(完整版)多元函數(shù)微分法及其應用期末復習題高等數(shù)學下冊(上海電機學院)

1、第八章偏導數(shù)與全微分參考答案1第八章偏導數(shù)與全微分、選擇題1.若u=u(x, y)是可微函數(shù)，且u(x,y)x21, x2x,則一ux2A yXyyyA.1B.1C. -1 D. 1222.函數(shù)z x2y26x 2y 6 D A.在點(-1,3)處取極大值B.在點(-1,3)處取極小值C.在點(3,-1)處取極大值D.在點(3,-1)處取極小值3.二元函數(shù)f x,y在點xo,yo處的兩個偏導數(shù)fxxo,yo,fyxo, yo存在是函數(shù)f在該點可微的B A.充分而非必要條件B.必要而非充分條件C.充分必要條件D.既非充分也非必要條件2一2一2設u=x+2y2+3z+xy+3x-2y-6z50 2

2、0 ,、8 .函數(shù)z xy一 一（x0, y0） D x yA.在點(2, 5)處取極大值C.在點(5, 2)處取極大值B.在點(2, 5)處取極小值D.在點(5, 2)處取極小值處連續(xù)的是f x,y在點x0,y0處可微的A A.必要而非充分條件4.在點O(0, 0, 0)指向點A(1, 1, 1)方向的導數(shù)A.5.35.3B.-653C.3D.5.35.函數(shù)zx3y33xy B A.在點(0, 0)處取極大值C.在點(0, 0), (1, 1)處都取極大值B.在點(1,1)處取極小值D .在點(0, 0), (1, 1)處都取極小6.二元函數(shù)f x, y在點x0,y0處可微是f x, y在該

3、點連續(xù)的A A.充分而非必要條件B.必要而非充分條件C.充分必要條件D.7.已知y sin y x 0(0既非充分也非必要條件1),則y= B dxA.1 cos yB.-11cosyC.1 cosy1D.-1 cos y9.二元函數(shù)f x, y在點x0, y0第八章偏導數(shù)與全微分參考答案2B.充分而非必要條件第八章偏導數(shù)與全微分參考答案3 -C.充分必要條件D.既非充分也非必要條件10.曲線x=t, y=t2, z=t3所有切線中與平面x+2y+z=4平行的切線有A. 1條B.2條C. 3條D.不存在11.設f (x, y)xy22y x，則f(二為By xxyA - -A.42y xB.2

4、2x yC.-4y xD.22yx4yx12.為使二元函數(shù)f(x,y)y沿某一特殊路徑趨向y(0,0)的極限為2,這條路線應選擇為BA.x y4xB.一3xC. 2yD.2xyy13.設函數(shù)z2f (x, y)滿足2y2,且f(x,1)2, fy(x,1),則f (x, y)2A.y (x 1)y 2B.y2(x1)y 2C.y2(x 1)y2D.(x 1)y14.設f (x, y) 3x2y,則f(xy, f (x, y)CA.3xy 4x 4yB.xyx 2yC.3xy6x 4yD.3xy 4x 6y15.為使二元函數(shù)f(x, y)22xy2在全平面內(nèi)連續(xù),x y則它在(0,0)處應被補充

5、定義為A.-1B.0C.1D.16.已知函數(shù)f(x y, x22y) x yf(x,y)y17.若18.若A.2xf(y)x2yB.2x 2yC.xD.22x y(x 0),xf(x)C.D.zyx,則在點-zD處有一yA.(0,1)B.(e,1)C.(1,e)D.(e,e)第八章偏導數(shù)與全微分參考答案4 -第八章偏導數(shù)與全微分參考答案5 -19.設z2xy,則下列結論正確的是A2zA.-x y2zB.-x y2zC.-x yD.兩者大小無法確定0,20.函數(shù)f(x,y)xsin一y_1ysin一,xxy 0c ,則極限xy 0呵f (x, y)(y 0C).(A)等于1(B)等于2(C)等于

6、0(D)不存在21.函數(shù)z xy在點(0,0)( D ).(A)有極大值(B)有極小值(C)不是駐點(D)無極值22.二元函數(shù)z Vxy2在原點(0,0)處(A).(A)連續(xù)，但偏導不存在(C)偏導存在，但不連續(xù)(B)可微(D)偏導存在，但不可微23.設u f (r),而ry/f(r)具有二階連續(xù)導數(shù),2 u則x2u-2y(B).(A)f(r)1 ,(C) -2f(r)r11f ,(r)r1-f,(r)r(B)f(r)1 ,(D)-12 f(r)r24.函數(shù)z f (x, y)在點(x, y)處連續(xù)是它在該點偏導存在的(f(r)f(r)D).(A)(C)必要而非充分條件充分必要條件(B)充分而

7、非必要條件(D)既非充分又非必要條件25.函數(shù)z 122 .x y的極大值點是(D ).(A)(1,1)(B)(1,0)(C)(0,1)(D)(0,0)26.設f(x, y)arcsinfx(2,1) (B ).(A)(B)(D)27.limx 0 y0第八章偏導數(shù)與全微分參考答案6 -(A)等于0(B)不存在(C)等于2(D)存在且不等于0及128.z f(x,y)若在點Po(xo,yo)處的兩個一階偏導數(shù)存在，則(B )(A)f (x, y)在點Po連續(xù)(B)z f (x, y0)在點x0連續(xù)(C)dz -z 1Pdx |Pdy(D) A,B,C都不對29.設函數(shù)z xy,則dz=(A).

8、y 1y .yx dx x In xdy(B).yyx1dxxydy(C).xydxxyln xdy(D).yyx1dxxyln ydy30.z已知u2lnv,ux一,vyxy,則y落n xy(A)y(B)與In xyyWrlnxy y(D)2x2ylnxy31.函數(shù)z=41 x2y2的定義域是(D(A.)(C.)D=(x,y)|x2+y2=1D=(x,y)|x2+y21(B.)(D.)D=(x,y)|x2+y21D=(x,y)|x2+y2132.,則下列式中正確的是y33.34.(A)(C)(A)已知f(y,x)f (x,y);f (x,y)；_xxe sin y ； (B) ef (x y

9、, x y)x2(B)(D)f(xy,xf (x,y)y) f(x,y)；f(x,y)(D );exsin y ；(C)y2,則一f_x_e cos y；-(C)；(D)一x一一e sin y第八章偏導數(shù)與全微分參考答案7 -z35 .設z2x23xyy2,貝uxy (B)(A) 6(B) 3(C) -2(D) 2.z f x, y ,貝|J-zxv36.設x0，y0( B )A.充分必要條件；B.充分非必要條件；C.必要非充分條件；D.非充分又非必要條件。40 .拋物面z x2y2上點P處的切平面平行于平面2x y z 3 0 ,則點P的坐標是(C )111 51 5A.(1,一，0)；B.

10、( 1,一，0);C.( 1,一，一)；D.(1,一，一)222 42 441 .設z exyyx2,則I(12)( B )，匚y2A.e 1；B.e 1；C.2e 1 ;D.2e 1。332242.設一兀函數(shù)z x y 3x 3y 9x的極小值點是(A )(A) 2x 2y； (B)x y；(C)2x 2y (D)x y.limfx0巾y (A)x 0 xfxolim-(B)x,y f x。，yxf xox,y。f xo, yolim - -(C)x 0 x.fx0lim -(D)x, y0 xzz cz f x, y ,貝|J一37.設由方程exyz 0確定的隱函數(shù)xzz(A)1 z(B)

11、xz1(C)38.二次函數(shù)z ln(4 x2y2)22A.1 x yw 4；/-22C. - 10 xyW4yyx1 z(D)x1 z1、的定義域是(D )x2y2122.B.-1 x y v 4 ；22.39.f (x, y)在點(x, y)處的偏導數(shù)fx(x,y)和fy(x, y)連續(xù)是f (x, y)可微分的(B )A. (1, 0);B.(1, 2);C.(-3 ,0); D. (-3,2)第八章偏導數(shù)與全微分參考答案8 -9,函數(shù)z-xy3的間斷點是x y 033x y-10.函數(shù)u xyz在點(1,1,1)沿方向(2,1, 3)的方向?qū)?shù)是_0u歷，貝1 43.設X1，1(B )1

12、(A) 0(B)2(C) -1(D) 144.設zfx,y是由方程xyzzsin(xyZ)決定的隱函數(shù)，則X ( D )(A)zsin yz(B)yz(C)cosyzyz(D)z45.設xye1,2(A)e 1(B)e 12e 1(D)2e 1二、填空題1.lim(1e22.函數(shù)222u=ln (x2y2z2)在點M(1,2,-2)的梯度gradu= 1,2,-293.limy 0sin(xy)24.已知zf(xy)是可微函數(shù)，則dzyf (xy)dx xf (xy)dy5.(x,y)lim(0,0)6.2222yjxy z,貝U gradrr r r2xi 2y j 2zk7.曲線2y在點(

13、1,1,73)處的切線與Y軸的正向夾角是8.ln( x22、2xrz ),貝U gradr -2-2ixyz2y222xyz2z第八章偏導數(shù)與全微分參考答案11.函數(shù)u ln xyz的定義域是(x, y, z) x 0,y 0,z 0或x 0, y 0,z 0或x 0, y 0, z 0或x 0, y 0,z 0ln242arcsin、2的定義域是1 x2y24x yx y-x y 1 z 2z 3在點（0,1,2）處的法線方程為 一y 201y2可微，則z xf12y f2y2y在點P （ 0,1,3 ）處的切平面萬程2y+z=5,法線萬程22設z ex xy,則全微分dz=_2ex xyx

14、 y dx xdy13.函數(shù)U3x2y22y 4x 6z在原點與&方向l 2,3,1的方向?qū)?shù)為871414.函數(shù)Zln(xln y)的定義域是( x, y) | x 0, y 1或x 0,0 y 116.極限2lim一x 0 y0、:xy 4xy17.若f (x, y) 3x 2y ,則fxy, f(x,y)6x 4y 3xy18.設有函數(shù)yu(x, y,z) xz,則du|(1,2,2)4dx dz19.函數(shù)zx2y2的極大值點是（0,0）20.xy2z3,r ,0, ,則方向?qū)?shù)，22l1,1,122.曲面z2x22 , .一一、一- ,_y上一點（1, -1, 3）處的切平面萬程為-4

15、x 2y25、幾12設z=-1n(x2y2),則2xy7-22-2(x y )26、已知f(xy,xy) x22f (x,y) f(x, y) y ,2x 2y12.二元函數(shù)Z15.曲面exxy21.xy,x223.24、第八章偏導數(shù)與全微分參考答案10 -、計算與證明一4 3 85、， 一一一85點（一，一，）到xoy平面的距離是 一5 5 66一4 3 35比較得：所求點是（4,3,35）5 5 627.limx 0y 02 . xy 4xy28.已知ln -y29.已知z sinxy,則dzdz ycosxydx x cosxydy1.設z=f (x+y,xy）的二階偏導數(shù)連續(xù)，解：=f

16、1xf2y2zf11f12(x y) xyf22f2-x2.求平面一31和柱面x2y2101的交線上與xoy平面距離最短的點解：設（x, y, z）是交線上任一點,由已知,距離函數(shù)f (x, y,z)=z又設L(x,y,z,z101)222(x y 1)Ly(2)令：Lz2zx32x10y42yz101(4)（1）與（2）相比,得:代入（5）,得：x從而得交線上的兩點:4 3其中：點（，5,5,34x，相應的有:,4 3 35、(5,5,)到xoy平面的距離是3545,3563 85、5,7)第八章偏導數(shù)與全微分參考答案11 -2xy -3.證明極限lim -4不存在x 024y 0 xy證明

17、：當（x, y）沿著曲線y2=x趨于（0, 0）時,24rxy _ . y 1lim -4 lim -4j 0 x2y4 y 0y4y42當（x, y）沿著曲線2y2=x趨于（0, 0）時,24xy2ylim-4 = lim,盧x2y4 y 04y4的切向量丁=1,1,2x 1 M處的切線方程為-21點M處法平面方程為：x+y+A41M029.設函數(shù)z f （x y,ey）,求,.x y解：設ux2y , v exy,那么2VxyVxyx , ye ,xexy上JV=2xy1+yeV x uzfufV2=xfxy+xefyuyVyuV33330.設Z zx,y是由x y z xyz 60所確定

18、的隱函數(shù)，求它在點（1, 2, -1）31 .斜邊長為m的所有直角三角形中，求有最大周長的直角三角形直角邊的邊長. 解：設兩條直角邊zMo3x2yzMox3z2xyz3y2xzyMo3z2xyMoz M z及處的偏導數(shù)x y1八1,M0= （1,2, 1） （3分）5?（3分）5要使U1M0取最大值，則cos =1,即=0,也就是g與10同向時，-u取最大值,M02xy , y的值。第八章偏導數(shù)與全微分參考答案23 -的邊長為x, v,周長為S,則S m x y （1分）并滿足x2y2m2.由第八章偏導數(shù)與全微分參考答案24 -222、 一F （x, y, ） m x y （x y m ） （

19、2分）1 2x 0 x令 上12yo （3分）yF222x y m 0因為所有直角三角形的直角頂點位于直徑為m的半圓周上，最小周長不存在，從而實際問題只有最大值，此時有最大周長的直角三角形的邊長均是mo2zzu32設ze sinv,而u xy,v xy，求x,yzz uz vxu xv xuu=e sin v y e cosv 1=euysinv cosv（3分）zz uz vyu yv y=eusinv x eucosv 1=euxsin v cosv22z z33.設z f x y ,且f可微，求y x。x y-z 2xf （2分）z 2yf （2分）y xz 0（2分）xyx y34.求

20、曲面ezz xy 3在點2,1,0處的切平面與法線的方程.f x, y, zezz xy 3則一f1, -2, 0（3分）解得x y.2第八章偏導數(shù)與全微分參考答案25 -x2,1,0y2,1,0z2,1,0切平面方程為x 2 2 y 10 z 00即x2y40 （2分）第八章偏導數(shù)與全微分參考答案26 -x法線方程為一(2分)35.將正數(shù)12分成三個正數(shù)x, y, z之和，使得uz為最大.（8分）解：令F (x, y,z) x3y2z(x y z 12),FxFyFz3x2y2z2x3yz3 2x y0(3分)0解得唯一駐點（6,4,2）（4分），故最大值為umax12634226912.y36、已知z=arctan ,x求二,x解:37.設2y ,xy， 求38.39、40.fl2y(x22?2y )f112xfi2y 2yf2i2xf22yx f2已知z=arctan ,xz斛：一x設z=x2l解:將正數(shù)(x22X2y)(3分)211n(3u 2v) vv2u2inyvv1E3分)a分成三個正數(shù)之和，使它們之乘積為最大。求這三個數(shù)。解：設三個數(shù)分別為x,y,z.第八章偏導數(shù)與全微分參考答案27 -F（x,y,z,xy