福建省2016屆高三4月質量檢查數(shù)學理

1、機密啟用前2016年福建省普通高中畢業(yè)班質量檢查理科數(shù)學本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分第卷1至3頁，第卷4至6頁，滿分150分考生注意： 1答題前，考生務必將自己的準考證號、姓名填寫在答題卡上考生要認真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準考證號、姓名、考試科目”與考生本人準考證號、姓名是否一致 2第卷每小題選出答案后，用2b鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號第卷用0.5毫米的黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答若在試題卷上作答，答案無效 3考試結束，監(jiān)考員將試題卷和答題卡一并交回第卷一選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個

2、選項中，只有一項是符合題目要求的。（1）已知，是虛數(shù)單位，若與互為共軛復數(shù)，則（a）（b）（c）（d）（2）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若要使輸出的的值等于3，則輸入的的值可以是 （a） （b） （c）8 （d）（3）已知，則的值等于（a） （b） （c） （d）（4）已知，則“”是“”的（a）充分不必要條件 （b）必要不充分條件 （c）充要條件 （d）既不充分也不必要條件（5）若滿足約束條件則的取值范圍為（a） （b） （c） （d）（6）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)且公比大于1，前項積為，且，則使得的的最小值為（a）4 （b）5 （c）6 （d）7（7）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出

3、的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的各個面的面積中，最小的值為（a） （b）8 （c） （d）（8）在中，則（a）（b）（c）（d） （9）若橢圓上存在三點，使得這三點與橢圓中心恰好是一個正方形的四個頂點，則該橢圓的離心率為（a） （b） （c） （d）（10）在三棱錐中，則三棱錐外接球的表面積為 （a） （b） （c） （d）（11）已知分別為雙曲線的左、右焦點，若點是以為直徑的圓與右支的一個交點， 交于另一點，且，則的漸近線方程為 （a） （b） （c） （d）（12）已知是定義在上的減函數(shù)，其導函數(shù)滿足，則下列結論正確的是（a）對于任意， 0 （c）當且僅當，0第卷注意事項： 第卷共3頁，

4、須用黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答若在試題卷上作答，答案無效本卷包括必考題和選考題兩部分。第13題第21題為必考題，每個試題考生都必須做答。第22題第24題為選考題，考生根據(jù)要求做答。二填空題：本大題共4小題，每小題5分。（13）若隨機變量，且，則 （14）若展開式中的常數(shù)項為，則 （15）若數(shù)列的各項均為正數(shù)，前項和為，且，則 （16）已知點，且平行四邊形的四個頂點都在函數(shù)的圖象上，則四邊形的面積為 三解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。（17）（本小題滿分12分）在中，點在邊上，且（）若的面積為，求； （）若，求 （18）（本小題滿分12分）如圖，三棱柱中，底面為等腰直角三角

5、形，（）證明：；（）若，求與平面所成角的正弦值 （19）（本小題滿分12分）甲、乙兩家外賣公司，其送餐員的日工資方案如下：甲公司底薪70元，每單抽成2元；乙公司無底薪， 40單以內(nèi)(含40單)的部分每單抽成4元，超出40單的部分每單抽成6元假設同一公司送餐員一天的送餐單數(shù)相同，現(xiàn)從兩家公司各隨機抽取一名送餐員，并分別記錄其100天的送餐單數(shù)，得到如下頻數(shù)表：（）現(xiàn)從甲公司記錄的這100天中隨機抽取兩天，求這兩天送餐單數(shù)都大于40的概率；（）若將頻率視為概率，回答以下問題：（）記乙公司送餐員日工資為(單位：元), 求的分布列和數(shù)學期望； （）小明擬到甲、乙兩家公司中的一家應聘送餐員，如果僅從日工

6、資的角度考慮，請利用所學的統(tǒng)計學知識為他作出選擇，并說明理由.（20）（本小題滿分12分）已知拋物線的焦點為，過且垂直于軸的直線與拋物線交于兩點，以為圓心的圓過點，且（）求拋物線和圓的方程；（）設是圓上的點，過點且垂直于的直線交于兩點，證明：（21）（本小題滿分12分）已知函數(shù)，曲線與在原點處的切線相同（）求的單調區(qū)間；（）若時，求的取值范圍請考生在第22、23、24題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計分，做答時請寫清題號。 （22）（本小題滿分10分）選修：幾何證明選講如圖，的兩條中線和相交于點，且四點共圓（）求證：；（）若，求 （23）（本小題滿分10分)選修：坐標系與參數(shù)方程在

7、平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在以原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線的極坐標方程為. （）求的普通方程和的傾斜角；（）設點，和交于兩點，求（24）（本小題滿分10分）選修：不等式選講已知函數(shù).（）求不等式的解集；（）設，證明：2016年福建省普通高中畢業(yè)班質量檢查理科數(shù)學試題答案及評分參考 評分說明： 1本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標準制定相應的評分細則 2對計算題，當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應給分

8、數(shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分 3解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應得的累加分數(shù) 4只給整數(shù)分數(shù)選擇題和填空題不給中間分 一、選擇題：本大題考查基礎知識和基本運算每小題5分，滿分60分 （1）b （2）c （3）d （4）a （5）b （6）c （7）b （8）c （9）d （10）d （11）a （12）b 二、填空題：本大題考查基礎知識和基本運算每小題5分，滿分20分 （13） （14） （15） （16） 三、解答題：本大題共6小題，共70分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟（17）本小題主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面積公式及三角恒等變換等基礎知

9、識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想等滿分12分解法一：（）因為, 即，2分又因為,，所以 3分在中,由余弦定理得，,5分即，解得6分（）在中，可設，則，又，由正弦定理，有，7分所以8分在中, ，由正弦定理得，即，10分化簡得，于是11分因為，所以，所以或, 解得，故12分解法二：（）同解法一（）因為，所以取中點，連結，所以7分設，因為，所以在中，8分以下同解法一（18）本小題主要考查空間直線與直線、直線與平面的位置關系及直線與平面所成的角等基礎知識，考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想等滿分12分解法一：（）連結，在中，由余弦定理得， ，1分，

10、2分又為等腰直角三角形，且，又，平面4分又平面，5分（），6分如圖，以為原點，以的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，7分則， 8分設平面的法向量，由得令，得平面的一個法向量為 9分，10分，.11分與平面所成角的正弦值為12分解法二：（）同解法一（）過點作平面，垂足為，連結，則為與平面所成的角6分由（） 知，又，平面，7分8分取中點，連結，又在中，9分， ，即，10分平面，平面，三棱柱中，11分在中，所以與平面所成的角的正弦值為12分（19）本小題主要考查古典概型、隨機變量的分布列及數(shù)學期望等基礎知識，考查運算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力、應用意識，考查分類與整合思想、必然與或然

11、思想、化歸與轉化思想滿分12分解：（） 記“抽取的兩天送餐單數(shù)都大于40”為事件，則4分（）（）設乙公司送餐員送餐單數(shù)為，則當時，； 當時，； 當時，；當時，；當時， 所以的所有可能取值為152,156,160,166,1726分故的分布列為：1521561601661728分 9分（）依題意， 甲公司送餐員日平均送餐單數(shù)為10分所以甲公司送餐員日平均工資為元11分由（）得乙公司送餐員日平均工資為元因為，故推薦小明去乙公司應聘12分（20）本小題考查圓與拋物線的標準方程及幾何性質、直線與圓錐曲線的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查數(shù)形結合思想、函數(shù)與方程思想、分類與整合思

12、想等滿分12分解法一：()將代入，得，所以，1分又因為，所以是等腰直角三角形，所以，即，解得，所以拋物線，3分此時圓的半徑為，所以圓的方程為4分 ()設，依題意，即5分（）當直線斜率不存在時，當時，由，得不妨設，則即 當時，同理可得，.6分（）當直線斜率存在時，因為直線與拋物線交于兩點，所以直線斜率不為零，且 因為，所以，所以，.7分直線由得， ，8分即，所以，9分所以10分，所以 12分解法二：()同解法一()設，依題意，即， （*） 5分設，則，6分由于，所以 7分注意到， 8分由（1）知，若，則，此時不滿足（*），故，從而（1），（2）可化為9分以下同解法一.（21）本小題主要考查導數(shù)的

13、幾何意義、導數(shù)及其應用、不等式等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、創(chuàng)新意識等，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉化思想、分類與整合思想、數(shù)形結合思想等滿分12分解法一：（）因為，2分依題意，解得，3分所以，當時，；當時，故的單調遞減區(qū)間為， 單調遞增區(qū)間為5分（）由（）知，當時，取得最小值0 所以，即，從而設則，6分（）當時，因為，所以（當且僅當時等號成立），此時在上單調遞增，從而，即7分（）當時，由于，所以8分由（）知，所以，故，即9分（）當時， 令，則，顯然在上單調遞增，又，所以在上存在唯一零點，10分 當時，所以在上單調遞減，從而，即所以在上單調遞減，從而當時，即，不合題意11分綜上，

14、 實數(shù)的取值范圍為12分解法二：（）同解法一 （）由（）知，當時，取得最小值0 所以，即，從而設則，6分（）當時，在恒成立，所以在單調遞增 所以，即9分（）當時，由（）知，當時，（當且僅當時等號成立），所以當時，所以10分于是當時，所以在上單調遞減.故當時，即，不合題意11分綜上， 實數(shù)的取值范圍為12分解法三：（）同解法一 （）（）當時，由（）知，當時，取得最小值0所以，即，從而，即所以，6分（）當時，設則，令，則顯然在上單調遞增7分當時，所以在上單調遞增，；故，所以在上單調遞增，即9分當時，由于，所以在上存在唯一零點，10分當時， 單調遞減，從而，即在上單調遞減，從而當時，即，不合題意11

15、分綜上， 實數(shù)的取值范圍為12分請考生在第（22），（23），（24）題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分，作答時請寫清題號（22）選修：幾何證明選講 本小題主要考查圓周角定理、相似三角形的判定與性質、切割線定理等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力等，考查化歸與轉化思想等滿分10分解法一：（）連結，因為四點共圓，則2分又因為為的兩條中線，所以點分別是的中點，故3分所以，4分從而5分（）因為為與的交點，故為的重心，延長交于，則為的中點，且6分在與中，因為，所以，7分所以，即9分因為，所以，即，又，所以10分解法二：（）同解法一5分 () 由() 知，因為四點共圓，所以，6分所以

16、，所以，7分由割線定理，9分又因為是的中線，所以是的重心，所以,又，所以，所以，所以，因為，所以10分（23）選修；坐標系與參數(shù)方程本小題考查直線的極坐標方程和參數(shù)方程、橢圓的參數(shù)方程等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想等 滿分10分解法一：（）由消去參數(shù)，得，即的普通方程為2分由，得，（）3分將代入（），化簡得，4分所以直線的傾斜角為 5分 （）由（）知，點在直線上， 可設直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），即（為參數(shù)），7分代入并化簡，得8分設兩點對應的參數(shù)分別為，則，所以9分所以10分解法二：（）同解法一. 5分（）直線的普通方程為.由消去得，7分于是.設，則，所以，8分故.10分（24）選修：不等式選講本小題考查絕對值不等式的解法與性質、不等式的證明等基礎知識