1.4向量的向量積,向量的混合積

1、本節(jié)重點(diǎn):21.4.1向量積 1.4 向量的向量積、向量的混合積1。向量的向量積及其運(yùn)算律、坐標(biāo)運(yùn)算?向量的混合積及其運(yùn)算律、坐標(biāo)運(yùn)算物理學(xué)中研究剛體轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)， T向量m,它的模等于這個(gè)力的大小|“力矩”是一重要概念；所謂一個(gè)力 /關(guān)于定點(diǎn)O的力矩，指的是與從O到這個(gè)力作用線所引垂直線段OH之積，它垂直于通過(guò)O與力作用線的平面，弁且向量OH ,f一組成一個(gè)右T標(biāo)架 O ; OH , f,c T,mo但是，要獲得力矩 m ,也可以不使用垂足Ho我們?cè)趂 , m仍組成一個(gè)右手標(biāo)架f作用線上任取一點(diǎn)T T T O； r , f, moRo女T圖以r記向量OR。則m垂直于r , f。且/ ,由于OH

2、 = OR sin / ORH/ ORH = n Z ( r ,f )(或 /我們把由f | |T r T r ,OH | = | f | |?If | sin Z ( r ,141定義設(shè)積，它的方向與a , 叫外積)，記作r | sin (f)f得出m的方法推廣到一般向量,就產(chǎn)生一種新的運(yùn)算。b為兩不共線非零向量，作一向量(或b垂直且a , b , c組成一個(gè)右手標(biāo)架o ;c,其模等于aT T c,b之模與a, b夾角正弦之則c稱為a, b的向量積T T c=a xT T系 1:| a x bT等于以TTbT Ta , b為鄰邊的平行四邊形的面積。T T系2:兩向量a , b共線充要條件為由

3、定義嗅x b = 0。推出向量積的運(yùn)算規(guī)律。1.4.2定理向量積滿足下述運(yùn)算律b x a = (a x b)T T T T入 a x b = a x 入 b 6(a x b )證:(1)若a, b共線，則等式顯然成立。今設(shè)T T及各自的模均未改變，故|bx a| = | a x bT Ta , b不共線，則當(dāng)交換與b，因此a x b與b x a是共線向量，且按順序T 標(biāo)架o ; a, 從而得(2)不妨設(shè)b , a x b , o ; b , a , b x a 所以T T T T a x b = -( b x a)T T入工0且a, b不共線TTTTTTo又根據(jù)向量積定義,T T T T次序時(shí)

4、，a , b的夾角 Tb x a方向相反。當(dāng)入0時(shí)，、.,T T入a與a同向，故入a x b與a x b同向，另一方面| 入a x b | = |=|a x b與b x a都同時(shí)垂直于aT Ta , b x a都分別構(gòu)成右手TT又與入(a x b )同向，| | b | sin Z (入 a , b )T TT入 | | a | | b | sin Z (入 a b)T TT TT T二| 入 11a | | b | sin Z ( a , b) =| 入(a x b ) | ,T Tsin / (入 a, b)Tb | sin / (兀一/ ( a ,TT Tb | sin / ( a ,

5、b )Tb)|入（a x b） | ,T T T T因此入a x b 入（a x）類似可證a x （入b ）=入（a x b） 向量積對(duì)于加法也滿足分配律，留后再證。142向量的混合積TTT143定義a , b的向量積與c的數(shù)量積TTT T證畢（a x b） c叫做a , b , c的混合積。記作(a , b , c)=因止匕入a x b =入（a x b）STTTTTTTT當(dāng)入V 0時(shí)，入a與a反向，故 入a x b與a x b反向,但入（a x b），也與（a x b）反向，故入a xb與入（a x b）同向，另一方面T TTT| 入 a x b =1 入 a | | b |T一| 入1|

6、 a|T=1 人| | a | |T T（a x b） c混合積的幾何意義由下面兩個(gè)定理表述144定理 不共面向量a , b , c的混合積的絕對(duì)值等于以a , b , c為棱的平行六面的體積。它的符號(hào)，當(dāng)a, b , c組成右手系時(shí)為正,當(dāng)a, b, c組成左手系的為負(fù)。T T TT T T證：由于a , b , c不共面,把它歸到共同的起點(diǎn)o，可以構(gòu)成a , b , c為棱的平行六面體 （圖1-26）它的底面是以a , b為鄰邊的平行四邊形,面積S二|a x b |。它的高h(yuǎn)。它的體積八二S ?h圖 1-26由數(shù)量積定義T T TT T TT(a x b)? c =| a x b | c COS9 = S I c | COS9其中1 B是a x b和c的夾角.TTTT當(dāng)0; a , b , c 成右手系時(shí),0 寸(d b c) t (ad c) T_L(a b d) Td a b c(a b c) (a b c) (a b c)T T T T T 、T、)T、9、證明(a b) (c d) = b(a cd) -a(b cd) = c(a bd) -d(a b c)弁利用這個(gè)結(jié)果來(lái)計(jì)算(a b, c d, e