總?cè)肆髁繛椋?10465模擬結(jié)果與模型求解的結(jié)果基本相符，表明了我們模型的建立的正確性。八、模型的評價與改進(jìn)（一）模型的評價1.優(yōu)點：（1） 本文首先分析了性別

46、、年齡的不同對觀眾的出行、用餐和購物的影響，然后，按照購物欲望將觀眾分為多個小類，又對這些小類進(jìn)行聚類分析，將購物欲望相同或接近的歸并，得到最終的幾大類。找出了出行和用餐的不同對購物欲望的影響。用統(tǒng)計分析的方法，對數(shù)據(jù)進(jìn)行了充分的分析的基礎(chǔ)上，結(jié)合實際情況，找出了難以發(fā)現(xiàn)但卻普遍適用的規(guī)律。（2） 我們從實際生活經(jīng)驗出發(fā)，對人流的流動方向和流動路線作了合理的假設(shè)，使得本來復(fù)雜的問題，得到了合理的簡化，并建立了計算商區(qū)人流量分布和預(yù)期銷售額的一般模型，從而較容易地求出了各商區(qū)的人流量分布及其預(yù)期銷售額。（3） 在問題3中，我們以ms的總數(shù)為優(yōu)化目標(biāo)，以ms在地點、大小和總量方面的三個基本要求為約束，建立了多元非線性規(guī)劃模型，并給出了一組可行解。2.缺點：（1） 本文中僅較為簡單的認(rèn)為，每位觀眾會將自己的日消費額均分到他所經(jīng)過的若干個商區(qū)，但實際生活中，在各個商區(qū)的商品種類沒有差別的情況下，觀眾更傾向于在自己所經(jīng)過的第一個商區(qū)（通常為比賽場館大門處的商區(qū)）購買商品，從而導(dǎo)致結(jié)果上的一定偏差。（2） 奧運會期間，觀眾在尋求最短路線出行時，雖然不能穿越其它比賽主場館，但可能可以穿越它們周邊的商區(qū)，從而影響其它場館周圍商區(qū)的人流兩分布和預(yù)期銷售額，但本文沒有考慮這種情況。（3） 由于所提供的數(shù)據(jù)僅僅是根據(jù)預(yù)演的運動會的問卷調(diào)查，調(diào)查的觀眾與實際的奧運會觀眾的組成可能存在差別，這導(dǎo)