逆矩陣及伴隨矩陣

1、第四節(jié)第四節(jié) 逆矩陣及伴隨矩陣逆矩陣及伴隨矩陣1 1 逆矩陣（逆矩陣（p110p110，定義，定義2.92.9）一一 基本概念基本概念1.1.互逆矩陣可換，是同階方陣?；ツ婢仃嚳蓳Q，是同階方陣。即：若即：若 成立，則成立，則 也成立。也成立。iab iba 2.2.逆矩陣唯一。逆矩陣唯一。3.3.零矩陣不可逆；零矩陣不可逆；11aa 4.4.注：注：2 2 奇異矩陣奇異矩陣：0 a 【p111p111，例，例2 2】 【p111p111，例，例3 3】 【例例】河南財(cái)經(jīng)學(xué)院 信息學(xué)院 廖揚(yáng)3 3 伴隨矩陣伴隨矩陣112111222212nnnnnnaaaaaaaaaa 二二 逆矩陣存在定理逆矩

2、陣存在定理a0 a1.1.矩陣矩陣 可逆的充要條件是可逆的充要條件是 *11,aaa iaaa 即即 2.2.若若a a可逆，則可逆，則 【p114，例，例4】 【p115，例，例5】 【p117，例，例6】河南財(cái)經(jīng)學(xué)院 信息學(xué)院 廖揚(yáng)轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置逆逆伴隨伴隨taa()ttkaka()ttta bab()tttabb a11aa111()kaka111()abba1*naa*11()nkaka a*()a b*()abb a1()a b11()()ttaa*11 *()()aa*()()ttaa()ttaa11()aa2*()naaa三三 轉(zhuǎn)置矩陣、逆矩陣、伴隨矩陣的運(yùn)算性質(zhì)轉(zhuǎn)置矩陣、逆矩陣、伴隨

3、矩陣的運(yùn)算性質(zhì)【例例】河南財(cái)經(jīng)學(xué)院 信息學(xué)院 廖揚(yáng)使得使得 呢呢? ?b1.ba 1,abba 使得使得 即即 對(duì)于任意非零的數(shù)對(duì)于任意非零的數(shù) ，如果存在另一個(gè)數(shù)，如果存在另一個(gè)數(shù) ，倒數(shù)：倒數(shù)：則說(shuō)則說(shuō) 是是 的倒數(shù)的倒數(shù). .aba運(yùn)算中的運(yùn)算中的 1 1 ，矩陣矩陣 ，b在矩陣的運(yùn)算中，在矩陣的運(yùn)算中，單位陣單位陣 相當(dāng)于數(shù)的乘法相當(dāng)于數(shù)的乘法i那么，對(duì)于矩陣那么，對(duì)于矩陣，是否存在另一個(gè)，是否存在另一個(gè)abbai 河南財(cái)經(jīng)學(xué)院 信息學(xué)院 廖揚(yáng)1 1、逆矩陣的概念、逆矩陣的概念bnna例如例如 設(shè)設(shè),a 1111 . 的逆矩陣的逆矩陣是是證明證明ab b212121 211 aaab,

4、abbai使得使得 則說(shuō)矩陣則說(shuō)矩陣 是可逆的，是可逆的， 并把矩陣并把矩陣 稱(chēng)為稱(chēng)為 的一個(gè)的一個(gè)逆矩陣，逆矩陣，記作記作 對(duì)于對(duì)于 階矩陣階矩陣 ，如果存在，如果存在 階矩陣階矩陣 ，定義定義2.4.12.4.1河南財(cái)經(jīng)學(xué)院 信息學(xué)院 廖揚(yáng) ab,abbai, 的一個(gè)逆矩陣的一個(gè)逆矩陣是是 ab 212121 21 1111 ba 212121 21 1111 11011000i i 1 -ab 即即河南財(cái)經(jīng)學(xué)院 信息學(xué)院 廖揚(yáng)事實(shí)上，若設(shè)事實(shí)上，若設(shè) 和和 都是都是 的逆矩陣，的逆矩陣，則有則有,abbaiaccai可得可得ibb bca abc ci 所以所以 的逆矩陣是唯一的。的逆矩

5、陣是唯一的。abcac 河南財(cái)經(jīng)學(xué)院 信息學(xué)院 廖揚(yáng)2 2 奇異矩陣與非奇異矩陣奇異矩陣與非奇異矩陣2222a 1 002 113 24b 0 aa 60 bb ,0,0稱(chēng)為非奇異矩陣稱(chēng)為非奇異矩陣時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)稱(chēng)為奇異矩陣稱(chēng)為奇異矩陣時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)aaaa 河南財(cái)經(jīng)學(xué)院 信息學(xué)院 廖揚(yáng)設(shè)設(shè) 為為 階方陣，階方陣， 的行列式的行列式 的元素的元素 的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式 所構(gòu)成的矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣所構(gòu)成的矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣稱(chēng)為矩陣稱(chēng)為矩陣 的的伴隨矩陣伴隨矩陣。aija112111222212nnnnnnaaaaaaaaaa aaanija*a記為記為3 伴隨矩陣伴隨矩陣nnnnnnaaaaaaaaaa2122

6、22111211河南財(cái)經(jīng)學(xué)院 信息學(xué)院 廖揚(yáng)211 312110a 解：解：11a122,a 233a 211 211431a 2 134a ，211a 221a 1 112( 1)1 0 311a 321a 331a 【p114，例，例4】求求 的伴隨矩陣。的伴隨矩陣。河南財(cái)經(jīng)學(xué)院 信息學(xué)院 廖揚(yáng)逆矩陣的存在定理：逆矩陣的存在定理：11aaa a0 a證明：證明：若若 可逆，可逆，a11 .aaae 即即 有有， 使使,11 eaa故故.0 a所所以以矩陣矩陣 可逆的充要條件是可逆的充要條件是 且當(dāng)且當(dāng)a可逆時(shí)可逆時(shí) 河南財(cái)經(jīng)學(xué)院 信息學(xué)院 廖揚(yáng),0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) aaa 111212122212

7、nnnnnnaaaaaaaaa 112111222212nnnnnnaaaaaaaaa aaa0000 00aaaaaaann 1112121111100010001a a i 河南財(cái)經(jīng)學(xué)院 信息學(xué)院 廖揚(yáng)*aaa i aaia 1aaa按逆矩陣的定義得按逆矩陣的定義得1aa a 牢記：牢記：0可逆aa*aaa i 記住了嗎？記住了嗎？1aaa河南財(cái)經(jīng)學(xué)院 信息學(xué)院 廖揚(yáng) 若若 可逆，則可逆，則a111aaa1aai 11,a a 11.aa 證明：證明：11,aa 河南財(cái)經(jīng)學(xué)院 信息學(xué)院 廖揚(yáng) 若若 可逆，則可逆，則 也可逆，也可逆，且且a)0( kka1-11 ) ( akka證明：證明：

8、 ka,1iaa 11ak)(1(1 aakk1-11 ) ( akka河南財(cái)經(jīng)學(xué)院 信息學(xué)院 廖揚(yáng)若若 、 是同階可逆陣，則是同階可逆陣，則 也可逆，也可逆，且且baab111)( abab ab1 aia,1iaa .111 abab證明：證明： 11 ab 11 abba特別有：特別有： 11121121 aaaaaamm kkaa)(11 （反序定律）（反序定律）河南財(cái)經(jīng)學(xué)院 信息學(xué)院 廖揚(yáng)*aaa i *1aa a *1aaa *1aa a 1naa 1naa 1na 1*naa證明：證明：求證求證回顧回顧河南財(cái)經(jīng)學(xué)院 信息學(xué)院 廖揚(yáng)*(ka ）11nkaak 11nka a 1*n

9、ka 1()ka ka *11()nkaka a求證求證證明：證明：河南財(cái)經(jīng)學(xué)院 信息學(xué)院 廖揚(yáng)*ab( (）11()()b ba a 1()abab 11a b ba *.b a *()abb a求證求證證明證明河南財(cái)經(jīng)學(xué)院 信息學(xué)院 廖揚(yáng)2* ().(2)求 證naaan * *證明：（）a*1()aa -1naaa 2.naa 1*其中：naa *又：aaa i *aaia*1（）aaa* *故：（）a河南財(cái)經(jīng)學(xué)院 信息學(xué)院 廖揚(yáng) 若若 可逆，則可逆，則 也可逆，也可逆，且且atattaa)()(11 證明：證明：tata)(1 taa)(1 ti i ttaa)()( 11 求證求證河

10、南財(cái)經(jīng)學(xué)院 信息學(xué)院 廖揚(yáng)求證求證*11 *()()aa證明證明*1aa a11 *1()aaaaa*1 *()aai顯然：河南財(cái)經(jīng)學(xué)院 信息學(xué)院 廖揚(yáng)求證求證*()()ttaa證明證明*1()()tttaaa1()ta a*1()ttaa a1taa1taa原命題得證原命題得證河南財(cái)經(jīng)學(xué)院 信息學(xué)院 廖揚(yáng)【p111p111，例，例2 2】證明矩陣證明矩陣證明：證明：的逆矩陣為的逆矩陣為 naaaa21 112111naaaa naaa21 11211naaa 111i 故，原命題得證故，原命題得證河南財(cái)經(jīng)學(xué)院 信息學(xué)院 廖揚(yáng)【p111p111，例，例3 3】 332330aiaaai ，求證

11、，求證a a可逆，并求其逆矩陣可逆，并求其逆矩陣. . 30ai已已知知證明：證明：3233aaai 233a aaii 233aaaii 1233aaai 故，故，a可逆，且可逆，且河南財(cái)經(jīng)學(xué)院 信息學(xué)院 廖揚(yáng)2aeae 1a 220aae 由由 2a aee，得，得【例例】,2a ae 可逆，并求它們的逆矩陣可逆，并求它們的逆矩陣. . 2340aeaee 11.2aae 220aae 由由設(shè)方陣設(shè)方陣a滿(mǎn)足方程滿(mǎn)足方程，證明，證明220aae 1234aeaee 12ae 證明證明 132.4eaae 河南財(cái)經(jīng)學(xué)院 信息學(xué)院 廖揚(yáng)220aae 由由 20aeae 還可以還可以得得到到但是

12、，等式右端為但是，等式右端為0的這個(gè)結(jié)論對(duì)于本題沒(méi)有用處。的這個(gè)結(jié)論對(duì)于本題沒(méi)有用處。我們希望等式右端應(yīng)該為我們希望等式右端應(yīng)該為e或者或者ke。河南財(cái)經(jīng)學(xué)院 信息學(xué)院 廖揚(yáng).01121311221aa求求是是否否可可逆逆，如如果果可可逆逆，判判斷斷例例解：解：211312110a 11 |aaa 20 21112112431 111221112231222 【p115，例，例5】河南財(cái)經(jīng)學(xué)院 信息學(xué)院 廖揚(yáng)【p117p117，例，例6 6】設(shè)設(shè)a是非奇異矩陣，且是非奇異矩陣，且ab=ac, ,求證：求證：b=c將將ab=ac 兩端同乘以?xún)啥送艘?得得1a 證明：由于證明：由于a是非奇異矩陣

13、，故是非奇異矩陣，故 存在。存在。1a 11()()aabaac 11()()a a ba ac bc 即即從而從而同理同理，a 可逆時(shí)，由可逆時(shí)，由 ab=o 可得可得 b=o。, ,即消去律成立即消去律成立河南財(cái)經(jīng)學(xué)院 信息學(xué)院 廖揚(yáng)【例例】 設(shè)設(shè)a a的逆矩陣為的逆矩陣為1102022 ,002a 求求解：解：14a a 14 11a 1a * *（）404022002 1 *1* *1*1() () () () () 342taaaaaaaaaaa 、 、河南財(cái)經(jīng)學(xué)院 信息學(xué)院 廖揚(yáng)a a 1004100.41004 a 31a 116 1 *1* *1*1() () () () () 342taaaaaaaaaaa 、 、aa a i * a1a a 10210224002 11042110221002 河南財(cái)經(jīng)學(xué)院 信息學(xué)院 廖揚(yáng)1()a 1()a 404022002 1 *1* *1*1() () () () () 342taaaaaaaaaaa 、 、11042110221002 ()ta ()ta t10041002111222 河南財(cái)經(jīng)學(xué)院 信息學(xué)院 廖揚(yáng)1 *1* *1*1() () () () () 342taaaaaaaaaaa 、 、()a 1()aa 116 404022002