重積分的計(jì)算及應(yīng)用

1、三、重積分的應(yīng)用三、重積分的應(yīng)用 重積分的 計(jì)算 及應(yīng)用 一、重積分計(jì)算的基本方法一、重積分計(jì)算的基本方法1. 選擇合適的坐標(biāo)系選擇合適的坐標(biāo)系使積分域多為坐標(biāo)面使積分域多為坐標(biāo)面(線線)圍成圍成;被積函數(shù)用此坐標(biāo)表示簡潔或變量分離被積函數(shù)用此坐標(biāo)表示簡潔或變量分離.2. 選擇易計(jì)算的積分序選擇易計(jì)算的積分序積分域分塊要少積分域分塊要少, 累次積分易算為妙累次積分易算為妙 .圖示法圖示法列不等式法列不等式法(從內(nèi)到外從內(nèi)到外: 面、線、點(diǎn)面、線、點(diǎn))3. 掌握確定積分限的方法掌握確定積分限的方法 累次積分法累次積分法例例1.1.計(jì)算積分計(jì)算積分, ,) )( ( ddyx 其中其中d 由由,2

2、2xy 12,4yxyx所圍成所圍成 .提示提示: :如圖所示如圖所示xy224246oyx,12ddd 內(nèi)有定義且在2),(dyxyxfdyxd)(2d)(dyx1d)(dyx連續(xù)連續(xù), ,所以所以yyxyx1222d)(46dyyyxyx422d)(24dy15115431d2dd例例2.解解圍圍成成由由其其中中計(jì)計(jì)算算2122 xxyxyddyxd, , ,. . dyxd22dxyxxx1212 213)(dxxx.49 . ,1, 21 :xyxxdd 是是 x型。型。oxyxy 22 xxy1 1 xxdyyxdx12221解解: dddyxdd 22例例3. . ) )c co

3、os s( ( . . ）所所圍圍的的面面積積（取取圓圓外外部部線線和和心心形形是是由由圓圓其其中中計(jì)計(jì)算算 122aaddyxd在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域 d 可表示為可表示為 ) )c co os s( ( 122aaddoaa2a2 2 ) ). .c co os s( ( 1aa,22 22331)cos1(31 da).2922(3 a例例 4. 計(jì)算計(jì)算,ddd12zyxxyi所圍成所圍成. 其中其中 由由1,1,12222yzxzxy分析：若用分析：若用“先二后一先二后一”, 則有則有zxxyyiyddd1d201zxxyyyddd1d210計(jì)算較繁計(jì)算較繁! 采用

4、采用“三次積分三次積分”較好較好.1zxy1o1:4528 1122yzx2211xzx11xxxid1211zxxd2211yyzxd11221, 1,1222yzxzxy由所圍所圍, 故可故可 思考思考: 若被積函數(shù)為若被積函數(shù)為 f ( y ) 時(shí)時(shí), 如何計(jì)算簡便如何計(jì)算簡便? 表為表為 解解:1zxy1o12 (3). 計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分,d222dyxr其中其中d 為圓周為圓周xryx22所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域.提示提示: 利用極坐標(biāo)利用極坐標(biāo)cosr原式原式cosdrr0222033d)sin1(32r)34(313rydr xo:dcosr02222dp182練習(xí)練

5、習(xí)p182 2 (3) ; 7; 8 (1), (3)7. 把積分把積分zyxzyxfddd),(化為三次積分化為三次積分,其中其中 由曲面由曲面222,xyyxz0,1zy提示提示: 積分域?yàn)榉e分域?yàn)?原式原式220d),(yxzzyxf及平面及平面220yxz12 yx11x12dxy11dx所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域 .xyzp183zd1zd28 (1) .計(jì)算積分計(jì)算積分2222rzyxzrzyx2222及,ddd2zyxz其中其中 是是兩個(gè)球兩個(gè)球 ( r 0 )的公共部分的公共部分.提示提示: 由于被積函數(shù)缺由于被積函數(shù)缺 x , y ,原式原式 =zdyx1ddzzzrzrd

6、)2(2022利用利用“先二后一先二后一” 計(jì)算方計(jì)算方便便 .zzrd202zdyx2ddzzrrd22zzrzrrd)(2222548059rrzyxo2rp1838 (3).計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分,d)(22vzy其中其中 是由是由 xoy平面上曲線平面上曲線xy22所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域 .提示提示: 利用柱坐標(biāo)利用柱坐標(biāo)sincoszyxx原式原式522xd繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面與平面軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面與平面5221 x10020d100320d3250:zxyo5p1835x二、重積分計(jì)算的基本技巧二、重積分計(jì)算的基本技巧分塊積分法分塊積分法利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性1. 交換

7、積分順序的方法交換積分順序的方法2. 利用對(duì)稱性或重心公式簡化計(jì)算利用對(duì)稱性或重心公式簡化計(jì)算3. 消去被積函數(shù)絕對(duì)值符號(hào)消去被積函數(shù)絕對(duì)值符號(hào)例例5.5.改變下列二次積分的積分次序：改變下列二次積分的積分次序：; ),( )1(2121dyyxfdxx . ),( )2(221110dxyxfdyyy 解解 (1) (1) 積分區(qū)域?yàn)榉e分區(qū)域?yàn)?.1, 21 :2xyxd . 41, 2 :yxyd 2121 ),( xdyyxfdx d),( dyxf. ),( 241 ydxyxfdy將將 d 向向 y 軸投影。軸投影。oxy1212xy 4積分區(qū)域?yàn)榉e分區(qū)域?yàn)?. 10 ,11 :22

8、yyxyd .10, 11 :2xyxd將將 d 向向 x 軸投影軸投影,. ),( )2(221110dxyxfdyyy xy11o1 122 yx dxyxfdyyy ),(221110. ),( 21011 xdyyxfdx d),( dyxfxysinxyo2例例6. 1d),(dyxfyyxyxfarcsinarcsind),(10dyixyyxfsin0d),(0d x0sind),(xyyxf2d xyyxyxfarcsin2arcsind),(01dy如圖所示如圖所示交換下列二次積分的順序交換下列二次積分的順序:xyyxfxisin020d),(d1d2d2d),(dyxf解解

9、:xyz解解1d2d 101002dyzyxfdzdxx) ), , ,( (原原式式 10021xxzd : : 101222xxzxd : :時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)10 y時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)12 yxz練習(xí)練習(xí):. . ) ), ,( ( d d化為二次積分化為二次積分將將 dyxf ; ; , , , , ) )( (圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域由由直直線線1111 yxyxy; ; , , ) )( (圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域由由拋拋物物線線2212xyxy . . , , , , ) )( (圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域由由024322 xxxyxy. . ) )( (224xxyx 閉閉區(qū)區(qū)域域解解 (1)d 是

10、是 y型。型。將將 d 向向 y 軸投影。軸投影。 . 10,11 :yyxyd dxdyyxf ),(ddxyxfyy ),(11 10 dyoxy121xy 11 xyoxy11 121xy 2xy 求交點(diǎn)：求交點(diǎn)： .1,22xyxy; ; , , ) )( (圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域由由拋拋物物線線2212xyxy 于是，于是， .1 ,2222 :22xyxxdd 是是 x型。型。將將 d 向向 x 軸投影。軸投影。得得).21 ,22( )21 ,22(， dxdyyxf ),(ddyyxfxx ),(221 2222 dx2222 oxy1222xxy 24xy 2在極坐標(biāo)系中，

11、閉區(qū)域在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域d 可表示為可表示為. .c co os s22 ,20 d ),( dyxf dddf ) )s si in n , ,c co os s( (. . ) )sinsin , ,coscos( (coscos 2220 dfdoa c co os s2 2 . . , , , , ) )( (圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域由由024322 xxxyxyoa coscos2 xy1122xxy xy 2o在極坐標(biāo)系中，在極坐標(biāo)系中，d 可表示為可表示為. .coscos 20 ,24 d ),( dyxf dddf ) )s si in n , ,c co os s( (.

12、 . ) )s si in n , ,c co os s( (c co os s 2024dfd. . ) )( (224xxyx 閉閉區(qū)區(qū)域域xyo d設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfd 位于位于 x 軸上方的部分為軸上方的部分為d1 , ),(),() 1 (yxfyxf),(),()2(yxfyxfd),(dyxf0d),(dyxf當(dāng)區(qū)域關(guān)于當(dāng)區(qū)域關(guān)于 y 軸對(duì)稱軸對(duì)稱, 函數(shù)關(guān)于變量函數(shù)關(guān)于變量 x 有奇偶性時(shí)有奇偶性時(shí), 仍仍1d在在 d 上上d),(21dyxf在閉區(qū)域上連續(xù)在閉區(qū)域上連續(xù), 域域d 關(guān)于關(guān)于x 軸對(duì)稱軸對(duì)稱,則則則則有類似結(jié)果有類似結(jié)果.在第一象限部分在第一象限部分, 則

13、有則有1:,221 yxdd 為圓域如dyxyxdd)(22dyxyxdd)(1dd)(422dyxyx0重積分中對(duì)稱性的應(yīng)用重積分中對(duì)稱性的應(yīng)用例例8. 計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分, ,d dd d) )( (yxeyxxiyxd222 其中其中:(1) d為圓域?yàn)閳A域; 122 yx(2) d由直線由直線1,1,xyxy解解: (1) 利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性.yox1dyxxidd dd d 202122 yxyxdd dd d) )( ( 1032021 d dd d4yxeyxdyxd dd d 22圍成圍成 .yxeyxdyxdd122(2) 積分域如圖積分域如圖:o1yx11d2dxy

14、xy , xy將將d 分為分為,21ddyxxiddd2yxeyxdyxdd22200dd1112xyxx32添加輔助線添加輔助線利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性 , 得得111 xyo例例9. 計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分,dd)sgn() 1 (2yxxyid,dd)22()2(22yxxyyxid122 yx在第一象限部分在第一象限部分. 解解: (1)2xy 21, dd兩部分兩部分, 則則1dddyxi1112ddxyx322d2dddyx2011ddxyx1011:yxd，其中其中d 為圓域?yàn)閳A域把與把與d 分成分成1d作輔助線作輔助線xy1o1xy (2) 提示提示: 21, dd兩部分兩部分

15、1dyxyxddd)(22yxyxddd)2(說明說明: 若不用對(duì)稱性若不用對(duì)稱性, 需分塊積分以去掉絕對(duì)值符號(hào)需分塊積分以去掉絕對(duì)值符號(hào). xy 作輔助線作輔助線2d將將d 分成分成dyxdd2yxxyyxiddd)22(222) 12(32例例10. 證明證明:, 2d)cossin(122dyx其中其中d 為為.10, 10yx解解: 利用題中利用題中 x , y 位置的對(duì)稱性位置的對(duì)稱性, 有有d)cossin(22dyxd)cossin(d)cossin(222221ddxyyxd)cossin(d)cossin(222221ddyyxxd)cossin(22dxxd)sin(242

16、dx,1)sin(,1042212xx又又 d 的面積為的面積為 1 , 故結(jié)論成立故結(jié)論成立 .yox1d1例例11. 計(jì)算計(jì)算,ddd)sin5(2222zyxyxxyxi其中其中.4, 1),(2122圍成由zzyxz解解:zyxxiddd2利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性zyxyxddd)(2122yxyxzzddd)(d212241zrrz2032041ddd21214zxoy1zdzyxyxyxdddsin52220zoxy2例例12 設(shè)設(shè) 由錐面由錐面22yxz和球面和球面4222zyx所圍成所圍成 , 計(jì)算計(jì)算.d)(vzyxi2提示提示:4利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性vzyxd)(222vzxz

17、yyxzyxid)(222222用球坐標(biāo)用球坐標(biāo) rr d420dsin4020d221564例例13. 計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分,dd)35(dyxyx其中其中d 是由曲是由曲044222yxyx所圍成的平面域所圍成的平面域 .解解:2223)2() 1(yx其形心坐標(biāo)為其形心坐標(biāo)為:面積為面積為:9adyxxidd5923) 1(5adyxydd3積分區(qū)域積分區(qū)域線線質(zhì)心坐標(biāo)質(zhì)心坐標(biāo)2,1yxdyxxaxdd1dyxyaydd1ayax35axamyxamaxxfexaxxfey0)(0)(0d)()(d)(d證明證明: :提示提示: 左端積分區(qū)域如圖左端積分區(qū)域如圖,doyxxy a交換

18、積分順序即可證得交換積分順序即可證得.p182 4.練習(xí)題練習(xí)題 p182 1; p182 4, 11r11. 在均勻的半徑為在均勻的半徑為r的圓形薄片的直徑上的圓形薄片的直徑上 , 要接上一要接上一個(gè)一邊與直徑等長的同樣材料的均勻矩形薄片個(gè)一邊與直徑等長的同樣材料的均勻矩形薄片,使整個(gè)使整個(gè)的另一邊長度應(yīng)為多少的另一邊長度應(yīng)為多少?22xryboryx提示提示: 建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖.,0y由對(duì)稱性知由對(duì)稱性知dyxydd022ddxrbrryyx2332brr 由此解得由此解得rb32問接上去的均勻矩形薄片問接上去的均勻矩形薄片即有即有d薄片的重心恰好落在圓心上薄片的重心恰好落在圓

19、心上 ,?b三、重積分的應(yīng)用三、重積分的應(yīng)用1. 幾何方面幾何方面面積面積 ( 平面域或曲面域平面域或曲面域 ) , 體積體積 , 形心形心質(zhì)量質(zhì)量, 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量, 質(zhì)心質(zhì)心, 引力引力 證明某些結(jié)論等證明某些結(jié)論等 2. 物理方面物理方面3. 其它方面其它方面例例4.4. 求兩個(gè)底圓半徑為求兩個(gè)底圓半徑為r 的直角圓柱面所圍的體積的直角圓柱面所圍的體積.xyzrro解解: 設(shè)兩個(gè)直圓柱方程為設(shè)兩個(gè)直圓柱方程為,222ryx利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性, 考慮第一卦限部分考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為其曲頂柱體的頂為則所求體積為則所求體積為yxxrvddd822220dxryxxrrd)(8

20、0223316r222rzx22xrz 00:),(22rxxrydyxxxrrd8022222ryx222rzxd利用利用“先二后一先二后一”計(jì)計(jì)算算.zyxvdddzdcyxzddd20abc34czczab022d)1 (2222221:czbyaxdz例例15. 試計(jì)算橢球體試計(jì)算橢球體1222222czbyax的體積的體積 v.解解解解 zyxzyx3422222求交線：求交線：xyzo將將 向向 xoy 面投影，得面投影，得 . 3 :22 yxd . 1, 322zyxox3 或或 . ., , : : 3020 d dxdydzzi .413 xyzo 23242030 zdz

21、dd. .2243 z即即過過 (, )d 做平行于做平行于 z 軸軸的直線，得的直線，得 .43,30,20 :22 rzrr ),( r . ., , : : 3020 d dzddz . ., ,sinsin, ,coscoszzyx , , dzdddv 例例17.17.，上連續(xù)在設(shè),)(baxf證明證明babaxxfabxxfd)()(d)(22證證: :左端左端yyfxxfbabad)(d)(yxyfxfddd)()(222baab利用yxyfxfddd)()(222121xxfybabad)(d2yyfxbabad)(d22abxdxfba)(2xdxfabba)()(2byabxad:= 右端右端ydyfba)(2例例18.,)0(, 0)0(,)(存在設(shè)ffcuf，求)(1lim40tftt)(tf解解: 在球坐標(biāo)系下在球坐標(biāo)系下trrrftf02020d)(d