2020_2021學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)單元素養(yǎng)評價第13章立體幾何初步含解析蘇教版必修第二冊

1、單元素養(yǎng)評價(三)(第13章)(120分鐘150分)一、單選題(每小題5分,共40分)1.過棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是()a.矩形b.正方形c.梯形d.平行四邊形【解析】選d.棱柱的側(cè)棱平行且相等,故截面為平行四邊形.2.用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的一個正方形,則原來的圖形是()【解析】選a.由直觀圖可知,在直觀圖中多邊形為正方形,對角線長為,所以原圖形為平行四邊形,位于y軸上的對角線長為2.3.若平面平面,直線a平面,點b平面,則在平面內(nèi)過點b的所有直線中()a.不一定存在與a平行的直線b.一定不存在與a平行的直線c.存在無數(shù)條與a平行的直線d.存在唯一一條與a

2、平行的直線【解析】選d.因為平面平面,直線a平面,點b平面,所以ba,過直線a與點b作平面,則平面與平面的交線即為與a平行的唯一直線.4.在如圖所示的四個正方體中,能得出abcd的是()【解析】選a.a中因為cd平面amb,所以cdab;b中,ab與cd成60角;c中,ab與cd成45角;d中,ab與cd夾角的正切值為.5.正六棱臺的兩底邊長分別為1 cm,2 cm,高是1 cm,則它的側(cè)面積為_cm2()a.b.9c.d.3【解析】選a.棱臺的斜高為cm,所以s側(cè)=6(1+2)=(cm2).6.如圖,在直三棱柱abc-a1b1c1中,d為a1b1的中點,ab=bc=bb1=2,ac=2,則異

3、面直線bd與ac所成的角為()a.30b.45c.60d.90【解析】選c.如圖,取b1c1的中點e,連接be,de,則aca1c1de,則bde即為異面直線bd與ac所成的角.由條件可知bd=de=eb=,所以bde=60.7.若空間中四條兩兩不同的直線l1,l2,l3,l4,滿足l1l2,l2l3,l3l4,則下列結(jié)論一定正確的是()a.l1l4b.l1l4c.l1與l4既不垂直也不平行d.l1與l4的位置關(guān)系不確定【解析】選d.如圖,在長方體abcd-a1b1c1d1中,記l1=dd1,l2=dc,l3=da,若l4=aa1,滿足l1l2,l2l3,l3l4,此時l1l4,可以排除選項a

4、和c.若l4=dc1,也滿足條件,可以排除選項b.8.(2020全國卷)已知abc是面積為的等邊三角形,且其頂點都在球o的球面上.若球o的表面積為16,則o到平面abc的距離為()a.b.c.1d. 【解題指南】本題考查球的相關(guān)問題,意在考查學(xué)生的空間想象能力和運(yùn)算求解能力.【解析】選c.設(shè)abc的外接圓圓心為o1,記oo1=d,圓o1的半徑為r,球o的半徑為r,abc的邊長為a,則sabc=a2=,可得a=3,于是r=,由題知,球o的表面積為16,則r=2,由r2=r2+d2易得d=1,即o到平面abc的距離為1.【方法技巧】解答球的有關(guān)問題時,通常要用到截面圓.如圖所示,設(shè)球o的半徑為r,

5、截面圓o的半徑為r,m為截面圓上任意一點,球心o到截面圓o的距離為d,則在rtoom中,om2=oo2+om2,即r2=d2+r2.二、多選題(每小題5分,共20分,全部選對的得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)9.下列說法正確的是()a.垂直于同一個平面的兩條直線平行b.若兩個平面垂直,則其中一個平面內(nèi)垂直于這兩個平面交線的直線與另一個平面垂直c.一個平面內(nèi)的兩條相交直線均與另一個平面平行,則這兩個平面平行d.一條直線與一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直,則這條直線和這個平面垂直【解析】選abc.d項中一條直線與一個平面內(nèi)的任一直線垂直,則這條直線和這個平面垂直;或者是一條直線與一個平面內(nèi)的

6、兩條相交直線垂直,則這條直線和這個平面垂直,所以d錯誤.10.已知m,n是兩條不重合的直線,是三個兩兩不重合的平面,下列選項說法正確的為()a.若m,m,則b.若m,n,mn,則c.若,則d.若m,n是異面直線,m,m,n,n,則【解析】選ad.對于a,垂直于同一條直線的兩個平面平行,正確;對于b,不滿足平面與平面平行的判定定理,錯誤;對于c,平面,可能相交,錯誤;對于d,滿足平面與平面平行,正確.11.在三棱錐d-abc中,ab=bc=cd=da=1且abbc,cdda,m,n分別是棱bc,cd的中點,下面結(jié)論正確的是()a.acbdb.mn平面abdc.三棱錐a-cmn的體積的最大值為d.

7、ad與bc一定不垂直【解析】選abd.設(shè)ac的中點為o,連接ob,od,則acob,acod,又obod=o,所以ac平面obd,所以acbd,故a正確;因為mnbd,所以mn平面abd,故b正確;當(dāng)平面dac平面abc時,va-cmn最大,最大值為va-cmn=vn-acm=,故c錯誤;若ad與bc垂直,又因為abbc,所以bc平面abd,所以bcbd,又bdac,所以bd平面abc,所以bdob,因為ob=od,所以顯然bd與ob不垂直,故d正確.12.如圖,在棱長為1的正方體abcd-a1b1c1d1中,點p是對角線ac1上的動點,點p與a,c1不重合,則下面結(jié)論中正確的是()a.存在點

8、p,使得平面a1dp平面b1cd1b.存在點p,使得ac1平面a1dpc.s1,s2分別是a1dp在平面a1b1c1d1,平面bb1c1c上的正投影的面積,對任意點p,都有s1s2d.a1dp面積的最小值是【解析】選abd.考查a,連接ad1交a1d于m,連接bc1交b1c于n,再連接pm,d1n,見圖(1),則平面ad1c1b平面a1dp=pm,平面ad1c1b平面b1cd1=d1n.由于a1db1c,只要pmd1n能成立,平面a1dp平面b1cd1就成立.易知ap=ac1時,pmd1n,a正確.對b,由于ac1平面b1cd1,當(dāng)平面a1dp平面b1cd1時,ac1平面a1dp成立,所以b正

9、確.對c,如圖(2),a1dp在平面a1b1c1d1的投影是p1a1d1,p1在對角線a1c1上,在平面bb1c1c的投影是p2b1c,p2在對角線bc1上,當(dāng)動點位于ac1中點時,p1,p2同時是a1c1和b1c的中點.此時b1,p2,c三點共線,p由此向點a移動時,s1逐漸變小,s2逐漸變大.一定有p點使s1=s2,故c錯.對d,見圖(1),由于a1d平面ad1c1,則a1dpm,a1dp的面積為:a1dpm=pm,在rtad1c1中,mpac1時pm最小,此時pm=,所以a1dp面積的最小值為:=,d正確.三、填空題(每小題5分,共20分)13.如圖甲,在正方形sg1g2g3中,e,f分

10、別是邊g1g2,g2g3的中點,d是ef的中點,現(xiàn)沿se,sf及ef把這個正方形折成一個幾何體(圖乙),使g1,g2,g3三點重合于點g,下面結(jié)論成立的是_.(填序號)sg平面efg;sd平面efg;gf平面sef;gd平面sef.【解析】在題圖甲中,sg1g1e,sg3g3f;在題圖乙中,sgge,sggf,gegf=g,所以sg平面efg,故正確,顯然錯誤;若gf平面sef,則gfef,而gf與ef不垂直,故錯誤;因為sg平面gef,所以sggd,所以gd與sd不垂直,即gd與平面sef不垂直,故錯誤.答案:14.在空間四邊形abcd中,ad=bc=2,e,f分別是ab,cd的中點,ef=

11、,則異面直線ad與bc所成角的大小為_.【解析】取ac中點m,連接em,fm,f為dc中點,m為ac中點,所以fmad,且fm=ad=1,同理embc,且em=bc=1.在emf中作mnef于n.在rtmne中,em=1,en=,所以sinemn=,emn=60,所以emf=120,所以ad與bc所成角為60.答案:6015.棱長為1的正四面體內(nèi)有一點p,由點p向各個面引垂線,垂線段的長分別為d1,d2,d3,d4,則d1+d2+d3+d4的值為_.【解析】設(shè)四面體的高為h則h=,sh= s(d1+d2+d3+d4),所以d1+d2+d3+d4=h=.答案:16.降水量是指水平地面上單位面積降

12、雨的深度,用上口直徑為38 cm,底面直徑為24 cm,深度為35 cm的圓臺形水桶(軸截面如圖所示)來測量降水量,如果在一次降雨過程中,此桶盛得的雨水正好是桶深的,則水面半徑是_,本次降雨的降水量是_(精確到1 mm).【解析】桶內(nèi)水的深度為35=5(cm),設(shè)水面半徑為x cm,則有=,解得x=13,v水=5(122+1213+132)=.設(shè)單位面積雨水深度為h,則v水=192h,所以192h=,所以h2.2 cm=22 mm.答案:13 cm22 mm四、解答題(共70分)17.(10分)直三棱柱的高為6 cm,底面三角形的邊長分別為3 cm,4 cm,5 cm,將棱柱削成圓柱,求削去部

13、分體積的最小值.【解析】如圖所示,只有當(dāng)圓柱的底面圓為直三棱柱的底面三角形的內(nèi)切圓時,圓柱的體積最大,削去部分體積才能最小,設(shè)此時圓柱的底面半徑為r,圓柱的高即為直三棱柱的高6 cm.因為在abc中,ab=3 cm,bc=4 cm,ac=5 cm,所以abc為直角三角形.根據(jù)直角三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)可得7-2r=5,所以r=1 cm,所以v圓柱=r2h=6(cm3).而三棱柱的體積為v三棱柱=346=36(cm3),所以削去部分的體積為36-6=6(6-)(cm3).18.(12分)如圖,正方體abcd-a1b1c1d1的棱長為2.(1)求證:acb1d;(2)求三棱錐c-bdb1的體積.【解析

14、】(1)因為abcd-a1b1c1d1為正方體,所以bb1平面abcd.因為ac平面abcd,所以bb1ac.又因為底面abcd為正方形,所以acbd.因為bb1bd=b,所以ac平面bb1d.因為b1d平面bdb1,所以acb1d.(2)連接b1c,=.因為b1b平面abcd,所以b1b是三棱錐b1-bdc的高.因為=sbdcbb1=222=.所以三棱錐c-bdb1的體積為.19.(12分)如圖,在四棱錐p-abcd中,底面abcd是菱形,bad=60, ab=2,pa=1,pa平面abcd,點e是pc的中點,f是ab的中點.(1)求證:be平面pdf;(2)求直線be與平面pad所成角的正

15、弦值.【解析】(1)取pd中點為m,連接me,mf.因為e是pc的中點,所以me是pcd的中位線,所以mecd.因為f是ab的中點且四邊形abcd是菱形,abcd,所以meab.所以mefb.所以四邊形mebf是平行四邊形.從而bemf,因為be平面pdf,mf平面pdf,所以be平面pdf.(2)由(1)得bemf,所以直線be與平面pad所成角就是直線mf與平面pad所成角.取ad的中點g,連接bd,bg.因為底面abcd是菱形,bad=60,所以abd是正三角形,所以bgad,因為pa平面abcd,pa平面pad,所以平面pad平面abcd,且平面pad平面abcd=ad,bgad,所以

16、bg平面pad,過f作fhbg,交ad于h,則fh平面pad,連接mh,則fmh就是mf與平面pad所成的角.又f是ab的中點,所以h是ag的中點.連接mg,又m是pd的中點,所以mgpa.在rtmgh中,mg=pa=,gh=ad=,所以mh=.在正三角形abd中,bg=,所以fh=bg=.在rtmhf中,mf=,所以sinfmh=,所以直線be與平面pad所成角的正弦值為.20.(12分)已知在三棱錐p-abc中,acb=90,bc=4,ab=20.d為ab的中點,且pdb為等邊三角形,papc.(1)求證:平面pac平面abc;(2)求二面角d-ap-c的正弦值.【解析】(1)在rtacb

17、中,d是斜邊ab的中點,所以bd=da.因為pdb是等邊三角形,所以bd=dp=bp,則bd=da=dp,因此apb為直角三角形,即pabp.又papc,pcbp=p,所以pa平面pcb.因為bc平面pcb,所以pabc.又acbc,paac=a,所以bc平面pac.因為bc平面abc,所以平面pac平面abc.(2)由(1)知papb及已知papc,故bpc即為二面角d-ap-c的平面角.由(1)知bc平面pac,則bcpc.在rtbpc中,bc=4,bp=bd=10,所以sinbpc=,即二面角d-ap-c的正弦值為.21.(12分)如圖,在平行四邊形abcm中,ab=ac=3,acm=9

18、0.以ac為折痕將acm折起,使點m到達(dá)點d的位置,且abda.(1)證明:平面acd平面abc;(2)q為線段ad上一點,p為線段bc上一點,且bp=dq=da,求三棱錐q-abp的體積.【解析】(1)由已知可得,bac=90,即baac.又因為baad,acad=a,所以ab平面acd.因為ab平面abc,所以平面acd平面abc.(2)由已知可得,dc=cm=ab=3,da=3.又bp=dq=da,所以bp=2.如圖,過點q作qeac,垂足為e,則qedc.由已知及(1)可得,dc平面abc,所以qe平面abc,qe=1.因此,三棱錐q-abp的體積為vq-abp=sabpqe=32sin 451=1.22.(12分)如圖,在五面體abcdef中,四邊形adef是正方形,fa平面abcd,bcad,cd=1,ad=2,bad=cda=45.(1)求異面直線ce與af所成角的余弦值;(2)證明:cd平面abf;(3)求二面角b-ef-a的正切值.【解析】(1)因為四邊形adef是正方形,所以faed.故ced為異面直線ce與af所成的角.因為fa平面abcd,所以facd,故edcd.在rtcde中,cd=1,e