二倍角公式及輔助角公式綜合應(yīng)用

1、二倍角的正弦二倍角的正弦cossin22sin二倍角的余弦二倍角的余弦22sincos2cos1cos222sin212利用二倍角公式求最值利用二倍角公式求最值例例1 1：求下列各式的最大值及最小正周期：求下列各式的最大值及最小正周期： (5)8sincoscoscos442xxxx2222(1)sin cos ;(2)cossin;88(3)2cos1;(4)1 2sin.2xxxxxxcossin22sin2sincossin2公式從右向左用即為：公式從右向左用即為：兩邊同時除以兩邊同時除以2 2，即得，即得2sin21cossin22sincos2cos這個公式也要求會從右向左用，即這個

2、公式也要求會從右向左用，即2cossin-cos22另外，由另外，由2cos1cos22可得：可得：2cos1cos22從而：從而：22cos1cos22cossin212)2cos1 (21sin22cos1sin22同樣：同樣：2sincossin22cos1cos222cos1sin22降冪升角公式降冪升角公式2sin21cossin）（2cos121cos2）（2cos121sin2化化 為一個角的三角函數(shù)形式為一個角的三角函數(shù)形式令令222222sincosbabxxababa15cos21.1.求下列各式的值求下列各式的值5 .22sin15cos15sin2cos.12xy ）（

3、2.2.求下列函數(shù)的最小正周期：求下列函數(shù)的最小正周期：xy2sin22）（3.3.將下列各式化為將下列各式化為的形式的形式. .bx )sin(axxx2cos2cossin2 .1）（xx2sin32sin21.2）（1103sin4cos2.xyxx 例2、當(dāng)時，求函數(shù)的最值 及最小正周期3 4y 22例3、求函數(shù)sin x + cos x的最值及最小 正周期. 2sinx3y 22例4、 求函數(shù)sin x +cosx+ cos x的最值.12針對練習(xí)針對練習(xí)1、求下列三角函數(shù)的最值及最小正周期、求下列三角函數(shù)的最值及最小正周期11(1)2sin2 3cos(2)sincos2211(2

4、) 6cos22sin2(3)5sin1222xxxxxxxcoxx 2：（：（2010北京理）北京理） 已知函數(shù)已知函數(shù)（）求）求 的值；的值；（）求）求 的最大值和最小值。的最大值和最小值。(x)f22( )sin2sin cos3cosf xxxxx()4f4.4.已知已知 (1)(1)求求 的最小正周期及最小值；的最小正周期及最小值；(2)(2)令令 ，若，若 對任對任)(cos2cossin2)(2rxxxxxf)(xf1)8()(xfxg)(xg 意意 恒成立，求恒成立，求 的范圍的范圍.36，xa(12(12分分)(2013)(2013陜西高考陜西高考) )已知向量已知向量a=

5、=（coscos x, x, ）, ,b=( sin x,cos=( sin x,cos 2x),xr, 2x),xr,設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(xf(x)=)=ab. .(1)(1)求求f(xf(x) )的最小正周期的最小正周期. .(2)(2)求求f(xf(x) )在在 上的最大值和最小值上的最大值和最小值. .1230,2(2) (2) , ,8 8分分由正弦曲線由正弦曲線y=sin xy=sin x在在 上的圖象知，上的圖象知， , ,即即x= x= 時，時，f(xf(x) )取得最大值取得最大值1;1;當(dāng)當(dāng) , ,即即x=0 x=0時，時，f(xf(x) )取得最小值取得最小值- . - .

6、1010分分所以，所以，f(xf(x) )在在 上的上的最大值和最小值分別為最大值和最小值分別為1,1, . .1212分分5x0,2x),2666 當(dāng)時，(5,662x62當(dāng)32x66 120,212【變題【變題】變式訓(xùn)練，能力遷移變式訓(xùn)練，能力遷移(2014(2014朝陽模擬朝陽模擬) )已知函數(shù)已知函數(shù)f(xf(x)=)=(1)(1)求函數(shù)求函數(shù)f(xf(x) )的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間. .(2)(2)求函數(shù)求函數(shù)f(xf(x) )在在 上的最小值上的最小值. .2xxxsin cos cos 1.2223,42【解析【解析】(1)(1)所以函數(shù)所以函數(shù)f(

7、xf(x) )的最小正周期為的最小正周期為2.2.由由得得則函數(shù)則函數(shù)f(xf(x) )的單調(diào)遞減區(qū)間是的單調(diào)遞減區(qū)間是 xx1cos xf xsin cos 122211121sin xcos xsin(x).22224232kx2kkz242，52kx2k.4452k,2kkz.44，(2)(2)由由 ，得，得則當(dāng)則當(dāng) 即即x= x= 時，時，f(xf(x) )取得最小值取得最小值 . .3x427x.2443x42，54212(2014(2014福建高考福建高考) )已知函數(shù)已知函數(shù)f(xf(x)=2cosx(sinx+cosx).)=2cosx(sinx+cosx).(1)(1)求求

8、的值的值. .(2)(2)求函數(shù)求函數(shù)f(xf(x) )的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間. .( (本題源于教材必修本題源于教材必修4p147t11)4p147t11)【解題提示【解題提示】(1)(1)直接將直接將 代入到解析式求值代入到解析式求值.(2).(2)利利用三角恒等變換將函數(shù)用三角恒等變換將函數(shù)f(xf(x) )的解析式化簡的解析式化簡, ,再利用正弦再利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)求解型函數(shù)的性質(zhì)求解. .5f()454f(x)=2sin xcosf(x)=2sin xcos x+2cos x+2cos2 2x x=sin 2x+cos 2x+1= =sin 2x+cos 2x+1= （1 1）(2)t= =.(2)t= =.由由 得得 所以所以f(xf(x) )的單調(diào)遞增區(qū)間為的單調(diào)遞增區(qū)間為 2sin(2x)1,4511f()2sin 1442sin 12.4 222k2x2k,kz,2423kxk,kz.88 3k,k,kz.88解解 類問題的步驟：類問題的步驟：1. 1.利用下列公式，將利用下列公式，將y y化成化成y=y=a asin2x+sin2x+b bcos2x+kcos2x+k的形式的形式2.2.再利用輔助角公式將再利