一階常微分方程解法總結(jié)

1、第 一 章 一階微分方程的解法的小結(jié)、可分離變量的方程：、形如 當(dāng)時(shí)，得到，兩邊積分即可得到結(jié)果；當(dāng)時(shí)，則也是方程的解。例1.1、解：當(dāng)時(shí)，有，兩邊積分得到所以顯然是原方程的解；綜上所述，原方程的解為、形如當(dāng)時(shí)，可有，兩邊積分可得結(jié)果；當(dāng)時(shí)，為原方程的解，當(dāng)時(shí)，為原方程的解。例1.2、解：當(dāng)時(shí)，有兩邊積分得到，所以有；當(dāng)時(shí)，也是原方程的解；綜上所述，原方程的解為?？苫癁樽兞靠煞蛛x方程的方程：、形如解法：令，則，代入得到為變量可分離方程，得到再把u代入得到。、形如解法：令，則，代入得到為變量可分離方程，得到再把u代入得到。、形如解法：、，轉(zhuǎn)化為，下同；、，的解為，令得到，下同；還有幾類： 以上都

2、可以化為變量可分離方程。例2.1、解：令，則，代入得到，有所以，把u代入得到。例2.2、解：由得到，令，有，代入得到，令，有，代入得到，化簡(jiǎn)得到，有，所以有，故代入得到（3）、一階線性微分方程：一般形式：標(biāo)準(zhǔn)形式：解法：1、直接帶公式：2、積分因子法：，3、ivp：，例3、解：化簡(jiǎn)方程為：，則代入公式得到所以，(4)、恰當(dāng)方程：形如解法：先判斷是否是恰當(dāng)方程：如果有恒成立，那么原方程是個(gè)恰當(dāng)方程，找出一個(gè) ,有；例4、解：由題意得到，由得到，原方程是一個(gè)恰當(dāng)方程；下面求一個(gè)由得，兩邊對(duì)y求偏導(dǎo)得到，得到，有，故，由，得到(5)、積分因子法： 方程，那么稱是原方程的積分因子；積分因子不唯一。當(dāng)且

3、僅當(dāng)，原方程有只與x有關(guān)的積分因子，且為，兩邊同乘以，化為恰當(dāng)方程，下同(4)。當(dāng)且僅當(dāng)，原方程有只與y有關(guān)的積分因子，且為，兩邊同乘以，化為恰當(dāng)方程，下同(4)。例5.1、解：由得，且有，有，原方程兩邊同乘，得到化為，得到解為例5.2、解:由題意得到，有有，有，原方程兩邊同乘，得到，得到原方程的解為：(6)、貝努力方程：形如,解法：令，有，代入得到，下同（3）例6、解：令，有，代入得到，則，有，把u代入得到.(7)、一階隱式微分方程：一般形式：，解不出的稱為一階隱式微分方程。下面介紹四種類型： 、形如，一般解法：令，代入得到，兩邊對(duì)x求導(dǎo)得到，這是關(guān)于x，p的一階線性微分方程，仿照(3)，1

4、、得出解為，那么原方程的通解為2、得出解為，那么原方程的通解為3、得出解為，那么原方程的通解為、形如一般解法：令，代入有，兩邊對(duì)y求導(dǎo)，得到，此方程是一階微分方程，可以按照以上(1)(5)求出通解，那么原方程的通解為、形如一般解法：設(shè)，兩邊積分得到，于是有原方程的通解為、形如一般解法：設(shè)，由關(guān)系式得，有，兩邊積分得到，于是有 例7.1 解：令，得到，兩邊對(duì)y求導(dǎo)，得到，有，得到，于是通解為例7.2 解：令，得到，兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得到，有，兩邊積分得到，于是通解為例7.3 解：設(shè)有，所以于是通解為例7.4 解：設(shè)有，所以于是通解為(8)、里卡蒂方程：一般形式：一般解法：先找出一個(gè)特解，那么令，有，代入原方程得到 ，化簡(jiǎn)得到 ，為一階線性微分方程